2024年九年級數(shù)學下冊第1章直角三角形的邊角關系綜合素質評價北師大版

Page1第一章綜合素質評價一、選擇題(每題3分，共30分)1．[2023·天津一中月考]2sin60°的值等于()A．eq\r(3) B．eq\f(\r(3),3) C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(1,2)2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq\r(3)，AC＝1，則∠A等于()A．90° B．60° C．45° D．30°3．[2023·長春]學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示，已知彩旗繩與地面形成25°角(即∠BAC＝25°)，彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32m(即AC＝32m)，則彩旗繩AB的長度為()A．32sin25°m B．32cos25°m C．eq\f(32,sin25°)m D．eq\f(32,cos25°)m4．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則cos∠BAC的值是()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(10),5) C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(4,5)5．如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點D落在BC邊的點F處．已知AB＝4，BC＝5，則cos∠EFC的值為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3) C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)6．為出行方便，近日來越來越多的長春市民使用了共享單車，圖①為單車實物圖，圖②為單車示意圖，AB與地面平行，點A，B，D共線，點D，F(xiàn)，G共線，坐墊C可沿射線BE方向調節(jié)．已知∠ABE＝70°，車輪半徑為20cm，當BC＝60cm時，小明體驗后覺得騎著比較舒適，此時坐墊C離地面高度約為()(結果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)A．80cm B．72cm C．76cm D．70cm7．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于點D，BD＝2，tanC＝eq\f(1,2)，則線段AC的長為()A．10 B．8 C．8eq\r(5) D．4eq\r(5)8．(母題：教材P20隨堂練習T2)如圖，大壩橫截面的背水坡AB的坡比為1∶2，若坡面AB的水平寬度AC為12m，則斜坡AB的長為()A．4eq\r(3)m B．6eq\r(3)m C．6eq\r(5)m D．24m9．如圖，過點C(－2，5)的直線AB分別交坐標軸于A(0，2)，B兩點，則tan∠OAB等于()A．eq\f(2,5) B．eq\f(2,3) C．eq\f(5,2) D．eq\f(3,2)10．[2023·天津南開中學月考]如圖，△ABC，△FED區(qū)域為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員視線PB與地面BE的夾角∠B＝43°，視線PE與地面BE的夾角∠E＝20°，點A，F(xiàn)為視線與車窗底端的交點，AF∥BE，AC⊥BE，F(xiàn)D⊥BE.若AB＝1.6m，則DE的長度約為(參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4)()A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m二、填空題(每題3分，共24分)11．(母題：教材P21習題T1)如圖，在山坡上種樹，已知∠C＝90°，∠A＝α，相鄰兩棵樹的坡面距離AB為am，則相鄰兩棵樹的水平距離AC為__________m.12．(母題：教材P6做一做)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA＝eq\f(2,5)，則BC的長是________．13．在△ABC中，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(\r(2),2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－cosB))eq\s\up12(2)＝0，∠A，∠B都是銳角，則∠C＝________.14．(母題：教材P24復習題T4)在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝eq\f(1,2)，則sinB＝________.15．[2023·眉山]如圖，一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是________海里．16．[2022·通遼]如圖，在矩形ABCD中，點E為AD上的點，AE＝AB，BE＝DE，則tan∠BDE的值為________．17．(母題：教材P26復習題T17)如圖，為測量旗桿AB的高度，在教學樓點C處測得旗桿頂部的仰角為60°，在點D處測得旗桿頂部的仰角為30°，點C與點B在同一水平線上．已知CD＝9.6m，則旗桿AB的高度為________m.18．如圖，在?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一個動點，則PB＋eq\f(\r(3),2)PD的最小值為________．三、解答題(19～21題每題10分，其余每題12分，共66分)19．(母題：教材P24復習題T6)計算：(1)[2022·樂山]sin30°＋eq\r(9)－2－1;(2)[2023·東營]eq\r(3)tan45°－(2023－π)0＋|2eq\r(3)－2|＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－1)－eq\r(27).20．(母題：教材P16例2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，求這個三角形的其他元素．21．為了承辦2023年亞運會，杭州市加強城市綠化建設．如圖，工作人員正在對該市某河段進行區(qū)域性景觀打造．某施工單位為測得該河段的寬度，測量員先在河對岸岸邊取一點A，再在河這邊沿河邊取兩點B和C，在B處測得點A在北偏東30°方向上，在點C處測得點A在西北方向上，量得BC長為200m，求該河段的寬度(結果保留根號)．22．[2023·雅安]如圖，已知E，F(xiàn)是?ABCD對角線AC上兩點，AE＝CF.