桿件的內力、強度、剛度及穩(wěn)定性-梁的彎曲（建筑力學）

10.5疊加法與區(qū)段疊加法10.5疊加法與區(qū)段疊加法10.5疊加法與區(qū)段疊加法一、疊加原理及疊加法畫彎矩圖在線彈性或小變形情況下，梁在多種荷載共同作用下，所引起的某一參數(shù)（如反力、內力、應力或變形），等于每種荷載單獨作用時所引起的該參數(shù)值的代數(shù)和，這種關系稱為疊加原理。利用疊加原理畫內力圖的方法稱為疊加法。在常見荷載作用下，梁的剪力圖比較簡單，一般不用疊加法繪制。下面只討論用疊加法畫彎矩圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法用疊加法畫彎矩圖的步驟和方法如下：1）把作用在梁上的復雜荷載分成幾種簡單的荷載，分別畫出梁在各種簡單荷載單獨作用下的彎矩圖。2）將各簡單荷載作用下的彎矩圖相疊加（即在對應點處的彎矩縱坐標代數(shù)相加），就得到梁在復雜荷載作用下的彎矩圖。3）疊加時先畫直線或折線的彎矩圖線，后畫曲線，習慣上第一條圖線用虛線畫出，在此基礎上疊加第二條彎矩圖線，最后一條彎矩圖線用實線畫出。10.5疊加法與區(qū)段疊加法例10－9用疊加法畫圖所示懸臂梁的內力圖。解（1）將梁上的復雜荷載分解為兩種簡單荷載，即均布線荷載q和集中力偶M，并分別畫出梁在q和M單獨作用下的彎矩圖。（2）將兩個彎矩圖相應的縱坐標疊加起來，即得懸臂量在復雜荷載作用下的彎矩圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法例10－10用疊加法畫圖示簡支梁的內力圖。解：（1）將梁上的復雜荷載分解為均布線荷載q和集中力F，并分別畫出梁在q和F單獨作用下的彎矩圖。（2）將兩個彎矩圖相應的縱坐標疊加起來，即得梁在兩種簡單荷載共同作用下的彎矩圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法二、區(qū)段疊加法畫彎矩圖如果將梁進行分段，然后在每一個區(qū)段上利用疊加原理畫出彎矩圖，這種方法稱為區(qū)段疊加法。如圖所示的簡支梁CD，受F、q作用，在梁內取一段AB，如果已求出A截面和B截面上的彎矩MAB、MBA，則可根據(jù)該段的平衡條件求出A、B截面上的剪力FSA、FSB。10.5疊加法與區(qū)段疊加法將此梁AB段的受力圖與如圖所示的另一簡支梁AB相比較,可以發(fā)現(xiàn),上邊簡支梁CD上AB段梁的受力情況與另一簡支梁AB的受力情況完全相同，所以上邊簡支梁CD上AB段梁的內力圖，與另一簡支梁AB的內力圖也當然相同，因此畫梁內某段彎矩圖的問題就歸結成了畫相應簡支梁彎矩圖的問題，可利用疊加法畫出。10.5疊加法與區(qū)段疊加法例10-11用區(qū)段疊加法畫圖所示簡支梁的彎矩圖。解：（1）求支座反力：根據(jù)梁的平衡條件，可求得FAy=17kN(向上)FBy=7kN(向上)

10.5疊加法與區(qū)段疊加法為了便于分析，先作出其剪力圖，如圖。（注意：q區(qū)段有FS=0點）10.5疊加法與區(qū)段疊加法（2）選定外力變化處（如集中力、集中力偶的作用點、均布荷載的起止點）作為控制點，控制點所在截面稱為控制截面，控制截面的內力（彎矩）稱為控制內力（彎矩）。計算各控制截面的彎矩值如下：MA=0,MC=17kN·m,MD=26kN·m,ME=30kN·m,MFE=23kN·m,MFB=7kN·m,MB=0.10.5疊加法與區(qū)段疊加法在上面求MD時，可用如左下圖所示的D截面左半畫計算圖，在D左側有支座A的反力FAy=17kN，以及向下的力8kN，它們對D點的矩都畫在左側，其中弧線箭尾在下的，使梁下側受拉。代數(shù)和等于26kN·m，梁下側受拉；同理求ME時，可用如右下圖所示的E截面右半畫計算圖，代數(shù)和等于30kN·m，下側受拉。10.5疊加法與區(qū)段疊加法設DE段內距D點x處彎矩有極值，該點所在截面的剪力等于零，則：（17-8）kN–4kN/m×x=0。所以，極值點位置x=2.25m,極值點的彎矩M等于Mmax=[17×(2+2.25)－8×(1+2.25)－4×2.25×1.125]=36.125kN?m10.5疊加法與區(qū)段疊加法（3）繪彎矩圖在坐標系中依次定出以上各控制點,因AC、CD、EF、FB各段無荷載作用，用直線連接各段兩端點即得彎矩圖。DE段有均布荷載作用，先用虛線連接兩端點，再疊加上相應簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖，就可以繪出該段的彎矩圖。有極值時標出極值。10.5疊加法與區(qū)段疊加法如圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法例10－12用區(qū)段疊加法畫圖示外伸梁的內力圖。解：（1）求支座反力：根據(jù)梁的平衡條件，可求得FAy=1.72kN(向上)FBy=2.48kN(向上)

