專題08 二次函數(shù)與圖形面積的問題（解析版）

專題08二次函數(shù)與圖形面積的問題一、單選題1．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于，兩點，點的坐標為，連接，．若面積為8，則的值是（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【分析】設(shè)，，其中，，聯(lián)立與得，即，可得，．因為，根據(jù)面積為8即可解決問題．【詳解】解：設(shè)，，其中，．聯(lián)立與得：，即，，．，面積為8，，解得，，，故選：D．二、解答題2．（2023秋·江蘇·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的圖像與x軸的交點為﹒(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)若該二次函數(shù)圖像的頂點為D，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)交點式直接寫出二次函數(shù)的解析式即可求解；（2）根據(jù)配方法得出頂點式，進而得出頂點坐標，即可求解．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖像與x軸的交點為，∴二次函數(shù)解析式為，（2）解：如圖所示，∵，該二次函數(shù)圖像的頂點為D，∴,∵，∴，∴．3．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，將拋物線向右平移a個單位長度，頂點為A，與y軸交于點B，且為等腰直角三角形．(1)求a的值；(2)在圖中的拋物線上是否存在點C，使為等腰直角三角形？若存在，直接寫出點C的坐標，并求；若不存在，請說明理由．【答案】(1)a的值為1(2)存在，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后的拋物線的解析式，令其找出點B的坐標，根據(jù)為等腰直角三角形即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；（2）作點B關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點C，連接，交拋物線的對稱軸于點D，根據(jù)等腰直角三角形的判定定理找出為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性結(jié)合點B的坐標即可得出點C的坐標，再利用三角形的面積公式即可求出的值．【詳解】（1）解：平移后的拋物線的解析式為，頂點坐標，令中x＝0，則，∴．∵為等腰直角三角形，∴，解得：或（舍去），故a的值為1；（2）解：存在，理由如下：如圖，作點B關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點C，連接BC，交拋物線的對稱軸于點D，∵為等腰直角三角形，∴為等腰直角三角形，∴，∵為拋物線的對稱軸，∴，，∴為等腰直角三角形，∵點，拋物線對稱軸為，∴點C的坐標為，此時，，故在圖中的拋物線上存在點C，使為等腰直角三角形，點C的坐標為且．4．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過點和點，其對稱軸交軸于點，點是拋物線在直線上方的一個動點（不含，兩點）．(1)求、的值．(2)連接、，若的面積是的面積的倍，求點的坐標．(3)若直線、分別交該拋物線的對稱軸于點、，試問是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)，(2)或(3)是，【分析】（1）將點代入，可求出二次函數(shù)解析式，再令，可求出的值；（2）根據(jù)題意得，直線的表達式：，如圖所示（見詳解），過點作軸交于，交軸于，可設(shè)點的坐標為，且，則點，的面積是的面積的倍，由此即可求解；（3）由（2）可知，直線的表達式為：，用含的式子分別表示出，，即可求解．【詳解】（1）解：將點代入，解得，即，令，代入，解得．∴，．（2）解：根據(jù)題意得，，直線的表達式：，如圖所示，過點作軸交于，交軸于，∵點在二次函數(shù)圖像上，∴設(shè)點的坐標為，且，則點，∵，∴，即，解得，，∴點的坐標為或．（3）解：為定值，由（2）可知，直線的表達式為：，令，則點的坐標為

