專題06 空間幾何體-2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)考點分層與專項檢測（新高考專用）原卷版

2/2專題06空間幾何體（新高考）目錄目錄【備考指南】 2 【真題在線】 3【基礎(chǔ)考點】 6【基礎(chǔ)考點一】柱、錐、臺表面積 6【基礎(chǔ)考點二】柱、錐、臺體積 8【基礎(chǔ)考點三】組合體表面積、體積 9【基礎(chǔ)考點四】球表面積、體積（外接球） 11【基礎(chǔ)考點五】球表面積、體積（內(nèi)切球） 13【綜合考點】 14【綜合考點一】球截面 14【綜合考點二】組合體截面 15【綜合考點三】柱、錐、臺截面 17【綜合考點四】柱、錐、臺展開與折疊 18【培優(yōu)考點】 20【培優(yōu)考點一】空間幾何體最值（軌跡、導(dǎo)數(shù)求法） 20【培優(yōu)考點二】球與文化素養(yǎng)綜合運用 21【總結(jié)提升】 24【專項檢測】 26備考指南備考指南考點考情分析考頻空間幾何體的表面積、體積2023年新高考Ⅰ卷T142023年新高考Ⅱ卷T92023年新高考Ⅱ卷T142023年全國乙卷T32023年全國乙卷T82022年新高考Ⅰ卷T42022年新高考Ⅱ卷T112022年全國甲卷T42022年全國甲卷T92021年新高考Ⅰ卷T32021年新高考Ⅱ卷T42021年新高考Ⅱ卷T53年12考球與多面體的切接2023年全國乙卷T162022年新高考Ⅰ卷T82022年新高考Ⅱ卷T72022年全國乙卷T92021年全國甲卷T113年5考線面位置關(guān)系2023年全國乙卷T92022年新高考Ⅰ卷T92022年全國甲卷T72022年全國乙卷T72021年新高考Ⅱ卷T102021年全國乙卷T53年6考空間角與線面位置關(guān)系綜合2023年新高考Ⅰ卷T182023年新高考Ⅱ卷T202023年全國甲卷T182023年全國乙卷T192022年新高考Ⅰ卷T192022年新高考Ⅱ卷T202022年全國甲卷T182022年全國乙卷T182021年新高考Ⅱ卷T192021年全國甲卷T192021年全國乙卷T183年11考立體幾何綜合2023年新高考Ⅰ卷T122021年新高考Ⅰ卷T122021年新高考Ⅰ卷T202年3考最短距離、截面、截線2023年新高考Ⅱ卷T142023年全國甲卷T151年2考預(yù)測：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是高考重點考查的內(nèi)容.近幾年主要考查空間幾何體的表面積與體積，常以選擇題與填空題為主，也涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征等內(nèi)容，要求考生要有較強的空間想象能力和計算能力，難度為中低檔.球的切接問題要熟知常見的模型：如長方體模型，正方體模型，正四面體模型，球的截面問題.建議在二輪復(fù)習(xí)時，以中檔題型為主，做好查缺補漏，幫助學(xué)生建立好空間模型，適當(dāng)加強的綜合力能的培養(yǎng).真題在線真題在線一、單選題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．32．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．4．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．5．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．276．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．

7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．11．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．12．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%13．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題14．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．三、填空題15．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則．16．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是．17．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個公共點．18．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為．基礎(chǔ)基礎(chǔ)考點【考點一】柱、錐、臺表面積【典例精講】（多選）（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考一模）在矩形ABCD中，以AB為母線長，2為半徑作圓錐M，以AD為母線長，8為半徑作圓錐N，若圓錐M與圓錐N的側(cè)面積之和等于矩形ABCD的面積，則（

）A．矩形ABCD的周長的最小值為B．矩形ABCD的面積的最小值為C．當(dāng)矩形ABCD的面積取得最小值時，D．當(dāng)矩形ABCD的周長取得最小值時，【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一．圖2是小明為自家設(shè)計的一個花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺的上、下兩個底面的邊長分別為和，正六棱臺與正六棱柱的高分別為和，則該花燈的表面積為（

