廣東佛山一中2023年高二年級上冊第一次質量檢測數(shù)學試題含答案

佛山一中2023-2024學年第一學期

高二級第一次教學質量檢測試題數(shù)學

2023年10月

本試卷共22小題，滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，考生務必用黑色筆跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號填寫在答題卷上。

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，

用橡皮擦干凈石，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字

筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內相應位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后

再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。

3.作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題組號對應的信息點，再作答。漏涂、錯涂、

多涂的，答案無效。

一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知兩個向量加=（-2,m,2）,若?！˙,則m的值為（）

A.4B.-2C.2D.4

2.若｛Z,b,2｝是空間的一個基底，則也可以作為該空間基底的是（）

A.bc,b,-b—cB.a,a+b,a-b

C.a+b,a—b,cD.a+b,a+b+c,c

3.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學難題之一，其內容是：一個大于2:的偶數(shù)都可以

寫成兩個質數(shù)（也稱為素數(shù)，是一個大于1的自然數(shù)，除了1和它自身之外，不能被其

它自然數(shù)整除的數(shù)叫做質數(shù)）之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學家

哥德巴赫提出的，我國數(shù)學家潘承洞、王元、陳景潤等曾在哥德巴赫猜想的證明中做

出過相當好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和，則加數(shù)全部為質數(shù)的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

34-26

4.已知直線國x+y—2=0,則（）

A.直線2的傾斜角為?B.直線/的斜率為舊

C.直線，的一個法向量為元=（1，8），D.直線2的一個方向向量為訝=（一百，3）

5.已知平行六面體ABCD-ABCD中，AB=4,AD=3,AA'=5,ZBAD=90°,^BAA'=

^DAA'=60。.則AC'的長為（）

A.^85B.V9,C.120.2回

6.在空間直角坐標系中，點A（l,2,3）關于y軸的對稱點為點B,則點C（3,0,l）到直線AB?的

距離為（）

45.—C.—D.6

55

7.二面角的棱上有A,B兩點，直線AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且

都垂直于AB,已知AB=2,AC=3,BD=4,CD=內,則該二面角的大小為（）

A.45°B.60°C.120°D.150°.

8.《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉膈.如圖，在鱉埼

A-BCD中,AB，面BCD,.AB=CD=1,BC=V2.BD=b，則下列選項中，不正確的是

A.平面ABCJ_平面ACDyK

B.二面角D-AB-C的余弦值為

C.AD與平面BCD所成角為30°

D.三棱錐A-BCD外接球的表面積為兀...二

二、多選題（本大題共4小題，共20分。在每小題有多項符合題目要求）

9：下列關于空間向量的命題中，正確的有（）

A,直線Z的方向向量江=（0.3,0）,平面a的法向量是G=（0,-5,0）,則l//a;

B.若五,b,c是空間的一組基底,則向量益++a也是空間一組基底；

C.若非零向量2b,濟茜足aLb,bld則有d〃演

D.若函函沆是空間的一組基底，且彷=巳而+，礪苑則A,B,C,D四點共面.

10.甲、乙兩隊進行排球比賽，采取五局三勝制（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，

比賽結束）.根據(jù)前期比賽成績可知在每一局比賽中，甲隊獲勝的概率為：，乙隊獲勝的

概率為9.若前兩局中乙隊以2：0領先，則（）

A.甲隊獲勝的概率為白B.乙隊以3：0獲勝的既米為:

273

C.乙隊以3：1獲勝的概率為：D.乙隊以3：2獲勝的概率為±

99

11.如圖,在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BBi=2,則（）

A.三棱錐B-ABC的體積為學B.三棱錐B-ABG的體積為2K

C.點C到直線ABi的距離為當D.點C到直線ABi的距離為.V14

第II婷明第12跳圖第15題圖

12.如圖，己知正方體ABCD-ABiGDi的棱長為2,P為空間中一點，壽=xAA+yAB+

z而，則()

A.當％=z=；,y=0時，異面直線BP與CiD所成角的余弦值為

26

B.當x=y=l,ze[O,l]時,三棱錐A-PBC的體積為

C.當％=±y=l,ze[0，1]時；有且僅有一個點P,使得AC_L平面ABF

D.當y=O,x=ze[O,l]時，異面直線BP和CQ所成角的取值范圍是外

三、填空題(本大題共4小題，共20分)

13.已知空間向量2=(1,-2,3),則向量d在坐標平面xOy上的投影向量是.

