17.2 第1課時(shí) 勾股定理的逆定理及應(yīng)用 課件 2023--2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版

第十七章

勾股定理17.2第1課時(shí)

勾股定理的逆定理及應(yīng)用新知探索——直角三角形的判定【操作】用13個(gè)等距的結(jié),把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段,然后以3個(gè)結(jié)、

4個(gè)結(jié)、5個(gè)結(jié)的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng),用木樁釘成的三角形是

三角形.直角【思考】(1)這組數(shù)是否滿(mǎn)足a2+b2=c2呢?(2)這個(gè)三角形是直角三角形嗎？【歸納】三邊滿(mǎn)足“a2+b2=c2”的三角形是直角三角形,

這個(gè)規(guī)律叫做勾股定理的逆定理.如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足:a2+b2=c2那么,這個(gè)三角形是直角三角形.1.勾股定理的逆定理:如幾組常見(jiàn)的勾股數(shù):①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.2.勾股數(shù):

滿(mǎn)足勾股定理的逆定理的一組整數(shù)叫做勾股數(shù).事先不知道三角形是否為直角三角形已知直角三角形→勾股定理→a2+b2=c2;已知a2+b2=c2

→勾股定理的逆定理→直角三角形.∵∠C’=900∴A’B’2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A’B’2=c2∴A’B’=c(A’B’>0,c>0)在△ABC和△A’B’C’中BC=a=B’C’CA=b=C’A’AB=c=A’B’abB'C'A'已知:在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且a2+b2=c2.求證:△ABC是直角三角形.證明:畫(huà)一個(gè)△A’B’C’,使∠C’=900,B’C’=a,C’A’=b3.勾股定理逆定理的證明cabBCA∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴∠C=∠C’=900∴△ABC是直角三角形(1)判斷一件事情的句子叫做命題(注意:命題有假之分);

真命題是題設(shè)和結(jié)論都正確的命題;

假命題是題設(shè)和結(jié)論相矛盾的命題.(2)條件和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題,其中的一個(gè)叫做原命題,則另一個(gè)叫做它的逆命題.【思考】一個(gè)命題一定有逆命題嗎?一個(gè)定理有是逆定理嗎?(2)互逆定理:如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題,那么它也是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱(chēng)為互逆定理,其中一個(gè)定理稱(chēng)為另一個(gè)定理的逆定理.5.定理與互逆定理4.命題:(1)定理:用推理的方法得到的真命題叫做“定理”;【注意】一個(gè)命題一定有逆命題,但一個(gè)定理不一定有逆定理.(1)兩條直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等,那么它們的平方也相等.(3)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等,那么它們的絕對(duì)值相等.(4)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.1.說(shuō)出下列命題的逆命題,這些命題的逆命題成立嗎?逆命題:

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線(xiàn)平行.成立逆命題:

如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等,那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等.不成立逆命題:如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等,那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等.不成立逆命題:對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形.不成立新知鞏固練習(xí)它們是互逆定理(2)a=1,b=2,c=.

,

.2.下面以a、b、c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是,請(qǐng)指出哪一個(gè)角是直角.(1)a=25,b=20,c=15.

,;(3)a:b:c=3:4:5.

,

.是是是∠A=900∠B=900∠C=900注意:(1)和(2)中的數(shù)據(jù)都滿(mǎn)足勾股定理的逆定理,只有(1)中的數(shù)據(jù)是勾股數(shù),因?yàn)楣垂蓴?shù)都是整數(shù),但(2)中的數(shù)據(jù)不是勾股數(shù),因?yàn)?個(gè)數(shù)不都是整數(shù).例1.判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15,b=8,

c=17;(2)a=13,b=15,c=14;(3)a:b:c=3:4:5.解:(1)∵152+82=225+64=289=172

即a2+b2=c2∴這個(gè)三角形是直角三角形.(2)∵132+142=169+196=365≠152

即a2+b2≠c2∴這個(gè)三角形不是直角三角形.(3)設(shè)a=3x,則b=4x,c=5x∵(3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2

即a2+b2=c2∴這個(gè)三角形是直角三角形.四、新知應(yīng)用舉例【分析】先由含m,n的代數(shù)式判斷出a,b,c中最長(zhǎng)的邊是c,再利用勾股定理的逆定理作出判定.例2.已知△ABC的三邊分別是a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,

c=m2+n2(m>n,m,n都是正整數(shù)).△ABC是什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.解:△ABC是直角三角形.理由是:∵(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2

即a2+b2=c2∴△ABC是直角三角形.解:連結(jié)AC,∵∠B=900,AB=3,BC=4∴在Rt△ABC中由勾股定理得

∵在△ACD中

AC2+CD2=52+122=169=132

即AC2+CD2=

AD2∴由勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形例3.已知:如圖,四邊形ABCD中,∠B=900,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.求四邊形ABCD的面積?