）

A． B． C． D．2．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┩勇萜鹪从谖覈钤绯鐾恋氖仆勇菔窃谏轿飨目h發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．二、多選題3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》卷11中這樣定義棱柱：一個棱柱是一個立體圖形，它是由一些平面構(gòu)成的，其中有兩個面是相對的?相等的，相似且平行的，其它各面都是平行四邊形.顯然這個定義是有缺陷的，由于《幾何原本》作為“數(shù)學(xué)圣經(jīng)”的巨大影響，該定義在后世可謂謬種流傳，直到1916年，美國數(shù)學(xué)家斯頓（J.C.Stone）和米利斯（J.F.Millis）首次給出歐氏定義的反例.如圖1，八面體的每一個面都是邊長為2的正三角形，且4個頂點A，B，C，D在同一平面內(nèi)，取各棱的中點，切割成歐氏反例（如圖2），則該歐氏反例（

）A．共有12個頂點 B．共有24條棱C．表面積為 D．體積為三、填空題4．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“幾何之父”歐幾里得最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書．《幾何原本》中提出了面積射影定理：平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦．已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為5、13，側(cè)面與底面成角，則它的側(cè)面積等于．【考點二】柱、錐、臺體積【典例精講】（多選）（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┰谡馀_中，，，，，，過MN與平行的平面記為，則下列命題正確的是（

）A．四面體的體積為 B．四面體外接球的表面積為C．截棱臺所得截面面積為2 D．將棱臺分成兩部分的體積比為【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，四邊形為矩形，，，，，到平面的距離為3，則多面體的體積為（

）

A．18 B．15 C．12 D．92．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）四棱錐的底面是平行四邊形，點、分別為、的中點，連接交的延長線于點，平面將四棱錐分成兩部分的體積分別為，且滿足，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2020下·高一課時練習(xí)）如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（

）

A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為三、填空題4．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）己知梯形滿足且，其中，將梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周，所得到幾何體的體積為．【考點三】組合體表面積、體積【典例精講】（多選）（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）沙漏，據(jù)《隋志》記載：“漏刻之制，蓋始于黃帝”．它是古代的一種計時裝置，由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm，細(xì)沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長度忽略不計）．假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆．以下結(jié)論正確的是（

）A．沙漏的側(cè)面積是B．沙漏中的細(xì)沙體積為C．細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cmD．該沙漏的一個沙時大約是837秒【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，棱長為的正方體截去八個一樣的四面體，則下列說法錯誤的是（

）

A．該幾何體外接球的表面積為B．該幾何體外接球的體積為C．該幾何體的體積與原正方體的體積比為D．該幾何體的表面積與原正方體的表面積之比為2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實驗中學(xué)?？既＃┛萍际且粋€國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國的實力．“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的表面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖所示，該多面體是一個由6個正方形和8個正三角形圍成的十四面體，所有棱長均為1，所有頂點均在球的球面上.關(guān)于這個多面體給出以下結(jié)論，其中正確的有（

）A．平面B．與平面所成的角的余弦值為C．該多面體的體積為D．該多面體的外接球的表面積為三、填空題4．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)?？既＃┤鐖D，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.則得到的二十四等邊體與原正方體的體積之比為．【考點四】球表面積、體積（外接球）【典例精講】（多選）（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）如圖，棱長為2的正四面體中，，分別為棱，的中點，為線段的中點，球的表面與線段相切于點，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．平面B．球的體積為C．球被平面截得的截面面積為D．球被正四面體表面截得的截面周長為【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）在直三棱柱中，，側(cè)面的面積為，則直三棱柱外接球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023·山東德州·德州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱，稱為暫堵，再沿塹堵的一頂點與相對棱剖開得一四棱錐和一三棱錐，以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬，余下的三棱錐稱為鱉臑.（注：圖1由左依次是塹堵、陽馬、鱉臑）上圖中長方體為正方體，由該正方體得上圖陽馬和鱉臑，已知鱉臑的外接球的體積為，則鱉臑體積為（