10.5疊加法與區(qū)段疊加法（2）畫剪力圖：AC段有均布線荷載,所以剪力圖是一條往右下斜直線,算出AC段兩端截面的剪力FSAC=1.72kN,FSC=－1.48kN,連接兩點即得AC段的剪力圖。CB段是無荷區(qū)段,剪力圖是一條平行線。經(jīng)過B截面時，由于有集中反力FBy作用，剪力圖按FBy的方向向上凸2.48kN過渡到B偏右截面，且FSBD=1kN，BD段的剪力圖也是一條平行線，到D處按集中力的方向向下突變1kN，如圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法（3）用區(qū)段疊加法畫彎矩圖求出A、C、B、D四個控制截面的彎矩，標在坐標系中。由于CB、BD段是無何區(qū)段，所以直接用直線連接CB、BD即得此兩段的彎矩圖。AC段有均布荷載作用，所以先用虛線連接AC，再在此基礎上疊加相應簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖就可得該段的彎矩圖，如圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法練習與強化：用恰當?shù)姆椒ㄗ鲌D示梁的內力圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法剪力圖如圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法彎矩圖如圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法剪力圖10.5疊加法與區(qū)段疊加法彎矩圖10.3剪力圖和彎矩圖10.3剪力圖和彎矩圖10.3剪力圖和彎矩圖【引言】通過計算梁的內力,可以看到,梁在不同位置的橫截面上的內力值一般是不同的。即梁的內力隨梁橫截面位置的變化而變化。進行梁的強度和剛度計算時，除要會計算指定截面的內力外，還必須知道剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，并確定最大剪力和最大彎矩的（絕對）值以及它們所在的位置。下面討論這個問題。10.3剪力圖和彎矩圖一、剪力方程和彎矩方程以橫坐標x表示梁各橫截面的位置，則梁橫截面上的剪力和彎矩都可以表示為坐標x的函數(shù)，即

FS=

FS(x)

M=M(x)以上兩函數(shù)表達式，分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程，統(tǒng)稱為內力方程。剪力方程和彎矩方程表明了梁內剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律。10.3剪力圖和彎矩圖二、剪力圖和彎矩圖為了形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，可以根據(jù)剪力方程和彎矩方程分別畫出剪力圖和彎矩圖。它的畫法和軸力圖、扭矩圖的畫法相似，即以沿梁軸的橫坐標x表示梁橫截面的位置，以縱坐標表示相應截面的剪力和彎矩。作圖時，一般把正的剪力畫在x軸的上方，負的剪力畫在x軸的下方，并注明正負號；正彎矩畫在x軸下方，負彎矩畫在x軸的上方，即將彎矩圖畫在梁的受拉側，而不必表明正負號。10.3剪力圖和彎矩圖畫內力圖的基本方法是內力方程法，即先求出內力方程（剪力方程、彎矩方程），再根據(jù)內力方程作內力圖的方法，其過程一般為：1.求出支座反力；（如果是懸臂梁，可以不求）2.建立合理的坐標軸；3.將梁分段；（只要荷載變化，就要分段）4.求出每段梁的剪力方程與彎矩方程；5.根據(jù)剪力方程與彎矩方程作出剪力圖與彎矩圖。10.3剪力圖和彎矩圖例10－3

如圖所示，懸臂梁AB的跨度為l，其自由端A受到集中力F的作用，試畫出該梁的內力圖。解：（1）求出支座反力：懸臂梁，可以不求（2）建立合理的坐標軸：以A為原點,梁軸為x軸.向右為正向，如圖10.3剪力圖和彎矩圖（3）分段：由于AB段上無荷載變化，只有AB段一段；（4）求內力方程：取距原點為x的任一截面，計算該截面上的剪力和彎矩，并把它們表示為x的函數(shù)，則有剪力方程：FS（x）＝－F

（0＜x＜l）彎矩方程：M（x）＝－Fx

（0≤x＜l）【注】以上兩個方程后面給出了方程的適用范圍。在剪力方程中，因為在集中力作用面上剪力有突變，x不能等于0和l。彎矩方程中，在B支座處有反力偶，彎矩有突變，x不能等于l。10.3剪力圖和彎矩圖5.畫內力圖：先畫FS

圖由剪力方程【FS（x）＝－F】可知，F(xiàn)S(x)是一常數(shù)，不隨梁內橫截面位置的變化而變化，所以FS

圖是一條平行于x軸的直線，且位于x軸的下方，如圖所示。10.3剪力圖和彎矩圖再畫M圖由彎矩方程【M（x）＝－Fx】可知，M(x)是x的一次函數(shù)，彎矩沿梁軸按直線規(guī)律變化，彎矩圖是一條斜直線，因此，只需確定梁內任意兩截面的彎矩，便可畫出彎矩圖。當x=0時，MA＝0；

x=l時，MB左＝－Fl。

10.3剪力圖和彎矩圖由FS

圖和M圖可知：由于在剪力圖和彎矩圖中的坐標比較明確，習慣上可將坐標軸略去，所以，在以下各例中，坐標軸不再畫出。10.3剪力圖和彎矩圖例10－4

簡支梁受均布線荷載q的作用，試畫出該梁的內力圖。解：(1)求支座反力。由梁和荷載的對稱性可直接得出：10.3剪力圖和彎矩圖（2）列內力方程。取梁左端A為坐標原點，梁軸為x軸，取距A為x的任意截面，將該面上的剪力和彎矩分別表示為x的函數(shù)，則有剪力方程：

（0＜x＜l）彎矩方程：

（0≤x

≤

l）10.3剪力圖和彎矩圖（3）畫剪力圖由剪力方程知，該梁的剪力圖是一條斜直線，計算確定兩個數(shù)值就可以畫出剪力圖。如圖。10.3剪力圖和彎矩圖（4）畫彎矩圖由彎矩方程知，梁的彎矩圖是一條二次拋物線，至少要算出三個點的彎矩值才能大致畫出圖形。計算各點彎矩，見表10-1。10.3剪力圖和彎矩圖作梁的彎矩圖如圖。為了求得彎矩圖中的彎矩最大值，可將上面的彎矩方程對一次求導，并令其等于0，則有：10.3剪力圖和彎矩圖所以，在均布荷載作用的梁上,在剪力等于0的截面,彎矩發(fā)生極值觀察分析本例，可以發(fā)現(xiàn)，在梁上均布荷載作用的區(qū)段內，剪力圖為一條斜直線，彎矩圖為一條拋物線。荷載向下，剪力圖往右下斜；彎矩圖向下凸。如果在該區(qū)段內有剪力等于0的截面，則在剪力為0處，彎矩圖有極大。10.3剪力圖和彎矩圖例10－5

