專題17.3 勾股定理的應(yīng)用【十二大題型】（舉一反三）-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（人教版）（解析版）

專題17.3勾股定理的應(yīng)用【十二大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求梯子滑落高度】 1【題型2求旗桿高度】 6【題型3求小鳥(niǎo)飛行距離】 9【題型4求大樹(shù)折斷前的高度】 12【題型5解一元一次不等式組】 16【題型6解決水杯中筷子問(wèn)題】 20【題型7解決航海問(wèn)題】 23【題型8求河寬】 28【題型9求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度】 31【題型10判斷汽車是否超速】 34【題型11選址使到兩地距離相等】 37【題型12求最短路徑】 41【題型1求梯子滑落高度】【例1】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)校考期中）某地一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊(duì)員決定用消防車上的云梯救人如圖（1），如圖（2），已知云梯最多只能伸長(zhǎng)到15m（即AB=CD=15m），消防車高3m，救人時(shí)云梯伸長(zhǎng)至最長(zhǎng)，在完成從12m（即BE=12m）高的B處救人后，還要從15m（即DE=15m）高的D處救人，這時(shí)消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為多少米？（延長(zhǎng)AC交DE于點(diǎn)O，AO⊥DE，點(diǎn)B在DE上，OE的長(zhǎng)即為消防車的高3m）【答案】消防車從原處向著火的樓房靠近的距離AC為3【分析】在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理得到AO和OC，于是得到結(jié)論．【詳解】解：在Rt△ABO中,∵∠AOB=90°，AB=15m，OB=12?3=9∴AO=A在Rt△ABO中，∵∠COD=90°，CD=15m，OD=15?3=12∴OC=C∴AC=OA?OC=3（m），答：消防車從原處向著火的樓房靠近的距離AC為3m【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一根竹竿斜靠在左墻時(shí)，竹竿底端O到左墻角的距離OC為0.7米，頂端B距墻頂?shù)木嚯xAB為0.6米若保持竹竿底端位置不動(dòng)，將竹竿斜靠在右墻時(shí)，竹竿底端到右墻角的距離OF為1.5米，頂端E距墻項(xiàng)D的距離DE為1米，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，點(diǎn)D、E、F在一條直線上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：(1)墻的高度；(2)竹竿的長(zhǎng)度．【答案】(1)墻高3米(2)竹竿的長(zhǎng)2.5米【分析】（1）設(shè)墻高x米，在RtΔBCO，RtΔ（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)墻高x米，∵AC⊥CF，DF⊥CF，∴∠BCO=∠EFO=90°，在RtΔBCO，BO2=∵BO=OE，∴(x?1)2解得：x=3，答：墻高3米；（2）由（1得），BO2=∴BO=(3?0.6)答：竹竿的長(zhǎng)2.5米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理實(shí)際應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵時(shí)根據(jù)兩種不同狀態(tài)竹竿長(zhǎng)不變列等式及正確計(jì)算．【變式1-2】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一條筆直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墻面上，一端在墻面A處，另一端在地面B處，墻角記為點(diǎn)C．(1)若AB=6.5米，BC=2.5米．①竹竿的頂端A沿墻下滑1米，那么點(diǎn)B將向外移動(dòng)多少米？②竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離，有可能相等嗎？如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果可能，請(qǐng)求出移動(dòng)的距離（保留根號(hào)）．(2)若AC=BC，則頂端A下滑的距離與底端B外移的距離，有可能相等嗎？若能相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不等，請(qǐng)比較頂端A下滑的距離與底端B外移的距離的大?。敬鸢浮?1)①69?52米；②竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)(2)不可能相等，頂端A下滑的距離大于底端B外移的距離．【分析】（1）先根據(jù)勾股定理可得AC=6米，①根據(jù)題意得：AA′=1m，可得到A′C=AC?AA′=5米，由勾股定理可得B′C（2）設(shè)AC=BC=a，從A處沿墻AC下滑的距離為m米，點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離為n米，則AB=A′B【詳解】（1）解：∠C=90°，AB=A∴AC=A①根據(jù)題意得：AA∴A′∴B′∴BB即點(diǎn)B將向外移動(dòng)69?5②竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離，有可能相等，理由如下：設(shè)從A處沿墻AC下滑的距離為x米，點(diǎn)B也向外移動(dòng)的距離為x米，根據(jù)題意得：6?x2解得：x1∴從A處沿墻AC下滑的距離為3.5米時(shí)，點(diǎn)B也向外移動(dòng)的距離為3.5米，即竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離，有可能相等；（2）解：不可能相等，理由如下：設(shè)AC=BC=a，從A處沿墻AC下滑的距離為m米，點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離為n米，則AB=Aa?m2整理得：2am?n即m?n=m∵a、m、n都為正數(shù)，∴m?n=m2+∴頂端A下滑的距離大于底端B外移的距離．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）拉桿箱是人們出行的常用品，采用拉桿箱可以讓人們出行更輕松．如圖，一直某種拉桿箱箱體長(zhǎng)AB＝65cm，拉桿最大伸長(zhǎng)距離BC＝35cm，在箱體底端裝有一圓形滾輪，當(dāng)拉桿拉到最長(zhǎng)時(shí)，滾輪的圓心在圖中的A處，點(diǎn)A到地面的距離AD＝3cm，當(dāng)拉桿全部縮進(jìn)箱體時(shí)，滾輪圓心水平向右平移55cm到A′處，求拉桿把手C離地面的距離（假設(shè)C點(diǎn)的位置保持不變）．【答案】拉桿把手C離地面的距離為63cm【分析】過(guò)C作CE⊥DN于E，延長(zhǎng)AA'交CE于F，根據(jù)勾股定理即可得到方程652-x2=1002-（55+x）2，求得A'F的長(zhǎng)，即可利用勾股定理得到CF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出CE的長(zhǎng)．【詳解】如圖所示，過(guò)C作CE⊥DN于E，延長(zhǎng)AA'交CE于F，則∠AFC＝90°，設(shè)A'F＝x，則AF＝55+x，由題可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65，∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2，Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，解得x＝25，∴A'F＝25，∴CF＝A′C2又∵EF＝AD＝3（cm），∴CE＝60+3＝63（cm），∴拉桿把手C離地面的距離為63cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．【題型2求旗桿高度】【例2】（2023春·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）同學(xué)們想利用升旗的繩子、卷尺，測(cè)算學(xué)校旗桿的高度．愛(ài)動(dòng)腦的小華設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)方案：如圖，將升旗的繩子拉直剛好觸底，此時(shí)測(cè)得繩子末端C到旗桿AB的底端B的距離為1米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5米的點(diǎn)E處，此時(shí)測(cè)得繩子末端E距離地面的高度DE為1米．請(qǐng)你根據(jù)小華的測(cè)量方案和測(cè)量數(shù)據(jù)，求出學(xué)校旗桿的高度．