重難點突破：專題03 平行線的性質(zhì)（解析版）

專題03平行線的性質(zhì)重點平行線的性質(zhì)的探索及對性質(zhì)的理解；掌握命題、定理的概念，了解證明的意義難點平行線性質(zhì)的應(yīng)用；分清命題的組成，說出一個命題是真命題還是假命題易錯忽視兩直線平行的條件；命題改寫不正確一、平行線的性質(zhì)只有在“兩條平行線被第三條直線所截”的前提下才存在同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補的結(jié)論，這是平行線特有的性質(zhì)．【例1】如圖所示，下列推理正確的個數(shù)有（

）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】解：，，①正確；，，，②錯誤；，，③正確；由才能推出，而由不能推出，④錯誤；正確的個數(shù)有2個，故選．【例2】如圖，AB∥ED，∠CDE＝36°，∠ACD＝86°，則∠BAC的度數(shù)是（

）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】B【解析】作CF∥ED，如圖，∵CF∥ED，∴∠CDE＝∠FCD＝36°，∴∠ACF＝86°﹣36°＝50°，∵AB∥ED，CF∥ED，∴CF∥AB，∴∠BAC+∠ACF＝180°．∴∠BAC＝130°．故選：B．二、命題判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例（符合命題的題設(shè)，不滿足命題的結(jié)論）即可，而說明一個命題是真命題需要從已知出發(fā)，經(jīng)過一步步推理，最后得出正確結(jié)論．【例3】下列語句中：①同角的補角相等；②雪是白的；③畫；④他是小張嗎？⑤兩直線相交只有一個交點．其中是命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】解：“同角的補角相等”是命題，“雪是白的”是命題；“畫∠AOB=Rt∠”不是命題；“他是小張嗎？”不是命題；“兩直線相交只有一個交點”是命題．故選：C．【例4】下列命題：①若|a|>|b|，則a>b；②若a+b=0，則|a|=|b|；③等邊三角形的三個內(nèi)角都相等；④線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．以上命題的逆命題是真命題的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】解：①若|a|＞|b|，則a＞b逆命題是若a＞b，則|a|＞|b|，如果a=1，b=-3，則不成立，是假命題；②若a+b=0，則|a|=|b|逆命題是若|a|=|b|，則a+b=0，也可能a=b，是假命題；③等邊三角形的三個內(nèi)角都相等逆命題是三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形，是真命題；④線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等的逆命題是到線段兩端的距離相等的點在線段垂直平分線上，是真命題；故選C．三、定理與證明證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當然”，這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是學過的定義、基本事實、定理等．【例5】有下列描述：①過點A作直線AF//BC；②連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；④垂直于同一直線的兩條直線互相垂直.其中是定理的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解析】①是題目條件或者要求,不是定理;②是三角形中位線定義,不是定理;③是定理;④是假命題,應(yīng)該是垂直于同一直線的兩條直線互相平行.故選B.【例6】下列不是基本事實的是(

)A．兩點確定一條直線B．兩點之間線段最短C．兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等D．經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行【答案】C【解析】解：A．兩點確定一條直線，是公理，是基本事實；B．兩點之間線段最短，是公理，是基本事實；C．兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，不是公理，不是基本事實；D．經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，是公理，是基本事實．故選C．四、平行線性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用平行線的性質(zhì)描述的是“數(shù)量關(guān)系”，它的前提是兩直線平行，然后得出角相等或互補的關(guān)系，是由“位置關(guān)系”到“數(shù)量關(guān)系”；平行線的判定是以角的相等或互補為前提，推導出兩直線平行，是從“數(shù)量關(guān)系”到“位置關(guān)系”．【例7】如圖，直線m⊥直線n，直線b⊥直線n，若∠2＝110°，則∠1的度數(shù)是（

）A．60° B．65° C．70° D．50°【答案】C【解析】如圖：∵直線m⊥直線n，直線b⊥直線n，∴m∥b，∴∠1＝∠3，∵∠2＝110°，∴∠3＝180°﹣∠2＝70°，∴∠1＝70°，故選：C．【例8】如圖，AB⊥BC于點B，DC⊥BC于點C，DE平分∠ADC交BC于點E，點F為線段CD延長線上一點，∠BAF＝∠EDF，則下列結(jié)論正確的有（）①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】A【解析】解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，故①正確；②∵AB∥CD，∴∠AFD+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝∠EDF，∴∠AFD+∠EDF＝180°，∴AF∥DE，故②正確；③∵AF∥ED，∴∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠DAF＝∠F，故③正確；故選：A．一、單選題1．把命題“同角的余角相等”改寫成“如果…那么…”的形式，正確的是（

