等腰（等邊）三角形-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）

考向21等腰（等邊）三角形

【考點(diǎn)梳理】

（1）等腰三角形的性質(zhì)：

1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等（"等邊對等角"）；

2.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合；

3.等腰三角形是軸對稱圖形，三線合一所在直線是其對稱軸；（只有1條對稱軸）

（2）等腰三角形的判定:

①如果一個(gè)三角形有兩條邊相等；

②如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等；（等角對等邊）

（3）等邊三角形：

三條邊都相等的三角形；（等邊三角形是特殊的等腰三角形）

（4）等邊三角形的性質(zhì)：

①等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°

②等邊三角形的每條邊都存在三線合一；

（5）等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一所在直線；（有3條對稱軸）

（6）等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形；

【題型探究】

題型一：等腰三角形的性質(zhì)

1.（2022?浙江溫州?溫州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在-ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是BC延長線上一點(diǎn)，且

ABAC=2ΛCAD,已知8C=4,AD=I,貝IJACQ的面積為（）

C.21D.28

2.（2023?陜西西安?西安市鐵一中學(xué)校考二模）如圖，ABC中，AB=6,ZABC=60。，點(diǎn)。在邊BC上，且AD=AC,

若CD=2,則Bo的長為（）

A

A.1.5B.2C,2.5D.3

3.（2022秋?天津河北?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，以AB為直徑的。分別與3C,AC交于點(diǎn)凡D,點(diǎn)F

是8Q的中點(diǎn)，連接AES。交于點(diǎn)E.若AB=IO,8=4.連接。尸，則弦。尸的長為（）

題型二：等腰三角形的判定

4.（2022.四川瀘州?四川省瀘縣第四中學(xué)校考一模）如圖，四邊形ABCf）內(nèi)接于O,CB交C8的延長線于點(diǎn)

E,若BA平分ZDBE,AD=7,CE=5,則AE=（）

A

E——

A.3B.2√3C.2√6D.4√3

5.（2022.云南昆明.統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形ABC。中，NABC的角平分線交AZy于點(diǎn)E,NBCO的角平分

線交AQ于點(diǎn)F,若AB=7,BC=IO,則EF的長為（）

A.4B.3C.6D.5

6.（2022春?四川雅安?九年級專題練習(xí)）如圖，4ABC中，AB=6,AC=8,NABC與NNCB的平分線B4CZ）交于

點(diǎn)Q.過點(diǎn)。作E/〃BC,分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,則ZAEF的周長為（）

A.12B.13C.14D.15

題型三：等邊三角形的性質(zhì)

7.（2023?陜西西安?高新一中?？家荒＃┤鐖D，在等邊A48C中，點(diǎn)。，E分別是BC,AC上的點(diǎn),

NADE=60°,AB=4,8=1,則AE=（）

8.（2022?山東青島?統(tǒng)考中考真題）如圖，。為正方形ABCo對角線AC的中點(diǎn)，AACE為等邊三角形.若AB=2,

則OE的長度為（）

C.2√2D.2√3

9.（2022?貴州黔東南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形AB”,過點(diǎn)。作

DF?BC,垂足為F,則OF的長為（）

A.2^+2B.5-—C.3-√3D.√^+l

3

題型四：等邊三角形的判定

10.（2021?甘肅?模擬預(yù)測）如圖，在YABCO中，將AWC沿AC折疊后，點(diǎn)。恰好落在。C的延長線上的點(diǎn)E處.若

/8=60°,AB=I,則YABC。的周長為（）

A.4B.5C.6D.7

11.（2021.浙江杭州?九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCZ）中，點(diǎn)E,尸分別在BC,CDizAE=AF,AC與EF

相交于點(diǎn)G,下列結(jié)論：

①AC垂直平分EF；

②BE+DF=EF;

③當(dāng)ND4尸=15。時(shí)，Z?AE尸為等邊角形；

④當(dāng)ZEAF=60°時(shí),S△"￡=~S&CEG

其中正確的是（）

A.①③B.②④C.①③④D.②③④

12.（2022?山東東營?校考一模）如圖，在矩形ABCQ中，點(diǎn)￡,尸分別在邊AB,BCk,S.AE=AB,將矩形沿直

線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)P處,連接BP交EF于點(diǎn)、Q,對于下列結(jié)論:①EF=2BE;②PF=2PE；③FQ=4EQ;

④ZXPBF是等邊三角形.其中正確的是（）

A.P（B）

B

A.①②B.②③C.①③D.①④

題型五：等腰三角形的判定和性質(zhì)綜合

13.（2022?天津?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,若M是BC邊上任意一點(diǎn)，將AABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)得到AACN,點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M連接MM則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.AB=ANB.AB//NCC.ZAMN=ZACND.MNYAC