【答案】12.5米【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得出AC2=AB2+BC【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，如圖所示：由題意可知：四邊形BDEF是長(zhǎng)方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和RtAC2=A即AC2=A又∵AC=AE，∴AB解得：AB=12.5．答：學(xué)校旗桿的高度為12.5米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出關(guān)于AB方程AB【變式2-1】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，大街小巷掛滿了彩旗．如圖是一面長(zhǎng)方形彩旗完全展平時(shí)的尺寸圖（單位：cm）．其中長(zhǎng)方形ABCD是由雙層白布縫制的穿旗桿用的旗褲，陰影部分DCEF為長(zhǎng)方形綢緞旗面，將穿好彩旗的旗桿垂直插在地面上．旗桿從旗頂?shù)降孛娴母叨葹?40cm，在無(wú)風(fēng)的天氣里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂時(shí)最低處離地面的最小高度h．【答案】90cm【分析】首先觀察題目，作輔助線構(gòu)造一個(gè)直角三角形，如圖，連接DE；已知彩旗為長(zhǎng)方形，由題意可知，無(wú)風(fēng)的天氣里，彩旗自然下垂時(shí)，彩旗最低處到旗桿頂部的長(zhǎng)度正好是長(zhǎng)方形彩旗完全展開(kāi)時(shí)的對(duì)角線的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理可求出它的長(zhǎng)度；然后用旗桿頂部到地面高度減去這個(gè)數(shù)值，即可求得答案．【詳解】彩旗自然下垂的長(zhǎng)度就是長(zhǎng)方形DCEF的對(duì)角線DE的長(zhǎng)度，連接DE，在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得DE＝DF2+Eh＝240－150＝90(cm)．∴彩旗下垂時(shí)的最低處離地面的最小高度h為90cm．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，此類題的難點(diǎn)在于正確理解題意，結(jié)合實(shí)際運(yùn)用勾股定理．【變式2-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）太原的五一廣場(chǎng)視野開(kāi)闊，是一處設(shè)計(jì)別致，造型美麗的廣場(chǎng)園林，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場(chǎng)所，某校八年級(jí)（1）班的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得圖中風(fēng)箏的高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得BD的長(zhǎng)為15米（注：BD⊥CE）；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.7米．(1)求風(fēng)箏的高度CE．(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，求BH的長(zhǎng)度．【答案】(1)風(fēng)箏的高度CE為21.7米(2)BH的長(zhǎng)度為9米【分析】（1）在Rt△CDB中由勾股定理求得CD的長(zhǎng)，再加上DE（2）利用等積法求出DH的長(zhǎng)，再在Rt△BHD中由勾股定理即可求得BH【詳解】（1）在Rt△CDBCD=C所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7（米），答：風(fēng)箏的高度CE為21.7米．（2）由等積法知：12解得：DH=15×20在Rt△BHD中，BH=答：BH的長(zhǎng)度為9米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確運(yùn)用勾股定理是關(guān)鍵，注意計(jì)算準(zhǔn)確．【變式2-3】（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一根直立的旗桿高8米，一陣大風(fēng)吹過(guò)，旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部（B）著地，離旗桿底部（A）4米，工人在修復(fù)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方1.25米D處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將旗桿從D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的危險(xiǎn)？【答案】6【分析】先根據(jù)勾股定理求得AC，進(jìn)而求得AD，根據(jù)勾股定理即可求得范圍．【詳解】由題意可知AC+BC=8,AB=4，則AC即AC解得AC=3，若下次大風(fēng)將旗桿從D處吹斷，如圖，∴AD=AC?1.25=3?1.25=1.75，∴BD=AB?AD=8?1.75=6.25，AB=B∴則距離旗桿底部周圍6米范圍內(nèi)有被砸傷的危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【題型3求小鳥(niǎo)飛行距離】【例3】（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一只小鳥(niǎo)旋停在空中A點(diǎn)，A點(diǎn)到地面的高度AB=20米，A點(diǎn)到地面C點(diǎn)（B、C兩點(diǎn)處于同一水平面）的距離AC=25米．若小鳥(niǎo)豎直下降12米到達(dá)D點(diǎn)（D點(diǎn)在線段AB上），求此時(shí)小鳥(niǎo)到地面C點(diǎn)的距離．【答案】17米【分析】已知AB和AC的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)度，小鳥(niǎo)下降12米，則BD=AB-12，根據(jù)勾股定理即可求出CD的長(zhǎng)度．【詳解】解：由勾股定理得；BC∴BC=15（米），∵BD=AB?AD=20?12=8（米），∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=∴此時(shí)小鳥(niǎo)到地面C點(diǎn)的距離17米．答；此時(shí)小鳥(niǎo)到地面C點(diǎn)的距離為17米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理得實(shí)際應(yīng)用，熟練地掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有兩棵樹(shù)，一棵高6米，另一棵高3米，兩樹(shù)相距4米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，至少飛了（）米．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】此題可以過(guò)低樹(shù)的一端向高樹(shù)引垂線．則構(gòu)造了一個(gè)直角三角形：其斜邊是小鳥(niǎo)飛的路程，一條直角邊是4，另一條直角邊是兩樹(shù)相差的高度3．根據(jù)勾股定理得：小鳥(niǎo)飛了5米．【詳解】解：如圖所示，AB＝6m，CD＝3m，BC＝4m，過(guò)D作DE⊥AB于E，則DE＝BC＝4m，BE＝CD＝3m，AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3m，在Rt△ADE中，AD＝5m．故選：C．【點(diǎn)睛】能夠正確理解題意，準(zhǔn)確畫(huà)出圖形，熟練運(yùn)用勾股定理即可．【變式3-2】（2023春·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）有一只喜鵲在一棵3m高的小樹(shù)上覓食，它的巢筑在距離該樹(shù)24m的一棵大樹(shù)上，大樹(shù)高14m，且巢離樹(shù)頂部1m．當(dāng)它聽(tīng)到巢中幼鳥(niǎo)的叫聲，立即趕過(guò)去，如果它飛行的速度為5m/s，那它至少需要多少時(shí)間才能趕回巢中？【答案】它至少需要5.2s才能趕回巢中．【分析】根據(jù)題意，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理解答．【詳解】解：如圖，由題意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．過(guò)A作AE⊥CD于E．則CE=13-3=10，AE=24，∴在Rt△AEC中，AC2=CE2+AE2=102+242．∴AC=26，26÷5=5.2（s）．答：它至少需要5.2s才能趕回巢中．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，同時(shí)注意：時(shí)間=路程÷速度．【變式3-3】（2023春·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）假期中，小明和同學(xué)們到某海島上去探寶，按照探寶圖，他們從A點(diǎn)登陸后先往東走8千米，又往北走2千米，遇到障礙后又往西走了3千米，再折向北走了6千米處往東一拐，僅走了1千米就找到寶藏，問(wèn)登陸點(diǎn)A到寶藏埋藏點(diǎn)B的直線距離是多少千米？