14.傾斜角是135°,在y軸上的截距是3的直線的一般方程為.

15.如圖，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M,N分別為BC、

AD的中點，則直線AM和CN夾角的余弦值為.

16.晶體結構中有一類為菱方晶系，菱方晶系是指從一個頂點出發(fā)等長且互相所成角兩

兩相等的線段形成的平行六面體，如圖所示.若一種金n__________

屬的菱方晶系結構a=60。，為研究此金屬的性質，需加彳尸，?

計算出側棱AAi與底面ABCD的所成角的余弦值，則////

此余弦值為_.,存,

?■■

四、解答題(本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10分)已知空間三點A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1).

⑴求向量屈與方的夾角；

⑵若(荏-kAC)L(AB+左左),求實數(shù)k的值a

18.(本小題12分)已知平面內兩點A(8,-6),B(2,2).

(1)求過P(2,-3)點且與直線AB平行的直線/的方程;

(2)求線段AB的垂直平分線的方程.

19.(本小題12分)數(shù)學核心素養(yǎng)是指在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的關于

數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)

度與價值觀的綜合體現(xiàn).數(shù)學核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、

數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析六個方面.某學校高一、高二、高三學生分別有720,1080,1200

人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該學校上述學生中抽取250人調查學生數(shù)學核心素養(yǎng)的

發(fā)展情況.

(I)應從高一、高二、高三學生中分別抽取多少人？

(II)抽取的250人中，核心素養(yǎng)六個方面中至少兩項不達標的學生有6人，分別記為A,

B,C,D,E,F.具體情況如下表，其中“?！北硎具_標，“入”表示不達標.現(xiàn)從這6人中

隨機抽取2人接受采訪.

數(shù)學核心素養(yǎng)ABCDEF

數(shù)學抽象XXOXOX

直觀想象OOXOXX

邏輯推理OOOXOO

數(shù)學運算XXOOXX

數(shù)學建模OOXOOO

數(shù)據(jù)分析XXOOOX

(1)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；

(2)設M為事件“抽取的2人不達標的項目中至少有一項相同：，求發(fā)發(fā)生的概率20(本小

題12分).如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面ABC,面BCDE,ZCDE=ZBED=90°,

AB=CD=2,DE=BE=1,AC=V2.

(1)證明：AC,平面BCDE;/A

(2)求點D到平面ABE的距離.〃]

D

21.(本小題12分)如圖所示，四邊形ABCD是直角梯形，NABC=NBAD=9()o,SA，平

面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.

(1)求SC與平面ASD所成角的正弦值；

(2)求平面SAB和平面SCD所成角的余弦值..

22.(本小題12分)已知三棱柱AIBCLABC中,/B=4C=&,BC==2,點M為CG

的中點，麗=2麗

⑴求證:AC〃平面BMN;

(2)條件①：直線ABi與平面BBCC所成的角為30。,條件

②：NBiBC為銳角，三棱錐Bi-ABC的體積為￥

在以上兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，

并解決該問題：

若平面ABC,平面BBCC,，求平面BMN與平面BBiC.C所成的銳二面角的余

弦值.(注：在橫線上填上所選條件的序號，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答

計分.)

佛山一中2023-2024學年第一學期高二級第一次質量檢測試題

答案

123456789101112

DCADACBDBDABACABD

13.(1.-20114x+v-3=015.-16.”