14.（2022?湖南益陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AABC中，ZCAB=20°,NABC=30。，將AABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

50。得到AAQC,以下結(jié)論：①BC=QC,?AC//CB',?C'B'LBB',?ZABB'^ZACC,正確的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

15.（2022?浙江舟山?中考真題）如圖,在RtABC和R/BDE中，ZABC=ZBDE=90°,點(diǎn)A在邊。E的中點(diǎn)上,

若ΛB=8C,DB=DE=2,連結(jié)CE,則CE的長為（）

E

A

D

BC

A.√HB.√15C.4D.√Γ7

題型六：等邊三角形的判定和性質(zhì)綜合

16.（2022.山東泰安.統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABC。的對角線AC,30相交于點(diǎn)。.點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

連接Eo并延長交A￡）于點(diǎn)凡ZABC=60o,BC=2AB.下列結(jié)論：?ABlAC-,?AD=4OE；③四邊形AECF

是菱形；④S“山=5Sase.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

17.（2022?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtA45C中，ZABC=90。，ZAc8=30。，將A8C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60。得到,DEC,點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是。，E,點(diǎn)尸是邊AC的中點(diǎn)，連接BF,BE,FD.則下列結(jié)論錯(cuò)誤

的是（）

A.BE=BCB.BF〃DE,BF=DE

C.ZDFC=90。D.DG=3GF

18.（2022?山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，己知菱形ABC。的邊長為2,對角線AC3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M,N分

別是邊BeC力上的動(dòng)點(diǎn)，ZθAC=ZM4JV=60°,連接MN、QW.以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）

①；AMN是等邊三角形；②MN的最小值是G；③當(dāng)MN最小時(shí)SMMN=!S新加JC°;④當(dāng)OMLBC時(shí),

O

OAr=DNAB.

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

題型七：等腰（邊）三角形的綜合問題

19.（2023?福建南平?統(tǒng)考一模）在五邊形AS8E中，四邊形A5C。是矩形，VAoE是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角

三角形.CE與AZ）交于點(diǎn)G,將直線EC繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。交AO于點(diǎn)F.

(1)求證：NAEF=NDCE；

(2)判斷線段AB,AF,FC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)若FG=CG,且AB=2,求線段BC的長.

20.(2023?福建福州?統(tǒng)考一模)在ABC中，BC=S,兩條高AO,BE交于點(diǎn)、H,F是CH的中點(diǎn)，連接AF并延長

交邊BC于點(diǎn)G.

圖2

(1)如圖1,若JRC是等邊三角形.

①求證：AH=IDH↑

②求CG的長.

(2)如圖2,若AH=DH,CG=BD,求ABC的面積.

21.(2022.山東莉澤?荷澤一中校考模擬預(yù)測)如圖①，在JlBC中，ZA=90o,AB=AC,點(diǎn)。，E分別在邊AB,

AC上，且4)=AE.則CE=8“現(xiàn)將V">E繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180。).如圖②，連接

CE,BD.

“圖②

C

(D如圖②，請直接寫出CE與Bo的數(shù)量關(guān)系.

(2)將VADE旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置時(shí)，請判斷CE與8。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

(3)在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)ABCO的面積最大時(shí)，a=.(直接寫出答案即可)

【必刷基礎(chǔ)】

一、單選題

22.(2023?福建南平?統(tǒng)考一模)如圖，在一ABC中，NBAC=I35。，將ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Z)EC,點(diǎn)A,

8的對應(yīng)點(diǎn)分別為D,E.當(dāng)點(diǎn)A、D、E在同一條直線上時(shí)，下列結(jié)論不IP硼的是()

C

B.AE=AB+CD

C.AD=CACD.ABVAE

23.（2023?陜西西安??？级＃┤鐖D，已知在。中，ZDOA:ZAOB=2;1,且NACB=25。，則，。的度數(shù)為（）

B.45°C.50°D.55°

24.（2022.重慶渝中.重慶市求精中學(xué)校?？家荒＃┰诘冗匒BC中，力是邊AC上一點(diǎn)，連接3。，將Z?BCD繞點(diǎn)B

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到84E,連接ED,若BC=5,80=4.5,有下列結(jié)論：①AE〃BC；②ZADE=ZBDC；③:BDE