(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)若CH⊥AB交AB的延長線于點H，eq\f(CH,BH)＝3，BC＝eq\r(10)，tan∠CAB＝eq\f(3,4)，求?ABCD的面積．23．為建設美好公園社區(qū)，增強民眾生活幸福感，某社區(qū)服務中心在文化活動室墻外安裝遮陽篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側面示意圖中，遮陽篷AB長為5米，與水平面的夾角為16°，且靠墻端離地高BC為4米，當太陽光線AD與地面CE的夾角為45°時，求陰影CD的長(結果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29)．24．[2023·嘉興]圖①是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)(整個頭部需在攝像頭視角范圍內才能被識別)，其示意圖如圖②，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160cm，識別的最遠水平距離OB＝150cm.(1)身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點C處，請問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識別？(2)身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無法被識別，社區(qū)及時將攝像頭的仰角、俯角都調整為20°(如圖③)，此時小若能被識別嗎？請通過計算說明．(精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)

答案一、1．A2．B3．D點撥：如圖，由題意得，AC＝32m，∠BAC＝25°，在Rt△ABC中，∵cos∠BAC＝eq\f(AC,AB)，∴AB＝eq\f(AC,cos∠BAC)＝eq\f(32,cos25°)m，故選D.4．C點撥：過點C作AB的垂線交AB于點D，如圖所示，∵每個小正方形的邊長為1，∴AC＝eq\r(5)，BC＝eq\r(10)，AB＝5.設AD＝x，則BD＝5－x，在Rt△ACD中，DC2＝AC2－AD2，在Rt△BCD中，DC2＝BC2－BD2，∴10－(5－x)2＝5－x2，解得x＝2，∴AD＝2.∴cos∠BAC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).5．D6．C點撥：作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函數(shù)求出CH，由題意知AP＝20cm，進而可求出CH＋AP.7．D8．C9．B10．B點撥：∵FD⊥BE，AC⊥BE，AF∥BE，∴∠ACB＝∠FDE＝90°，DF＝AC.在Rt△ACB中，AC＝AB·sinB≈1.6×0.7＝1.12(m)，∴DF＝AC≈1.12m.在Rt△DEF中，tanE＝eq\f(DF,DE)，∴DE≈eq\f(1.12,0.4)＝2.8(m)．二、11．a(chǎn)cosα12．2eq\r(21)13．105°14．eq\f(2\r(5),5)15．(6eq\r(3)＋6)點撥：如圖，過點C作CH⊥AB于H.∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，∴∠CAH＝90°－∠DAC＝30°，∠CBH＝90°－∠CBE＝45°，∴∠BCH＝45°＝∠CBH，∴BH＝CH，在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB＋BH＝AB＋CH，tan30°＝eq\f(CH,AH)，∴CH＝eq\f(\r(3),3)(AB＋CH)．又∵AB＝12海里，∴CH＝(6eq\r(3)＋6)海里．∴漁船與燈塔C的最短距離是(6eq\r(3)＋6)海里．16．eq\r(2)－117．14.418．3eq\r(3)點撥：如圖，過點P作PH⊥AD，交AD的延長線于點H，過點B作BH′⊥AD，交AD的延長線于點H′，交CD于點P′.在?ABCD中，AB∥CD，所以∠HDP＝∠DAB＝60°，所以PH＝PD·sin∠HDP＝eq\f(\r(3),2)PD，所以PB＋eq\f(\r(3),2)PD＝PB＋PH.根據(jù)兩點之間線段最短及垂線段最短可得，當點B，P，H共線且BH⊥AD時，PB＋eq\f(\r(3),2)PD取得最小值，此時PB＋eq\f(\r(3),2)PD＝P′B＋P′H′＝BH′.在Rt△ABH′中，BH′＝AB·sin∠DAB＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，所以PB＋eq\f(\r(3),2)PD的最小值為3eq\r(3).三、19．解：(1)原式＝eq\f(1,2)＋3－eq\f(1,2)＝3.(2)原式＝eq\r(3)×1－1＋2eq\r(3)－2＋4－3eq\r(3)＝1.20．解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.∴BC＝AC·tanA＝15×eq\f(\r(3),3)＝5eq\r(3).∴AB＝2BC＝2×5eq\r(3)＝10eq\r(3).21．解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D.根據(jù)題意，知∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°.∴∠ACD＝∠CAD.∴AD＝CD.∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,BC－AD)，即eq\f(AD,200－AD)＝eq\r(3)，解得AD＝(300－100eq\r(3))m.答：該河段的寬度為(300－100eq\r(3))m.22．(1)【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCA.又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)解：∵eq\f(CH,BH)＝3，∴CH＝3BH.又∵CH⊥AB，BC＝eq\r(10)，∴BH2＋CH2＝BC2，即BH2＋(3BH)2＝(eq\r(10))2，解得BH＝1(負值已舍去)，∴CH＝3.又∵tan∠CAB＝eq\f(CH,AH)＝eq\f(3,4)，∴AH＝4，∴AB＝AH－BH＝4－1＝3，∴?ABCD的面積＝AB·CH＝3×3＝9.23．解：如圖，過點A作AT⊥BC于點T，AK⊥CE于點K.在Rt△ABT中，BT＝AB·sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4(米)，AT＝AB·cos∠BAT＝5×cos16°≈4.8(米)．易知∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，∴四邊形ATCK是矩形，∴CK＝AT≈4.8米，AK＝CT＝BC－BT≈4－1.4＝2.6(米)．在Rt△AKD中，∠ADK＝45°，