33

8.【答案】。解：對于47IBLT面OCD,8Cu平面8CD,8Du平面BCD,

所以4818C,4B1BD,可得4c=VA8?.+CB?=C，AD=yjAB2+BD2=2.

則有4C2+C。2=4D2,...4c，cD.?.?4B_L平面BCD,CZ?u平面BCO,..4E1CD,

又48cAe=4,48,4。<3平面48乙；.。。1平面/8a又CDu平面4CD,

:.平面48CJL平面4C。，故彳正確：

對于8,F8，平面BCD,8Cu平面BCD,BDc^BCD,^.ABLBD,AB±CB,

.,?/。8。就是二面角0-48—。的平面角，又??AB=CO=1,fiC=<2.5D=<3.

ABC2+CD2=BD2,???BCLCD,在直角三角形BCD中，cosMBD=^=半=與故6正確;

對于C.平面8CD,???4。與平面BCD所成角為UDB,

在直角三角形48。中，48=1,BD=6,所必。=2,所以々4DE=3(T,故C正確；

對于O,取>4。的中點為^1MA=MB=MC=MD=1.、

所以三棱電4-BCD外接球的半徑為1,其表面積S=4M?2=4”，故。錯誤.

故選。.

12.I答案】ABD【解答】解：對于4連接8a.AD,.

I、

因為方=￡i。夕方+z萬，所以當x=z=；,y=0時，P為4D；的中點,

.2

而4BCD-44GA是棱長為2的正方體，因此連接40，則一是4。的中點?

取4G的中點。連接HZBO.BtD,.則。也是qA的中點.如圖：

則產(chǎn)O//CQ,所以NJP?；蚱溲a角即異面直線而與G。所成的角.

因為在正方體488—444A中，6耳平面44GA,4"匚平面

44G0，所以BB'LBPi，因此(何=加,同理可得：

BP=y/6,而PO=：GD=五,所以cosZBPO=IP。

2，~BP=~6'即異面直線勿與G。所成

高二口重一次質■檢泅試顧教學堂超答卷WlW#?<JT

角的余弦值為且，故ZI正確；

6

對于8.因為萬=*五，+y布+z石，且是正方體,所以當x=y=i,

ZW[OJ時，

AP-AAt+AB+zAD=AB]+zAD,即4，=z/D(ze[0J]),

因此用一Z后一Z屬1Qg。4]),所以點，的軌跡為線段AG，即點八在線段片G上(包括

端點)，因此/_；>.=§446”“：U2x]x22=：,故8正確；

對于C.因為方=x7彳+3,方+Z而，且4BCD-4BCR是正方體,所以當x=g,y=\,

zw[O,l]時,萬=4五+而+z否(zw[O,l]),如圖：取BB、、CG的中點分別為EF.則

2

AP——AAy+AB+zAD(zG[0,1])=AE+zAD{zG[0,1]),-----------

因此而=2而=2麗(ZW[0JD，所以點"在線段爐上(包B\f：\\'

括端點).在正方體數(shù)CD-4sleQ中，#13；'卜'、、

因為彳4J.平面4耳GA，BRU平面4B￡D-所以,

例_L4A，而耳〃JL4G，"c4G=4,4,4G<="c,

平面小G。，因此耳&J■平面44GC,而4。u平面MG。，所以與〃_L4C

同理可得4R_L4C.因為c4A=D\,AD,.qRu平面/片烏,所以J.平面4耳R.

因此若存在點自，使得4CJ■平面彳片尸，則平面/用尸與平面重合.

顯然當點。在線段爐上時，平面/男尸與平面4BR不重合，

所以存在點只使得4CJ■平面4S『不成立，故C錯誤；

對于。.因為方=xAA,+yAB+zAD,且ABCD-4耳GA是正方體.

