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文檔簡介
浙江省湖州市名校2024年中考數(shù)學(xué)對點突破模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.某體育用品商店一天中賣出某種品牌的運動鞋15雙,其中各種尺碼的鞋的銷售量如表所示:鞋的尺碼/cm2323.52424.525銷售量/雙13362則這15雙鞋的尺碼組成的一組數(shù)據(jù)中,眾數(shù)和中位數(shù)分別為()A.24.5,24.5 B.24.5,24 C.24,24 D.23.5,242.如圖,點A、B、C、D在⊙O上,∠AOC=120°,點B是弧AC的中點,則∠D的度數(shù)是()A.60° B.35° C.30.5° D.30°3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù))中的x與y的部分對應(yīng)值如表所示:x-1013y33下列結(jié)論:(1)abc<0(2)當(dāng)x>1時,y的值隨x值的增大而減?。唬?)16a+4b+c<0(4)x=3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一個根;其中正確的個數(shù)為()A.4個 B.3個 C.2個 D.1個4.下列計算正確的是()A. B.0.00002=2×105C. D.5.若正六邊形的邊長為6,則其外接圓半徑為()A.3 B.3 C.3 D.66.如圖,經(jīng)過測量,C地在A地北偏東46°方向上,同時C地在B地北偏西63°方向上,則∠C的度數(shù)為()A.99° B.109° C.119° D.129°7.如圖,已知△ABC,AB=AC,將△ABC沿邊BC翻轉(zhuǎn),得到的△DBC與原△ABC拼成四邊形ABDC,則能直接判定四邊形ABDC是菱形的依據(jù)是()A.四條邊相等的四邊形是菱形 B.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形8.據(jù)相關(guān)報道,開展精準扶貧工作五年以來,我國約有55000000人擺脫貧困,將55000000用科學(xué)記數(shù)法表示是()A.55×106 B.0.55×108 C.5.5×106 D.5.5×1079.的值是A. B. C. D.10.如圖,電線桿CD的高度為h,兩根拉線AC與BC互相垂直(A、D、B在同一條直線上),設(shè)∠CAB=α,那么拉線BC的長度為()A. B. C. D.11.黃河是中華民族的象征,被譽為母親河,黃河壺口瀑布位于我省吉縣城西45千米處,是黃河上最具氣勢的自然景觀.其落差約30米,年平均流量1010立方米/秒.若以小時作時間單位,則其年平均流量可用科學(xué)記數(shù)法表示為()A.6.06×104立方米/時 B.3.136×106立方米/時C.3.636×106立方米/時 D.36.36×105立方米/時12.如圖,已知△ABC,△DCE,△FEG,△HGI是4個全等的等腰三角形,底邊BC,CE,EG,GI在同一直線上,且AB=2,BC=1.連接AI,交FG于點Q,則QI=()A.1 B. C. D.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13.如圖,已知AB∥CD,若,則=_____.14.如圖,C為半圓內(nèi)一點,O為圓心,直徑AB長為1cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,將△BOC繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′,點C′在OA上,則邊BC掃過區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為_________cm1.15.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,點E在DC上,將矩形ABCD沿AE折疊,點D恰好落在BC邊上的點F處,那么cos∠EFC的值是.16.某商品原售價為100元,經(jīng)連續(xù)兩次漲價后售價為121元,設(shè)平均每次漲價的百分率為x,則依題意所列的方程是_____________.17.分解因式:__________.18.如果當(dāng)a≠0,b≠0,且a≠b時,將直線y=ax+b和直線y=bx+a稱為一對“對偶直線”,把它們的公共點稱為該對“對偶直線”的“對偶點”,那么請寫出“對偶點”為(1,4)的一對“對偶直線”:______.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)某市為了解市民對已閉幕的某一博覽會的總體印象,利用最新引進的“計算機輔助電話訪問系統(tǒng)”(簡稱CATI系統(tǒng)),采取電腦隨機抽樣的方式,對本市年齡在16~65歲之間的居民,進行了400個電話抽樣調(diào)查.