）A． B． C．2 D．二、多選題3．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）如圖，棱長為2的正四面體中，，分別為棱，的中點，為線段的中點，球的表面正好經(jīng)過點，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．平面B．球的體積為C．球被平面截得的截面面積為D．過點與直線，所成角均為的直線可作4條三、填空題4．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，點E為棱PD的中點，且異面直線CE與AB所成的角為，則三棱錐外接球的表面積為．【考點五】球表面積、體積（內(nèi)切球）【典例精講】（多選）（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）勒洛三角形也被稱為定寬曲線，勒洛三角形的立體版就是如圖所示的立體圖形，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，它是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分組成的，因此它能像球一樣來回滾動.這種立體圖形稱為勒洛四面體，若圖中勒洛四面體的四個頂點分別為P、A、B、C，任意兩個頂點之間的距離為1，則下列說法正確的是（

）A．圖中所示勒洛四面體表面上任意兩點間距離的最大值為1B．圖中所示勒洛四面體的內(nèi)切球的表面積為C．平面截此勒洛四面體所得截面的面積為D．圖中所示的勒洛四面體的體積是【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正三棱錐P—ABC的底面邊長為3，高為，則三棱錐P—ABC的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）在Rt中，.以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考期中）在棱長為2的正方體中，M為邊的中點，下列結(jié)論正確的有（

）A．與所成角的余弦值為B．過三點A、M、的截面面積為C．四面體的內(nèi)切球的表面積為D．E是邊的中點，F(xiàn)是邊的中點，過E、M、F三點的截面是六邊形．三、填空題4．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，四邊形為平行四邊形，，，，現(xiàn)將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球表面積為．

綜合考點綜合考點【考點一】球截面【典例精講】（多選）（2023·湖南長沙·長沙一中?？家荒＃┤鐖D圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則下列各選項正確的是（

）A．球與圓柱的體積之比為B．四面體的體積的取值范圍為C．平面截得球的截面面積最小值為D．若為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則的取值范圍為【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）球缺是指一個球被平面截下的部分，截面為球缺的底面，垂直于截面的直徑被截面截得的線段長為球缺的高，球缺曲面部分的面積（球冠面積）（為球的半徑，為球缺的高）．已知正三棱柱的頂點都在球的表面上，球的表面積為，該正三棱柱的體積為，若的邊長為整數(shù)，則球被該正三棱柱上、下底面所在平面截掉兩個球缺后剩余部分的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023上·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三棱錐的四個頂點都在表面積為的球O上，點A在平面的射影是線段的中點，，則平面被球O截得的截面面積為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，.若點O到三棱柱的所有面的距離都相等，則（

）A．平面B．C．平面截球O所得截面圓的周長為D．球O的表面積為三、填空題4．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在正四棱柱中，，，點P為側(cè)棱上一點，過A，C兩點作垂直于BP的截面，以此截面為底面，以B為頂點作棱錐，則該棱錐的外接球的表面積的取值范圍是．【考點二】組合體截面【典例精講】（多選）（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）在正方體中，點分別是棱的中點，則下列說法正確的是（

）A．過三點的平面截正方體的截面圖形是矩形B．過三點的平面截正方體的截面圖形是等腰梯形C．平面D．若，則平面平面【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）半正多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體就是一個半正多面體，其中四邊形和四邊形均為正方形，其余八個面為等邊三角形，已知該多面體的所有棱長均為2，則平面與平面之間的距離為（

）

A． B． C． D．2．（2022·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）南北朝時期的偉大數(shù)學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻，他在實踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積總是相等，則這兩個立體的體積相等.如圖，兩個半徑均為的圓柱體垂直相交，則其重疊部分體積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）如圖1所示，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PC⊥平面ABCD，AB=BC=PC=2，O為AP的中點，則下列說法正確的是（

）A．若平面PAB∩平面PCD=l，則B．過點O且與PC平行的平面截該四棱錐，截面可能是五邊形C．平面PBD截該四棱錐外接球所得的截面面積為D．A為球心，表面積為的球的表面與四棱錐表面的交線長度之和等于三、填空題4．（2023·四川綿陽·鹽亭中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正方體的棱長為3，以為球心，為半徑的球被該正方體的表面所截，則所截得的曲線總長為【考點三】柱、錐、臺截面【典例精講】（多選）（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）在圓錐中，母線，底面圓的半徑為，圓錐的側(cè)面積為，則（