∴，同理可得：點的坐標為∴，∴，即．5．（2022秋·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習）如圖，已知拋物線經(jīng)過、兩點．(1)求拋物線的解析式和頂點坐標；(2)當時，求y的取值范圍；(3)點P為拋物線上一點，若，求出此時點P的坐標．【答案】(1)拋物線的解析式為；頂點坐標為(2)當時，(3)P點坐標為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再將解析式化為頂點式即可求解；（2）根據(jù)圖象即可進行解答；（3）先根據(jù)三角形的面積求出三角形的高，即點P的縱坐標，即可求出點P的坐標．【詳解】（1）把、分別代入中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為，∵，∴頂點坐標為；（2）∵、，函數(shù)頂點坐標為，∴當時，y的取值范圍；（3）∵、，∴，設(shè)，則，∴，∴．①當時，，解得：，，此時P點坐標為或；②當時，，即，∴，即方程無解；綜上所述，P點坐標為或．6．（2022秋·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，拋物線的對稱軸為直線，且經(jīng)過點．(1)求出a、b的值；(2)若點B是拋物線對稱軸土的一點，且的面積為15，求點B的坐標．【答案】(1)，(2)點的坐標為或【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設(shè)，運用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)直線與拋物線對稱軸交于點，則，，利用三角形面積公式建立方程求解即可得出答案．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的對稱軸為直線，，，，過點，；（2）解：點是拋物線對稱軸上的一點，設(shè)，由（1）可知：，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，設(shè)直線與拋物線對稱軸交于點，則，，，，解得：或，點的坐標為或．7．（2023春·江蘇南通·九年級專題練習）如圖，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C．(1)求出A、B、C三點的坐標；(2)將拋物線圖像x軸上方部分沿x軸向下翻折，保留拋物線與x軸的交點和x軸下方圖像，得到的新圖像記作M，圖像M與直線恒有四個交點，從左到右四個交點依次記為D，E，F(xiàn)，G．若以為直徑作圓，該圓記作圖像N．①在圖像M上找一點P，使得的面積為3，求出點P的坐標；②當圖像N與x軸相離時，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)，，；(2)①，，，；②【分析】（1）當時，，解得，即可得到點A和點B的坐標，當時，，即可得到點C的坐標；（2）①設(shè)點P到的距離為h，由的面積為3，解得，當時，，即，求得點，，又因為拋物線x軸上方部分與x軸下方部分有對稱圖像，可以得到，，當時，，即，可以得到，；②由圖像M與直線恒有四個交點，得到，由圖像x軸上方部分沿x軸向下翻折得到的部分圖像的表達式為，求得以為直徑作圓的半徑為，由圖像N與x軸相離，求得，進一步求得t的取值范圍即可．【詳解】（1）解：當時，，解得，∴點，，當時，，∴點；（2）解：①由（1）可知，，設(shè)點P到的距離為h，∴的面積為，解得，當時，，即，解得，∴點，，∵拋物線x軸上方部分與x軸下方部分有對稱圖像，∴可以得到，，當時，，即，解得，可以得到，，綜上可知，點P的坐標為，，，；②∵，∴翻折后得到拋物線下方圖像的頂點為，∵圖像M與直線恒有四個交點，如圖，∴，圖像x軸上方部分沿x軸向下翻折得到的部分圖像的表達式為，當時，，即，∴，，∴，∴，∴，∴，即，∴以為直徑作圓的半徑為，∵圖像N與x軸相離，即以為直徑作的圓與x軸相離，∴，∴，即，一元二次方程的解為，，如圖，∴由二次函數(shù)的圖x可知，的解集為或，又∵，∴．即t的取值范圍為．8．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，直線的函數(shù)表達式為．(1)求拋物線的表達式；(2)點P為拋物線上一點，若，請求出點P的坐標；【答案】(1)(2)或．【分析】（1）先求出，，用待定系數(shù)法求出拋物線的表達式．（2）求出，求出和的面積，再求出P點坐標的縱坐標的絕對值為即可解得．【詳解】（1）∵過直線，當時，，當時，，∴，，把，代入，得解得，，∴拋物線的表達式為．（2）∵拋物線的表達式為，令，則有，解得：，∴，∴，，∴，設(shè)P點坐標的縱坐標的絕對值為∴∴，當時∵，∴不存在實數(shù)根．當時∴，解得：，，∴或．9．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┮阎憾魏瘮?shù)的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)若有一直線：經(jīng)過點、，直接寫出不等式的解集；(3)若在軸下方的拋物線上有一動點，使的面積為6，請求出點的坐標．