是等邊三角形；④VADE的周長是9.5,其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

25.（2022?四川南充?模擬預(yù)測）如圖，在RtZSABC中，ZK4C=90o,AB=AC,直角/￡7平"的頂點(diǎn)P是BC的中

點(diǎn)，將NEPF繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，兩邊PE,尸產(chǎn)分別交AB,AC于點(diǎn)E,F.下列四個(gè)結(jié)論：?AE=CF;②！P￡F是

等腰直角三角形；③EF=AP;?SMEPF=^SΛABC.在NEPF旋轉(zhuǎn)過程中，上述四個(gè)結(jié)論始終正確的有（）

BC

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

26.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)的直線AB與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，在線段A8

左側(cè)作等腰三角形ABC,底邊軸，過點(diǎn)C作CCX軸交雙曲線于點(diǎn)O,連接8。，若Sw7"=16,則氏的值

是（）

A.-4B.-6C.-8D.-16

27.（2022?山東濟(jì)南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCz）為正方形，點(diǎn)G在對角線8。上,

GELCD,GFLBC,Az）=I500m,小敏行走的路線為B→A→G→E,小聰行走的路線為

B→A→D→E→F.若小敏行走的路程為3100m,則小聰行走的路程為（）m.

C.4600D.6100

28.（2022?山東濟(jì)南?校考一模）如圖，菱形ABCO的邊長為8,E、F分別是A8、AO上的點(diǎn)，連接CE、CF、EF,

AC與E尸相交于點(diǎn)G,若BE=AF=2,ZBAD=120°,則FG的長為（）

E

BC

?

B.√3C.2D.

22

29.（2022?山東濱州?模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)A,B,C,D在同一條直線上，點(diǎn)E,尸分別在直線AD的兩側(cè)，且AE=Q尸,

ZA=ZD,AB=DC.

（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；

⑵如果AO=7,DC=2,NEBD=60。,那么當(dāng)四邊形BRH為菱形時(shí)酩的長是多少？

30?（2022?吉林長春?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在ABC和VADE中，AB=AD,AC=AEfZBAC=ZDAE.

圖①圖②

（1）如圖①，求證：ZABC=ZADE;

（2）如圖②，若4。平分∕C4E,ZZXE=30。，點(diǎn)C在線段班上，則ND=度.

【必刷培優(yōu)】

一、單選題

31.（2022春?江蘇?九年級專題練習(xí)）已知菱形A8C。，邊長為6,/840=120。，E、F是菱形邊48和AZ）上的

動(dòng)點(diǎn)，且5E=AP,則下列結(jié)論①.3ECqAFC；②為等邊三角形；?ZAGE=ZECD;④若A尸=2,則

博GF=1I正確的有個(gè).（）

EG3

32.（2022?廣東東莞?校考二模）如圖，E、F分別是正方形48Co的A5、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE=M,連接

CE、DF,相交于點(diǎn)G,連接AG,則下列4個(gè)結(jié)論：?DF=CE；②CE,ED；③AD=AG；④若點(diǎn)E是AB的中

點(diǎn)，則QG=4GF,其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

33.（2022?廣東深圳?深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？既＃┤鐖D，在正方形ABC。中，E是線段CC上一點(diǎn)，連接AE,

將“QE沿AE翻折至“EF,連接BF、并延長BF交AE延長線于點(diǎn)P,過點(diǎn)E作EMLPB于已知PF=√2，BF=2.其

中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

①NApF=45°②NEFP=∕FBC③PM=O-I④一=√2+l

DE

C.3D.4

34.（2022?河北石家莊?校考模擬預(yù)測）如圖，正方形ABC與中，Afi=L4?與直線/的夾角為30。，延長CBl交直線

/于點(diǎn)A，作正方形4片和生，延長G4交直線/于點(diǎn)4,作正方形A2B2C/3,延長G與交直線/于點(diǎn)A,作正方形

AiB1C3B4,...,依此規(guī)律，則4o∣64o∣7=（）

D.2×3I∞7

二、填空題

35.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）如圖，ASC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得二。EC,如果點(diǎn)8、D、E在一直線上，且

NBDC=60°,BE=3,那么A、。兩點(diǎn)間的距離是.

C

36.（2022.重慶銅梁.銅梁中學(xué)校校考模擬預(yù)測）如圖，aABC。中，ΛB=AD,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接CE、DE,

SBC=CE,若NBCE=40。，則ZWE=.

