2-4曲線與方程-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期知識(shí)梳理考點(diǎn)精講精練(人教B版2019選擇性必修第一冊(cè))(原卷版)

第二章平面解析幾何幾何2.4曲線與方程知識(shí)梳理一曲線方程的定義在直角坐標(biāo)系中，如果曲線上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（2）以這個(gè)方程上的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上；那么這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。二求軌跡方程的基本流程求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過(guò)“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．1．五種軌跡方程求法：（1）直接法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；（2）定義法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時(shí)，常采用定義法；（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法；（4）消參法：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)借助中間參量得到橫縱坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)一步得到方程；（5）交軌法：求兩條動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡方程時(shí)可由方程直接消去參數(shù)，得到軌跡方程。2．求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等．3．求軌跡方程的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線）上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）列出關(guān)于的方程；（3）把方程化為最簡(jiǎn)形式；（4）除去方程中的瑕點(diǎn)（即不符合題意的點(diǎn)）；（5）作答．常見(jiàn)考點(diǎn)考點(diǎn)一曲線與方程的概念、點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系典例1．已知命題“方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn)”是真命題，則下列命題正確的是（

）.A．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；B．坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)不在曲線上；C．曲線C是方程的曲線；D．不是曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)，一定不滿方程.變式1-1．已知坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，那么（）A．曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程B．不在上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合C．凡坐標(biāo)不適合的點(diǎn)都不在上D．不在上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合，有些不適合變式1-2．設(shè)曲線和的交點(diǎn)為P，那么曲線必定（

）A．經(jīng)過(guò)P點(diǎn) B．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)C．不一定經(jīng)過(guò)P點(diǎn) D．經(jīng)過(guò)P點(diǎn)和原點(diǎn)變式1-3．若點(diǎn)在曲線上，則實(shí)數(shù)a的值等于（

）A． B．1 C．3 D．考點(diǎn)二由方程求曲線的圖形典例2．方程所表示的曲線為（

）A．射線 B．直線C．射線或直線 D．無(wú)法確定變式2-1．方程表示的曲線是（

）A．圓 B．半圓與一條直線 C．一條直線 D．兩條直線變式2-2．方程y＝表示的曲線是（

）A．一個(gè)圓 B．兩條射線C．半個(gè)圓 D．一條射線變式2-3．方程表示的曲線是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三由方程研究曲線的性質(zhì)典例3．方程所表示的曲線（

）．A．關(guān)于y軸對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱變式3-1．方程表示的曲線關(guān)于（

）A．直線對(duì)稱 B．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 C．軸對(duì)稱 D．軸對(duì)稱變式3-2．已知曲線C方程為x2+y2+|x|y＝2020，則曲線C關(guān)于（）對(duì)稱A．x軸 B．y軸 C．原點(diǎn) D．y＝x變式3-3．方程所表示的曲線（

）A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱考點(diǎn)四求軌跡方程-直接法典例4．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為（

）A． B． C． D．變式4-1．在平面直角坐標(biāo)系中，若定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．變式4-2．在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．變式4-3．已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且被軸截得的弦長(zhǎng)為2，則圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)五求軌跡方程-代入法（相關(guān)點(diǎn)法）典例5．已知是橢圓上任一點(diǎn).是坐標(biāo)原點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．變式5-1．點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．變式5-2．已知點(diǎn)，直線，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若是RA的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．變式5-3．已知點(diǎn)A(1，0)，直線l：y＝2x－4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為(

)A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4鞏固練習(xí)練習(xí)一曲線與方程的概念、點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系1．已知曲線C的方程是，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)可以滿足方程B．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程C．坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)都不在曲線C上D．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程2．若命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”是真命題，則下列命題中是真命題的為A．方程表示的曲線是C B．方程是曲線C的方程C．方程的曲線不一定是C D．以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上3．下列各點(diǎn)中，在曲線上的是（

）A． B． C． D．4．已知曲線的方程為，則下列各點(diǎn)中在曲線上的點(diǎn)是（）A． B． C． D．練習(xí)二由方程求曲線的圖形5．如圖，方程表示的曲線是（

）．A．B．C．D．6．方程表示的圖形是（

）A．直線 B．直線C．點(diǎn) D．直線和直線7．方程表示的圖形是A．圓 B．兩條直線C．一個(gè)點(diǎn) D．兩個(gè)點(diǎn)8．方程表示的曲線為（

）A．兩條線段 B．一條線段和一個(gè)圓C．一條線段和半個(gè)圓 D．一條射線和半個(gè)圓練習(xí)三由方程研究曲線的性質(zhì)9．方程表示的曲線滿足（

）A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．以上說(shuō)法都不對(duì)10．方程所表示的曲線的對(duì)稱性是（

）A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱11．方程所表示的曲線（

）A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱12．關(guān)于曲線有如下四個(gè)結(jié)論：①圖像關(guān)于軸對(duì)稱；

②圖像關(guān)于軸對(duì)稱；③圖像上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過(guò)4；

④當(dāng)時(shí)，是的函數(shù).其中正確的序號(hào)是（

）A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④練習(xí)四求軌跡方程-直接法13．點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則滿足的方程是（

）A． B．C． D．14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．15．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，且，則點(diǎn)軌跡方程為（

）A． B． C． D．16．自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點(diǎn)P(x，y)引該圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，PQ的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0D．6x－8y－21＝0練習(xí)五求軌跡方程-代入法（相關(guān)點(diǎn)法）17．當(dāng)點(diǎn)P在圓上變動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)Q(3，0)相連，線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是（

）A． B．C．