【答案】10千米【分析】通過(guò)行走的方向和距離得出對(duì)應(yīng)的線段的長(zhǎng)度．根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D．根據(jù)題意可知，AD=8﹣3+1=6，BD=2+6=8，在Rt△ABD中，∴AB=A答：登陸點(diǎn)A到寶藏處B的距離為10千米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．讀懂題意，根據(jù)題意找到需要的等量關(guān)系，與勾股定理結(jié)合求線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【題型4求大樹(shù)折斷前的高度】【例4】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在傾斜角為45°（即∠NMP=45°）的山坡MN上有一棵樹(shù)AB，由于大風(fēng)，該樹(shù)從點(diǎn)E處折斷，其樹(shù)頂B恰好落在另一棵樹(shù)CD的根部C處，已知AE=1m，AC=(1)求這兩棵樹(shù)的水平距離CF；(2)求樹(shù)AB的高度．【答案】(1)3m(2)6m【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)，證得AF=CF，根據(jù)勾股定理即可求得．（2）在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理即可解得．【詳解】（1）由題可知MP∥CF，∴∠ACF=∠NMP=45°，∴AF=CF

在Rt△ACF中，CF∴2CF∴AF=CF=3（m）．即這兩棵樹(shù)的水平距離為3m．（2）在Rt△CEF中，CE∴CE=3∴AB=AE+CE=5+1=6（m）．即樹(shù)AB的高度為6m．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．【變式4-1】（2023春·廣東云浮·八年級(jí)統(tǒng)考期中）海洋熱浪對(duì)全球生態(tài)帶來(lái)了嚴(yán)重影響，全球變暖導(dǎo)致華南地區(qū)汛期更長(zhǎng)、降水強(qiáng)度更大，使得登錄廣東的臺(tái)風(fēng)減少，但是北上的臺(tái)風(fēng)增多．如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中距地面5m處折斷，倒下后樹(shù)頂端著地點(diǎn)A距樹(shù)底端B的距離為12m，這棵大樹(shù)在折斷前的高度為（

A．10m B．15m C．18m【答案】C【分析】如圖，勾股定理求出AC的長(zhǎng)，利用AC+BC求解即可．【詳解】解：如圖，由題意，得：BC=5,AB=12，BC⊥AB，