37.（2022?廣東江門?校考一模）在學(xué)習(xí)完勾股定理后，小芳被“弦圖”深深地吸引了，她也設(shè)計(jì)了一個(gè)類似“弦圖”的

圖案（如圖），主體是一個(gè)菱形，把菱形分割成四個(gè)兩兩全等的直角三角形和一個(gè)矩形，這四個(gè)直角三角形中有兩

個(gè)是等腰直角三角形，另兩個(gè)三角形的兩直角邊分別是6cm和8cm,那么中間的矩形的面積是.

38.（2022?四川綿陽?東辰國際學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F（2,4）在拋物線y=fl√上，過

點(diǎn)廠作X軸的平行直線EF,交拋物線于點(diǎn)E,交），軸于點(diǎn)C,將直線EF向下平移，分別交拋物線于A,B兩點(diǎn)，

當(dāng)JRC是等邊三角形時(shí)，線段48的長是.

39?（2022?山東濱州?陽信縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，點(diǎn)。為等邊一ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=2√5,OC=A,連

接8。并延長交AC于點(diǎn)。.若NE>OC=30。，過點(diǎn)B作3。交Co延長線于點(diǎn)F,連接AF,則AF=.

40.（2022?四川瀘州?瀘縣五中?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，04=1,將。4繞

點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到。A，掃過的面積記為S-交X軸于點(diǎn)&；將。&繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到。4,

掃過的面積記為Sl,AA4J.。4交y軸于點(diǎn)4；將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA,掃過的面積記為$3，ΛA,?OA5

交X軸于點(diǎn)兒；…；按此規(guī)律，則反儂的值為_____.

三、解答題

41.（2022.浙江杭州.杭州育才中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，ABC和CDE都是等邊三角形，連接40、BE,AD與BE

交于點(diǎn)F.

A

(1)求證AO=B石;

(2)ZBFA=

42.（2022?遼寧鐵嶺?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知ABC和一D3E都為等腰三角形，AB=AC,DB=DE,ZCAB=ZEDB=no.

（圖1）

(圖2)

⑴如圖1,當(dāng)〃=60。時(shí)，線段CE與AA的數(shù)量關(guān)系是；

（2）如圖2,當(dāng)〃=90°時(shí),

①請判斷線段CE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)CE〃AB,BC=6,Ar）=I時(shí)，請直接寫出的長.

43.（2022?寧夏固原??？寄M預(yù)測）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在X軸正半軸截取線段04,在V軸負(fù)半軸截取線

段OB,使OA=O8,連接A8,AM.BN分別是NoAB、/084內(nèi)部一條射線，分別交OB、（M于M、N兩點(diǎn).

ffll圖2

(1)如圖1,若OA=OB=4√∑,且AM、BN分別平分/043、/08A,作。P,AM交AM于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)P,

再過點(diǎn)尸作PGLBN,交BN于F,交OB于H,交A"的延長線于點(diǎn)G.

①求出點(diǎn)尸的坐標(biāo);

②證明：APEG是等腰Rt△,并直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo);

(2)如圖2,若OM=ON,請寫出線段AG、OP與PG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論

44.(2022?河南周口?周口市第一初級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知，在=ABC中，Nfi4C=90。，AB=AC,A//J.BC于

點(diǎn)H,CF平分/AC8交AB于點(diǎn)F,交4〃于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證：AF=AEi

(2)如圖2,在ABC外有一點(diǎn)D,分別連接AD,當(dāng)NBDC=90。時(shí)，求/4X7的度數(shù);

(3)如圖3,在(2)的條件下，AH=CD,過點(diǎn)C作CM〃A。交80延長線于點(diǎn)M,連接AM，若EH=2y∕i-2,

求AM的長.

45.(2022.山東荷澤?統(tǒng)考二模)在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

(1)√ISC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點(diǎn)，且AE=I,小亮以8E為邊作等邊三角形BEF,如圖①，

求CF的長；

(2)ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以BE為邊作等邊三角形8EF,如圖②，在點(diǎn)E

從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長；

(3)ΛBC是邊長為3的等邊三角形，M是高Co上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以BM為邊作等邊三角形N,如圖③，在點(diǎn)

例從點(diǎn)C到點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長.

46.(2022?山東德州?統(tǒng)考一模)如圖，ABC與AeD為正三角形，點(diǎn)0為射線C4上的動(dòng)點(diǎn)，將射線OM繞點(diǎn)0

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到射線。N

(1)如圖1,點(diǎn)。與點(diǎn)4重合時(shí)，點(diǎn)E,尸分別在線段5C,CO上，求證：AAEC"OFD；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在C4的延長線上時(shí)，E,尸分別在線段BC的延長線和線段8的延長線上，請寫出CE、CF、CO

三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

參考答案:

1.A

【分析】過點(diǎn)A作AE，BC于點(diǎn)E,根據(jù)Afi=AC,BC=4,得到

NBAE=NCAE,BE=CE=LBC=2,結(jié)合NSAC=2NC4D,得到NBAE=NC4￡：=NCW,

2

過點(diǎn)C作Cb_LAD于點(diǎn)尸，根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，得到CF=CE=2,代入面積公式計(jì)算

即可.