所以當y=0,x=ze[0,l]時，

=x(AA^+AD)=xAD,(x€[0,1]).，申^----------才

因此點。的軌跡為線段，即點戶在線段應上(包括端點).二、F/

以4為坐標原點，4耳，44，4/所在直線分別為％y,Z軸，/''LV

，人-—-----/

建立空間直角坐標系如下圖：.///

高二級第一次質置檢測試理數(shù)學學科答案第2頁共8頁

則

8(2to,2),C,(2,2,0),D(0.2,2),D,(0,2,0),/(0.0,2),

因此殺=(-2,0,2),=(0.2,-2),麗=(2,0,0).

因為而==(0,2A,-2JC)(XW[0,1])，

所以麗=（-2?2XL2X）（X40,1］）.設異面直線8"和GO所成角為夕｛0,1），

則8s”|cos<m/卡昌瑞=應聚2?

因為XG［OJ,所以當x=l,即點。與R重合時，cos^=—,因此e=9

,22

.8s8=--=====

當xw[0,i)時,令r=i-X,則0</41,因此q.Ji+2(1—)2

'3、

因為由對勾函數(shù)的圖象知：函數(shù)，=2/+：-4=2t+j-4（，e（0』）是減函數(shù),

3

-

+2

所以函數(shù)y=〃+3-4=27-4（/w（05）的值域為［1,加）

因此°<Z+3-J所以°<cos小孝’因此9"會

綜上所述，異面直線分和G?所成角的取值范圍是中守,故。正確,故選：ABD.

16.解：如圖所不：

國1作41。1平面4BCD,AiElAD.AiFl.AB,連接

OE,OF,OA.則"ME=^AtAF=AEAF=a=60',

"M。為側棱與底面48CD所成的角，

因為4。，平面ABCD,所以乙01AE,又

40n4iE=&,所以4EJ■平面&E0,貝!!4E'J.E。，

同理入尸。，因為尸，所以

51Rt/41AEwRt，414

4iE=4A則Rt4410E三Rta4］。尸，所以。E=0尸，則點。在/D4B的角平分線上，所以

==

Z.EAOf30",設=m,則=AtA?CQsa=1m?所以cos4遇。=

器=.苧，故答案：建

/

17解：⑴由已知得：/1B=(O,3,3),衣=(一1,1,0),2分

ABAC0x(-l)+3xl+3x0

cos<AB,AC>=

I祠碼-Vo+3J+3fjr+l+O；：2'4分

又向量夾角范圍是[0,”],所以向量方與AC的夾角為60；....................5分

(2)在-kAC=(k3-k,3),AB+kAC=(-k,3+〃；3),.

(AB-kAC)1(AB+kAC).：.(AB-kAC)-(AB+kAC)=0..................8分

二kx(-k)+(3-K)x(3+Z:)+3x3=0,解得k=3或k=-3.

二實數(shù)4的值是3或-3.：....................10分

、,-6-24

18.解：0)：號,=萬==一二，

4

過尸(Z—3)點且與直線48平行的直線/的斜率為......................3分

3

4

其方程為：J+3=--(X-2),化為4x+3y+l=0....................6分

(2)線段48的中點為(等，二^2),即(5,-2),..................8分

22

3

???線段AB的垂直平分線直線的斜率卜=二、.....：?...........10分

4

3

的垂直平分線直線方程為y+2=：(x-5),化為3x-4y-23=0;...........12分

4

19.解：(I)由已知，高一、高二、高三學生人數(shù)之比為6:9:10,...........2分

由于采取分層抽樣的方法從中抽取250位學生，

因此應從高一、高二、高三學生中分別抽取60人，90人，100人；............4分

(nXD從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結果為

{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F}\{B,C},{B,D},{B,E},{B,F}.{C.D},{C.E}.

{C,F},{D,E},{D,F},{E.F}共15種；............8分

(2)由表格知，符合題意的所有可能結果為{48},,{40,{4身，{4產(chǎn)},

/{B,F},{C,E},{C,F},尸},{瓦用共11種，..........TO分

所以，事件〃發(fā)生的概率尸(M)=￡.……:........12分

20.(I)取CO中點G,連結BG.'：NCDE=ZBED=90°,：.BE//CD.

