數(shù)學北師大版必修2學案1-7-1柱錐臺的側面展開與面積

§7簡單幾何體的再認識7．1柱、錐、臺的側面展開與面積知識點一側面積[填一填]1．側面積的概念把柱、錐、臺的側面沿著它們的一條側棱或母線剪開后展開在一個平面上，展開圖的面積就是它們的側面積．2．圓柱、圓錐、圓臺的側面積(1)圓柱的側面展開圖是矩形，如圖①所示，這個矩形的一邊長為母線長，另一邊長為圓柱底面圓的周長．則圓柱的側面積S圓柱側＝2πrl，其中r為圓柱的底面半徑，l為圓柱的母線長．(2)圓錐的側面展開圖是扇形，如上圖②所示，此扇形的半徑為圓錐的母線長，扇形的弧長是圓錐底面圓的周長，則圓錐的側面積S圓錐側＝πrl，其中r為圓錐底面半徑，l為圓錐的母線長．(3)圓臺的側面展開圖是一個扇環(huán)，如上圖③所示，則圓臺的側面積S圓臺側＝π(r1＋r2)l，其中r1，r2分別為圓臺的上、下底面半徑，l為圓臺的母線長．[答一答]1．求圓柱、圓錐、圓臺的側面積的關鍵是什么？提示：求圓柱、圓錐、圓臺的側面積，關鍵是在它們的軸截面中求底面半徑及母線長．知識點二直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積[填一填](1)直棱柱的側面展開圖是矩形，如圖①所示，這個矩形的一邊是直棱柱的側棱(也是高)，另一邊是直棱柱的底面周長，則直棱柱的側面積S直棱柱側＝ch，其中c是直棱柱的底面周長，h為直棱柱的高．(2)正棱錐的側面展開圖是由全等的等腰三角形拼接成的，如上圖②所示，則正棱錐的側面積S正棱錐側＝eq\f(1,2)ch′，其中c為正棱錐的底面周長，h′為斜高，即為側面等腰三角形底邊上的高．(3)正棱臺的側面展開圖是由全等的等腰梯形拼接成的，如上圖③所示，則正棱臺的側面積S正棱臺側＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′，其中c′，c分別為正棱臺的上、下底面周長，h′為斜高，即側面等腰梯形的高．[答一答]2．正棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積有何關系？提示：這三種幾何體側面積之間的關系3．如何求簡單多面體的側面積？提示：(1)關鍵：找到多面體的特征幾何圖形，如棱柱中的矩形，棱臺中的直角梯形，棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、側棱、底面邊長間的橋梁，架起了求側面積公式中未知量與條件中已知幾何元素間的橋梁．(2)策略：①正棱柱、正棱錐、正棱臺的所有側面的面積都相等，因此求側面積時，可先求一個側面的面積，然后乘以側面的個數(shù)；②解決臺體的問題，通常要補上截去的小棱錐，尋找上下底面之間的關系．1．在掌握柱體、錐體、臺體側面積公式及其推導過程的基礎上，對于一些較簡單的組合體的表面積，能夠將其分解成柱體、錐體、臺體，再進一步轉化為平面圖形(正多邊形、三角形、梯形等)，以求得其表面積．要注意對各幾何體相重疊部分的面積的處理．2．圓柱、圓錐、圓臺的側面積分別是它們側面展開圖的面積，因此弄清側面展開圖的形狀及側面展開圖中各線段與原旋轉體的關系，是掌握它們的側面積公式及解有關問題的關鍵．3．棱錐中平行于底面的截面的性質：在棱錐與平行于底面的截面所構成的小棱錐中，有如下比例關系：eq\f(S小錐底,S大錐底)＝eq\f(S小錐全,S大錐全)＝eq\f(S小錐側,S大錐側)＝對應線段(如高、斜高、底面邊長等)的平方之比．思維拓展：這個比例關系很重要，在求錐體的側面積、底面積時，會大大簡化求解過程．在求臺體的側面積、底面積的比時，將臺體補成錐體，也可應用這個關系式．類型一柱體的側面積與表面積【例1】用一張4cm×8cm的矩形硬紙卷成圓柱的側面，求圓柱的全面積．【思路探究】圓柱的側面展開圖為矩形，圓柱的母線及底面周長為側面展開圖的寬和長，利用這些關系，我們可以在圓柱的側面積和基本量之間轉化．【解】由于卷的方法不同，故有兩種情況：(1)如右圖(1)，以矩形中8cm的邊為母線，把矩形硬紙卷成圓柱側面，此時底面圓的周長為2π·OA＝4，∴OA＝r1＝eq\f(2,π)，此時兩底面的面積之和為eq\f(8,π)，S全＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(8,π)))(cm2)．(2)如上圖(2)，以矩形中4cm的邊為母線，把矩形硬紙卷成圓柱側面，此時底面圓的周長為2π·OB＝8，∴OB＝r2＝eq\f(4,π)，此時兩底面的面積之和為eq\f(32,π)，S全＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(32,π)))(cm2)．