【詳解】如圖，過點(diǎn)4作AC于點(diǎn)E,

因?yàn)锳B=AC,BC=4,

所以NBAE=NCAE,BE=CEJBC=2,

2

因?yàn)镹BAC=2NC4D,

所以=NCAE=NCW,

過點(diǎn)C作CFLAZ）于點(diǎn)F,

根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，得到CF=CE=2,

所以SAe=gAZXCF=T倉。2=7,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一，角的平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的三

線合一是解題的關(guān)鍵.

2.B

【分析】過點(diǎn)A作/α，3C于E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得OE=EC=JCO=I,根據(jù)

含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BE=3,根據(jù)8E>=BE-DK即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AELBC于E,

A

BDEC

又AD^AC,CD=2,

：.DE=EC=aCD=L

2

在直角中，NA￡8=90。，/8=60。，

.?.ZBAE=90o-NB=30o,

BE=?^AB=-×6-3,

22

BD=BE-DE=3—1=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線

求出BE與。E是解題的關(guān)鍵.

3.A

【分析】連接。尸，先根據(jù)圓周角定理可得AF_L8C,8。_LAC,ZBAF=ZDAF,再根據(jù)

等腰三角形的三線合一可得AB=AC=10,BF=CF,從而可得=然后利用勾股

定理可得BC的長，由此即可得.

【詳解】解：如圖，連接￡＞尸，

AB為C。的直徑,

.?.AFrBC,BDLAC,

點(diǎn)尸是2￡）的中點(diǎn)，

.?.BF=DF,ZBAFZDAF,

.?.AB=AC,BF=CF（等腰三角形三線合一）,

.?.DF=-BC,

2

AB=10,CD=4,

.?.AD^AC-CD=AB-CD^6,

又AB2-AD2=BD2=BC2-CD2,

.?.102-62=βC2-42,

解得8C=4石或BC=-46（舍去），

.?.Z）F=i×4√5=2√5,

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的三線合一等知識點(diǎn)，熟練掌握圓

周角定理是解題關(guān)鍵.

4.C

【分析】連接AC,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理得到ZABE=ZCDA,ZABD=ZACD,

從而得到NA8=NCD4,得出4C=4O=7,然后利用勾股定理計(jì)算AE的長.

【詳解】解：連接AC,如圖，

,/BA平分NDBE,

；?ZABE=ZABD,

???四邊形ABCZ）內(nèi)接于O,

：.ZABC+ZADC=XWP,

又ZA8C+ZABE=180°

ZABE=ZCDA,

又ZABD=ZACD,

：.ZACD=NCDA,

：.AC=AD=J,

,/AELCB,

?'?AE=y∣AC2-CE2=√72-52=2√6?

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、圓周角定理、勾股定理、角

平分線定義等知識；熟練掌握圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.A

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知NoFC=NFC8,又因?yàn)镃/平分NBCQ,所以

NDCF=∕FCB,則/C=NOCR則力b=Oc同理可證AE=A8,那么EZ7就可表示為

AE+FD-BC=2AB-BC,繼而可得出答案.

【詳解】解：Y平行四邊形A8CD,

.?AD∕∕BC,

：.NDFC=/FCB,

又CF平分Nem

：,/DCF=NFCB,

：.ZDFC=ZDCFf

IDF=DC,

同理可證：AE=ABf

VAB=7,AD=BC=W,

：.EF=AE+FD-AD=2AB-BC=4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時(shí)，一般可

利用等腰三角形的性質(zhì)解題，難度不大，關(guān)鍵是解題技巧的掌握.

6.C

【分析】由角平分線的定義可知NABo=NDSC,ZACD=NDCB.由平行線的性質(zhì)得出

/EDB=/DBC,ZFDC=ZDCB,即可推出=,ZACD=ZFDC,從而得出

EB=ED,FD=FC.最后即可推出尸的周長=AB+AC,即可求出結(jié)果.

【詳解】,??8。平分/48。，CO平分NACB,

；?ZABD=NDBC,ZACD=ZDCB.