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）用待定系數(shù)法解答即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖像，拋物線不在直線下方時的自變量的取值范圍就是不等式的解集；（3）設(shè)，根據(jù)三角形的面積公式列出方程解答便可．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點，代入得：，解得：，∴（2）由圖像可知：當拋物線不在直線下方時，或，∴的解集為或．（3）設(shè)，∵的面積為6，∴，∵在軸下方的拋物線上有一動點，∴解得或∴或．10．（2023秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）拋物線與軸交于兩點（在的左側(cè)），與軸交于點，點是拋物線在軸上方部分一動點，過點作直線軸于．(1)如圖1，當時，求的面積；(2)如圖2，若是以為底的等腰三角形，求點的坐標．【答案】(1)24(2)的坐標是或【分析】（1）首先確定，，易得，再結(jié)合，可知的橫坐標為2，可確定點坐標，然后計算的面積即可；（2）首先確定點，易得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，進而確定點的縱坐標，然后將其代入函數(shù)解析式中即可獲得答案．【詳解】（1）解：當時，即有，解得，，∴，，∴，∵，即的橫坐標為2，∴，∴，∴在中，邊上的高為8，∴，即的面積為24；（2）在函數(shù)中，當時，，∴，∴，∵是以為底的等腰三角形，∴，∵，∴，在中，當時，即有，解得或，∴點的坐標是或．11．（2023春·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，．點P從點A出發(fā)，以的速度沿運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以的速度沿BC運動．當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)動點運動的時間為．(1)試寫出的面積與之間的函數(shù)表達式；(2)當t為何值時，的面積最大?最大面積是多少?【答案】(1)(2)當時，的面積最大，最大值是【分析】（1）根據(jù)題意得到，利用三角形面積公式即可得到答案；（2）把二次函數(shù)表達式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得：，＝；即；（2）∵，∴當時，的面積最大，最大值是．12．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），頂點為M，經(jīng)過點A的直線與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D．(1)直接寫出點的坐標_______；點的坐標________；(2)如圖（1），若頂點的坐標為，連接、、，請求出二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式，并求出四邊形的面積；(3)如圖（2），點是直線上方的拋物線上的一點，若的面積的最大值為時，請直接寫出此時點的坐標．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）令，解一元二次方程即可求解；（2）用待定系數(shù)法即可求出兩個函數(shù)的解析式，再根據(jù)的坐標求出四邊形的面積；（3）過點作軸，交直線于點，設(shè)，寫出面積的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的最大值列出方程即可求解．【詳解】（1）解：由，令，即，解得：，∴，，故答案為：，；（2）如圖，連接，∵頂點M的坐標為，代入，解得：，∴拋物線解析式為，∵經(jīng)過點A的直線與y軸交于點C，∴，∴，∵，∴，∴一次函數(shù)解析式為：，，解得：或，∴，∴四邊形的面積=；（3）如圖，過點作軸，交直線于點，設(shè)則，∴，，∵，∵，∴當時，的面積最大值為，解得：，∴，∴．13．（2022秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點、，交y軸于點C．(1)求b和c的值；(2)若點D在該二次函數(shù)的圖像上，且，求點D的坐標；(3)若點P是該二次函數(shù)圖像上位于x軸上方的一點，且，直接寫出點P的坐標．【答案】(1)，；(2)或；(3)點P的坐標為．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出的面積，設(shè)點，再根據(jù)，得到方程求出m值，即可求出點D的坐標；（3）分點P在點A左側(cè)和點P在點A右側(cè)，結(jié)合平行線之間的距離，分別求解．