并根據(jù)每個年齡段的抽查人數(shù)和該年齡段對博覽會總體印象感到滿意的人數(shù)繪制了下面的圖(1)和圖(1)(部分)根據(jù)上圖提供的信息回答下列問題:(1)被抽查的居民中,人數(shù)最多的年齡段是歲;(1)已知被抽查的400人中有83%的人對博覽會總體印象感到滿意,請你求出31~40歲年齡段的滿意人數(shù),并補全圖1.注:某年齡段的滿意率=該年齡段滿意人數(shù)÷該年齡段被抽查人數(shù)×100%.20.(6分)某學(xué)校為弘揚中國傳統(tǒng)詩詞文化,在九年級隨機抽查了若干名學(xué)生進行測試,然后把測試結(jié)果分為4個等級;A、B、C、D,對應(yīng)的成績分別是9分、8分、7分、6分,并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成兩幅如圖所示的統(tǒng)計圖.請結(jié)合圖中的信息解答下列問題:(1)本次抽查測試的學(xué)生人數(shù)為,圖①中的a的值為;(2)求統(tǒng)計所抽查測試學(xué)生成績數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù).21.(6分)某市旅游部門統(tǒng)計了今年“五?一”放假期間該市A、B、C、D四個旅游景區(qū)的旅游人數(shù),并繪制出如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,根據(jù)圖中的信息解答下列問題:(1)求今年“五?一”放假期間該市這四個景點共接待游客的總?cè)藬?shù);(2)扇形統(tǒng)計圖中景點A所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是多少,請直接補全條形統(tǒng)計圖;(3)根據(jù)預(yù)測,明年“五?一”放假期間將有90萬游客選擇到該市的這四個景點旅游,請你估計有多少人會選擇去景點D旅游?22.(8分)城市小區(qū)生活垃圾分為:餐廚垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四種不同的類型.(1)甲投放了一袋垃圾,恰好是餐廚垃圾的概率是;(2)甲、乙分別投放了一袋垃圾,求恰好是同一類型垃圾的概率.23.(8分)如圖,在平面直角坐標系中,直線經(jīng)過點和,雙曲線經(jīng)過點B.(1)求直線和雙曲線的函數(shù)表達式;(2)點C從點A出發(fā),沿過點A與y軸平行的直線向下運動,速度為每秒1個單位長度,點C的運動時間為t(0<t<12),連接BC,作BD⊥BC交x軸于點D,連接CD,①當(dāng)點C在雙曲線上時,求t的值;②在0<t<6范圍內(nèi),∠BCD的大小如果發(fā)生變化,求tan∠BCD的變化范圍;如果不發(fā)生變化,求tan∠BCD的值;③當(dāng)時,請直接寫出t的值.24.(10分)如圖1,四邊形ABCD,邊AD、BC的垂直平分線相交于點O.連接OA、OB、OC、OD.OE是邊CD的中線,且∠AOB+∠COD=180°(1)如圖2,當(dāng)△ABO是等邊三角形時,求證:OE=AB;(2)如圖3,當(dāng)△ABO是直角三角形時,且∠AOB=90°,求證:OE=AB;(3)如圖4,當(dāng)△ABO是任意三角形時,設(shè)∠OAD=α,∠OBC=β,①試探究α、β之間存在的數(shù)量關(guān)系?②結(jié)論“OE=AB”還成立嗎?若成立,請你證明;若不成立,請說明理由.25.(10分)某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)興趣小組想測量建筑物AB的高度他們在C處仰望建筑物頂端A處,測得仰角為,再往建筑物的方向前進6米到達D處,測得仰角為,求建筑物的高度測角器的高度忽略不計,結(jié)果精確到米,,26.(12分)我市為創(chuàng)建全國文明城市,志愿者對某路段的非機動車逆行情況進行了10天的調(diào)查,將所得數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計圖(圖2不完整):請根據(jù)所給信息,解答下列問題:(1)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是,眾數(shù)是;(2)請把圖2中的頻數(shù)直方圖補充完整;(溫馨提示:請畫在答題卷相對應(yīng)的圖上)(3)通過“小手拉大手”活動后,非機動車逆向行駛次數(shù)明顯減少,經(jīng)過這一路段的再次調(diào)查發(fā)現(xiàn),平均每天的非機動車逆向行駛次數(shù)比第一次調(diào)查時減少了4次,活動后,這一路段平均每天還出現(xiàn)多少次非機動車逆向行駛情況?27.(12分)由甲、乙兩個工程隊承包某校校園的綠化工程,甲、乙兩隊單獨完成這項工作所需的時間比是3∶2,兩隊共同施工6天可以完成.(1)求兩隊單獨完成此項工程各需多少天?(2)此項工程由甲、乙兩隊共同施工6天完成任務(wù)后,學(xué)校付給他們4000元報酬,若按各自完成的工程量分配這筆錢,問甲、乙兩隊各應(yīng)得到多少元?