規(guī)律方法圓柱和直棱柱的側面展開圖都是矩形，解決圓柱和直棱柱的側面積問題時，只需求出相應底面周長及高，再代入側面積的計算公式即可．對于計算表面積的問題，在側面積的基礎上加上兩個底面積即可．底面是菱形的直棱柱，它的體對角線的長分別是7和15，高是5，則這個棱柱的側面積是40eq\r(14).解析：依題意，知直棱柱底面的一條對角線長為eq\r(152－52)＝10eq\r(2)，另一條對角線長為eq\r(72－52)＝eq\r(24)＝2eq\r(6).又菱形的對角線互相垂直平分，故底面邊長為eq\r(5\r(2)2＋\r(6)2)＝eq\r(56)＝2eq\r(14)，故S側＝4×2eq\r(14)×5＝40eq\r(14).類型二錐體的側面積與表面積【例2】正四棱錐底面邊長為4cm，高和斜高的夾角為30°，如圖，求正四棱錐的側面積．【解】正棱錐的高PO、斜高PE、底面邊心距OE組成Rt△POE.∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴PE＝eq\f(OE,sin30°)＝4cm.因此S棱錐側＝eq\f(1,2)ch′＝eq\f(1,2)×4×4×4＝32(cm2)．規(guī)律方法本題的關鍵是解正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的Rt△POE.已知正三棱錐的側棱長等于10cm，側面積等于144cm2，如圖，求棱錐的底面邊長和高．解：如圖，設正三棱錐S-ABC底面邊長為2a，SO為棱錐高，斜高SD在Rt△SAD中，SA＝10，AD＝a，∴SD＝eq\r(102－a2)，由S正三棱錐側＝3·eq\f(1,2)SD·AB，即144＝3aeq\r(100－a2)得a＝6或a＝8，∴AB＝12或AB＝16，此時SO＝eq\r(SD2－OD2)＝2eq\r(13)或eq\f(2\r(33),3)，∴正三棱錐的底面邊長為12cm，高為2或底面邊長為16cm，高為eq\f(2\r(33),3)cm.類型三臺體的側面積與表面積【例3】圓臺的母線長為8cm，母線與底面成60°角，軸截面兩條對角線互相垂直，求圓臺的全面積．【思路探究】依據(jù)側面積計算公式，需求出上、下底面的半徑．【解】如圖所示的是圓臺軸截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，過A1作A1H⊥AB于H，則O1O＝A1H＝A1A·sin60°＝4eq\r(3)(cm)，AH＝A1A即r2－r1＝AH＝4.①設A1B與AB1的交點為M，則A1M＝B1又∵A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.∴O1M＝O1A1＝r1.同理OM＝OA＝r∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝4eq\r(3)，②由①②可得r1＝2(eq\r(3)－1)，r2＝2(eq\r(3)＋1)．∴S全＝πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＋π(r1＋r2)l＝32(1＋eq\r(3))π(cm2)．規(guī)律方法圓柱、圓錐、圓臺的相關幾何量都集中體現(xiàn)在軸截面中，為方便起見，旋轉體的證明和計算有時不必畫立體圖形，畫出它的軸截面即可．若圓臺的上、下底面半徑和高的比為144，母線長為10，則圓臺的表面積為(C)A．81πB．100πC．168πD．169π解析：先畫軸截面，圓臺的軸截面如圖，則它的母線長l＝eq\r(h2＋r2－r12)＝eq\r(4r12＋3r12)＝5r1＝10，∴r1＝2，r2＝8，∴S側＝π(r2＋r1)l＝π×(8＋2)×10＝100π，S表＝S側＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝100π＋4π＋64π＝168π.類型四三視圖與表面積【例4】如圖所示，一個空間幾何體的主視圖、左視圖都是面積為eq\f(\r(3),2)，且一個內(nèi)角為60°的菱形，俯視圖為正方形，那么這個幾何體的表面積為()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．4 D．8【思路探究】解題關鍵是通過三視圖還原為幾何體的直觀圖．【解析】由三視圖和已知條件知8個側面是全等的等腰三角形，且底邊和斜高均為1.故表面積為eq\f(1,2)×1×1×8＝4.【答案】C如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(C)A．