簡支梁受集中力F的作用，試畫出梁的內力圖。解：(1)求支座反力。以整體為研究對象，列平衡方程。由∑MA(F)=0，得：FB×l－F×a=0由∑Fy=0，得：FA－F+FB=010.3剪力圖和彎矩圖（2）列內力方程。梁在C處有集中力作用，故AC段和CB段內力方程不同，要分段列出。AC段：在AC段內取距A為x1的任意截面（0＜x1＜a）

（0≤x1≤a）10.3剪力圖和彎矩圖CB段：在CB段內取距A為x2的任意截面，則

（a＜x2＜l）

（a≤

x2≤

l）10.3剪力圖和彎矩圖(3)畫剪力圖由剪力方程知，AC段和CB段梁的剪力圖均為水平線。AC段剪力圖在x軸上方，CB段剪力圖在x軸下方。在集中力F作用的C截面上，剪力圖出現(xiàn)向下的突變，突變值等于集中力的大小，如圖。10.3剪力圖和彎矩圖（4）畫彎矩圖由彎矩方程知,兩段梁的彎矩圖均為斜直線,每段分別確定兩個數(shù)值就可畫出彎矩圖,如圖x1=0時，MA=0；x1=a時，x2=a時，x2=l時，MB=0。10.3剪力圖和彎矩圖在本例中，若則在梁中有最大彎矩，其值為（熟記）如圖。10.3剪力圖和彎矩圖觀察分析上面例子，可以發(fā)現(xiàn)，梁上某段的剪力圖與彎矩圖，與該段作用的荷載之間，存在必然的關聯(lián)。在梁上集中力作用的位置，剪力圖必發(fā)生突變，從左往右突變的方向與集中力作用的方向相同，突變數(shù)值的大小等于該集中力的大小；而彎矩圖將產(chǎn)生尖點，尖點的方向與集中力作用的方向相同。在集中力作用的兩側，若無荷載作用，剪力圖為平行于x軸的一條直線，當剪力大于0時，彎矩圖為右向下斜直線，當剪力小于0時，彎矩圖為右向上斜直線，當剪力等于0時，彎矩圖為一條平直線。10.3剪力圖和彎矩圖事實上，上面剪力圖必發(fā)生突變這種情況，其原因是由于把實際上分布在一個微段上的分布力，抽象成了作用于一點的集中力所造成的。如果將集中力F視為作用在微段△x上的均布荷載（如圖)，則在該微段內，剪力將由逐漸變到，突變就不存在了。10.3剪力圖和彎矩圖例10－6如圖所示，簡支梁AB，在C處作用有力偶M。試畫出梁的內力圖。解：（1）求支座反力。由梁的整體平衡條件求出10.3剪力圖和彎矩圖（2）分段列內力方程。AC段：在AC段內取距A為x1的任意截面，則有（0＜x1≤a）（0

≤

x1＜a）10.3剪力圖和彎矩圖CB段：在CB段內取距A為x2的任意截面，則有（a≤x2＜l）

（a＜x2≤

l）10.3剪力圖和彎矩圖（3）畫剪力圖由剪力方程知，AC段和CB段的剪力圖是同一條平行于x軸的直線，且在x軸的下方，如圖。10.3剪力圖和彎矩圖（4）畫彎矩圖由彎矩方程知，AC段和CB段的彎矩圖都是一條斜直線，要分段求值取點作圖，如圖。10.3剪力圖和彎矩圖觀察分析本例，可以發(fā)現(xiàn)，在梁上集中力偶作用處，彎矩圖有突變，突變的數(shù)值等于該集中力偶矩，當集中力偶的力偶矩為順時針方向時，彎矩圖從左向右表現(xiàn)出向下突變；而剪力圖無變化。思考：將力偶M的位置移動、或者轉向改變，彎矩圖與剪力圖結果會怎樣？10.3剪力圖和彎矩圖10.4簡捷法繪制

梁的剪力圖與彎矩圖10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖一、荷載集度與彎矩、剪力間的微分關系前面簡單歸納了剪力圖、彎矩圖的一些規(guī)律，說明作用在梁上的荷載與剪力、彎矩間存在著一定的關系。下面繼續(xù)進行分析。如圖所示，梁上作用有任意分布荷載q(x)，q(x)規(guī)定以向下為正。取A為坐標原點，x軸以向右為正向，y軸以向上為正向如圖。10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖取分布荷載作用下一微段dx來分析，如圖。圖中微段dx左右截面上的內力應分別為

FS(x)，M(x)，F(xiàn)S(x)+dFS(x)，

M(x)+dM(x)10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖由靜力平衡方程∑Fy=0，得：FS(x)－q(x)dx－[FS(x)+dFS(x)]=0∑MO(F)=0，得(O為右截面形心)：10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖經(jīng)整理，并略去二階微量,得