∴AC=A∴這棵大樹(shù)在折斷前的高度為13+5=18m故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·山西陽(yáng)泉·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭(zhēng)蹴．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”此問(wèn)題可理解為：“如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地距離PA的長(zhǎng)為1尺，將它向前水平推送10尺時(shí)，即P′C=10尺，秋千踏板離地的距離P′【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2．【分析】根據(jù)勾股定理列方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意知：OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，在Rt△OCP'中，由勾股定理得：（x+1﹣5）2+102＝x2．故答案為：（x+1﹣5）2+102＝x2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用和列方程，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·廣東珠?！ぐ四昙?jí)校考期中）如圖，一根直立的旗桿高8m,因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A4m.（1）求旗桿距地面多高處折斷；（2）工人在修復(fù)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方1.25m的點(diǎn)D處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的危險(xiǎn)？【答案】（1）旗桿距地面3m處折斷；（2）距離桿腳周圍6米大范圍內(nèi)有被砸傷的危險(xiǎn)．【分析】（1）由題意可知：AC+BC=8米，根據(jù)勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因?yàn)锳B=4米，即可求得AC的長(zhǎng)；（2）易求D點(diǎn)距地面3-1.25=1.75米，BD=8-1.75=6.25米，再根據(jù)勾股定理可以求得AB=6米，所以6米內(nèi)有危險(xiǎn)．【詳解】（1）由題意可知：AC+BC=8米，∵∠A=90°，∴AB2+AC2=BC2，又∵AB=4米，∴AC=3米，BC=5米，∴旗桿距地面3m處折斷；（2）如圖，∵D點(diǎn)距地面AD=3-1.25=1.75米，∴BD=8-1.75=6.25米，∴AB=BD∴距離桿腳周圍6米大范圍內(nèi)有被砸傷的危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．【題型5判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響】【例5】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，鐵路MN和公路PQ在點(diǎn)O處交匯，∠QON=30°，公路PQ上A處距離O點(diǎn)240米，如果火車行駛時(shí)，火車頭周圍150米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN上沿MN方向以72千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)，A處受到噪音影響的時(shí)間為秒．【答案】9【分析】過(guò)點(diǎn)A作AC⊥MN，求出最短距離AC的長(zhǎng)度，然后在MN上取點(diǎn)B，D，使得AB=AD=150米，根據(jù)勾股定理得出BC，CD的長(zhǎng)度，即可求出BD的長(zhǎng)度，然后計(jì)算出時(shí)間即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥MN，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=1在MN上取點(diǎn)B，D，使得AB=AD=150米，當(dāng)火車到B點(diǎn)時(shí)對(duì)A處產(chǎn)生噪音影響，∵AB=150米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=AB2?AC∵72千米/小時(shí)=20米/秒，∴影響時(shí)間應(yīng)是：180÷20=9秒．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出受影響的路段，從而利用勾股定理求出其長(zhǎng)度．【變式5-1】（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）為了鼓勵(lì)大家積極接種新冠疫苗，某區(qū)鎮(zhèn)政府采用了移動(dòng)宣講的形式進(jìn)行廣播宣傳．如圖，筆直的公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊到公路MN的距離為300m，宣講車P周圍500m以內(nèi)能聽(tīng)到廣播宣傳，宣講車P在公路上沿(1)村莊能否聽(tīng)到廣播宣傳？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)已知宣講車的速度是50m【答案】(1)能，理由見(jiàn)解析(2)16【分析】（1）根據(jù)村莊A到公路MN的距離為300米<500米，即可得出村莊能聽(tīng)到廣播宣傳．（2）根據(jù)勾股定理得到BP=BQ=5002?3002【詳解】（1）村莊能聽(tīng)到廣播宣傳，理由如下：∵村莊A到公路MN的距離為300米<500米，∴村莊能聽(tīng)到廣播宣傳．（2）如圖：假設(shè)當(dāng)宣傳車行駛到P點(diǎn)開(kāi)始能聽(tīng)到廣播，行駛到Q點(diǎn)不能聽(tīng)到廣播，則AP=AQ=500米，AB=300米，由勾股定理得：BP=BQ=5002?∴PQ=800米，∴能聽(tīng)到廣播的時(shí)間為：800÷50=16(分鐘)，∴村莊總共能聽(tīng)到16分鐘的宣傳．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，結(jié)合生活實(shí)際，便于更好地理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·山東青島·八年級(jí)校考期末）如圖所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一塊山地正在開(kāi)發(fā)，現(xiàn)需要在C處進(jìn)行爆破，已知點(diǎn)C與公路上的?？空続的距離為300米，與公路上的另一?？空綛的距離為400米，且CA⊥CB．為了安全起見(jiàn)，爆破點(diǎn)C周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，在進(jìn)行爆破時(shí)，公路AB是否有危險(xiǎn)而需要封鎖？如果需要，請(qǐng)計(jì)算需要封鎖的路段長(zhǎng)度；如果不需要，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】公路AB有危險(xiǎn)需要封鎖，需要封鎖的路段長(zhǎng)度為140米【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D,利用勾股定理算出AB的長(zhǎng)度，然后利用三角形的面積公式可求出CD的長(zhǎng)，用CD的長(zhǎng)和250比較大小即可判斷是否需要封鎖，最后根據(jù)勾股定理求出封鎖的長(zhǎng)度．【詳解】解：公路AB需要暫時(shí)封鎖，理由如下：如圖，過(guò)C作CD⊥AB于D，因?yàn)锽C=400米，AC=300米，∠ACB=90°，所以根據(jù)勾股定理有AB=500米，因?yàn)镾△ABC所以CD=BC?AC由于240米封鎖長(zhǎng)度為：2×250因此AB段公路需要暫時(shí)封鎖，封鎖長(zhǎng)度為140米．【點(diǎn)睛】本題考查了正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．(1)A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，則A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】(1)要，理由見(jiàn)解析(2)6【分析】（1）由A點(diǎn)向BF作垂線，垂足為C，根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)，與200km比較即可得結(jié)論；（2）BF上分別取D、G，則△ADG是等腰三角形，由AC⊥BF，則C是DG的中點(diǎn)，在Rt△ADC中，解出CD的長(zhǎng)，則可求DG長(zhǎng)，在GD【詳解】（1）解：由A點(diǎn)向BF作垂線，垂足為C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，則AC=160km因?yàn)?60<200，所以A城要受臺(tái)風(fēng)影響；（2）設(shè)BF上點(diǎn)D，DA=200km，則還有一點(diǎn)G，有AG=200km．∵DA=AG，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分線，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200km，AC=160km由勾股定理得，CD=DA2則DG=2DC=240km，遭受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是：t=240÷40=6（h）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及點(diǎn)到直線的距離，構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．【題型6解決水杯中筷子問(wèn)題】【例6】（2023春·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條長(zhǎng)16cm的直吸管露在罐外部分a的長(zhǎng)度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（

