人教A版幾何證明選講分類復(fù)習(xí)

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人教（A）版選修4-1《幾何證明選講》綜合復(fù)習(xí)

錢耀周

（廣東佛山市南海區(qū)南海中學(xué)，528211）

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

1.如圖4所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點,BC=3過C作

圓的切線l,過A作l的垂線AD,垂足為D,則∠DAC=()

A.15?B.30?C.45?D.60?

【解析】由弦切角定理得?DCA??B?60?,又AD?l,故?DAC?30?,

第1題圖

故選B.

2.在Rt?ABC中,CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線,是該圖中共有x個三角形與?ABC相像,則x?()

A.0B.1C.2D.3

【解析】2個:?ACD和?CBD,故選C.

3.一個圓的兩弦相交,一條弦被分為12cm和18cm兩段,另一弦被分為3:8,則另一弦的長為()

A.11cmB.33cmC.66cmD.99cm

【解析】設(shè)另一弦被分的兩段長分別為3k,8k(k?0),由相交弦定理得3k?8k?12?18,解得k?3,故所求弦長為3k?8k?11k?33cm.故選B.ABBCAC5???,若?ABC與4.如圖,在?ABC和?DBE中,DBBEDE3?DBE的周長之差為10cm,則?ABC的周長為()2550EA.20cmB.D.25cmcmC.cm第4題圖43

【解析】利用相像三角形的相像比等于周長比可得答案D.

225.O的割線PAB交O于A,B兩點,割線PCD經(jīng)過圓心,已知PA?6,PO?12,AB?,3

則O的半徑為()

A.4B

.6C

.6D.8

22【解析】設(shè)O半徑為r,由割線定理有6?(6?)?(12?r)(12?r),解得r?8.故選D.3

6.如圖,AB是半圓O的直徑,點C在半圓上,CD?AB于點D,

且AD?3DB,設(shè)?COD??,則tan2

11A.B.34?2＝()第6題圖C

.4?D.3

【解析】設(shè)半徑為r,則AD?

tan231?r,BD?r,由CD2?AD?

BD得CD?,從而??,故2232?1?,選A.23

7.在?ABC中,D,E分別為AB,AC上的點,且DE//BC,?ADE的面積是2cm2,梯形DBCE

第1頁共6頁

的面積為6cm2,則DE:BC的值為()

A.B

.1:2C.1:3

D.1:4

【解析】?ADE?ABC,利用面積比等于相像比的平方可得答案B.

8.半徑分別為1和2的兩圓外切,作半徑為3的圓與這兩圓均相切,一共可作()個.

A.2B.3C.4D.5

【解析】一共可作5個,其中均外切的2個,均內(nèi)切的1個,一外切一內(nèi)切的2個,故選D.

9.如圖甲,四邊形

ABCD是等腰梯形,AB//CD.由4個這樣的

等腰梯形可以拼出圖乙所示的平行四邊形,

則四邊形ABCD中?A度數(shù)為()

第9題圖A.30?B.45?C.60?D.75?

【解析】6?A?360?,從而?A?60?,選A.

10.如圖,為測量金屬材料的硬度,用肯定壓力把一個高強度鋼珠

壓向該種材料的表面,在材料表面留下一個凹坑,現(xiàn)測得凹坑

直徑為10mm,若所用鋼珠的直徑為26mm,則凹坑深度為()

A.1mmB.2mmC.3mmD.4mm

【解析】依題意得OA2?AM2?OM2,從而OM?12mm,

故CM?13?12?1mm,選A.第10題圖

212111.如圖,設(shè)P,Q為?ABC內(nèi)的兩點,且AP?AB?AC,AQ＝AB＋AC,則?ABP5534

的面積與?ABQ的面積之比為()

1411A.B.C.D.5543

21【解析】如圖,設(shè)AM?AB,AN?AC,則AP?AM?AN.55第11題圖由平行四邊形法則知NP//AB,所以1?ABPAN?＝,5?ABCAC

?ABQ1?ABP4?．故?,選B.同理可得?ABC4?ABQ512.如圖,用與底面成30?角的平面截圓柱得一橢圓截線,則該橢圓的

離心率為()

1A．BCD．非上述結(jié)論2第12題圖

【解析】用平面截圓柱,截線橢圓的短軸長為圓柱截面圓的直徑,弄清了這一概念,考慮橢

1圓所在平面與底面成30?角,則離心率e?sin30??.故選A.2

二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上.

13.一平面截球面產(chǎn)生的截面外形是_______;它截圓柱面所產(chǎn)生的截面外形是________

【解析】圓;圓或橢圓.

第2頁共6頁

14.如圖,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O過A、B兩點且

與BC相切于點B,與AC交于點D,連結(jié)BD,若BC＝5?1,

則AC＝

【解析】由已知得BD?AD?BC,BC2?CD?AC?(AC?BC)AC,

解得AC?2.

15.如圖,AB為O的直徑,弦AC、BD交于點P,BO?

DC第14題圖

若AB?3,CD?1,則sin?APD=

AD【解析】連結(jié)AD,則sin?APD?,又?CDP?BAP,APPDCD1??,從而cos?APDPABA3所以sin?APD??.16.如圖為一物體的軸截面圖,則圖中R的值

是第16題圖

30【解析】由圖可得R2?()2?(180?135?R)2,解得R?25.2

三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)

如圖:EB,EC是O的兩條切線,B,C是切點,A,D是

O上兩點,假如?E?46?,?DCF?32?,試求?A的度數(shù).