將式（10－2）兩邊求導得10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖

由式（10－1）可知，梁上任一截面上的剪力對x的一階導數(shù)等于作用在該截面處的荷載分布集度，但符號相反。這一微分關系的幾何意義是，剪力圖上某點切線的斜率等于相應截面處的荷載分布集度的相反值。由式（10－2）知，梁上任一截面上的彎矩對x的一階導數(shù)等于該截面上的剪力。這一微分關系的幾何意義是，彎矩圖上某點切線的斜率等于相應截面上的剪力。10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖由式（10－3）知,梁上任一截面上的彎矩對x的二階導數(shù)等于該截面處的荷載分布集度,但符號相反。這一微分關系的幾何意義是，彎矩圖上某點的曲率等于相應截面處的荷載分布集度的相反值。10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖二、根據(jù)荷載分布集度、剪力、彎矩的微分關系，分析剪力圖和彎矩圖的規(guī)律1．在無荷載作用區(qū)段：q(x)=0由于q(x)=0，F(xiàn)S(x)是常數(shù)，所以剪力圖是一條平行于x軸的直線。所以M(x)是x的一次函數(shù)，彎矩圖是一條斜直線。10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖1．在無荷載作用區(qū)段：q(x)=0（續(xù)）當FS(x)=常數(shù)>0時，彎矩M(x)是增函數(shù)，彎矩圖往右下斜直線；當FS(x)=常數(shù)＜0時，彎矩M(x)是減函數(shù)，彎矩圖往右上斜直線。特殊情況下，當FS(x)=常數(shù)=0時，彎矩M(x)=常數(shù)，彎矩圖是一條水平直線。10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖2．在均布荷載區(qū)段q(x)=常數(shù)由于q(x)=常數(shù)，F(xiàn)S(x)是x的一次函數(shù)，所以剪力圖是一條斜直線。而所以M(x)是x的二次函數(shù)，彎矩圖是一條拋物線。當q(x)向下時，q(x)=常數(shù)>0，F(xiàn)S(x)是減函數(shù)，剪力圖往右下斜；彎矩圖是下凸拋物線。10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖2．在均布荷載區(qū)段q(x)=常數(shù)（續(xù)）當q(x)向上時,q(x)=常數(shù)＜0,

FS(x)是增函數(shù),剪力圖往右上斜；彎矩圖是上凸拋物線當FS(x)=0時，由于彎矩圖在該點處的斜率為零，所以彎矩圖發(fā)生極值。為方便應用,將荷載、剪力、彎矩之間的關系列于表10—2中10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖三、剪力圖和彎矩圖規(guī)律的應用利用剪力圖和彎矩圖的規(guī)律可簡單而方便的畫出梁的內力圖，其步驟和方法如下：（1）根據(jù)梁所受外荷載情況將梁分為若干段，并判斷每段的剪力圖和彎矩圖的的形狀，應注意各段梁只能有一項荷載。（2）計算每一段梁兩端的剪力值和彎矩值（有些可直接據(jù)規(guī)律判斷出來的不必計算），逐段畫出剪力圖和彎矩圖。畫內力圖時，一般是從左往右畫。10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖例10－7畫出圖示簡支梁的內力圖。解：(1)求支座反力：根據(jù)梁的平衡條件，可求得

FAy=5kN(向上)

FBy=15kN(向上)

10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖（2）畫剪力圖。將梁按荷載分布情況分為AC、CD、DB段,分別畫每一段的剪力圖。AC段、CD段、DB段是無荷載區(qū)段,剪力圖為平直線。在AC段內FSAC=FAy=5kN,所以AC段的剪力圖是在x軸上方的一條平直線,經(jīng)過集中力作用處C時,按集中力的方向向下突變20kN過渡到C偏右截面,且FSCD=FAy－20=5－20=－15kN,CD段剪力圖是在x軸下方的一條平直線,經(jīng)過集中力偶作用處D無變化,到B截面時按FBy的方向向上突變15kN。10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖

(3)畫彎矩圖。AC段剪力圖是在x軸上方的一條平行線,所以彎矩圖是一條往右下斜的直線,確定兩點的彎矩值，MA=0，MC=10kN·m得AC段的彎矩圖線。在C截面處有集中力作用,彎矩圖產(chǎn)生轉折,到CD段,因剪力圖是在x軸下方的一條平行直線,所以彎矩圖是一條上斜直線,確定MDC=-20kN·m,畫出CD段的彎矩圖。經(jīng)過D截面處下突50kN·m,則MDB=30kN·m,又MB＝0,連接MDB、MB,畫出DB段的彎矩圖，如圖。10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖例10－8繪制圖示外伸梁的內力圖。解：(1)求支座反力：根據(jù)梁的平衡條件，可求得FAy=4.75kN(向上)FBy=11.25kN(向上)

10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖（2）畫剪力圖：AC段為向下的均布線荷載,所以剪力圖是一條往右下斜的直線,算出該段兩端剪力值FSAC=4.75kN

,FSCA=－3.25kN

,可畫得剪力圖。CD段剪力圖是在x軸下方的一條平行線,經(jīng)過集中力偶作用處D時,剪力圖無變化,到B截面處按FBy的方向向上突變11.25kN過渡到B偏右截面,且FSBE=8kN。BE段的剪力圖是在x軸上方的平行線,在E處按集中力的方向向下突變8kN。10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖（3）畫彎矩圖