參考答案一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1、A【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義進行求解即可得.【詳解】這組數(shù)據(jù)中,24.5出現(xiàn)了6次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以眾數(shù)為24.5,這組數(shù)據(jù)一共有15個數(shù),按從小到大排序后第8個數(shù)是24.5,所以中位數(shù)為24.5,故選A.【點睛】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù),熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)的定義以及求解方法是解題的關(guān)鍵.2、D【解析】
根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到∠AOB=∠AOC,再根據(jù)圓周角定理即可解答.【詳解】連接OB,∵點B是弧的中點,∴∠AOB=∠AOC=60°,由圓周角定理得,∠D=∠AOB=30°,故選D.【點睛】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理,解題關(guān)鍵在于利用好圓周角定理.3、B【解析】
(1)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式為y=-x2+x+3,即可判定正確;(2)求得對稱軸,即可判定此結(jié)論錯誤;(3)由當(dāng)x=4和x=-1時對應(yīng)的函數(shù)值相同,即可判定結(jié)論正確;(4)當(dāng)x=3時,二次函數(shù)y=ax2+bx+c=3,即可判定正確.【詳解】(1)∵x=-1時y=-,x=0時,y=3,x=1時,y=,∴,解得∴abc<0,故正確;(2)∵y=-x2+x+3,∴對稱軸為直線x=-=,所以,當(dāng)x>時,y的值隨x值的增大而減小,故錯誤;(3)∵對稱軸為直線x=,∴當(dāng)x=4和x=-1時對應(yīng)的函數(shù)值相同,∴16a+4b+c<0,故正確;(4)當(dāng)x=3時,二次函數(shù)y=ax2+bx+c=3,∴x=3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一個根,故正確;綜上所述,結(jié)論正確的是(1)(3)(4).故選:B.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的增減性,二次函數(shù)與不等式,根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.4、D【解析】
在完成此類化簡題時,應(yīng)先將分子、分母中能夠分解因式的部分進行分解因式.有些需要先提取公因式,而有些則需要運用公式法進行分解因式.通過分解因式,把分子分母中能夠分解因式的部分,分解成乘積的形式,然后找到其中的公因式約去.【詳解】解:A、原式=;故本選項錯誤;B、原式=2×10-5;故本選項錯誤;C、原式=;故本選項錯誤;D、原式=;故本選項正確;故選:D.【點睛】分式的乘除混合運算一般是統(tǒng)一為乘法運算,如果有乘方,還應(yīng)根據(jù)分式乘方法則先乘方,即把分子、分母分別乘方,然后再進行乘除運算.同樣要注意的地方有:一是要確定好結(jié)果的符號;二是運算順序不能顛倒.5、D【解析】
連接正六邊形的中心和各頂點,得到六個全等的正三角形,于是可知正六邊形的邊長等于正三角形的邊長,為正六邊形的外接圓半徑.【詳解】如圖為正六邊形的外接圓,ABCDEF是正六邊形,∴∠AOF=10°,∵OA=OF,∴△AOF是等邊三角形,∴OA=AF=1.所以正六邊形的外接圓半徑等于邊長,即其外接圓半徑為1.故選D.【點睛】本題考查了正六邊形的外接圓的知識,解題的關(guān)鍵是畫出圖形,找出線段之間的關(guān)系.6、B【解析】
方向角是從正北或正南方向到目標方向所形成的小于90°的角,根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ACF與∠BCF的度數(shù),∠ACF與∠BCF的和即為∠C的度數(shù).【詳解】解:由題意作圖如下∠DAC=46°,∠CBE=63°,由平行線的性質(zhì)可得∠ACF=∠DAC=46°,∠BCF=∠CBE=63°,∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=46°+63°=109°,故選B.【點睛】本題考查了方位角和平行線的性質(zhì),熟練掌握方位角的概念和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7、A【解析】
根據(jù)翻折得出AB=BD,AC=CD,推出AB=BD=CD=AC,根據(jù)菱形的判定推出即可.【詳解】∵
將
△ABC
延底邊
BC
翻折得到
△DBC
,∴AB=BD
,
AC=CD