【解析】連結(jié)OB,OC,AC,依據(jù)弦切角定理,可得

1?A??BAC??CAD?(180???E)??DCF?67??32??99?.第17題圖2

18.(本小題滿分12分)E如圖,⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P,FBE為⊙O上一點,AE?AC,DE交AB于點F,且AB?2BP?4,求PF的長度.

第18題圖【解析】連結(jié)OC,OD,OE,由同弧對應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系

結(jié)合題中條件AE?AC可得?CDE??AOC,又?CDE??P??PFD,EPFPD?AOC??P??C,從而?PFD??C,故?PFD?PCO,∴?,FBPCPOPC?PD12??3.由割線定理知PC?PD?PA?PB?12,故PF?PO4

19.(本小題滿分12分)E

已知:如右圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,DAB＝DC,過點D作AC的平行線DE,交BA的延長線于

點E．求證：(1)△ABC≌△DCB(2)DE·DC＝AE·BD．

【解析】證明：(1)∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB

第19題圖∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD

第3頁共6頁C

(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB

∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB

∴△ADE∽△CBD∴DE:BD＝AE:CD，∴DE·DC＝AE·BD.

20.(本小題滿分12分)

如圖,△ABC中,AB=AC,AD是中線,P為AD上一點,CF∥AB，BP延長線交AC、CF于E、F,求證:PB2=PE?PF．

【解析】連結(jié)PC,易證PC?PB,?ABP??ACP

∵CF//AB∴?F??ABP,從而?F??ACP

又?EPC為?CPE與?FPC的公共角,

CPPE第20題圖解答用圖?從而?CPE?FPC,∴∴PC2?PE?PFFPPC

又PC?PB,∴PB2?PE?PF,命題得證.21.(本小題滿分12分)

如圖,A是以BC為直徑的O上一點,AD?BC過點B作O的切線,與CA的延長線相交于點E，G的中點,連結(jié)CG并延長與BE相交于點F,

C延長AF與CB的延長線相交于點P.(1)求證:BF?EF；

(2)求證:PA是O的切線；

(3)若FG?BF,且O

的半徑長為求BD和FG的長度.第21題圖

【解析】(1)證明：∵BC是O的直徑，BE是O的切線，∴EB?BC．又∵AD?BC，∴AD∥BE．

易證△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFCFEFCFBFEF∴???．∴．DGCGAGCGDGAG

∵G是AD的中點，∴DG?AG．∴BF?EF．C(2)證明：連結(jié)AO，AB．∵BC是O的直徑，

在Rt△BAE中，由（1），知F是斜邊BE∴AF?FB?EF．∴?FBA??FAB．又∵OA?∵BE是O的切線，∴?EBO?90°．

∵?EBO??FBA??ABO??FAB??BAO??FAO?90°，∴PA是O的切線．

(3)解：過點F作FH?AD于點H．∵BD?AD，F(xiàn)H?AD，∴FH∥BC．

由(1)，知?FBA??BAF，∴BF?AF．

由已知，有BF?FG，∴AF?FG，即△AFG是等腰三角形．

HG1∵FH?AD，∴AH?GH．∵DG?AG，∴DG?2HG，即?．DG2

∵FH∥BD，BF∥AD，?FBD?90°，∴四邊形BDHF是矩形，BD?FH．

FHFGHGBDFGHG1∵FH∥BC，易證△HFG∽△DCG．∴?????．，即CDCGDGCDCGDG2

BDBD1∵O的半徑長為∴BC?．∴???．CDBC?BD2

第4頁共6頁

FGHG11??，∴FG?CG．∴CF?3FG．CGDG22

在Rt△FBC中，∵CF?3FG，BF?FG，由勾股定理，得CF2?BF2?BC2．

．∴FG?3．∴(3FG)2?FG2?2．解得FG?3（負值舍去）

［或取CG的中點H，連結(jié)DH，則CG?2HG．易證△AFC≌△DHC，∴FG?HG，

CDCG2FG2CF?3FG．D∥FB∴???．故CG?2FG，由G，易知△CDG∽△CBF，

CBCF3FG3

2?

，解得BD?Rt△CFB中，由勾股定理，得

3解得BD?

∴BD?FH?∵．］(3FG)2?FG2?2，∴FG?3（舍去負值）

22.(本小題滿分14分)

ACBC?如圖1,點C將線段AB分成兩部分,假如,那么稱點C為線段AB的黃金分．ABAC

割點.某討論小組在進行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義:直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為S1,S2,SS假如1?2,那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.SS1

(1)討論小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點(如圖2),則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎?為什么?

(2)請你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

(3)討論小組在進一步探究中發(fā)覺：過點C任作一條直線交AB于點E,再過點D作直線DF∥CE,交AC于點F,連接EF(如圖3),則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．

(4)如圖4，點E是ABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作EF∥AD，交DC于點F，明顯直線EF是ABCD的黃金分割線.請你畫一條ABCD的黃金分割線,使它不經(jīng)過ABCD各邊黃金分割點.

第22題圖【解析】(1)直線CD是△ABC的黃金分割線.理由如下:設(shè)△ABC的邊AB上的高為h．

111SADS△BDCBDS△ADC?ADh,S△BDC?BDh,S△ABC?ABh,所以△ADC?，?222S△ABCABS△ADCAD

ADBDS