AC段作用有向下的均布線荷載,所以彎矩圖為向下凸拋物線.從剪力圖可看出該段彎矩圖有極值,求出該段兩端的彎矩值及極值即可畫出彎矩圖.MAC=0,MCA=3kN·m,根據(jù)切力圖,FS=0發(fā)生在x=2.375m處,此時有MACmax=5.64kN·m;CD段的剪力圖是在x軸下方的平行線,所以彎矩圖是一條往右上斜直線,求出D偏左截面的彎矩值MDC=－3.5kN·m,可得CD段的彎矩圖線.經(jīng)過D截面時,因有力偶矩為逆時針方向的集中力偶作用,彎矩圖往右向上突變6kN·m過渡到D偏右截面,所以MDB=－9.5kN·m,又MB=－16kN·m,ME=0,所以DB段的彎矩圖是上斜直線,BE段是下斜直線。10.4簡捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖如圖。10.9梁的變形10.9梁的變形10.9梁的變形一、梁彎曲變形的概念梁在外力作用下會產(chǎn)生變形，為了滿足使用要求，工程上要求梁的變形不超過許用的范圍，即要有足夠的剛度。如圖懸臂梁，取直角坐標系xAy，x軸向右為正，y軸向下為正，xAy平面與梁的縱向對稱平面是同一平面。梁受外力作用后，軸線由直線變成一條連續(xù)而光滑的曲線，稱為撓曲線，或彈性曲線。10.9梁的變形梁各點的水平位移略去不計。梁的變形可用下述兩個位移來描述。1）梁任一橫截面的形心沿y軸方向的線位移，稱為該截面的撓度。用y表示。y以向下為正，其單位是m或mm。2）梁任一橫截面相對于原來位置所轉過的角度，稱為該截面的轉角。用θ表示，θ以順時針轉動為正，其單位是rad。10.9梁的變形梁在變形過程中，各橫截面的撓度和轉角都隨截面位置x而變化，所以撓度y和轉角θ可表示為x的連續(xù)函數(shù)。即：

y=y（x）,θ=θ（x）上面兩式分別稱為梁的撓曲線方程和轉角方程。由圖可知，在小變形的情況下，梁內任一截面的轉角θ就等于撓曲線在該截面處的切線的斜率。即因此，只要求出梁的撓曲線方程y=y(x)，就可求得梁任一截面的撓度y和轉角θ。

10.9梁的變形二、撓曲線近似微分方程在本章10.6中,已推導出梁在純彎曲時的曲率公式（10-8）,即如果忽略剪力對變形的影響，則上式也可以用于梁剪切彎曲的情形。但是彎矩M和相應的曲率半徑ρ均隨截面位置而變化，是x的函數(shù)。所以有10.9梁的變形在高等數(shù)學中，平面曲線的曲率公式為由于梁的變形很小，可以略去上式又可近似地寫為10.9梁的變形因此可有：

式中的正負號，取決于坐標系的選擇和彎矩正負號的規(guī)定。彎矩M的正負號仍按以前規(guī)定，即以使梁下側受拉為正；坐標系y以向下為正。當彎矩為正值時，撓曲線下凸，而為負值，即彎矩M與恒為異號。故有微分方程：公式（10－20）即為梁的撓曲線近似微分方程10.9梁的變形三、用積分法求梁的變形對于等直梁，抗彎剛度為常數(shù)，對上面式（10－20）兩邊積分一次，得轉角方程為

兩邊再積分一次得撓曲線方程為

10.9梁的變形式中的C、D為積分常數(shù)。積分常數(shù)可利用梁的邊界條件和連續(xù)條件來確定。所謂邊界條件就是梁在支座處的已知撓度和已知轉角。例如懸臂梁在固定端的撓度，轉角。簡支梁在兩個鉸支座處的撓度都等于零。所謂連續(xù)條件就是梁的撓曲線在梁上各點處都是連續(xù)的。10.9梁的變形例10－19懸臂梁的受力情況如圖所示，EIZ為常數(shù)，試求梁最大撓度和最大轉角。解：（1）取圖示坐標系，列彎矩方程

M(x)=－F(l－x)

（0＜x≤l）(2)寫出撓曲線近似微分方程10.9梁的變形將上式積分一次得積分兩次得（3）確定積分常數(shù)。根據(jù)邊界條件：

x=0時，yA=0，

A=0代入上兩式，得：

C=0，D=010.9梁的變形（4）將積分常數(shù)代入，寫出撓度方程和轉角方程撓度方程為轉角方程為（5）計算梁最大撓度和最大轉角。根據(jù)梁撓曲線的大致形狀可知，最大撓度和最大轉角都發(fā)生在梁的自由端B處。當x=l時