）A．如果同角，那么相等B．如果同角，那么余角相等C．如果同角的余角，那么相等D．如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等【答案】D【解析】命題“同角的余角相等”改寫成“如果…那么…”的形式為：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．故選：D．2．下列說法中，錯誤的有（

）①兩點確定一條直線；②如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行；③如果兩個角相加等于180°，那么這兩個角互余；④如果兩條直線沒有公共點，那么這兩條直線一定平行．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】解：①正確；②同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行，故錯誤；③如果兩個角相加等于180°，那么這兩個角互補，故錯誤；④同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有公共點，那么這兩條直線一定平行，故錯誤．故選：C．3．如圖，ABCD，AD⊥BD，∠1＝53°，則∠2的大小是（）A．53° B．50° C．37° D．23°【答案】C【解析】∵ABCD，∠1＝53°，∴∠BDC＝180°﹣∠1＝127°，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠2＝∠BDC﹣∠ADB＝37°．故選：C．4．如圖，已知AB∥CD∥EF，∠1＝60°，∠3＝20°，則∠2的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵ABEF，∴∠AEF=∠1，∵∠1=60°，∴∠AEF=60°，∵∠3=20°，∴∠CEF=60°-20°=40°，∵CDEF，∴∠2+∠CEF=180°，∴∠2=180°-40°=140°．故選D．5．如圖，木棒AB、CD與EF分別在G、H處用可旋轉(zhuǎn)的螺絲鉚住，，，將木棒AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)到與木棒CD平行的位置，則至少要旋轉(zhuǎn)（

）．A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【解析】解：當∠EGB＝∠EHD時，AB∥CD，∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，∴∠EGB需要變小20°，即將木棒AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)20°．故選：B．6．如圖，四邊形ABCD中，ABCD，則下列結(jié)論中成立的是（）A．∠A＋∠B＝180° B．∠B＋∠D＝180° C．∠B＋∠C＝180° D．∠A＋∠C＝180°【答案】C【解析】解：∵ABCD，∴∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°．只有選項C正確，故選：C．二、填空題7．如圖，有一塊含30°角的直角三角板，兩個頂點放在直尺的對邊上，如果，______．【答案】【解析】如圖，根據(jù)題意可知，∴，∴．故答案為：．8．如圖，已知直線，點是線段的中點，，則______．【答案】4【解析】解：，的邊上的高等于的邊上的高，點是線段的中點，，，故答案為：4．三、解答題9．如圖，∠1＝85°，∠2＝134°，∠ACD＝95°．（1）直線AB與CD平行嗎？請說明理由；（2）求∠ECD的度數(shù)．請在下面的解答過程的空格內(nèi)填空或在括號內(nèi)填寫理由．解：（1）∵∠CAE＝∠1＝85°，∴∠CAE+∠ACD＝°，∴ABCD．（2）∵∠2＝134°，∴∠AEC＝180°﹣∠2＝°∵ABCD，（已知）∴∠ECD＝∠AEC＝46°．．【答案】（1）對頂角相等；180；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；（2）46；兩直線平行，內(nèi)錯角相等【解析】解：（1）∵∠CAE＝∠1＝85°，（對頂角相等），∴∠CAE+∠ACD＝180°，∴ABCD．（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），故答案為：對頂角相等，180，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；（2）∵∠2＝134°，∴∠AEC＝180°﹣∠2＝46°，∵ABCD，（已知）∴∠ECD＝∠AEC＝46°．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），故答案為：46，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．10．填寫下面證明過程中的推理依據(jù)：已知：如圖，AB//CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．(1)∠1＝∠2嗎？請說明理由解：（1）∠1＝∠2，理由如下：∵AB//CD（），∴∠ABC＝∠BCD（）．∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），∴∠1∠（角平分線的定義），∠2∠（角平分線的定義）．∴∠1＝∠2（）．(2)BE與CF的位置關(guān)系如何？為什么？【答案】(1)已知，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，ABC，BCD，等量代換(2)BE//CF，理由見解析【解析】(1)∠1＝∠2，理由如下：∵AB∥CD（已知），∴∠ABC＝∠BCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），∴∠1∠ABC（角平分線的定義），∠2∠BCD（角平分線的定義）．∴∠1＝∠2（等量代換），故答案為：已知，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，ABC，BCD，等量代換(2)BE//CF；由（1）知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，∵∠EBC＝∠ABC﹣∠1，∠BCF＝∠BCD﹣∠2，∴∠EBC＝∠BCF，∴BE//CF．一、單選題1．下列說法正確的有（）①相等的角是對頂角；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；④兩直線被第三條直線所截，同位角相等．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【解析】解：①對頂角相等，相等的角不一定是對頂角，故①錯誤；②過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故②錯誤；③在同一個平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故③錯誤；④兩直線平行，同位角相等，故④錯誤；故選：A．2．如果∠1和∠2的兩邊分別平行，∠1比∠2的3倍少36°，則∠1的度數(shù)是（