?：EFHBC,

：.ZEDB=ZDBCf/FDC=NDCB,

：?/ARD=/EDR,ZACD=ZFDC9

：?EB=ED,FD=FC,

VAB=6,AC=8,

???ZkAEF的周長=AE+EF+4F

=AE+ED+DF+AF

—AE÷EB÷AF+FC

AB+AC

=14,

的周長為：14,

故選C?

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定.利用數(shù)形結(jié)合的思

想是解題的關(guān)鍵.

7.D

【分析】先利用三角形的外角性質(zhì)證明N84O=NCOK,再證明ΔBA0SACDE,再利用相

似三角形的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】解：ZADC=ZB+ZBADf

.??ZADE+/CDE=∕B+ZBAD,

o

ZADE=M=ZBt

??.ZCDE=ZBADf

又.ZB=NC=60。，

??,ABADSACDE,

.ABDB

"'CD~~CE9

等邊ΔA3C中，AB=4,CD=If設(shè)AE=%,

.?.CE=4-x,BD=4-I=3,

43

/.—=------,

14-x

.??4(4-x)=3,

13

X——；

4

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知

識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解答此題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】利用勾股定理求出AC的長度，再利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】在正方形ABCD中：AB=BC=2,NABC=90°,

?,?Ac=√AB2+BC2=√22+22=2√2，

：0為正方形ABCZ)對角線AC的中點(diǎn)，

.?.0C=-AC=y[2,

2

,.?AACE為等邊三角形,。為AC的中點(diǎn)，

.,?EC=AC=2√2，EO.LAC,

.*.NEOC=90。，

.?.OE=y∣EC2-OC2=^(2√2)2-(√2)2=√6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，掌握以上知識點(diǎn)是解題

的關(guān)鍵.

9.D

【分析】過點(diǎn)4分別作AGJ_BC于點(diǎn)G,4〃，。尸于點(diǎn)”，可得四邊形AGFH是矩形，從而

得到Fa=AG,再由△ABC為等邊三角形，可得NBAG=30。，BG=I,從而得到尸”=6，再

證得/D4H=N8AG=30。，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A分別作AG_LBC于點(diǎn)G,AHLDF于點(diǎn)H,

,.?DFlBC,

，NGFH=NAHF=/AGF=90。,

.??四邊形4GFH是矩形，

：.FH=AG,

,：AABC為等邊三角形,

：.Z8AC=60o,βC=AB=2,

：.ZBAG=30o,BG=I,

,?AG=VAB2—BG2=?/??

FH=6

o

在正方形ABEQ中，AD=AB=I9ZBAZ)=90,

ΛZDA∕∕=ZBAG=30o,

.?.DH=-AD=I,

2

：.DF=DH+FH=道+1.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三

角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.C

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得∕B=∕D=6()O,AB=CD=I,與折疊的性質(zhì)可得AE=AD,

CD=CE=I,又由∕D=60。,可證4AED是等邊三角形,可得AD=AE=DE=2,即可求得YABa>

的周長.

【詳解】解：；四邊形ABCD是平行四邊形，

ΛZB=ZD=60o,AB=CD=I,

:將^ADC沿AC折疊后，點(diǎn)D恰好落在DC的延長線上的點(diǎn)E處，

.?.AE=AD,CD=CE=LXVZD=60o,

?'??AED是等邊三角形，

ΛAD=AE=DE=2,

.?.YABCD的周長=2(AB+AD)=2×(1+2)=6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握折疊的

性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

11.C

【詳解】①由正方形ABCD知AB=AD,NB=ND,AE=AF,?ABE^?ADF,AE=AF,又

BC=DC,則EC=BC-BE=CD-DF=CF,AC垂直平分EF,故①正確，

②如圖將三角形AADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得AABH,BH=DF,只有當(dāng)NFAE=45。時(shí)

EF=HE=BE+DF,如果∕EAF<45°時(shí)EF<BE+DF,∕EAF>45°,FE>BE+DF,故②不正確,

③由AABE絲AADF,ZBAE=ZDAF=15o,AE=AF,

ZEAF=90o-ZBAE-ZDAF=90o-2×15o=60o,...ZiAEF為等邊三角形，故③正確,

④如下圖在AB上取點(diǎn)M,使AM=EM,/MEA=/MAE=I5。，ZBME=2ZBAE=30o,設(shè)

BE=x,ME=2x,BM=?/?x,AB=2x+√3x,CE=BC-BE=AB-BE=X+√3x,由面積公式得,

SΔABE=∣(2+√3)X?X=SAECF=；［+煙2=(2+G)fSΔABE=∣SΔECF,故④正確.

故選擇：C.