10.9梁的變形例10－20如圖所示簡支梁，EIZ為常數(shù)，寫出梁的轉角方程和撓度方程。解：（1）求支座反力10.9梁的變形（2）分段列彎矩方程AC段：

(0≤x1≤a)CB段：

(a≤x2≤l)10.9梁的變形(3)寫出各段的撓曲線近似微分方程并積分AC段的撓曲線近似微分方程并積分：

①

②10.9梁的變形CB段的撓曲線近似微分方程并積分：

③

④

10.9梁的變形（4）確定積分常數(shù)邊界條件：

x1=0時，y1=0；x1=l時，y2=0連續(xù)條件：

x1=x2=a時，

1=

2，y1=y2

將邊界條件和連續(xù)條件代入式①、②、③、④得10.9梁的變形(5)寫出各段的撓度方程和轉角方程

AC段：CB段：10.9梁的變形

四、疊加法求梁的變形梁的撓曲線近似微分方程是在小變形、材料服從虎克定律的條件下導出的,其撓度和轉角與外荷載成線性關系,因此在求解變形時,也可采用疊加法。當梁同時作用幾種荷載時,可以先分別求出每種簡單荷載單獨作用下梁的撓度或轉角,然后進行疊加,即得幾種荷載共同作用下的撓度或轉角,這種方法稱為疊加法。為方便計算，將在幾種常見簡單荷載作用下梁的撓度和轉角列于表10－3。10.9梁的變形例10－21如圖所示懸臂梁，EIz為常數(shù)，同時受到均布荷載q和集中荷載F的作用，試用疊加法計算梁的最大撓度。10.9梁的變形解：由表10－1查得，懸臂梁在均布荷載q作用下自由端B有最大撓度,其值為懸臂梁在集中力F作用下自由端B有最大撓度，其值為因此，在荷載q和P共同作用下，自由端B處有最大撓度，其值為10.9梁的變形例10－22簡支梁受荷情況如圖所示,已知F1=F2=F，抗彎剛度EIz為常數(shù)。試用疊加法計算梁跨中截面的撓度與轉角。解：查表10－1得，梁在F1單獨作用下，跨中的撓度和轉角分別為10.9梁的變形梁在F2單獨作用下，跨中撓度和轉角分別為10.9梁的變形所以，梁在F1和F2共同作用下，跨中撓度和轉角分別為10.7梁的合理截面形狀10.7梁的合理截面形狀10.7梁的合理截面形狀【引言】一般情況下，梁受彎曲時，其強度主要取決于梁的正應力強度，即由強度條件可知，當梁的最大彎矩和材料確定后，梁的強度只與抗彎截面系數(shù)Wz有關?？箯澖孛嫦禂?shù)越大，最大正應力就越小，梁的強度就越高。加大截面尺寸可以增大抗彎截面系數(shù)，但這會增加工程造價。所以應該在材料用量（截面A）一定的情況下，使抗彎截面系數(shù)Wz盡可能增大，這就要選擇合理的截面形狀。10.7梁的合理截面形狀一、根據(jù)抗彎截面系數(shù)與截面面積的比值選擇截面合理的截面形狀應該是在截面面積相同的情況下具有較大的抗彎截面系數(shù)。例如在面積相同的情況下，工字型截面比矩形截面合理；矩形截面豎放要比橫放合理；圓環(huán)形截面要比圓形截面合理。梁在彎曲時的正應力沿橫截面高度呈線性分布，最大值分布在離中性軸最遠的邊緣各點，由于靠近梁截面中性軸附近的正應力很小，因此這部分材料沒有得到充分的利用。10.7梁的合理截面形狀為了合理利用材料，應將大部分材料布置在距中性軸較遠處，以提高梁的抗彎能力和材料的利用率，這樣的截面是合理的。所以，在工程上常采用工字形、圓環(huán)形、箱形等截面形狀。建筑中常用的空心板也是根據(jù)這個道理制作的。10.7梁的合理截面形狀二、根據(jù)材料的特性選擇截面對于抗拉和抗壓強度相同的材料，一般采用對稱于中性軸的橫截面（如矩形、工字形、圓形等截面），使上、下邊緣的最大拉應力和最大壓應力相等，同時達到材料的許用應力值比較合理。對于抗拉和抗壓強度不相等的材料，最好選擇不對稱于中性軸的橫截面（如T形、平放置的槽形等截面），使得截面受拉、受壓的邊緣到中性軸的距離與材料的抗拉、抗壓的許用應力成正比，使截面上的最大拉應力和最大壓應力同時達到許用應力。10.7梁的合理截面形狀即實現(xiàn)或如圖。10.7梁的合理截面形狀三、采用變截面梁等截面梁的強度計算，都是根據(jù)危險截面上的最大彎矩值來確定截面尺寸的，但是梁內其它截面的彎矩值都小于最大彎矩值，這些截面處的材料都未能得到充分利用。為了充分利用材料，應當在彎矩較大處采用較大的橫截面，而在彎矩較小處采用較小的橫截面。這種根據(jù)彎矩大小使截面發(fā)生變化的梁稱為變截面梁。若使每一橫截面上的最大正應力都恰好等于材料的許用應力，這樣的梁稱為等強度梁。顯然,等強度梁是最合理的構造形式.但是,由于等強度梁外形復雜,加工制造較困難,所以工程上一般只采用近似等強度梁的變截面梁.如階梯梁既符合結構上的要求,在強度上也是合理的.房屋建筑中陽臺及雨篷的挑梁就是一種變截面梁。10.8梁的剪應力與剪應力強度10.8梁的剪應力與剪應力強度10.8梁的剪應力與剪應力強度通過前面分析,對梁橫截面上的正應力及其強度,有了全面的了解.本節(jié)將簡單（定性地）介紹梁受彎時橫截面上的剪應力及其強度一、矩形截面梁的剪應力當矩形截面的高度h大于寬度b時，截面上的剪應力情況如下（推得過程略）：1）剪應力的方向與剪力的方向一致。2）剪應力的分布規(guī)律：剪應力沿截面寬度均勻分布，沿截面高度按拋物線規(guī)律分布，如圖3）剪應力的計算式10.8梁的剪應力與剪應力強度式中符號意義：

——橫截面上任一點處的剪應力（N/m2）FS——橫截面上的剪力（N）；IZ——橫截面對中性軸的慣性矩（m4）；b——所求點處橫截面的寬度（m）；SZ?——所求點處水平線以下（或以上）部分面積對中性軸的靜矩（m3）。10.8梁的剪應力與剪應力強度4）最大剪應力。矩形截面的最大剪應力發(fā)生在中性軸各點上，是截面平均剪應力的1.5倍。其計算式為式中符號意義：SZmax?——中性軸以上（或以下）部分面積對中性軸的靜矩（m3）A——矩形截面面積（m2）10.8梁的剪應力與剪應力強度二、其他形狀截面梁的剪應力1．工字形截面梁的剪應力如圖所示，工字形截面由腹板和翼緣兩部分組成，翼緣上的剪應力情況較復雜，其數(shù)值又較小，一般可不必計算。而腹板上的剪應力其方向和分布規(guī)律與矩形截面相同，即沿腹板寬度均勻分布，沿腹板高度按拋物線規(guī)律分布。最大剪應力出現(xiàn)在中性軸各點，在翼緣和腹板的交界處也存有較大的剪應力。其計算公式為10.8梁的剪應力與剪應力強度工字形截面梁的剪應力計算公式式中：