A．4<a<5 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2【答案】B【分析】如圖，當(dāng)吸管底部在D點(diǎn)時(shí)吸管在罐內(nèi)部分最短，當(dāng)吸管底部在B點(diǎn)時(shí)吸管在罐內(nèi)部分最長(zhǎng)，此時(shí)利用勾股定理在Rt△ADB中求出AB【詳解】解：如圖，

當(dāng)吸管底部在底面圓心時(shí)吸管在罐內(nèi)部分最短，此時(shí)吸管的的長(zhǎng)度就是圓柱形的高，即12，∴a=16?12=4，當(dāng)吸管底部在飲料罐的壁底時(shí)吸管在罐內(nèi)部分最長(zhǎng)，吸管長(zhǎng)度=A∴此時(shí)a=16?13=3，所以3≤a≤4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·重慶渝中·八年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？计谥校┮桓窀筒宓剿刂须x岸邊1.5m遠(yuǎn)的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的頂端拉向岸邊，則竿頂剛好接觸到岸邊，并且和水面一樣高，問(wèn)水池的深度為（）A．2m B．2.5cm C．2.25m D．3m【答案】A【分析】設(shè)水池的深度BC＝xm，則AB＝（0.5+x）m，根據(jù)勾股定理列出方程，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：在直角△ABC中，AC＝1.5m．AB﹣BC＝0.5m．設(shè)水池的深度BC＝xm，則AB＝（0.5+x）m．根據(jù)勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2，∴1.52+x2＝（x+0.5）2，解得：x＝2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)勾股定理，列出方程，是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·山東青島·八年級(jí)?？计谥校┯幸粋€(gè)邊長(zhǎng)為10米的正方形水池，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1米．如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)水池水的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？【答案】水池水深12米，蘆葦長(zhǎng)13米【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：如圖：設(shè)蘆葦BC長(zhǎng)為x米，則水深A(yù)B為（x-1）米．∵蘆葦長(zhǎng)在水池中央，∴AC=12根據(jù)勾股定理得：AC則：52解得：x=13，∴x-1=13-1=12，答：水池水深12米，蘆葦長(zhǎng)13米．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容，勾股題意構(gòu)造直角三角形，，根據(jù)勾股定理列出方程求解是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·河南漯河·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，湖面上有一朵盛開(kāi)的紅蓮，它高出水面30cm．大風(fēng)吹過(guò)，紅蓮被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為60cm，則水深是cm．【答案】45【分析】設(shè)水深h厘米，則AB=?，AC=?+30，BC=60，利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面即AC為紅蓮的長(zhǎng)．設(shè)水深h厘米，由題意得：Rt△ABC中，AB=?，AC=?+30，BC=60，由勾股定理得：AC即?+302解得?=45．故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確審題，明確直角三角形各邊的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【題型7解決航海問(wèn)題】【例7】（2023春·重慶巴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在海平面上有A，B，C三個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，其中A在C的北偏西54°方向上，與C的距離是800海里，B在C的南偏西36°方向上，與C的距離是600海里．

(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；(2)若在點(diǎn)C處有一燈塔，燈塔的信號(hào)有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時(shí)會(huì)發(fā)射一次信號(hào)，此時(shí)在點(diǎn)B處有一艘輪船準(zhǔn)備沿直線向點(diǎn)A處航行，輪船航行的速度為每小時(shí)20海里．輪船在駛向A處的過(guò)程中，最多能收到多少次信號(hào)？（信號(hào)傳播的時(shí)間忽略不計(jì)）．【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信號(hào)【分析】（1）由題意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB交AB于點(diǎn)H，在AB上取點(diǎn)M，N，使得CN＝CM＝500海里，分別求得【詳解】（1）由題意，得：∠NCA＝∴∠ACB＝∵AC＝∴AB=A（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB交AB于點(diǎn)H，在AB上取點(diǎn)M，N，使得CN＝