,∵AB=AC
,∴AB=BD=CD=AC
,∴
四邊形
ABDC
是菱形;故選A.【點睛】本題考查了菱形的判定方法:四邊都相等的四邊形是菱形;對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.8、D【解析】試題解析:55000000=5.5×107,故選D.考點:科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)9、D【解析】
根據(jù)特殊角三角函數(shù)值,可得答案.【詳解】解:,故選:D.【點睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值,熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.10、B【解析】根據(jù)垂直的定義和同角的余角相等,可由∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,可求得∠CAD=∠BCD,然后在Rt△BCD中cos∠BCD=,可得BC=.故選B.點睛:本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用,熟練掌握同角的余角相等和三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.11、C【解析】
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時,n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時,n是負數(shù).【詳解】1010×360×24=3.636×106立方米/時,故選C.【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.12、D【解析】解:∵△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形,∴HI=AB=2,GI=BC=1,BI=2BC=2,∴===,∴=.∵∠ABI=∠ABC,∴△ABI∽△CBA,∴=.∵AB=AC,∴AI=BI=2.∵∠ACB=∠FGE,∴AC∥FG,∴==,∴QI=AI=.故選D.點睛:本題主要考查了平行線分線段定理,以及三角形相似的判定,正確理解AB∥CD∥EF,AC∥DE∥FG是解題的關(guān)鍵.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13、【解析】【分析】利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;【詳解】∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD,∴,故答案為.【點睛】本題考查平行線的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14、【解析】
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OC、BC,根據(jù)扇形面積公式計算即可.【詳解】解:∵∠BOC=60°,∠BCO=90°,∴∠OBC=30°,∴OC=OB=1則邊BC掃過區(qū)域的面積為:故答案為.【點睛】考核知識點:扇形面積計算.熟記公式是關(guān)鍵.15、.【解析】試題分析:根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到∠AFE=∠D=90°,AF=AD=5,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠EFC=∠BAF,根據(jù)余弦的概念計算即可.由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知,∠AFE=∠D=90°,AF=AD=5,∴∠EFC+∠AFB=90°,∵∠B=90°,∴∠BAF+∠AFB=90°,∴∠EFC=∠BAF,cos∠BAF==,∴cos∠EFC=,故答案為:.考點:軸對稱的性質(zhì),矩形的性質(zhì),余弦的概念.16、100(1+x)2=121【解析】
根據(jù)題意給出的等量關(guān)系即可求出答案.【詳解】由題意可知:100(1+x)2=121故答案為:100(1+x)2=121【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正確找出等量關(guān)系,本題屬于基礎(chǔ)題型.17、a(a-4)2【解析】
首先提取公因式a,進而利用完全平方公式分解因式得出即可.【詳解】故答案為:【點睛】本題主要考查因式分解,熟練掌握提取公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵.分解一定要徹底.18、【解析】