）A．當(dāng)時，則圓錐的體積為B．當(dāng)時，過頂點和兩母線的截面三角形的最大面積為C．當(dāng)時，圓錐的外接球表面積為D．當(dāng)時，棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，，，，過點B作平面截四棱柱所得截面為正方形，該平面交棱于點M，則（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）在三棱錐中，側(cè)面PAC是等邊三角形，底面ABC是等腰直角三角形，，，點M，N，E分別是棱PA，PC，AB的中點，過M，N，E三點的平面截三棱錐所得截面為，給出下列結(jié)論：①截面的形狀為正方形；②截面的面積等于；③異面直線PA與BC所成角的余弦值為；④三棱錐外接球的表面積等于．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④二、多選題3．（2023·山東德州·德州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）直四棱柱，所有棱長都相等，且，為的中點，為四邊形內(nèi)一點（包括邊界），下列結(jié)論正確的是（

）A．平面截四棱柱的截面為直角梯形B．面C．平面內(nèi)存在點，使得D．三、填空題4．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？级＃┰谡睦馀_中，，，M為棱的中點，當(dāng)正四棱臺的體積最大時，平面截該正四棱臺的截面面積是.【考點四】柱、錐、臺展開與折疊【典例精講】（多選）（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，和是全等三角形，，，，.下面有兩種折疊方法將四邊形折成三棱錐.折法①：將沿著AC折起，形成三棱錐，如圖1；折法②；將沿著BD折起，形成三棱錐，如圖2.下列說法正確的是（

）A．按照折法①，三棱錐的外接球表面積恒為B．按照折法①，存在滿足C．按照折法②，三棱錐體積的最大值為D．按照折法②，存在滿足平面，且此時與平面所成線面角正弦值為【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·陜西延安·?？家荒＃┰谕ㄓ眉夹g(shù)課上，某小組將一個直三棱柱展開，得到的平面圖如圖所示．其中，，，是上的點，則在直三棱柱中，下列結(jié)論錯誤的是（

）

A．與是異面直線B．C．平面將三棱柱截成一個五面體和一個四面體D．的最小值是2．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知一個三棱錐型玩具容器的外包裝紙（包裝紙厚度忽略不計，外包裝紙面積恰為該容器的表面積）展開后是如圖所示的邊長為10的正方形（其中點為中點，點為中點），則該玩具的體積為（

）A． B． C．125 D．二、多選題3．（2022上·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐的平面展開圖中，四邊形ABCD為直角梯形，，，.在四棱錐中，則（

）A．平面PAD⊥平面PBDB．AD平面PBCC．三棱錐P-ABC的外接球表面積為D．平面PAD與平面PBC所成的二面角的正弦值為三、填空題4．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在菱形ABCD中，，，AC與BD的交點為G，點M，N分別在線段AD，CD上，且，，將沿MN折疊到，使，則三棱錐的外接球的表面積為．培優(yōu)考點培優(yōu)考點【考點一】空間幾何體最值（軌跡、導(dǎo)數(shù)求法）【典例精講】（多選）（2021·福建龍巖·福建省龍巖第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為4，點是棱的中點，點在面內(nèi)(包含邊界)，且，則(

)A．點的軌跡的長度為B．存在，使得C．直線與平面所成角的正弦值最大為D．沿線段的軌跡將正方體切割成兩部分，挖去體積較小部分，剩余部分幾何體的表面積為【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側(cè)面、底面均相切的球）的半徑為2，當(dāng)該圓錐的表面積最小時，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元，是結(jié)構(gòu)化學(xué)研究的一個重要方面.在如圖（1）所示的體心立方晶胞中，原子A與B（可視為球體）的中心分別位于正方體的頂點和體心，且原子B與8個原子A均相切.已知該晶胞的邊長（圖1中正方體的棱長）為，則當(dāng)圖（2）中所有原子（8個A原子與1個B原子）的體積之和最小值為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體中，P是底面內(nèi)的動點，若，則（

