天津市南倉中學2023-2024學年高二下學期3月教學質量過程性監(jiān)測與診斷數學試題

天津市南倉中學2023至2024學年度第二學期高二年級教學質量過程性監(jiān)測與診斷（數學學科）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，共120分，考試用時100分鐘，第Ⅰ卷至1頁，第Ⅱ卷至2頁。答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在答題紙上。答卷時，考生務必將答案涂寫在答題紙上，答在試卷上的無效。祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆將機讀卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。2．本卷共9小題，共36分。一、選擇題（每小題4分，共36分）1．已知，則（）A．B．C．D．2．記等比數列的前項和為，若，則（）A．B．C．D．3：設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積為（）A．8B．6C．4D．24．若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數的值為（）A．B．3C．4D．5．函數的圖象如圖所示，為函數的導函數，則不等式的解集為（）A．B．C．D．6．設數列滿足，則的前項和（）A．B．C．D．7．設，設的大小關系為（）A．B．C．D．8．若函數在上單調遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．9．已知函數與函數的圖像上恰有兩對關于軸對稱的點，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．天津市南倉中學2023至2024學年度第二學期高二年級教學質量過程性監(jiān)測與診斷（數學學科）第Ⅱ卷注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題紙上。2．本卷共11小題，共84分。二、填空題（每小題4分，共24分）10．等差數列中，，則的通項公式為_________。11．若函數不存在極值點，則實數的取值范圍是_________。12．若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為_________。13．由倫敦著名建筑事務所SteynStudio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數學與建筑完美結合造就的藝術品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為_________。14．已知，則下列正確的為_________。①曲線在處的切線平行于軸②的單調遞減區(qū)間為③的極小值為④方程沒有實數解15．已知是定義在上的奇函數，且是的導函數，若對于任意的，都有成立，且，則不等式解集為_________。三、解答題（每題12分，共60分）16．如圖，且且且平面（1）若為的中點，為的中點，求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的正弦值；（3）若點在線段上，且直線與平面所成的角為，求線段的長．17．已知函數，曲線在點處切線方程為．（1）求實數的值；（2）求的單調區(qū)間，并求的極大值。18．已知數列的前項和為，且，數列滿足：，．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和；（3）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍。19．已知橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為，且。（1）求橢圓的方程；（2）過點作斜率為的直線與橢圓交于另一點是軸上一點，且滿足，若直線的斜率為求直線的方程。20．已知，函數。（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若曲線和有公共點，①當時，求的取值范圍；②求證：。答案選擇題：CDABCCADC填空題10．11．12．13．14．①③15．16．[命題立意]本題考查線面平行的證明、平面與平面的夾角、線面角．[解]（1）證明：因為平面平面，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，分別以的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，所以．設為平面的法向量，則令，則．因為，所以，因為直線平面，所以平面．（2）依題意，可得．設為平面的法向量，則令，則，設為平面的法向量，則令，則，所以，所以平面與平面的夾角的正弦值為．（3）設線段的長為，則點的坐標為，可得．易知為平面的一個法向量，所以，由題意得，解得．所以線段的長為．17．解：（1），曲線在點處的切線方程為，，解得．（2）由（1）可知：，．由解得，或，此時函數在單調遞增；由解得，此時函數在單調遞減．故當時，函數取得極大值，極大值為．18．（1），當時，，當時，，，數列是首項為1，公比為3的等比數列，數列是首項為1，公差為2的等差數列，（2），，兩式相減得：，，。（3）若不等式對任意*恒成立，對任意*恒成立，對任意*恒成立，對任意*恒成立，設，當時，，即，所以單調遞增，當時，，即，所以單調遞減，的最大值為，，即實數的取值范圍為．19．[命題立意]本題考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系。[解]由題意可得解得所以，所以橢圓的方程為．（2）設直線的方程為，設點，聯立可得，所以，可得，則，即點，由，得，所以直線的方程為，在直線的方程中，令可得即點，所以，即，解得或，因為，解得或，所以直線的方程為或．20．[命題立意]本題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性和極值、構造函數證明不等式、利用平面向量的數量積轉化等式．[解]（1），故，而，所以曲線在點處的切線方程為，即．（2）①依題意，顯然，當時，，所以當時，有解，即函數存在零點．由，當時，單調遞減，當時，單調遞增，則有，即．當時，有，且，故在區(qū)間內存在零點，符合題意．所以，的取值范圍為．②證明：依題意，顯然，當時，，所以存在實數，使得，即sin．設向量，由，得，因此．記，有，則