【詳解】（1）解：∵點、在二次函數(shù)圖像上，則，解得：，故答案為：，；（2）解：連接，∵，∴二次函數(shù)為，∴∵、，∴，∵，設(shè)點，∴，即，解得：或，代入，可得：y值都為16，∴或；（3）解：設(shè)，∵點P在拋物線位于x軸上方的部分，∴或，當點P在點A左側(cè)時，即，可知點C到的距離小于點B到的距離，∴，不成立；當點P在點B右側(cè)時，即，∵和都以為底，若，則點B和點C到AP的距離相等，即，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，則設(shè)直線的解析式為，將點代入，則，解得：則直線AP的解析式為，將代入，即，解得：或（舍），，∴點P的坐標為．14．（2022秋·江蘇揚州·九年級?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線L：與x軸相交于A，B兩點，與一次函數(shù)相交于點A和點C．(1)求點A、B、C三點的坐標；(2)點P是拋物線上的一動點且在直線的上方，過點P作x軸垂線交直線于點D，當點P運動到什么位置時，線段的長度最大？求出此時點P的坐標和線段的最大值；(3)將拋物線L：的圖象向下平移得到新的拋物線，直線與拋物線交于M，N兩點，滿足，在拋物線上有且僅有三個點，，使得，，的面積相等，請直接寫出，，的坐標．【答案】(1)，，；(2)，最大值為；(3)，，【分析】（1）令拋物線解析式中，解方程可求出點A，B的坐標，聯(lián)立一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析可求得點C的坐標；（2）根據(jù)題意設(shè)點，則，求得，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值和點P的坐標；（3）先求出的長，根據(jù)求得的長，聯(lián)立新拋物線與，根據(jù)的長確定新拋物線解析式，進而根據(jù)有且僅有三個點，，使得，，的面積相等，求得切點的坐標，根據(jù)一次函數(shù)的平移求得另外兩個點的坐標．【詳解】（1）解：（1）令，解得或，∴，，令，解得或，∴；（2）根據(jù)題意設(shè)點，則，∴，∵，∴當時，最大，最大值為，當時，，∴；（3）∵，，∴，∵，∴，設(shè)向下平移a（）個單位，得到新的拋物線，則拋物線的解析式為：，令，整理得：，設(shè)M，N的橫坐標分別為，，則，，如圖，過點M，N分別作x，y軸平行線，交于點Q，則是等腰直角三角形，∵，∴，即，∵，∴，解得；∴拋物線的解析式為：，∵拋物線上有且僅有三個點，，使得，，的面積均為定值S，設(shè)為與拋物線唯一的交點，令，整理得，∴，得，則，即，∴，∴，即；∵向下平移個單位得到，∴向下平移個單位得到，∴與拋物線交于，，令，解得：，∴，，15．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，拋物線經(jīng)過點和B（0，3），與軸負半軸交于點，點是拋物線上的動點．(1)求拋物線的解析式；(2)過點作于點連接當點在第一象限且時，求點的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）將點和B（0，3）代入，即可求解；（2）先確定再由，則求出，，求出直線的解析式為聯(lián)立方程組，即可求出．【詳解】（1）解：點和B（0，3）代入，，解得，；（2）解：和，，，設(shè)直線的解析式為，解得，聯(lián)立方程組，解得或，點在第一象限，，．16．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知拋物線過點，）過定點的直線l：與拋物線交于A、B兩點，點B在點A的右側(cè)，過點B作x軸的垂線，垂足為C．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點在x軸上運動，連接，作的垂直平分線與過點D作x軸的垂線交于點I，判斷點I是否在拋物線，并證明你的判斷；(3)若，設(shè)的中點為M，拋物線上是否存在點P，使得周長最小，若存在求出周長的最小值，若不存在說明理由；(4)若，在拋物線上是否存在點Q，使得的面積為，若存在求出點Q的坐標，若不存在說明理由．【答案】(1)(2)點I在拋物線；見解析(3)存在，最小值為(4)存在，點Q的坐標為或或【分析】（1）由題意得：，解得：，即可求解；（2）設(shè)，過I作軸于點H，則，，，在中，，即，則，即可求解；（3）中點M的坐標為：，由（2）可知，拋物線上的點到點F的距離等于它到x軸的距離．設(shè)拋物線上存在點P，使得周長最小，過點P作軸于點，，是定值，，故當軸時，，此時P、M、共線，周長最小，即可求解；（4），解得：，，即可求解．【詳解】（1）（1）由題意得：，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）如圖1，過I作軸于點H，設(shè)，則，，，在中，，∴，即，∴點I在拋物線；（3）存在，最小值為，理由如下：若，設(shè)的中點為M，則，解得中點M的坐標為：，∴，由（2）可知，拋物線上的點到點F的距離等于它到x軸的距離，設(shè)拋物線上存在點P，使得周長最小，如圖2，過點P作軸于點，∵，∵是定值，．