∵CH⊥AB；∴∠CHB＝∵S△ABC∴CH＝∵CN＝∴NH=MH=C則信號(hào)次數(shù)為140×2÷20＝答：最多能收到14次信號(hào)．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形的判定等知識(shí)，涉及路程、速度、時(shí)間的關(guān)系，熟練掌握勾股定理是關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知港口A東偏南10°方向有一處小島B，一艘貨輪從港口A沿南偏東40°航線出發(fā)，行駛80海里到達(dá)C處，此時(shí)觀測(cè)小島B在北偏東60°方向．（1）求此時(shí)貨輪到小島B的距離．（2）在小島周圍36海里范圍內(nèi)是暗礁區(qū)，此時(shí)輪船向正東方向航行有沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)作出判斷并說(shuō)明理由．【答案】（1）此時(shí)貨輪到小島B的距離為80海里；（2）輪船向正東方向航行沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．【分析】（1）先根據(jù)題意求出∠BAC=40°、∠ACB=100°，據(jù)此得∠ABC=∠ACB=40°，從而得出AC=BC=40海里；（2）作BD⊥CD于點(diǎn)D，由∠BCD=30°、BC=70知BD=12【詳解】解：（1）由題意知∠BAC=90°﹣10°﹣40°=40°，∠ACB=40°+60°=100°，∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=40°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=80海里，即此時(shí)貨輪到小島B的距離為80海里；（2）如圖，作BD⊥CD于點(diǎn)D，在Rt△BCD中，∵∠BCD=30°、BC=80，∴BD=12∵40＞36，∴輪船向正東方向航行沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】考查了勾股定理（方向角問(wèn)題）在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)解答．【變式7-2】（2023春·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，海上救援船要從距離海岸8海里的A點(diǎn)位置到海岸BD的M處攜帶救援設(shè)備，然后到距離海岸16海里處的C點(diǎn)處對(duì)故障船實(shí)施救援．已知BD間的距離為18海里，為使救援船盡快趕到故障船實(shí)施救援，救援設(shè)備被放置在恰當(dāng)位置．（1）試在圖中確定點(diǎn)M的位置；（2）若救援船的速度是20節(jié)（1節(jié)=1海里/小時(shí)），求這艘救援船最快多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)故障船？【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1.5【分析】（1）利用“直線同側(cè)兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最短的問(wèn)題”模型，利用軸對(duì)稱的知識(shí)，確定M的位置.（2）補(bǔ)全圖形，利用勾股定理，得到EC的長(zhǎng)，從而得到到達(dá)所用時(shí)間.【詳解】解：（1）延長(zhǎng)AB至E，使BE=AB，連接EC交BD于M，連接AM，則點(diǎn)M即為所求.（2）依題意有AB=8，CD=16，BD=18，根據(jù)（1）的作圖可知，點(diǎn)A，E關(guān)于直線BD對(duì)稱，∴AB=BE=8，AM=EM，過(guò)點(diǎn)E作EF//BD，交CD的延長(zhǎng)線與F，∵四邊形BEFD為矩形，∴EF=BD=18，AB=BE=DF=8，∴CF=CD+DF=16+8=24，在RtΔECF中，EC=E∴AM+MC=EM+MC=EC=30，又∵救援船的速度是20節(jié)，即為20×1=20（海里/小時(shí)），∵3020∴這艘救援船最快到達(dá)故障船的時(shí)間為1.5小時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短距離“直線同側(cè)兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最短的問(wèn)題”模型的應(yīng)用及勾股定理.關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握從具體的問(wèn)題中中抽象出數(shù)學(xué)模型的建模思想，屬于基礎(chǔ)題.【變式7-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）我國(guó)在防控新冠疫情上取得重大成績(jī)，但新冠疫情在國(guó)外開(kāi)始蔓延，為了防止境外輸入病例的增加，我國(guó)暫時(shí)停止了一切國(guó)際航班、水運(yùn)．如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我國(guó)海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，6分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截．已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，乙巡航艇的航向?yàn)楸逼鱪°．（1）求甲巡邏艇的航行方向（用含n的式子表示）（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時(shí)沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？【答案】（1）90°?n°；（2）6.5海里【分析】（1）先用路程等于速度乘以時(shí)間計(jì)算出AC，BC的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC為直角三角形，再利用在直角三角形中兩銳角互余求解；（2）分別求得甲、乙航行3分鐘的路程，然后由勾股定理來(lái)求甲乙的距離．【詳解】解：（1）AC=120×6BC=50×6又AB=13海里所以AC所以△ABC是直角三角形，所以∠ACB＝90°由已知得∠CBA=90°?n°，所以∠BAC=n°，所以甲的航向?yàn)楸逼珫|90°?n°，（2）甲巡邏船航行3分鐘的路程為120×3乙甲巡邏船航行3分鐘的路程為50×3所以3分鐘后甲、乙兩艘巡邏船相距為：62【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及運(yùn)用，難度適中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC為直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型8求河寬】【例8】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，為了測(cè)量池塘的寬度DE，在池塘周圍的平地上選擇了A、B、C三點(diǎn)，且A、D、E、C四點(diǎn)在同一條直線上，∠C=90°，已測(cè)得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，求池塘的寬度DE．【答案】50m【分析】用勾股定理求出AC，再求DE.【詳解】解∶在Rt△ABCAC=A=100=80(m)，∴DE=AC?AD?EC，=80?20?10=50(m).【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.【變式8-1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，湖的兩岸有兩點(diǎn)A，B，在與AB成直角的BC方向上的點(diǎn)C處測(cè)得AC＝50米，BC＝40米．求：（1）A，B兩點(diǎn)間的距離；（2）點(diǎn)B到直線AC的距離．【答案】（1）30米；（2）24米．【分析】（1）ΔABC正好是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，利用等積法求解即可．【詳解】解：由圖可知，三角形ABC是直角三角形∵CA=50m，CB=40m，∴AB=C（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，SΔABC50·BD=30×40，∴BD=24即點(diǎn)B到直線AC的距離是24米．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第35頁(yè)第2題，介紹了應(yīng)用構(gòu)造全等三角形的方法測(cè)量了池塘兩端A、B兩點(diǎn)的距離．星期天，愛(ài)動(dòng)腦筋的小剛同學(xué)用下面的方法也能夠測(cè)量出家門(mén)前池塘兩端A、B兩點(diǎn)的距離．他是這樣做的：選定一個(gè)點(diǎn)P，連接PA、PB，在PM上取一點(diǎn)C，恰好有PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，他立即確定池塘兩端A、B兩點(diǎn)的距離為15m．小剛同學(xué)測(cè)量的結(jié)果正確嗎？為什么？【答案】小剛同學(xué)測(cè)量的結(jié)果正確，理由見(jiàn)解析.【分析】由勾股定理的逆定理證出△BCP是直角三角形，∠BCP=90°，得出∠ACB=90°，再由勾股定理求出AB即可．【詳解】解：小剛同學(xué)測(cè)量的結(jié)果正確，理由如下：∵PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，∴AC＝PA﹣PC＝9m，PC2+BC2＝52+122＝169，PB2＝132＝169，∴PC2+BC2＝PB2，∴△BCP是直角三角形，∠BCP＝90°，∴∠ACB＝90°，∴AB＝AC2+BC2【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的綜合運(yùn)用；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船，河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)E，同時(shí)小船從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B，且繩長(zhǎng)始終保持不變，回答下列問(wèn)題：(1)根據(jù)題意，可知AC________BC+CE（填“>”“<”“=”）；(2)若CF=5米，AF=12米，AB=4米，求男孩需向右移動(dòng)的距離CE（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)=(2)男孩需向右移動(dòng)的距離為13?89【分析】（1）由繩長(zhǎng)始終保持不變即可求解；（2）由勾股定理求出AC、BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)CE=AC?BC即可求解．【詳解】（1）解：∵AC的長(zhǎng)度是男孩未拽之前的繩子長(zhǎng)，(BC+CE)的長(zhǎng)度是男孩拽之后的繩子長(zhǎng)，繩長(zhǎng)始終保持不變，∴AC=BC+CE，（2）解：連接AB，則點(diǎn)A、B、F三點(diǎn)共線，在Rt△CAF中，AC=AF∵BF=AF?AB=12?4=8（米)，在Rt△CBF中，BC=CF∵AC=BC+CE，∴CE=AC?BC=13?89（米∴男孩需向右移動(dòng)的距離為13?89【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出AC、BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【題型9求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度】【例9】（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是樓梯的示意圖，樓梯的寬為5米，AC=5米，AB=13米，若在樓梯上鋪設(shè)防滑材料，則所需防滑材料的面積至少為（