IZ——整個工字形截面對中性軸的慣性矩（m4）SZ?——所求點處水平線以下（或以上）至邊緣部分面積對中性軸的靜矩（m3）；d——所求點處腹板的寬度（m）10.8梁的剪應力與剪應力強度工字形截面梁的最大剪應力的計算式為式中：SZmax?——中性軸以下（或以上）至邊緣部分面積對中性軸的靜矩（m3）。工程上，為了簡化計算，也可近視地認為，工字形截面橫截面上的剪力，由橫截面的腹板部分承擔，在橫截面的腹板部分均勻分布。10.8梁的剪應力與剪應力強度2．T形截面梁的剪應力如圖，T形截面也是由翼緣和腹板組成。翼緣部分剪應力較復雜，且數(shù)值小，一般不作分析。腹板部分剪應力的分布規(guī)律、計算與工字形腹板部分的剪應力相同10.8梁的剪應力與剪應力強度3．圓形截面梁的剪應力如圖，圓形截面梁橫截面上的剪應力比較復雜。與中性軸等遠處各點的剪應力方向匯交于該處截面寬度線兩端切線的交點，且與剪力平行的豎向分量沿截面寬度方向均勻分布。最大剪應力發(fā)生在中性軸上，是截面平均剪應力的4/3倍。其計算式為式中：A——圓截面的面積（m2）FS——截面上的剪力（N）10.8梁的剪應力與剪應力強度4．圓環(huán)形截面梁的剪應力如圖，圓環(huán)形截面上各點處的剪應力方向與該處的圓環(huán)切線方向平行，且沿圓環(huán)厚度方向均勻分布，最大剪應力也發(fā)生在中性軸上，是截面平均剪應力的2倍。其計算式為

式中：A——圓環(huán)形截面面積（m2）。10.8梁的剪應力與剪應力強度例10－16矩形截面簡支梁受均布荷載q作用。已知荷載q=4kN/m,梁的跨度l=3m,高h=180mm,寬b=120mm。計算C截面上a、b、c各點的剪應力及全梁的最大剪應力解：（1）畫出梁的剪力圖。

FSC=2kN，

FSmax=6

kN10.8梁的剪應力與剪應力強度（2）計算C截面各點的剪應力（FSC=2kN）10.8梁的剪應力與剪應力強度(3)計算梁內最大剪應力最大剪應力發(fā)生在A偏右、B偏左截面的中性軸各點上，其值為10.8梁的剪應力與剪應力強度三、剪應力強度計算梁內最大剪應力發(fā)生在剪力最大的截面的中性軸上，梁的剪應力強度條件為最大剪應力不超過材料的許用剪應力，即：

max≤[

]（10－19）【注】梁的強度必須同時滿足正應力強度條件和剪應力強度條件。10.8梁的剪應力與剪應力強度在梁的強度計算中，正應力強度起著主要作用，但在以下幾種情況下也需作剪應力強度計算。1）跨度與橫截面高度比值較小的粗短梁，或在支座附近作用有較大的集中荷載，使梁內出現(xiàn)彎矩較小而剪力很大的情況。2）木梁。梁在剪切彎曲時，橫截面中性軸上有較大的剪應力，根據(jù)剪應力互等定理，梁在中性層上將產(chǎn)生與截面中性軸相等的剪應力。由于木梁在順紋方向的抗剪能力較差，有可能在中性層上發(fā)生剪切破壞。3）對于組合截面鋼梁，當橫截面的腹板厚度與高度之比小于型鋼截面的相應比值時，需校核剪應力強度。10.8梁的剪應力與剪應力強度例10－17簡支木梁的受力情況如圖所示，已知材料的許用正應力[

]=12MPa，許用剪應力[

]=1.2MPa。試校核梁的強度。解（1）畫梁的剪力圖和彎矩圖，如圖。10.8梁的剪應力與剪應力強度由圖可知Mmax=11.25kN·m，F(xiàn)Smax=9

kN（2）校核正應力強度。最大正應力發(fā)生在跨中截面的上、下邊緣處。梁滿足正應力強度條件。（3）校核剪應力強度。最大剪應力發(fā)生在A偏右、B偏左截面的中性軸上。可見梁也滿足剪應力強度條件。

10.8梁的剪應力與剪應力強度例10－18如圖所示的工字形截面外伸梁,已知材料的許用應力[

]=160MPa，[

]=100MPa。試選擇工字鋼的型號。解：（1）畫梁的彎矩圖和剪力圖。由圖可知FSmax=24

kN

Mmax=48kN·m10.8梁的剪應力與剪應力強度（2）按正應力強度條件選擇工字鋼型號查型鋼表，選用22a工字鋼，其抗彎截面系數(shù)WZ=309cm3，最接近而又大于300cm3。（3）校核剪應力強度按型號22a查得有關數(shù)據(jù)為所以，可見滿足剪應力強度條件，因此選用22a工字鋼。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度10.6梁橫截面上的正應力

