第04講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（選學(xué)）（1個知識點1類題型18道強(qiáng)化訓(xùn)練）-八年級數(shù)學(xué)下冊學(xué)與練（浙教版）（原卷版）

第04講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（選學(xué)）（1個知識點+1類題型+18道強(qiáng)化訓(xùn)練）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；.1.掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；知識點一：根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程（）的兩根為那么，就有比較等式兩邊對應(yīng)項的系數(shù)，得①式與②式也可以運用求根公式得到．人們把公式①與②稱之為韋達(dá)定理，即根與系數(shù)的關(guān)系．因此，給定一元二次方程就一定有①與②式成立．反過來，如果有兩數(shù)滿足①與②，那么這兩數(shù)必是一個一元二次方程的根．利用這一基本知識常可以簡捷地處理問題．利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不求方程的根，而知其根的正、負(fù)性．在的條件下，我們有如下結(jié)論：當(dāng)時，方程的兩根必一正一負(fù)．若，則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對值；若，則此方程的正根小于負(fù)根的絕對值．當(dāng)時，方程的兩根同正或同負(fù)．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負(fù)根．⑴韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）：如果的兩根是，，則，．(隱含的條件：)⑵若，是的兩根(其中)，且為實數(shù)，當(dāng)時，一般地：①，②且，③且，特殊地：當(dāng)時，上述就轉(zhuǎn)化為有兩異根、兩正根、兩負(fù)根的條件．⑶以兩個數(shù)為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是：．⑷其他：若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根(，為有理數(shù))．若，則方程必有實數(shù)根．若，方程不一定有實數(shù)根．若，則必有一根．若，則必有一根．⑸韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）主要應(yīng)用于以下幾個方面：已知方程的一個根，求另一個根以及確定方程參數(shù)的值；已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；已知方程的兩根，求作方程；結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時，就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，以便利用韋達(dá)定理；⑤利用韋達(dá)定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗證方程的．一些考試中，往往利用這一點設(shè)置陷阱．【即學(xué)即練1】1．（2023上·浙江臺州·九年級臺州初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)方程的兩個根為m，n，那么的值等于（

）A． B． C．1 D．3【即學(xué)即練2】2．（2023·浙江寧波·九年級效實中學(xué)校聯(lián)考自主招生）已知為正實數(shù)，，是方程的兩個根，則()A． B． C． D．【即學(xué)即練3】3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）若a，b滿足，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練4】4．（2023下·浙江·八年級統(tǒng)考期末）已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根．若，則的值是（

）A．或3 B． C．3 D．或71．（2024上·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）若是一元二次方程的一個根，則方程的另一個根是（

）A． B． C．0 D．22．（2024上·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）以2和為根的一元二次方程是（

）A． B．C． D．3．（2024上·重慶潼南·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則該方程兩個根的和等于（

）A． B． C．3 D．104．（2023·四川廣安·統(tǒng)考一模）一個等腰三角形的底邊長是3，兩腰長是關(guān)于x的方程的兩個根，則該等腰三角形的周長為（

）A．6 B．7 C．8 D．155．（2024·四川廣元·統(tǒng)考一模）關(guān)于的一元二次方程中，若，，，則這個方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根C．有一個正根和一個負(fù)根 D．有兩個正的實數(shù)根6．（2024上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期末）已知一元二次方程的兩根分別為a，b，則的值（

）A．2 B． C． D．7．（2023上·廣東東莞·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若m，n是方程的兩個根，則代數(shù)式的值為（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．20258．（2023上·陜西咸陽·九年級校考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩實數(shù)根為，若，則m的值為（）A． B．2 C．2或 D．9．（2022·安徽·模擬預(yù)測）若方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則常數(shù)的取值范圍為．10．（2024上·山東日照·九年級校聯(lián)考期末）已知m、n是方程的兩根，則．11．（2024上·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）已知a，b是方程的兩根，則．12．（2024上·四川廣安·九年級統(tǒng)考期末）設(shè)，是方程的兩個實數(shù)根，則的值是．13．（2023上·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知a、b是方程的根，則式子的值為．14．（2023上·河北滄州·九年級統(tǒng)考期末）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，若是倍根方程，則．15．（2024上·海南儋州·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若方程的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)，求的值．16．（2024上·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；(2)若時，求方程兩根的值．17．（2024上·四川達(dá)州·九年級統(tǒng)考期末）已知m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根．(1)求的值．(2)求的值．18．（2024上·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：k取任何實數(shù)值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若斜邊長，另兩條邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求的周長．19．（2023上·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根；(2)設(shè)該方程的兩個實數(shù)根為a，b，若，求k的值．20．（2023上·天津和平·九年級統(tǒng)考期末）（1）用適當(dāng)方程解一元二次方程：；（2）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，．若時，求k值及方程的解．A夯實基礎(chǔ)1．（2024上·四川成都·九年級成都市樹德實驗中學(xué)校考期末）已知一元二次方程有一個根為2，則另一根為（

）A． B． C．7 D．32．（2024上·四川巴中·九年級統(tǒng)考期末）若是一元二次方程的根，則的值為（

）A． B．5 C． D．243．（2024上·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考期末）若，是一元二次方程的兩根，則．4．（2024上·江西上饒·九年級統(tǒng)考期末）已知方程的兩個根分別為，，則的值為．5．（2023上·北京朝陽·九年級北京八十中?？计谥校┮阎?，是方程的兩個實數(shù)根：(1)填空：______；______．(2)求代數(shù)式的值．6．（2023上·陜西榆林·九年級榆林市第一中學(xué)分校?？茧A段練習(xí)）已是關(guān)于的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足，求的值．B能力提升1．（2024·全國·九年級競賽）已知關(guān)于的方程的兩根分別為和，若，則的值為（

）．A． B． C． D．2．（2024上·四川眉山·九年級統(tǒng)考期末）已知m，n是方程的兩根，則的值是（

）A．8 B． C．0 D．3．（2024上·四川瀘州·九年級統(tǒng)考期末）已知方程的兩根分別為，，則的值為．4、（2024上·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期末）若，是一元二次方程的兩根，且，則的值為．5．（2024上·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程.(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；(2)若，是方程的兩個根，且，求m的值．6．（2024上·江蘇·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于的一元二次方程的兩根為．(1)設(shè)，請用含的代數(shù)式表示；(2)當(dāng)時，求此時方程的根．C綜合素養(yǎng)1．（2024·全國·九年級競賽）已知是方程的兩個實數(shù)根，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·八年級競賽）如果實數(shù)滿足，且，則的值為（

）A．1 B．5 C．8 D．113．（2024上·山東德州·九年級統(tǒng)考期末）已知m，n是方程的兩個實數(shù)根，則．4．（2024·全國·九年級競賽）已知實數(shù)分別滿足和，那么的值是