）A．65m2 B．85m2 C．90m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性質(zhì)推出防滑毯的長(zhǎng)為AC+BC，利用面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由圖可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=A由平移的性質(zhì)可得：水平的防滑毯的長(zhǎng)度=BC=12（米），鉛直的防滑毯的長(zhǎng)度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的長(zhǎng)為：AC+BC=17（米），∵防滑毯寬為5米∴至少需防滑毯的面積為：17×5=85（平方米）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理．解題的關(guān)鍵是利用平移，將防滑毯的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩條直角邊的邊長(zhǎng)之和．【變式9-1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，要修建一個(gè)育苗棚，棚高?=3m，棚寬a=4m，棚的長(zhǎng)為【答案】60平方米【分析】根據(jù)勾股定理先求出棚頂?shù)膶挘缓蟾鶕?jù)長(zhǎng)方形的面積公式即可求出需要多少塑料薄膜．【詳解】解：棚高?=3m，棚寬a=4m，設(shè)棚頂?shù)膶挒閯tb=?棚的長(zhǎng)d為12m∴S=b?d=5×12=60m【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)勾股定理的實(shí)際應(yīng)用能力，理清題意，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)，寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到BA．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】將臺(tái)階展開(kāi)，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】將臺(tái)階展開(kāi)，如下圖，因?yàn)锳C=3×3+1×3=12，BC=5，所以AB所以AB=13（cm），所以螞蟻爬行的最短線路為13cm．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·重慶忠縣·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是某幼兒園樓梯的截面圖，擬在樓梯上鋪設(shè)防撞地段，若防撞地毯每平方米售價(jià)為40元，樓梯寬為2米，則幼兒園購(gòu)買(mǎi)防撞地毯至少需要元．

【答案】560【分析】根據(jù)勾股定理得，水平的直角邊為4m，地毯水平部分的和是水平邊的長(zhǎng)，豎直部分的和是豎直邊的長(zhǎng)，即可得地毯的長(zhǎng)為7m，根據(jù)地毯的寬為2米，即可得地毯的面積為14m2【詳解】解：根據(jù)勾股定理得，水平的直角邊為：52地毯水平部分的和是水平邊的長(zhǎng)，豎直部分的和是豎直邊的長(zhǎng)，即地毯的長(zhǎng)為3+4=7(m)，∵地毯的寬為2米，∴地毯的面積為：2×∴幼兒園購(gòu)買(mǎi)防撞地毯至少需要：40×故答案為：560．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握勾股定理．【題型10判斷汽車是否超速】【例10】（2023春·山西忻州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）某城市規(guī)定小汽車在街道上的行駛速度不得超過(guò)70千米/時(shí)，一輛小汽車在一條城市街道上直行，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面“車速檢測(cè)儀A”正前方30米C處，過(guò)了2秒后，測(cè)得小汽車位置B與“車速檢測(cè)儀A”之間的距離為50米，這輛小汽車超速了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】該小汽車超速了，平均速度大于70千米/時(shí)．【分析】直接利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出汽車的速度，即可比較得出答案．【詳解】解：由題意知，AB＝50米，AC＝30米，且在Rt△ABC中，AB是斜邊，根據(jù)勾股定理AB2=B且2秒=23600時(shí)，所以速度為∵72>70，∴該小汽車超速了．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出汽車的速度是解題關(guān)鍵．【變式10-1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？计谥校爸腥A人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)60千米／時(shí)．這時(shí)一輛小汽車在一條城市街道直路上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀A正前方50米C處，過(guò)了8秒后，測(cè)得小汽車位置B與車速檢測(cè)儀A之間的距離為130米，這輛小汽車超速了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】汽車沒(méi)有超速，理由見(jiàn)解析【詳解】試題分析：直接利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出汽車的速度，即可比較得出答案．由題意：在Rt△ABC中AC2+BC2=AB2∵AC=50