）A．18° B．54° C．18°或54° D．18°或126°【答案】D【解析】解：設(shè)，則，∵∠1和∠2的兩邊分別平行，∴或，當時，有，解得：，此時；當時，，解得：，此時；綜上所述，∠1的度數(shù)是18°或126．故選：D3．如圖，將一個長方形紙條折成如圖所示的形狀，若∠2＝50°，則∠1的度數(shù)是（

）A．80° B．90° C．100° D．120°【答案】C【解析】如圖所示，，紙條的兩邊互相平行，，故選：C．4．將一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在一起，若AC//DE，則的度數(shù)為（

）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】C【解析】解：由題意可知，，∵∴∵∴5．直線，在上任選一點，將一直角三角板直角頂點放在處，，當，此時的大小是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：過作，則∠MGE=∠BEG，，，∴∠MGE，，，，，故選：B．6．①如圖1，ABCD，則∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A＋∠C；③如圖3，ABCD，則∠A＋∠E－∠1＝180°；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C＋∠P．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】C【解析】解：①過點E作直線，∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①錯誤；②過點E作直線，∵，∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正確；③過點E作直線，∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正確；④如圖，過點P作直線，∵，∴，∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，∴∠1＝∠C＋∠CPA，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正確．綜上所述，正確的小題有②③④．故選：C．二、填空題7．如圖，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2＋∠3＝180°．若∠1＝66°，BC平分∠ABD，則∠ACH＝______°．【答案】57【解析】解：∵BC平分∠ABD，∴∠HBC=∠DBC=，∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴BC∥DE，∴∠3+∠DBC=180°，∵∠2＋∠3＝180°，∴∠DBC=∠2，∴CH∥BD，∴∠DBA=∠1=66°，∴∠DBC=∠2=，∴∠ACH=∠ACB-∠2=90°-33°=57°．故答案為：57．8．如圖，已知m∥n，若過點P1，P2作直線m的平行線，則∠1、∠2、∠3、∠4間的數(shù)量關(guān)系是_____．【答案】∠2＋∠4＝∠1＋∠3【解析】解：分別過點P1、P2作，，∵，∴，∴∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，∴∠1＋∠P1P2D＋∠DP2B＝∠AP1C＋∠CP1P2＋∠4，即∠2＋∠4＝∠1＋∠3．故答案為：∠2＋∠4＝∠1＋∠3．三、解答題9．閱讀下列推理過程，在括號中填寫理由．(1)已知：如圖，點、分別在線段、上，//，//交于點，平分．求證：平分．證明：∵平分（已知）∴（

）∵（已知）∴（

）故（

）∵（已知）∴，（

）（

）∴（

）∴平分（

）(2)若，請直接寫出圖中所有與互余的角．【答案】(1)角平分線的定義；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；等量代換；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；等量代換；角平分線的定義；(2)和【解析】(1)平分，(已知)(角平分線的定義)，(已知)，(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)故(等量代換)，(已知)，(兩直線平行，同位角相等)，(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，(等量代換)平分.(角平分線的定義)故答案為：角平分線的定義；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；等量代