【點(diǎn)睛】本題考查內(nèi)容較多，線段垂直平分線，線段的和差，等邊三角形，三角形面積，30。

角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，難度挺大，要掌握這些知識，并會(huì)靈活運(yùn)用.

12.D

【詳解】解：VAE=∣AB,

：.BE=IAE1

由翻折的性質(zhì)得，PE=BE,

：.NAPE=30。,

JNAEP=90。-30o=60o,

:?/BEF=W(180。-NAEP)(180°-60°)=60°,

JNEFB=90。-60o=30o,

；.EF=2BE,故①正確；

?；BE=PE,

:?EF=2PE,

??EF>PF,

；?PF<2PE,故②錯(cuò)誤；

由翻折可知EFLPB9

：.NEBQ=NEFB=30。,

：.BE=2EQfEF=2BE,

：.FQ=3EQ,故③錯(cuò)誤；

由翻折的性質(zhì)，NEFB=∕EFP=300,

：.ZBFP=30o+30o=60o,

β.?NPBF=90。-ZEBQ=90o-30o=60o,

JNPBF=NPFB=6(f,

...△PB尸是等邊三角形，故④正確;

綜上所述，結(jié)論正確的是①④.

故選：D.

13.C

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】解：；將AABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AACM.MABM絲A4CM

：.AB=AC,AM=AN,

.?.AB不一定等于AM故選項(xiàng)A不符合題意；

,.?AABM與XACN,

：.ZACN=ZB,

而NcAB不一?定等于/B,

.?.NACW不一定等于NC43,

.?.AB與CN不一定平行，故選項(xiàng)B不符合題意；

,/&ABM9&ACN,

：.ZBAM=ZCAN,NACN=NB,

.?.NBAC=NMAN,

'：AM=AN,AB=AC,

.?.“8C和AA例N都是等腰三角形，且頂角相等，

LNB=NAMN,

：.NAMN=NACN,故選項(xiàng)C符合題意；

'：AM=AN,

而AC不一定平分/MAN,

,AC與MN不一定垂直，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì).旋轉(zhuǎn)變換是全等變換，利用旋

轉(zhuǎn)不變性是解題的關(guān)鍵.

14.B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC=B'C,NCAB，=NCAB=20。，NAQC=NABC=30。,

再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50。，通過推理證明對①②③④四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①?.FABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。得到"QC,

：.BC=B'C.故①正確；

②ZXABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°,

ΛZBΛB,=50o.

,.?ZCAB=20o,

/./87IC=ZBAB'-∕C4B=3O°.

?/NAB'C'=NABC=3O°,

.?./AB，。=ZB'AC.

.?AC∕∕C'B'.故②正確;

③在AB，中，AB=AB',ZBABf=50°,

ΛZAB'B=ZABB'=^(180°-50°)=65°.

.?.ZBB'C=ZAB'B+ZAB'C'=65o+30o=95°.

...CS與8夕不垂直.故③不正確；

④在AACC中，

AC=AC,ZCAC'=50o,

：.ZACC=?-(180°-50°)=65°.

ΛZABB'=ZACC'.故④正確.

①②④這三個(gè)結(jié)論正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，圖形的旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與

大小，還考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識.熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

15.D

【分析】過點(diǎn)E作EFLBC,交CB延長線于點(diǎn)尸，過點(diǎn)A作AGJ_BE于點(diǎn)G,根據(jù)等腰直

角三角形的性質(zhì)可得BE=2√Σ,NBED=45°,進(jìn)而得到AB=BC=逐，

EG=AG=-AE=-,BG=逑，?iIW?BEF^ΛABG,可得BF=空,EF=還,

22255

然后根據(jù)勾股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EFLBC,交CB延長線于點(diǎn)凡過點(diǎn)A作AG_LBE于點(diǎn)G,

在∕?BDE中,ZBDE=90o,DB=DE=2,

?'?BE=√BD2+DE-=2√2>ZBED=45°,

?.?點(diǎn)4在邊。石的中點(diǎn)上,

.?AD=AE=↑f

:?AB=y∣AD2+BD2=√5，

，AB=BC=非,

,.?NBED=45°,

???ZVlEG是等腰直角三角形,

/.EG=AG=-AE=-,

22

??.BG=逑，

2

???ZABC=ZF=90o,

：.EF//AB,

：.ZBEF=ZABG1

:ABEFsAABG,

FF2y[2BF_EF

BF

?殷=正，即/F=/

-ABAG￡>O---------

22

6√5

解得:BF=空,EF

5^^5-

?'?CE=yjEF2+CF2=√∏?

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的

關(guān)鍵.