）A． B．平面C．四面體的體積為定值 D．與底面所成的角最大為三、填空題4．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）2022年12月7日為該年第21個節(jié)氣“大雪”．“大雪”標(biāo)志著仲冬時節(jié)正式開始，該節(jié)氣的特點是氣溫顯著下降，降水量增多，天氣變得更加寒冷．“大雪”節(jié)氣的民俗活動有打雪仗、賞雪景等．東北某學(xué)生小張滾了一個半徑為2分米的雪球，準(zhǔn)備對它進行切割，制作一個正六棱柱模型，設(shè)M為的中點，當(dāng)削去的雪最少時，平面ACM截該正六棱柱所得的截面面積為平方分米．【考點二】球與文化素養(yǎng)綜合運用【典例精講】（多選）（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）在中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會召開期間，某學(xué)校組織了“喜慶二十大，永遠(yuǎn)跟黨走，奮進新征程，書畫作品比賽.如圖①，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，若球的體積為；如圖②，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與平面所成的角為B．經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的面積為C．異面直線與所成的角的余弦值為D．球離球托底面的最小距離為【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┤缃裰袊蛔u為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）中國古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長．如圖1所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形ABCD為矩形，，，與都是邊長為1的等邊三角形，若點A，B，C，D，E，F(xiàn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）“牟合方蓋”是由我國古代數(shù)學(xué)家劉徽首先發(fā)現(xiàn)并采用的一種用于計算球體體積的方法，當(dāng)一個正方體用圓柱從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱體時，兩圓柱體的公共部分即為“牟合方蓋”，他提出“牟合方蓋”的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積比為定值．南北朝時期祖暅提出理論：“緣冪勢既同，則積不容異”，即“在等高處的截面面積總是相等的幾何體，它們的體積也相等”，并算出了“牟合方蓋”和球的體積．其大體思想可用如圖表示，其中圖1為棱長為的正方體截得的“牟合方蓋”的八分之一，圖2為棱長為的正方體的八分之一，圖3是以底面邊長為的正方體的一個底面和底面以外的一個頂點作的四棱錐，則根據(jù)祖暅原理，下列結(jié)論正確的是：（

）A．若以一個平行于正方體上下底面的平面，截“牟合方蓋”，截面是一個圓形B．圖2中陰影部分的面積為C．“牟合方蓋”的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積比為D．由棱長為的正方體截得的“牟合方蓋”體積為三、填空題4．（2023·山東日照·三模）祖暅，南北朝時代的偉大科學(xué)家，他在實踐的基礎(chǔ)上提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.請同學(xué)們借助圖1運用祖暅原理解決如下問題：如圖2，有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為2的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切（球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），則容器中水的體積為.

總結(jié)提升總結(jié)提升1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種幾何體的概念.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略.2.柱體、錐體、臺體和球的表面積公式：(1)若圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).(2)若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則S側(cè)＝πrl，S表＝πr(r＋l).(3)若圓臺的上、下底面半徑分別為r′，r，則S側(cè)＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl).(4)若球的半徑為R，則它的表面積S＝4πR2.3.柱體、錐體、臺體和球的體積公式：(1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；(2)V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；(3)V臺體＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h(S上、S下分別為上、下底面面積，h為高)；(4)V球＝eq\f(4,3)πR3.4.墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長.長方體同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球半徑為R.則(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).常見的有以下三種類型：5.對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長，如圖所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(長方體的長、寬高分別為a，b，c)，即R2＝eq\f(1,8)(x2＋y2＋z2)，如圖.6.垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內(nèi)接于球；如圖所示，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑CO1＝r，OO1＝eq\f(h,2)，則R＝eq\r(r2＋\f(h2,4)).7.切瓜模型是有一側(cè)面垂直底面的棱錐模型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABC⊥底面BCD，設(shè)三棱錐的高為h，外接球的半徑為R，球心為O，△BCD的外心為O1，O1到BC的距離為d，O與O1的距離為m，△BCD和△ABC外接圓的半徑分別為r1，r2，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R2＝req\o\al(2,1)＋m2，,R2＝d2＋（h－m）2，))解得R，可得R＝eq\r(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－\f(l2,4))(l為兩個面的交線段長).8.內(nèi)切球問題的解法(以三棱錐為例)第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體的體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC?VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△PAB·r＋eq\f(1,3)S△PAC·r＋eq\f(1,3)SPBC·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r；第三步：解出r＝eq\f(3VP－ABC,S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC).9.解決球的截面問題抓住以下幾個方面：(1)球心到截面圓的距離；(2)截面圓的半徑；(3)直角三角形(球心到截面圓的距離、截面圓的半徑、球的半徑構(gòu)成的直角三角形).專項專項檢測一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知圓錐的底面積為π，側(cè)面積是底面積的2倍，則該圓錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（