又8=2,BE=I,'：BE±DG,二四邊形DE3G為矩形，..........2分

：.BG=DE=\,ZBGC=90°,XGC=-CD=1.:.BC=&.又/C=及，AB=2,二彳*=

2

4O+BC2,即/C_18c......................4分

又二?平面XBCJ■平面BCDE且交線為BC,

ZCu平面Z5C,二/CJ?平面BC0E................-??…6分

(2)以。為原點，DE、OC分別為x軸、y軸,過。作垂直的

平面的直線，為z軸，建立空間直角坐標系如圖.

則D(0,0,0),C(0,2,0),^(0,2,72).5(1,1,0),￡(1,0,0^

，.豆=(-120),麗=(0,1,0),麗=(1,0,0)：……8分

設平面彳BE的法向址為n=(x,y,z),則

n-￡A=0.—x+2y+y/2z=0

,一一??<

n.EB=01/=0

令z=l得〃=(嫄,0,1)......................10分

Y_

設。到平面/BE的距離為，則"二匚^二》:二?.............12分

〃63「

21.解：⑴如圖建系，5(0,0,2),C(2,Z0),D(l,0,0),

SC=(2,2,-2)..................2分

???ZB_L平面SAD,故平面ASD的一個法向?為

施=(0,2,0),..................4分

設SC與平面4S。所成的角為心則sin，=焉鬻=乎，

I

即SC與平面4SZ?所成角的正弦值為手；.....................6分

(2)平面的一個法向■為：而=(L。,。)，

vSC=(2,2,-2),SD=(l,0,-2)......................8分

設平面SCD的f法向玨為n=(x,j,z),

高二級第一次質量檢測試短數(shù)學學科答案第5頁共8頁

SCn=Opx+y-z=O

由《一.得

SDn=Ox-2z=0

令z=1可得平面SCD的一個法向量為n=(2,-1,1),.....................10分

顯然，平面陽8和平面SCO所成角為銳角，設為a.

貝I]cosa=1"-=,

|m||n|3

即平面第8和平面SCO所成角的余弦值為理

12分

3

22(1)證明：如圖：延長8A/交彳4于e連接PM.

,因為幾何體44G-ABC是三棱柱,

所以四邊形/4耳3是平行四邊形，而4N=2Mf,

APAN

m因i此l==.

心NBt2,

即颯所以「是的中點.又因為點〃為CG的中點，四邊形小是平行

22.??

四邊形,2分

所以以，二嶼，因此四邊形尸4GM是平行四邊形，所以4G//PM.

又因為4GC平面8%V,PMu平面8MM所以4G〃平面3MN.4分

(2)解：選擇條件①，解答過程如下:

取8c的中點。連接49、BQ.因為4B=4C=&，BC=BBr2,

所以AB2+AC2=BC2,因此4ABe是以8c為斜邊的等腰直角三角形.

所以4O_L3C且O/=0=OC=L

又因為平面4JCJL平面3qCQ,兩個平面交于直線夕CAO±BCtdOu平面48C

所以40J_平面B4G。，因此4B0為直線與平面所成的角，所以440=301

因為ZOJ■平面AB。。，又&Ou平面,所以,

在RtA/4。中，因為04=1,勿0=30,所以BQ=百.......................6分

又因為80=1,BQ=芯,BBt=2,

所以BO+BO=B耳,因此80JLBQ.以。為坐標原點，以麗、西、分別為*軸、y軸、

z軸正方向，建立空間直角坐標系如下：''

高二級第一次質量檢測試題數(shù)學學科答案第6頁夬8頁

則｛(0,0,1),8(1,0,0),C(-l,0.0).B,(o.Ao).

所以尸M=/6=(-1,O,-l),比=(-2,0,0).

西=(-1,6,0)

麗=前+兩=前+；西

=(-2,0,0)+與=V奈。).......8分

設平面8MN的法向量為所=(玉,必,馬)，

貝”一，即，