天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)校2024屆高三下學(xué)期第一次模擬考試 數(shù)學(xué) Word版含答案

2024年天津市十二區(qū)重點(diǎn)學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)/座位號(hào)填涂在答題卡規(guī)定位置上。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效。考試結(jié)束后，將答題卡交回。祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；2．本卷共9小題，每小題共5分，共45分。參考公式：·如果事件互斥，那么·柱體的體積公式，其中表示柱體的底面積，表示柱體的高。一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．2．已知，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．如圖是函數(shù)的部分圖象，則的解析式可能為（）A．B．C．D．4．已知函數(shù)，若，，則的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．6B．9C．11D．146．下列說(shuō)法正確的是（）A．一組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為17；B．根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05；C．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0；D．若隨機(jī)變量滿足，則．7．如圖是函數(shù)的部分圖象，是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，是圖象與軸的交點(diǎn)，是圖象與軸的交點(diǎn)，且的面積等于，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；B．函數(shù)的最小正周期為；C．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到；D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是。8．祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“幕勢(shì)既同，則積不容異”。這里的“冪”指水平截面的面積，“勢(shì)”指高。這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等，利用祖暅原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差，圖1是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線和均是以2為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳簿，所得截面四邊形均為正方形，模仿上述半球的體積計(jì)算方法，可以構(gòu)造一個(gè)與帳篷同底等高的正四棱柱，從中挖去一個(gè)倒放的同底等高的正四棱錐（如圖2），從而求得該帳篷的體積為（）A．B．C．D．9．已知雙曲線與拋物線，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)與拋物線相交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率等于（）A．B．C．D．第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上。2．本卷共11小題，共105分。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)一個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分。10．已知集合，則_________。11．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)________。12．已知圓與圓外切，此時(shí)直線被圓所截的弦長(zhǎng)為_(kāi)________。13．甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有4個(gè)大小相同的小球，其中甲箱中有2個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有3個(gè)紅球、1個(gè)白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知抽到白球的條件下，則2個(gè)球都是白球的概率為_(kāi)________；擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)大于等于2，就從甲箱子重隨機(jī)抽出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)大于等于3，就從乙箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球，則抽到紅球的概率為_(kāi)________。14．在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若設(shè)，，則可用表示為_(kāi)________；點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，若，則的最大值為_(kāi)________。15．己知函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________。三、解答題：本大題5小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16．（本小題滿分14分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且。（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，求的面積；（Ⅲ）若，求。17．（本小題滿分15分）如圖所示，在三棱柱中，平面，。是棱的中點(diǎn)，為棱中點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)。（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面與平面夾角的余弦值。18．（本小題滿分15分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，焦距是短半軸長(zhǎng)的倍，（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓上的三個(gè)不同點(diǎn)，線段交軸于點(diǎn)異于坐標(biāo)原點(diǎn)，且總有的面積與的面積相等，直線分別交軸于點(diǎn)兩點(diǎn)，求的值。19．（本小題滿分15分）若某類數(shù)列滿足“，且”，則稱這個(gè)數(shù)列為“型數(shù)列”。（Ⅰ）若數(shù)列滿足，求的值并證明：數(shù)列是“型數(shù)列”；（Ⅱ）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為“型數(shù)列”，記，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，當(dāng)不是“型數(shù)列”時(shí)，（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求證：。20．（本小題滿分16分）意大利畫(huà)家達(dá)芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么?這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題”，通過(guò)適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，定義雙曲正弦函數(shù)，類比三角函數(shù)的性質(zhì)可得雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)有如下性質(zhì)①平方關(guān)系：，②倍元關(guān)系：。（Ⅰ）求曲線在處的切線斜率；（Ⅱ）若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（Ⅲ）（i）證明：當(dāng)時(shí)，；（ii）證明：。2024年天津市十二區(qū)重點(diǎn)學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：每小題5分，滿分45分題號(hào)123456789答案BADCBBDDC二、填空題：每小題5分，共30分．（兩空中對(duì)一個(gè)得3分，對(duì)兩個(gè)得5分）10．11．12．13．14．15．三、解答題：本大題5小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16．（本小題滿分14分）解析：（Ⅰ）由正弦定理得：，1分，顯然則，3分又，故；4分（Ⅱ），由余弦定理可得，整理可得，5分又，解得，6分8分（Ⅲ）由正弦定理得：，則，9分，即，則，故為銳角，，10分，11分，12分14分17．（本小題滿分15分）解析（Ⅰ）【方法1】在三棱柱中，連接，連接，由是棱的中點(diǎn)，得是的中點(diǎn)，由為平行四邊形，得為線段中點(diǎn)，于是，而平面平面，所以平面?！痉椒?】在三棱柱中，平面，，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，2分設(shè)平面的法向量，則則，令，得，4分因?yàn)?，所以又因?yàn)槠矫妫云矫妫á颍┯桑á瘢┢矫娴姆ㄏ蛄?，又，則9分所以直線與平面所成角的正弦值為10分（Ⅲ）設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，的設(shè)平面與平面夾角為，則，13分所以平面與平面夾角的余弦值．15分18．（本小題滿分15分）解（Ⅰ）：設(shè)制圓的半焦距，由題意知，解得，橢圓的方程5分（Ⅱ）分析得兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，由題意直線斜率存在且不為0，并且縱截距不為0設(shè)直線，6分7分，化簡(jiǎn)得，8分設(shè)，10分直線，11分令14分所以。15分19．（本小題滿分15分）解析：（Ⅰ）令，則，令，則；2分由①，當(dāng)時(shí)，②，由①②得，當(dāng)時(shí)，，3分所以數(shù)列和數(shù)列是等比數(shù)列。因?yàn)?，所以，所以，因此，從而，所以?shù)列是“型數(shù)列”。6分（II）（i）因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為“G型數(shù)列”，所以，所以，因此數(shù)列遞增。又，所以，因此遞增，所以公比。又不是“型數(shù)列”，所以存在，使得，所以，8分又公比為正整數(shù)，所以，又，所以，則。10分（ii），因?yàn)?，所以，所以?3分令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，15分（其他答案酌情給分）20．（本小題滿分16分）解析：（Ⅰ），則1分所以所以在處的切線斜率為2分（Ⅱ）令，則3分下面證明：對(duì)任意恒成立先證明：對(duì)任意。證明如下：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，5分繼續(xù)證明：對(duì)任意。證明如下：令，則，因此在上單調(diào)遞增；所以，故7分當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得；8分當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有，對(duì)，都有，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則對(duì)，都有成立，不符合題意，舍去。綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是。9分（Ⅲ）（i），令，則所以在上