∴當軸時，，此時P、M、共線，周長最小，∴點，∴，∴周長最小的最小值為：；（4）存在，點Q的坐標為或或，理由如下：如圖3，設(shè)、，，，將點B的坐標代入得：，∴點，∴，∴，解得：，，當時，解得：，故點Q的坐標為；當時，解得：或6，故點Q的坐標為或．綜上，點Q的坐標為或或17．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知拋物線交軸于點和點，交軸于點．(1)求此拋物線的解析式．(2)過點A作交拋物線于點，求四邊形的面積．(3)在軸上方的拋物線上是否存在一點，過作軸于點，使以A、、三點為頂點的三角形與相似．若存在，請求出點的坐標；否則，請說明理由．【答案】(1)(2)4(3)存在點，使以A、、三點為頂點的三角形與相似，點的坐標為，，【分析】（1）將A和C的坐標代入求解即可；（2）過點作軸于，四邊形的面積，由A，B，C三點的坐標，可知是直角三角形，且，則可求出的面積，根據(jù)已知可求出P點坐標，可知點P到直線的距離，從而求出的面積，則就求出四邊形的面積；（3）假設(shè)存在這樣的點M，兩個三角形相似，根據(jù)題意以及上兩題可知，和是直角，只需證明或即可．設(shè)M點坐標，根據(jù)題中所給條件可求出線段的長度，然后列等式，分情況討論，求解．【詳解】（1）拋物線過和，解得，；（2）令，，解得，，，，，，，∵，過點作軸于，則為等腰直角三角形，令，則，，點在拋物線上，，解得，（不符合題意），，四邊形的面積；（3）假設(shè)存在，，．軸于點，．在中，，．在中，，，設(shè)點的橫坐標為，則，①點在軸左側(cè)時，則，（?。┊敃r，有，，，即，解得（舍去）（舍去）；（ⅱ）當時有，即，解得：（舍去），，；②點在軸右側(cè)時，則，（ⅰ）當時有，，，，解得（舍去）；；（ⅱ）當時有，即，解得：（舍去），，，存在點，使以A、、三點為頂點的三角形與相似，綜上所述，點的坐標為，，．18．（2023·江蘇無錫·無錫市天一實驗學校校考模擬預測）如圖，拋物線與x軸分別交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，若且．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖，點D是該拋物線的頂點，點是第二象限內(nèi)拋物線上的一個點，分別連接．①若是直角三角形，且時，求P點坐標；②當時，求P點坐標．【答案】(1)(2)①②點的坐標為【分析】（1）由點坐標可得，由可得，即,再運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）①求出點的坐標，設(shè)根據(jù)勾股定理列出方程求出的值即可；②取的中點，作于點，連接過點作于過點作軸于點求得拋物線的頂點的坐標為求得由面積法可得故，即知得，，把點坐標代入求出的值即可【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，把，代入，得：，解得，，∴拋物的解析式為：；（2）∴拋物線的對稱軸為直線，是第二象限內(nèi)拋物線上的一個點，，是直角三角形，且，解得，，，當時，，；②取的中點，作于點，連接過點作于過點作軸于點如圖，∵∴拋物線的頂點的坐標為∵，∴為的中點，∴即設(shè)則，解得，（與點B重合，舍去）或∴，∴點的坐標為19．（2023春·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點E是線段上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形的面積最大?求出四邊形的最大面積及此時E點的坐標；(3)在y軸上是否存在點P，使得？若存在，請直接寫出P點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)四邊形的面積最大為，E點坐標為（－2，－1）(3)存在，P點的坐標為（0，）或（0，）【分析】（1）將點坐標代入，解得，即可得解；（2）先求直線的函數(shù)表達式為,設(shè)點，結(jié)合圖形，四邊形的面積，運用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值及點E點的坐標；（3）設(shè)，作于點G，，求得＝，利用等積法得，解得n，得到點，再利用對稱性得另一點【詳解】（1）將代入拋物線表達式得，解得，拋物線表達式為；（2）∵拋物線的對稱軸為直線，∴，，設(shè)直線的函數(shù)表達式為，將點坐標代入得，解得，∴直線的函數(shù)表達式為，..設(shè)，則，∴＝，∴＝，四邊形的面積＋當時，四邊形的面積最大，最大值為，此時E點坐標為；（3）P點的坐標為或①作于點G，，設(shè)，，，，，由的面積，得，即，化簡，得，解得，（不符合題意，舍去），∴，②∵點與點P關(guān)于原點