16.A

【分析】通過判定AABE為等邊三角形求得N&W=60。，利用等腰三角形的性質(zhì)求得

∕E4C=30。，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱

形的性質(zhì)和含30。直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④.

【詳解】解：點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

.?.BC=2BE=2CE,

又BC=2AB,

AB=BE,

.ZABC=60o,

.?.ΔAB石是等邊三角形，

??.NBAE=ZBEA=60。,

o

:.ZEAC=ZECA=30f

:.ZBAC=∕BAE+ZEAC=90°,

即故①正確；

在平行四邊形ABCQ中，AD/∕BC,AD=BC,AO=CO,

ZCAD=ZACB1

在AAOb和ACOE中，

ZCAD=ZACB

<OA=OC,

ZAOF=ZCOE

:.AAOFACOE(ASA)9

AF=CEf

???四邊形A￡C尸是平行四邊形，

又.ABLAC,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

.*.AE=CE,

，平行四邊形AEC尸是菱形，故③正確；

.?.ACS-EF,

在RtΔ8E中，NAeE=30°,

..OE=-CE=-BC=-AD,故②正確；

244

在平行四邊形ABC。中，OA=OC,

又.點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

SgOE=;SMoC=?SMBC，故④正確；

綜上所述：正確的結(jié)論有4個(gè)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含30。

的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵.

17.D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、平行線的

判定方法可判斷B；根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)可判斷C；

利用等腰三角形的性質(zhì)和含30。角的直角三角形的性質(zhì)可判斷D.

【詳解】A.:將^ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△DEC,

：.ZBCE^ZACD=60o,CB=CE,

：?ABCE是等邊三角形,

BE=BC,故A正確；

B.Y點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn),

：.CF=BF=AF=^ACf

VZBCA=30o,

ΛBA=yAC,

J.BF=AB=AF=CFf

ΛZFCB=ZFBC=30o,

延長交CE于點(diǎn)”，則/BHE=NHBC+NBCH=900,

.?NBHE=NDEC=90。,

：.BFIIED,

λ

JAB=DE9

???5F=QE,故B正確.

C.VBF//ED,BF=DE,

：.四邊形8位不是平行四邊形，

,BC=BE=DF,

?'AB=CF9BC=DF9AC=CDf

：.?ABC^ΔCFD,

.,.ZDFC=ZABC=90o,故C正確;

D.VZACB=30o,NBCE=60。,

，ZFCG=30o,

LFG=;CG,

???CG=2FG.

TNQCE=NCOG=30。，

IDG=CG,

：.DG=2FG.故D錯(cuò)誤.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含

30。角的直角邊等于斜邊的一半，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，正確

理解旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.D

【分析】①依據(jù)題意，利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，證出ZM4C=mw,然

后證AGWHDAMASA),AM=AN,即可證出.

②當(dāng)MN最小值時(shí)，即AM為最小值，當(dāng)4"，BC時(shí)，AM值最小，利用勾股定理求出

AM=-JAB2-BM2=√22-l2=√3>即可得到MN的值.

③當(dāng)MN最小時(shí)，點(diǎn)”、N分別為BC、CZ)中點(diǎn)，利用三角形中位線定理得到AC，MN,

用勾股定理求出CE=JCN2-EM=3J爭=；,SΔCMW=1×1×√3=^,而菱形ABa)的面

積為：2×√3=2√3)即可得到答案.

④當(dāng)QMj.BC時(shí)，可證2XOCΛ∕s&3C。，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得OC?2=CM?8C,

根據(jù)等量代換，最后得到答案.

【詳解】解：如圖：在菱形ABeQ中，AB=BC=AD=CD,AClBD,OA=OC,

"：ZBAC=ZMW=60°,

.,.ZACB=ZADC=(Λo,ABC與AWC為等邊三角形，

又NM4C=NMAJV-NOW=60p-NGW,

ZDAN=ZDAC-ZCAN=60P-ΛCAN,

：.ZMAC=ZDAN9

在VC4M與二D4N中

ZCAM=NDAN

<AC=AC

ZACM=ZADN

：.∕?CAM^∕?DAN(ASA),

：.AM=AN,

即，AMN為等邊三角形，

故①正確；

?：AJBD,

當(dāng)MN最小值時(shí)，即AM為最小值，當(dāng)AM_LBC時(shí)，AM值最小，

?/AB=2,BM=-BC=?,

2

?*?AM=>JAB2-BM2=√22-l2=√3

即MN=G,

故②正確；

當(dāng)MN最小時(shí)，點(diǎn)M、N分別為5C、CQ中點(diǎn),

: