重點突圍：專題06 平面直角坐標系中點的規(guī)律探究問題（解析版）-人教七下期中綜合復習

七年級數(shù)學下冊期中期末綜合復習專題提優(yōu)訓練（人教版）專題06平面直角坐標系中點的規(guī)律探究問題【典型例題】1．（2022·廣東陽山·八年級期末）如圖，直角坐標平面xoy內，動點P按圖中箭頭所示方向依次運動，第1次從點（-1，0）運動到點（0，1），第2次運動到點（1，0），第3次運動到點（2，-2），…按這樣的運動規(guī)律，動點P第2022次運動到點的坐標是_____．【答案】（2021，0）【解析】【分析】由圖中點的坐標可得：每4次運動為一個循環(huán)組循環(huán)，并且每一個循環(huán)組向右運動4個單位，用2022除以4，再由商和余數(shù)的情況確定運動后點的坐標．【詳解】由圖中點的坐標可得：每4次運動為一個循環(huán)組循環(huán)，并且每一個循環(huán)組向右運動4個單位，∵2022÷4=505余2，∴第2022次運動為第505循環(huán)組的第2次運動，橫坐標為，縱坐標為0，∴點P運動第2022次的坐標為（2021，0）．故答案為：（2021，0）．【點睛】考查了點的坐標規(guī)律，解題關鍵是觀察點的坐標變化，并尋找規(guī)律．【專題訓練】選擇題1．（2021·貴州六盤水·八年級階段練習）在平面直角坐標系中，李明做走棋游戲，其走法是：棋子從原點出發(fā)，第1步向右走1個單位長度，第2步向右走2個單位長度，第3步向上走1個單位長度，第4步向右走1個單位長度……依此類推，第n步的走法是：當n能被3整除時，則向上走1個單位長度；當n被3除，余數(shù)是1時，則向右走1個單位長度；當n被3除，余數(shù)是2時，則向右走2個單位長度．當走完第12步時，棋子所處位置的坐標是（）A．（9，3） B．（9，4） C．（12，3） D．（12，4）【答案】D【解析】【分析】設走完第n步，棋子的坐標用An來表示．列出部分A點坐標，發(fā)現(xiàn)規(guī)律“A3n（3n，n），A3n+1（3n+1，n），A3n+2（3n+3，n）”，根據(jù)該規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：設走完第n步，棋子的坐標用An來表示．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：A0（0，0），A1（1，0），A2（3，0），A3（3，1），A4（4，1），A5（6，1），A6（6，2），…，∴A3n（3n，n），A3n+1（3n+1，n），A3n+2（3n+3，n）．∵12＝4×3，∴A12（12，4）．故選：D．【點睛】本題考查了規(guī)律型中的點的坐標，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律“A3n（3n，n），A3n+1（3n+1，n），A3n+2（3n+3，n）”．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)棋子的運動情況，羅列出部分A點的坐標，根據(jù)坐標的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關鍵．2．（2022·安徽·安慶市石化第一中學八年級期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，半徑均為1個單位長度的半圓O1、O2、O3，…組成一條平滑的曲線，點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運動，速度為每秒個單位長度，則第2021秒時，點P的坐標是（）A．（2020，0） B．（2021，1） C．（2021，0） D．（2022，﹣1）【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象可得移動4次圖象完成一個循環(huán)，從而可得出點P的坐標．【詳解】解：半徑為1個單位長度的半圓的周長為2π×1＝π，∵點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運動，速度為每秒個單位長度，∴點P每秒走個半圓，當點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運動，運動時間為1秒時，點P的坐標為（1，1），當點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運動，運動時間為2秒時，點P的坐標為（2，0），當點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運動，運動時間為3秒時，點P的坐標為（3，﹣1），當點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運動，運動時間為4秒時，點P的坐標為（4，0），當點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運動，運動時間為5秒時，點P的坐標為（5，1），當點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運動，運動時間為6秒時，點P的坐標為（6，0），…，∵2021÷4＝505余1，∴P的坐標是（2021，1），故選：C．【點睛】此題考查了點的規(guī)律變化，解答本題的關鍵是仔細觀察圖象，得到點的變化規(guī)律，解決問題．3．（2021·湖南·長沙市第二十一中學七年級期末）如圖，已知點（1，0），（1，1），（－1，1），（－1，－1），（2，－1），…，則點的坐標為（）A．（506，506） B．（506，－505）C．（－505，－505） D．（－505，505）【答案】B【解析】【分析】根據(jù)各個點在坐標系內點的位置，尋找出點的下標和個點坐標之間的關系，歸納出出規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律推理點的坐標即可．【詳解】解：通過觀察可得數(shù)字是4的倍數(shù)的點在第三象限，數(shù)字是4的倍數(shù)余1的點在第四象限，數(shù)字是4的倍數(shù)余2的點在第一象限，數(shù)字是4的倍數(shù)的點在第二象限，且各個點分別位于象限的角平分線上（A1和第四象限內的點除外），∵2021÷4＝505…1，∴點A2021在第四象限，點A2020在第三象限，∵=505，∴A2020是第三象限的第505個點，∴A2020的坐標為（?505，?505），∴點A2021的坐標為（506，-505）．故選：B．【點睛】本題屬于規(guī)律型題目，主要要考查了點的坐標，解答此類題目一定要先注意觀察，發(fā)現(xiàn)點的下標和個點坐標之間的關系成為解答本題的關鍵．4．（2021·江蘇·宜興市和橋鎮(zhèn)第二中學八年級階段練習）一只跳蚤在第一象限及x軸、y軸上跳動，在第一秒鐘，它從原點跳動到（0，1），然后接著按圖中箭頭所示方向跳動［即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…］，且每秒跳動一個單位，那么第25秒時跳蚤所在位置的坐標是（）A．（4，0） B．（5，0） C．（0，5） D．（5，5）【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，找出其運動規(guī)律，質點每秒移動一個單位，質點到達(1，0)時，共用3秒；質點到達(2，0)時，共用4秒；質點到達(0，2)時，共用4+4=8秒；質點到達(0，3)時，共用9秒；質點到達(3，0)時，共用9+6=15秒；以此類推，即可得出答案．【詳解】解：由題意可知，質點每秒移動一個單位質點到達(1，0)時，共用3秒；質點到達(2，0)時，共用4秒；質點到達(0，2)時，共用4+4=8秒；質點到達(0，3)時，共用9秒；質點到達(3，0)時，共用9+6=15秒；以此類推，質點到達(4，0)時，共用16秒；質點到達(0，4)時，共用16+8=24秒；質點到達(0，5)時，共用25秒；故選：C．【點睛】本題考查圖形變化與運動規(guī)律，根據(jù)所給質點運動的特點能夠正確確定點運動的順序，確定運動的距離，從而可以得到到達每個點所用的時間．找出規(guī)律是解題的關鍵．5．（2021·廣東·高州市第一中學附屬實驗中學八年級階段練習）在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到如下指令：從原點O出發(fā)，按向右，向上，向右，向下的方向依次不斷移動，每次移動1m．其行走路線如圖所示，第1次移動到A1，第2次移動到A2，…第n次移動到An．則△OA6A2018的面積是（）A．505 B．504.5C．504 D．503【答案】D【解析】【分析】由題意可得規(guī)律知，據(jù)此得出，然后運用三角形面積公式計算即可．【詳解】解：由題意知，∵，∴，∴，則△OA6A2018＝，故選：D．【點睛】本題考查了點的坐標的變化規(guī)律，解題的關鍵是根據(jù)圖形得出下標為的倍數(shù)時對應長度即為下標的一半，據(jù)此可得．6．（2021·貴州六盤水·八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，A、B、C、D四點坐標分別為：A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．動點P從點A處出發(fā)，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣B…的規(guī)律在四邊形ABCD的邊上以每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒，若t＝2020秒，則點P所在位置的點的坐標是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點、、、的坐標可得出、及矩形的周長，由可得出當秒時點與點重合，然后問題可求解．【詳解】解：，，，，，，．∵，當秒時，點與點重合，此時點的坐標為．故選A．【點睛】本題主要考查坐標規(guī)律問題，解題的關鍵是找到當t=2020時，點P的位置．7．（2021·江蘇·揚州市梅嶺中學八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，設一質點M自P0（1，0）處向上運動1個單位至P1（1，1），然后向左運動2個單位至P2處，再向下運動3個單位至P3處，再向右運動4個單位至P4處，再向上運動5個單位至P5處，…，如此繼續(xù)運動下去，則P2021的坐標為（）A．（1011，1011） B．（1010，﹣1011） C．（504，﹣505） D．（505，﹣504）【答案】A【解析】【分析】求出圖中寫出點的坐標，發(fā)現(xiàn)規(guī)律再解決即可．【詳解】解：P0（1，0）P1（1，1）P2（-1，1）P3（-1，-2）P4（3，-2）P5（3，3）P6（-3，3）P7（-3，-4）P8（5，-4）P9（5，5）看了上述之后就會發(fā)現(xiàn)P1（1，1），P5（3，3），P9（5，5）的橫縱坐標相等，均為序數(shù)加1再除以2的結果，∵，，∴P2021的坐標為（1011，1011），故選：A．【點睛】此題考查坐標的規(guī)律探究，根據(jù)圖形得到點的坐標并發(fā)現(xiàn)坐標的變化規(guī)律，并能運用規(guī)律解決問題，能總結特殊點的坐標并總結運用規(guī)律是解題的關鍵．8．（2021·寧夏·銀川市第十五中學八年級期中）如圖，矩形的兩邊、分別在軸、軸上，點與原點重合，點，將矩形沿軸向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾點對應點記為，經(jīng)過第二次翻滾點對應點記為依此類推，經(jīng)過3次翻滾后點對應點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可以畫出相應的圖形，然后觀察圖形即可得到經(jīng)過3次翻滾后點A對應點A3的坐標，從而解答本題．【詳解】解：如下圖所示：由題意可得上圖，點，可得經(jīng)過3次翻滾后點A對應點A3的坐標對應上圖中的坐標，故A3的坐標為：（3，0）．故選：D．【點睛】本題考查探究點的坐標的問題，解題的關鍵是畫出相應的圖形并找到點的變化規(guī)律．9．（2021·河南西峽·九年級期中）在平面直角坐標系中，對進行往復的對稱變換，已知原來點，經(jīng)過2021次變換，點的坐標（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得點A每四次對稱為一個循環(huán)組，依次循環(huán)，，即可得．【詳解】解：點A第一次關于x軸對稱后在第四象限，坐標為；點A第二次關于y軸對稱后在第三象限，坐標為；點A第三次關于x軸對稱后在第二象限，坐標為；點A第四次關于y軸對稱后在第一象限，即點A回到原始位置；所以，點A每四次對稱為一個循環(huán)組，依次循環(huán)，∵，∴經(jīng)過第2021次變換后所得的A點與第一次變換的位置相同，在第四象限，坐標為，故選B．【點睛】本題考查了平面直角坐標系，解題的關鍵是掌握平面直角坐標系10．（2021·安徽包河·八年級期中）如圖，點A(O，1)、點A1(2，0)、點A2(3，2)、點A3(5，1)、…，按照這樣的規(guī)律下去，點A2021的坐標為()A．(2022，2021) B．(3032，1010) C．(3033，1011) D．(2021，1012)【答案】B【解析】【分析】觀察圖形得到奇數(shù)點的規(guī)律為：，由2021是奇數(shù)，且2021＝2n?1，則可求A2n?1（3032，1010）．【詳解】解：由圖像可得：∵∴故選B．【點睛】本題考查點的坐標規(guī)律；熟練掌握平面內點的坐標，能夠根據(jù)圖形的變化得到點的坐標規(guī)律是解題的關鍵．二、填空題11．（2021·黑龍江·龍江縣育英學校九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標為（1，1），是以點B為圓心，BA為半徑的圓?。皇且渣cO為圓心，OA1為半徑的圓弧，是以點C為圓心，CA2為半徑的圓弧，是以點A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續(xù)以點B、O、C、A為圓心按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5…稱為正方形的“漸開線”，那么點A2021的坐標是______．【答案】（2021，0）【解析】【分析】將四分之一圓弧對應的A點坐標看作順時針旋轉90°，再根據(jù)A、A1、A2、A3、A4的坐標找到規(guī)律即可．【詳解】∵A點坐標為（1，1），且A1為A點繞B點順時針旋轉90°所得∴A1點坐標為（2，0）又∵A2為A1點繞O點順時針旋轉90°所得∴A2點坐標為（0，-2）又∵A3為A2點繞C點順時針旋轉90°所得∴A3點坐標為（-3，1）又∵A4為A3點繞A點順時針旋轉90°所得∴A4點坐標為（1，5）由此可得出規(guī)律：An為繞B、O、C、A四點作為圓心依次循環(huán)順時針旋轉90°，且半徑為1、2、3、、、n，每次增加1．∵2021÷4=505…1故A2021為以點B為圓心，半徑為2021的A2020點順時針旋轉90°所得故A2021點坐標為（2021，0）．故答案為：（2021，0）．【點睛】本題考查了點坐標規(guī)律探索，通過點的變化探索出旋轉的規(guī)律是解題的關鍵．12．（2021·江西·南城縣第二中學八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一個電動玩具從坐標原點O出發(fā)，第一次跳躍到點P1．使得點P1與點O關于點A成中心對稱；第二次跳躍到點P2，使得點P2與點P1關于點B成中心對稱；第三次跳躍到點P3，使得點P3與點P2關于點C成中心對稱；第四次跳躍到點P4，使得點P4與點P3關于點A成中心對稱；第五次跳躍到點P5，使得點P5與點P4關于點B成中心對稱；…照此規(guī)律重復下去，則點P2021的坐標為_____．【答案】（-2，0）【解析】【分析】根據(jù)中心對稱的性質找出部分Pn的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律“P6n（0，0），P6n＋1（2，0），P6n＋2（?2，2），P6n＋3（0，?2），P6n＋4（2，2），P6n＋5（?2，0）（n為自然數(shù)）”，依此規(guī)律即可得出結論．【詳解】解：觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：P0（0，0），P1（2，0），P2（?2，2），P3（0，?2），P4（2，2），P5（?2，0），P6（0，0），P7（2，0），…，∴P6n（0，0），P6n＋1（2，0），P6n＋2（?2，2），P6n＋3（0，?2），P6n＋4（2，2），P6n＋5（?2，0）（n為自然數(shù)）．∵2021＝6×336＋5，∴P2020（-2，0）．故答案為：（-2，0）．【點睛】本題考查了規(guī)律型中的點的坐標以及中心對稱的性質，解題的關鍵是找出變化規(guī)律“P6n（0，0），P6n＋1（2，0），P6n＋2（?2，2），P6n＋3（0，?2），P6n＋4（2，2），P6n＋5（?2，0）（n為自然數(shù)）”．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)題意列出部分Pn點的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律是關鍵．13．（2021·廣東·河源市第二中學八年級期中）如圖，所有正方形的中心均在坐標原點，且各邊與x軸或y軸平行．從內到外，它們的邊長依次為2，4，6，8，…，頂點依次用A1，A2，A3，A4，…表示，則頂點A55的坐標是_____．【答案】（14，14）【解析】【分析】根據(jù)每一個正方形有4個頂點可知每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用55除以4，根據(jù)商和余數(shù)判斷出點A55所在的正方形以及所在的象限，再根據(jù)正方形的性質寫出即可．【詳解】解：∵每個正方形都有4個頂點，∴每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵55÷4=13余3，∴點A55是第14個正方形的第3個頂點，在第一象限，∵從內到外正方形的邊長依次為2，4，6，8，…，∴A3（1，1），1=；A7（2，2），1=；A11（3，3），1=；…，∴，∴A55（14，14）．故答案為：（14，14）．【點睛】本題是對點的坐標變化規(guī)律的考查，根據(jù)四個點為一個循環(huán)組求出點A55所在的正方形和所在的象限是解題的關鍵．14．（2021·廣東·佛山市第四中學八年級階段練習）在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到的指令是：從原點O出發(fā)，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長度，其移動路線如圖所示，第一次移動到點A1，第二次移動到點A2，…，第n次移動到點An，則點A2022的坐標是__________．【答案】（1011，-1）．【解析】【分析】由點的移動規(guī)律發(fā)現(xiàn)每移動8次構成一個循環(huán)，一個循環(huán)相當于向右平移4個單位，用2022÷8即可解決問題．【詳解】解：由題意知：A1

（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，-1），A6（3，-1），A7（3，0），A8（4，0），可以發(fā)現(xiàn)每移動8次構成一個循環(huán)，一個循環(huán)相當于向右平移4個單位，∴2022÷8=252?6，∴252×4=1008，∴A2022