互逆定理的典型應(yīng)用DCBA1213341.一個(gè)零件的形狀如下圖所示,按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC

都應(yīng)為直角.請(qǐng)根據(jù)工人師傅量出的這個(gè)零件各邊的尺寸,判斷這個(gè)零件符合要求.思考：這個(gè)四邊形ABCD的面積是多少?五、能力提升1312543DCBA解:∵在△ABC中,AB=3,AD=4,BD=5

則32+42=52,即AB2+AD2=BD2∴由勾股定理的逆定理得：△ABD是直角三角形,且∠A=900;∵在△ABC中,BD=5,BC=12,CD=13

則52+122=132,即AB2+AD2=BD2∴由勾股定理逆定理得：△BCD是直角三角形,且∠DBC=900∴這個(gè)零件符合要求.2.已知a,b,c為△ABC的三邊,且滿(mǎn)足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷△ABC的形狀.解:△ABC是直角三角形.理由是:∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c∴a2+b2+c2+338-10a-24b-26c

=0

則a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0∴(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0∴a-5=0,b-12=0,c-13=0∴a=5,b=12=,c=13∵52+122=25+144=169=132

即a2+b2=c2∴由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形.3.以△ABC三邊a,b,c為邊分別向外作正三角形,正方形;

以三邊為直徑作半圓,若S1+S2=S3成立.則△ABC是直角三角形嗎?為什么？ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3ABCabcS1S2S3BYYUSHENAC32.51BC461AB如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2。bacABC∵△ABC是直角三角形∴三邊之間的關(guān)系為：a2+b2=c2勾股定理的內(nèi)容：幾何描述：練一練（已知Rt△ABC,求AB）：56.25

勾股定理知識(shí)點(diǎn)回顧知識(shí)回顧BYYUSHEN據(jù)說(shuō)古埃及人用圖1的方法畫(huà)直角：把一根長(zhǎng)繩打上13個(gè)等距離的結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)間距、4個(gè)結(jié)間距、5個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）

新知探究BYYUSHENAB32.51BC461AC56.25∠A∠B∠CABC嘗試畫(huà)出滿(mǎn)足表格數(shù)據(jù)的三角形，測(cè)量它的三個(gè)角度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？約36.5°約22.5°45°

約53.5°約67.5°

如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.新知探究BYYUSHEN已知：如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿(mǎn)足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．分析：1.要證明△ABC是直角三角形，即要證明∠C=______°2.構(gòu)造△A’B’C’，使其滿(mǎn)足________________________________。3.如果△ABC____△A’B’C’，則△ABC是直角三角形。90≌AC=A’C’,BC=B’CbacABCbacA’B’C’∠C’=90°新知探究BYYUSHEN已知：如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿(mǎn)足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b，則A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A′B′2=c2則A′B′=c在△ABC與△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′，則∠C=∠C′=90°∴△ABC是直角三角形bacABCbacA’B’C’新知探究BYYUSHEN如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。幾何描述：∵三角形三邊之間的關(guān)系為：a2+b2=c2∴△ABC是直角三角形勾股數(shù)的概念：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.滿(mǎn)足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)。勾股數(shù)的性質(zhì)：一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù)。bacABC新知探究勾股定理的逆定理BYYUSHEN用角判斷：1.兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形；2.有一個(gè)角是90°的三角形是直角三角形；用邊判斷：如果已知條件與邊有關(guān)，則可通過(guò)勾股定理的逆定理（a2+b2=c2）進(jìn)行判斷.新知探究判斷直角三角形的方法BYYUSHEN下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？1、a=15，b=8，c=172、a=13，b=14，c=15解：∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形。∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴這個(gè)三角形不是直角三角形.課堂練習(xí)BYYUSHEN運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷直角三角形的一般步驟：1.找：確定三角形的最長(zhǎng)邊。2.算：分別計(jì)算出最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和。3.比：通過(guò)比較來(lái)判斷最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和是否相等。4.判：作出結(jié)論，若相等，則說(shuō)明這個(gè)三角形是直角三角形，否則不是直角三角形。