20π B．24πC．28π D．32π解析：該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，由三視圖可知圓柱底面圓的半徑r＝2，底面圓的周長C＝2πr＝4π，圓錐的母線長l＝eq\r(22＋2\r(3)2)＝4，圓柱的高h＝4，所以該幾何體的表面積S表＝πr2＋Ch＋eq\f(1,2)Cl＝4π＋16π＋8π＝28π.故選C.——多維探究系列——有關幾何體的表面積中的最值問題【例5】已知一個圓錐的底面半徑為R，高為H，在其中有一個高為x的內(nèi)接圓柱．(1)求圓柱的側面積；(2)x為何值時，圓柱的側面積最大？【精解詳析】(1)畫圓錐及內(nèi)接圓柱的軸截面，如圖所示，設所求圓柱的底面半徑為r，它的側面積S圓柱側＝2πr·x，∵eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，∴r＝R－eq\f(R,H)x.∴S圓柱側＝2πRx－eq\f(2πR,H)·x2.(2)因為S圓柱側的表達式中x2的系數(shù)小于零，所以這個二次函數(shù)有最大值，此時圓柱的高是x＝－eq\f(2πR,－2×\f(2πR,H))＝eq\f(H,2)>0，且x＝eq\f(H,2)<H，所以當圓柱的高是已知圓錐的高的一半時，它的側面積最大．如圖所示，三棱錐P－ABC的側棱的長度均為1，且側棱間的夾角均為40°，動點M在棱PB上移動，動點N在棱PC上移動，求AM＋MN＋NA的最小值．解：三棱錐P－ABC的展開圖如圖所示，則AM＋MN＋NA＝AN＋MN＋A1M，又∵AN＋MN＋A1M≥AA∴當A，M，N三點共線時，取到最小值．在圖中，∵∠A1PB＝∠BPC＝∠CPA＝40°，∴∠APA1＝120°.在△APA1中，AA1＝eq\r(3)，∴AM＋MN＋NA的最小值為eq\r(3).一、選擇題1．已知一個三棱錐的每一個面都是邊長為1的正三角形，則此三棱錐的表面積為(D)A．4 B.eq\f(\r(3),4)C．2eq\r(3) D.eq\r(3)解析：三棱錐的每個面(正三角形)的面積都為eq\f(\r(3),4)，所以此三棱錐的表面積為4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).2．若圓錐的主視圖是正三角形，則它的側面積是底面積的(C)A.eq\r(2)倍 B．3倍C．2倍 D．5倍解析：設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則由題意知，l＝2r，于是S側＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.所以eq\f(S側,S底)＝2.3．一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比是(A)A.eq\f(1＋2π,2π) B.eq\f(1＋2π,4π)C.eq\f(1＋2π,π) D.eq\f(1＋4π,2π)解析：設底面圓半徑為r，母線即高為h，∴h＝2πr，∴eq\f(S全,S側)＝eq\f(2πr2＋2πrh,2πrh)＝eq\f(r＋h,h)＝eq\f(r＋2πr,2πr)＝eq\f(1＋2π,2π).二、填空題4．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是92.解析：本題考查了三視圖及正四棱柱的表面積．該幾何體是底面是直角梯形，高為4的直四棱柱，幾何體的表面積是：S＝2×eq\f(1,2)×(2＋5)×4＋(2＋5＋4＋eq\r(42＋5－22))×4＝92.5．長方體的高為h，底面面積是M，過不相鄰兩側棱的截面面積是N，則長方體的側面積是2eq\r(N2＋2Mh2).解析：設長方體的長和寬分別為a，b，則有a·b＝M，eq\r(a2＋b2)·h＝N，2(a＋b)h＝2eq\r(a＋b2)·h＝2eq\r(\f(N2,h2)＋2M)·h＝2eq\r(N2＋2Mh2).三、解答題6．如圖所示，在邊長為8的正三角形ABC中，E，F(xiàn)依次是AB，AC的中點，AD⊥BC，EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，D，H，G為垂足，若將△ABC繞AD旋轉180°，求陰影部分形成的幾何體的表面積與體積．解：旋轉后幾何體是一個圓錐，從里面挖去一個圓柱，因為△ABC為邊長為8的正三角形，所以BD＝4，AD＝4eq\r(3)，△EBH中，∠B＝60°，EB＝4，BH＝HD＝DG＝2，EH＝2eq\r(3