AB=130，∴BC=120米，汽車速度=120÷8=15（米/秒）

限速60千米/時(shí)≈16.67米/秒，汽車速度＜限速，故汽車沒(méi)有超速．考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用．【變式10-2】（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹(shù)林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路l的距離為100米的P處．這時(shí)，一輛富康轎車由西向東勻速駛來(lái)，測(cè)得此車從A處行駛到B處所用的時(shí)間為3秒，并測(cè)得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，試判斷此車是否超過(guò)了每小時(shí)80千米的限制速度？【答案】此車超過(guò)每小時(shí)80千米的限制速度．【分析】首先，根據(jù)在直角三角形BPO中，∠BPO=45°，可得到BO=PO=100m，再根據(jù)在直角三角形APO中，∠APO=60°，運(yùn)用三角函數(shù)值，可得到AO=1003，根據(jù)AB=AO-BO可求得AB的長(zhǎng)；再結(jié)合速度的計(jì)算方法，求出車的速度，然后將車的速度與80千米/時(shí)進(jìn)行比較，即可得到結(jié)論.【詳解】解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，則∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200m，AO＝AP2?OP2在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，則BO＝OP＝100m.∴AB＝AO－BO＝1003－100≈73(m)．∴從A到B小車行駛的速度為73÷3≈24.3(m/s)＝87.48km/h>80km/h.∴此車超過(guò)每小時(shí)80千米的限制速度．【變式10-3】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A中學(xué)位于南北向公路l的一側(cè)，門(mén)前有兩條長(zhǎng)度均為100米的小路通往公路l，與公路l交于B，C兩點(diǎn)，且B，C相距120米．

(1)現(xiàn)在想修一條從公路l到A中學(xué)的新路AD（點(diǎn)D在l上），使得學(xué)生從公路l走到學(xué)校路程最短，應(yīng)該如何修路（請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出）？新路AD長(zhǎng)度是多少？(2)為了行車安全，在公路l上的點(diǎn)B和點(diǎn)E處設(shè)置了一組區(qū)間測(cè)速裝置，其中點(diǎn)E在點(diǎn)B的北側(cè)，且距A中學(xué)170米．一輛車經(jīng)過(guò)BE區(qū)間用時(shí)5秒，若公路l限速為60km/h（約16．7m/s），請(qǐng)判斷該車是否超速，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析，80米(2)超速，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)垂線段最短可畫(huà)出圖形，根據(jù)三線合一可求出BD=60，然后利用勾股定理可求出新路AD長(zhǎng)度；（2）先根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng)，再求出BE的長(zhǎng)，然后計(jì)算出速度判斷即可．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l，交l于點(diǎn)D．

∵AB=AC∴BD=12BC=在Rt△ABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得A∵AB=100,BD=60，∴AD=80

∴新路AD長(zhǎng)度是80米．（2）該車超速

在Rt△ADE中，∠ADE=90°由勾股定理得A∵AE=170，∴DE=170∴BE=DE?DB=90∵該車經(jīng)過(guò)BE區(qū)間用時(shí)5s∴該車的速度為905∵18∴該車超速．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，勾股定理揭示了直角三角形三邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直角三角形的一邊為待求量時(shí)，常使用勾股定理進(jìn)行求解．【題型11選址使到兩地距離相等】【例11】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖鐵路上A，B兩點(diǎn)相距40千米，C，D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個(gè)煤棧E，使得C，D兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧E應(yīng)距A點(diǎn)（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】設(shè)AE＝xkm，則BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到AD2+A【詳解】解：設(shè)AE＝xkm，則BE＝（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D兩村到煤棧的距離相等，∴AD∴AD2∴242解得：x＝16，則煤棧E應(yīng)距A點(diǎn)16km．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意得到AD【變式11-1】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在一顆樹(shù)上10米高的D處有兩只猴子，其中一只猴子沿樹(shù)爬下，走到離樹(shù)20米處的池塘B處，另一只猴子爬到樹(shù)頂A處直躍向池塘的B處，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程相等，試問(wèn)這顆樹(shù)有多高?【答案】15米【分析】要求樹(shù)的高度，就要求CD的高度，在直角△ABC中運(yùn)用勾股定理可以列出方程式，AC2+【詳解】解：設(shè)CD高為x米，則從D點(diǎn)爬到A點(diǎn)再直線沿AB到B點(diǎn)，走的總路程為(x+AB)米，其中AB=(10+x)2根據(jù)路程相同可得：x+可得(10+x兩邊平方得：(10+x整理得：80x解得：x=510+5=15答：這棵樹(shù)的高度為15米．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的靈活運(yùn)用，要求在變通中熟練掌握勾股定理．【變式11-2】（2023春·山西朔州·八