把(1,4)代入兩函數(shù)表達式可得:a+b=4,再根據(jù)“對偶直線”的定義,即可確定a、b的值.【詳解】把(1,4)代入得:a+b=4又因為,,且,所以當(dāng)a=1是b=3所以“對偶點”為(1,4)的一對“對偶直線”可以是:故答案為【點睛】此題為新定義題型,關(guān)鍵是理解新定義,并按照新定義的要求解答.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、(1)11~30;(1)31~40歲年齡段的滿意人數(shù)為66人,圖見解析;【解析】
(1)取扇形統(tǒng)計圖中所占百分比最大的年齡段即可;(1)先求出總體感到滿意的總?cè)藬?shù),然后減去其它年齡段的人數(shù)即可,再補全條形圖.【詳解】(1)由扇形統(tǒng)計圖可得11~30歲的人數(shù)所占百分比最大為39%,所以,人數(shù)最多的年齡段是11~30歲;(1)根據(jù)題意,被調(diào)查的人中,總體印象感到滿意的有:400×83%=331人,31~40歲年齡段的滿意人數(shù)為:331﹣54﹣116﹣53﹣14﹣9=331﹣116=66人,補全統(tǒng)計圖如圖.【點睛】本題考點:條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖.20、(1)50、2;(2)平均數(shù)是7.11;眾數(shù)是1;中位數(shù)是1.【解析】
(1)根據(jù)A等級人數(shù)及其百分比可得總?cè)藬?shù),用C等級人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得a的值;(2)根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義計算可得.【詳解】(1)本次抽查測試的學(xué)生人數(shù)為14÷21%=50人,a%=×100%=2%,即a=2.故答案為50、2;(2)觀察條形統(tǒng)計圖,平均數(shù)為=7.11.∵在這組數(shù)據(jù)中,1出現(xiàn)了20次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.∵將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列,其中處于中間的兩個數(shù)都是1,∴=1,∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.【點睛】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的定義.用到的知識點:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).將一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到小)的順序排列,如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù),則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù),則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù).21、(1)60人;(2)144°,補全圖形見解析;(3)15萬人.【解析】
(1)用B景點人數(shù)除以其所占百分比可得;(2)用360°乘以A景點人數(shù)所占比例即可,根據(jù)各景點人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求得C的人數(shù)即可補全條形圖;(3)用總?cè)藬?shù)乘以樣本中D景點人數(shù)所占比例【詳解】(1)今年“五?一”放假期間該市這四個景點共接待游客的總?cè)藬?shù)為18÷30%=60萬人;(2)扇形統(tǒng)計圖中景點A所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是360°×=144°,C景點人數(shù)為60﹣(24+18+10)=8萬人,補全圖形如下:(3)估計選擇去景點D旅游的人數(shù)為90×=15(萬人).【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖,從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù);扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?2、(1);(2)【解析】
(1)直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是“餐廚垃圾”的概率;(2)首先利用樹狀圖法列舉出所有可能,進而利用概率公式求出答案.【詳解】解:(1)∵垃圾要按餐廚垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四類分別裝袋,甲投放了一袋垃圾,∴甲投放了一袋是餐廚垃圾的概率是,故答案為:;(2)記這四類垃圾分別為A、B、C、D,畫樹狀圖如下:由樹狀圖知,甲、乙投放的垃圾共有16種等可能結(jié)果,其中投放的兩袋垃圾同類的有4種結(jié)果,所以投放的兩袋垃圾同類的概率為=.【點睛】本題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,適合于兩步完成的事件.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.23、(1)直線的表達式為,雙曲線的表達式為;(2)①;②當(dāng)時,的大小不發(fā)生變化,的值為;③t的值為或.【解析】
