2024屆二輪復(fù)習(xí) 平面向量的概念及線性運(yùn)算 作業(yè)

第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算1.[2024云南文山州月考]已知平面向量a，b不共線，AB＝4a＋6b，BC＝－a＋3b，CD＝a＋3b，則（D）A.A，B，D三點(diǎn)共線 B.A，B，C三點(diǎn)共線C.B，C，D三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線解析BD＝BC＋CD＝6b，得不出AB＝λBD，∴AB，BD不共線，∴A，B，D三點(diǎn)不共線，A錯(cuò)誤；由已知得不出AB＝λBC，∴AB，BC不共線，∴A，B，C三點(diǎn)不共線，B錯(cuò)誤；由已知得不出BC＝λCD，∴BC，CD不共線，∴B，C，D三點(diǎn)不共線，C錯(cuò)誤；AC＝AB＋BC＝3a＋9b＝3CD，∴AC，CD共線，∴A，C，D三點(diǎn)共線，D正確.故選D.2.[2024河南濟(jì)源市第六中學(xué)月考]設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，則下列說法正確的是（C）A.若｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜，則a⊥bB.若a⊥b，則｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜C.若｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜，則存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λbD.若存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb，則｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜解析｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜成立的充要條件是向量a，b方向相反，且｜a｜＞｜b｜，易知C正確.3.如圖，P是線段OB，AB的延長(zhǎng)線所圍成的陰影區(qū)域（含邊界）內(nèi)任意一點(diǎn)，且OP＝xOA＋yOB，則（C）A.x＋y≤1 B.x＋y＜1C.x＋y≥1 D.x＋y＞1解析設(shè)OP與線段AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則OE＝λOA＋（1－λ）OB，設(shè)OP＝mOE，根據(jù)題意易知m≥1，當(dāng)且僅當(dāng)P，E重合時(shí)m＝1.所以O(shè)P＝mλOA＋m（1－λ）OB＝xOA＋yOB，所以x＝mλ，y＝m（1－λ），x＋y＝m≥1.故選C.4.已知平面向量a，b滿足｜b｜＝2，｜2a－b｜＝1，則｜a｜的取值范圍為（C）A.[32，52] B.（1，3） C.[12，32] D.（解析因?yàn)椋?a－b｜＝1，所以｜b｜－｜2a－b｜≤2｜a｜≤｜b｜＋｜2a－b｜，所以1≤2｜a｜≤3，可得｜a｜∈[12，32]5.[2023武漢市調(diào)研]在正六邊形ABCDEF中，用AC和AE表示CD，則CD＝（B）A.－23AC＋13AE B.C.－23AC＋23AE D.解析解法一如圖，記正六邊形的中心為O，連接BE，交AC于點(diǎn)G，則點(diǎn)O在BE上，G為AC的中點(diǎn)，且G為OB的中點(diǎn)，所以AG＝12AC，CD＝23GE＝23（AE－AG）＝23（AE－12AC解法二如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AE所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，則A（0，0），C（3，3），D（2，23），E（0，23），所以AC＝（3，3），AE＝（0，23），CD＝（－1，3）.設(shè)CD＝xAC＋yAE，則（－1，3）＝x（3，3）＋y（0，23）＝（3x，3x＋23y），得3x＝－1，3x+23y＝36.[2024四川資陽模擬]在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段DE上的點(diǎn)，且FC＝78AB＋14AD，則（A.FD＝2EF B.EF＝2FDC.FD＝3EF D.EF＝3FD解析解法一由四邊形ABCD是平行四邊形可知AB＝DC，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以AB＝2AE，F(xiàn)D＝FC＋CD＝78AB＋14AD＋CD＝14AD－18AB＝14AD－1解法二設(shè)FD＝λED，λ∈[0，1]，因?yàn)镋D＝AD－AE＝AD－12AB，所以FC＝FD＋DC＝λED＋AB＝λ（AD－12AB）＋AB＝（1－12λ）AB＋λAD，又FC＝78AB＋14AD，所以λ＝14，所以FD7.[2024河南信陽部分學(xué)校聯(lián)考]已知向量a＝（6，2），則與a方向相反的單位向量b的坐標(biāo)為（－31010，－1010解析解法一b＝－a｜a｜＝（－31010解法二設(shè)b＝λa＝（6λ，2λ），λ＜0，則（6λ）2＋（2λ）2＝1，得λ＝－1020，故b（－31010，－108.[2024天津四中月考]在等腰直角三角形ABC中，P是斜邊BC上一點(diǎn)，若AP＝4AB｜AB｜＋AC｜AC｜，則解析AP＝4AB｜AB｜＋AC｜AC｜＝4｜AB｜AB＋1｜AC｜AC.由題可知B，P，C三點(diǎn)共線，所以4｜AB｜＋1｜AC｜＝1.又因?yàn)椋麬B｜＝｜AC9.[多選]如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段OC與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，若AP＝λAB，OC＝μOA＋3μOB，則（AC）A.P為線段OC的中點(diǎn)時(shí)，μ＝12B.P為線段OC的中點(diǎn)時(shí)，μ＝1C.無論μ取何值，恒有λ＝3D.存在μ∈R，使λ＝1解析OP＝OA＋AP＝OA＋λAB＝OA＋λ（OB－OA）＝（1－λ）OA＋λOB，因?yàn)镺P與OC共線，所以1－λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C正確，D錯(cuò)誤；若P為OC的中點(diǎn)，則OP＝12OC，則1－λ＝12μ，λ＝12×3μ，解得μ＝10.[2023天津模擬]如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心，過點(diǎn)G的直線分別交直線AB，AC于D，E兩點(diǎn)，AB＝3mAD（m＞0），AC＝3nAE（n＞0），則m＋n＝1.解析設(shè)F為BC的中點(diǎn)，即BF＝FC，連接AF，所以AF－AB＝AC－AF，即AF＝12（AB＋AC），因?yàn)辄c(diǎn)G為△ABC的重心，所以AG＝23AF＝13AB＋13AC，因?yàn)锳B＝3mAD（m＞0），AC＝3nAE（n＞0），所以AG＝mAD＋nAE，因?yàn)镈，G，11.[2024遼寧部分學(xué)校聯(lián)考]在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，且滿足｜AD｜＝13｜AC｜，點(diǎn)Q為線段BD上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x，y滿足AQ＝xAB＋yAC，則1x＋1y的最小值為4＋2解析由題意知點(diǎn)D滿足AD＝13AC，故AQ＝xAB＋yAC＝xAB＋3yAD，由點(diǎn)Q，B，D三點(diǎn)共線可得x＋3y＝1，x＞0，y＞0，則1x＋1y＝（1x＋1y）·（x＋3y）＝4＋3yx＋xy≥4＋23，當(dāng)且僅當(dāng)3yx＝xy12.[角度創(chuàng)新]正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中，以P，T，S，R，Q為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且PTAT＝5－12.則下列關(guān)系中正確的是（A.BP－TS＝5+12RS B.CQ＋C.ES－AP＝5－12BQ