（1011，-1），故答案為：（1011，-1）．【點睛】本題考查了平面直角坐標系中的點的規(guī)律探索問題，仔細觀察圖形，得出每移動8次構成一個循環(huán)，一個循環(huán)相當于向右平移4個單位結論是解題的關鍵．15．（2021·山東·東平縣實驗中學七年級階段練習）在平面直角坐標系中，若干個邊長為1個單位長度的等邊三角形，按如圖中的規(guī)律擺放．點P從原點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著等邊三角形的邊“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路線運動，設第n秒運動到點Pn（n為正整數(shù)），則點P2020的坐標是______．【答案】【解析】【分析】先分別求出點的坐標，再歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得出答案．【詳解】解：由題意得：點的坐標是，點的坐標是，點的坐標是，點的坐標是，歸納類推得：點的坐標是，其中為正整數(shù)，因為，所以點的坐標是，故答案為：．【點睛】本題考查了點坐標規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關鍵．16．（2021·福建省漳州第一中學八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，，把一條長為2025個單位長度且沒有彈性的細線（線的粗細忽略不計）的一端固定在點A處，并按的規(guī)律繞在四邊形的邊上，則細線另一端所在位置的點的坐標是____．【答案】（﹣1，﹣2）【解析】【分析】先根據(jù)點的坐標求出四邊形ABCD的周長，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個單位長度，從而確定答案．【詳解】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝1﹣（﹣1）＝2，DA＝1﹣（﹣2）＝3，∴繞四邊形ABCD一周的細線長度為2+3+2+3＝10，2025÷10＝202…5，∴細線另一端在繞四邊形第203圈的第5個單位長度的位置，即細線另一端所在位置的點的坐標是（﹣1，﹣2）．故答案為：（﹣1，﹣2）．【點睛】本題考查了點的坐標規(guī)律探求，根據(jù)點的坐標求出四邊形ABCD一周的長度，從而確定2025個單位長度的細線的另一端落在第幾圈第幾個單位長度的位置是解題的關鍵．17．（2021·陜西·西安交通大學附屬中學航天學校八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知等邊中，規(guī)定先沿x軸翻折，再向右移動兩個單位為一次變換，經(jīng)過連續(xù)2021次這樣的變換得到則點的坐標是______．【答案】【解析】【分析】經(jīng)過四次變換后根據(jù)點A對應的點A′的坐標變化情況，發(fā)現(xiàn)坐標的變化規(guī)律，即可解決問題．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，點B、C的坐標分別是、，∴點A的坐標為，根據(jù)題意得：第1次變換后的點A的對應點的坐標為，即，第2次變換后的點A的對應點的坐標為，即，第3次變換后的點A的對應點的坐標為，即，第n次變換后的點A的對應點的為：當n為奇數(shù)時為，當n為偶數(shù)時為，∴把等邊△ABC經(jīng)過連續(xù)2021次這樣的變換得到△A′B′C′，則點A的對應點A′的坐標是：．即，故答案為：．【點睛】本題考查了對稱與平移的性質，解題的關鍵是注意得到規(guī)律，即第n次變換后的點A的對應點的分兩種情況，當n為奇數(shù)時為是解此題的關鍵．18．（2021·山西實驗中學八年級期中）如圖，動點P從坐標原點（0，0）出發(fā)，以每秒一個單位長度的速度按圖中箭頭所示方向運動，第1秒運動到點（1，0），第2秒運動到點（1，1），第3秒運動到點（0，1），第4秒運動到點（0，2）……則第2021秒點P所在位置的坐標是___．【答案】（44，3）【解析】【分析】分析點P的運動路線及所處位置的坐標規(guī)律，進而求解．【詳解】解：由題意分析可得，動點P第8=2×4秒運動到（2，0），動點P第24=4×6秒運動到（4，0），動點P第48=6×8秒運動到（6，0），以此類推，動點P第2n（2n+2）秒運動到（2n，0），∴動點P第2024=44×46秒運動到（44，0），2024-2021=3，∴按照運動路線，差3個單位點P到達（44，0），∴第2021秒點P所在位置的坐標是（44，3），故答案為：（44，3）．【點睛】本題主要考查了點的坐標規(guī)律，培養(yǎng)學生觀察和歸納能力，從所給的數(shù)據(jù)和圖形中尋求規(guī)律進行解題是解答本題的關鍵．19．（2021·山東省青島第六十三中學八年級期中）如圖，在平面直角坐