(1)由點利用待定系數(shù)法可求出直線的表達式;再由直線的表達式求出點B的坐標,然后利用待定系數(shù)法即可求出雙曲線的表達式;(2)①先求出點C的橫坐標,再將其代入雙曲線的表達式求出點C的縱坐標,從而即可得出t的值;②如圖1(見解析),設(shè)直線AB交y軸于M,則,取CD的中點K,連接AK、BK.利用直角三角形的性質(zhì)證明A、D、B、C四點共圓,再根據(jù)圓周角定理可得,從而得出,即可解決問題;③如圖2(見解析),過點B作于M,先求出點D與點M重合的臨界位置時t的值,據(jù)此分和兩種情況討論:根據(jù)三點坐標求出的長,再利用三角形相似的判定定理與性質(zhì)求出DM的長,最后在中,利用勾股定理即可得出答案.【詳解】(1)∵直線經(jīng)過點和∴將點代入得解得故直線的表達式為將點代入直線的表達式得解得∵雙曲線經(jīng)過點,解得故雙曲線的表達式為;(2)①軸,點A的坐標為∴點C的橫坐標為12將其代入雙曲線的表達式得∴C的縱坐標為,即由題意得,解得故當(dāng)點C在雙曲線上時,t的值為;②當(dāng)時,的大小不發(fā)生變化,求解過程如下:若點D與點A重合由題意知,點C坐標為由兩點距離公式得:由勾股定理得,即解得因此,在范圍內(nèi),點D與點A不重合,且在點A左側(cè)如圖1,設(shè)直線AB交y軸于M,取CD的中點K,連接AK、BK由(1)知,直線AB的表達式為令得,則,即點K為CD的中點,(直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半)同理可得:A、D、B、C四點共圓,點K為圓心(圓周角定理);③過點B作于M由題意和②可知,點D在點A左側(cè),與點M重合是一個臨界位置此時,四邊形ACBD是矩形,則,即因此,分以下2種情況討論:如圖2,當(dāng)時,過點C作于N又,即由勾股定理得即解得或(不符題設(shè),舍去)當(dāng)時,同理可得:解得或(不符題設(shè),舍去)綜上所述,t的值為或.【點睛】本題考查反比例函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、四點共圓、勾股定理等知識點,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造相似三角形解決問題.24、(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)①α+β=90°;②成立,理由詳見解析.【解析】
(1)作OH⊥AB于H,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OD=OA,OB=OC,證明△OCE≌△OBH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明;(2)證明△OCD≌△OBA,得到AB=CD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OE=CD,證明即可;(3)①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算;②延長OE至F,是EF=OE,連接FD、FC,根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)證明.【詳解】(1)作OH⊥AB于H,∵AD、BC的垂直平分線相交于點O,∴OD=OA,OB=OC,∵△ABO是等邊三角形,∴OD=OC,∠AOB=60°,∵∠AOB+∠COD=180°∴∠COD=120°,∵OE是邊CD的中線,∴OE⊥CD,∴∠OCE=30°,∵OA=OB,OH⊥AB,∴∠BOH=30°,BH=AB,在△OCE和△BOH中,,∴△OCE≌△OBH,∴OE=BH,∴OE=AB;(2)∵∠AOB=90°,∠AOB+∠COD=180°,∴∠COD=90°,在△OCD和△OBA中,,∴△OCD≌△OBA,∴AB=CD,∵∠COD=90°,OE是邊CD的中線,∴OE=CD,∴OE=AB;(3)①∵∠OAD=α,OA=OD,∴∠AOD=180°﹣2α,同理,∠BOC=180°﹣2β,∵∠AOB+∠COD=180°,∴∠AOD+∠COB=180°,∴180°﹣2α+180°﹣2β=180°,整理得,α+β=90°;②延長OE至F,使EF=OE,連接FD、FC,則四邊形FDOC是平行四邊形,∴∠OCF+∠COD=180°,,∴∠AOB=∠FCO,在△FCO和△AOB中,,∴△FCO≌△AOB,∴FO=AB,∴OE=FO=AB.【點睛】本題是四邊形的綜合題,考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)
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