與梁的正應力強度10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度梁在彎曲時橫截面上一般同時有剪力FS和彎矩M兩種內力。剪力引起剪應力，彎矩引起彎曲正應力。下面先研究梁在彎矩作用下引起的彎曲正應力及正應力強度一、梁在純彎曲時橫截面上的正應力如圖所示簡支梁的CD段，其橫截面上只有彎矩而無剪力，這樣的彎曲稱為純彎曲。AC、DB段橫截面上既有彎矩又有剪力，這種彎曲稱為剪切彎曲。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度為了使問題簡化，和研究圓軸扭轉變形一樣，我們在分析梁純彎曲時橫截面上的正應力時，從變形的幾何關系、物理關系、靜力平衡關系三方面來分析。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度1．變形的幾何關系取具有豎向對稱軸的等直截面梁（以矩形截面梁為例），在梁受彎曲前先在梁的表面畫上許多與軸線平行的縱向直線和與軸線垂直的橫向直線，然后在梁的兩端施加力偶M，使梁產(chǎn)生純彎曲，此時可以看到如下現(xiàn)象：10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度1）所有的縱向直線受彎變形后，都被彎成向下凸的曲線，其中靠近凹面的縱向直線縮短了，而靠近凸面的縱向直線伸長了。2）所有的橫向直線受彎變形后仍保持為直線,可是相對轉過了一個角度,其中左邊一側的橫向直線順時針轉,而右邊一側的橫向直線逆時針轉,但各橫向線仍與彎成曲線的縱向線垂直10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度根據(jù)所看到的表面現(xiàn)象，由表及里地推測梁的內部變形，作出兩個假設：（1）平面假設：梁的橫截面在彎曲變形前為平面，在受彎變形后仍保持為平面，且垂直于彎成曲線的軸線。（2）單向受力假設：將梁看成由無數(shù)根縱向纖維組成，各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓現(xiàn)象。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度根據(jù)以上假設,靠近凹面的縱向纖維縮短了,靠近凸面的縱向纖維伸長了。由于變形具有連續(xù)性,因此,縱向纖維從縮短到伸長,必有一層纖維既不伸長也不縮短,這層纖維稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。中性軸將橫截面分為受拉區(qū)域和受壓區(qū)域。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度從純彎曲梁中取出一微段dx，如左上圖所示。左下圖為梁的橫截面，設y軸為縱向對稱軸，z軸為中性軸。右圖為該微段純彎曲變形后的情況。其中O1O2為中性層，O為兩橫截面mm和nn旋轉后的交點，ρ為中性層的曲率半徑，兩個截面間變形后的夾角是d

，現(xiàn)求距中性層為y的任意一層纖維ab的線應變。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度纖維ab的原長為變形后的長為所以纖維的線應變?yōu)?0.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度距中性層為y的任意一層纖維ab的線應變?yōu)閷τ陂L度、材料與截面都確定的梁來說，ρ必是常數(shù)。所以上式表明，梁橫截面上任意一點處的縱向線應變，與該點到中性軸的距離成正比。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度2.物理關系根據(jù)縱向纖維的單向受力假設，當材料在線彈性范圍內變形時，根據(jù)胡克定理可得由于對長度、材料與截面都確定的梁，E和ρ是常數(shù)，因此上式表明：橫截面上任意一點處的正應力與該點到中性軸的距離成正比。即彎曲正應力沿梁高度按線性規(guī)律分布，如圖。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度3.靜力平衡關系上面式（10－5）只給出了正應力的分布規(guī)律，但因中性軸的位置尚未確定，曲率半徑的大小也不知道，故不能利用此式求出正應力。需利用靜力平衡關系進一步導出正應力的計算式。在橫截面上K點處取一微面積dA，K點到中性軸的距離為y，K點處的正應力為σ，則各微面積上的法向分布內力σdA組成一空間平行力系，如圖。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度因為在橫截面上無軸力，只有彎矩，由此得

將式（10－5）代入式（10－6）得即：10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度上式表明截面對中性軸的靜矩等于零。由此可知，中性軸z必然通過橫截面的形心。將(10－5)式代入(10－7)式得式中是橫截面對中性軸的慣性矩（見）。于是得梁彎曲時中性層的曲率表達式為10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度式（10－8）是研究梁彎曲變形的基本公式。式中ρ表示梁的彎曲程度。EIZ表示梁抵抗彎曲變形的能力，稱為梁的抗彎剛度。將此式代入式（10－5）得式（10－9）即為梁純彎曲時橫截面上正應力的計算式。它表明：梁橫截面上任意一點的正應力σ與截面上的彎矩M和該點到中性軸的距離y成正比，而與截面對中性軸的慣性矩成IZ反比。在計算時，彎矩M和需求點到中性軸的距離y按正值代入公式。而正應力的性質（正負）可根據(jù)彎矩及所求點的位置來判斷。

10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度歸納有關主要內容：1.幾何關系：2.物理關系：3.相關結論：中性軸z必然通過橫截面的形心10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度應注意：正應力公式的適用條件如下：1）梁橫截面上的最大正應力不超過材料的比例極限2）公式（10－9）雖然是根據(jù)梁的純彎曲推導出來的，對于同時受剪力和彎矩作用的梁，當梁的跨度l與橫截面的高度h之比l

/h

＞5時，剪應力的存在對正應力的影響很小，可忽略不計，所以此式也可用于計算同時受剪力和彎矩作用的梁橫截面上的正應力。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度二、梁彎曲時的最大正應力對于等直梁而言，截面對中性軸的慣性矩Iz不變，所以彎矩M越大正應力就越大，y越大正應力也越大。如果截面的中性軸同時又是對稱軸（例如矩形、工字形等），則最大正應力發(fā)生在絕對值最大的彎矩所在的截面，且離中性軸最遠的點上，當梁受橫力彎曲時，上面公式仍然適用，所以

式中：WZ=IZ/ymax稱為抗彎截面系數(shù)。如果截面的中性軸不是截面的對稱軸（例如T形截面），則最大正應力可能發(fā)生在最大正彎矩或最大負彎矩所在的截面。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度注意兩種截面形式：（1）對稱截面：

y1max=y2max（2）非對稱截面：

y1max＞y2max10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度例10－13，如圖所示，矩形截面簡支梁受均布荷載q作用。已知q

=4kN/m，梁的跨度l=3m，高h=180mm，寬b=120mm。試求：（1）C截面上a、b、c三點處的應力。（2）梁內最大正應力及其所在位置。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度解：（1）求支坐反力。

FAy=FBy=ql/2=6kN（向上）（2）計算C截面各點的正應力C截面的彎矩：MC=6×1－4×1×0.5=4kN?m截面對中性軸的慣性矩抗彎截面系數(shù)10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度計算C截面a、b、c各點的正應力(3)計算梁內最大正應力：梁的彎矩圖如圖所示，最大彎矩發(fā)生在跨中，其值為：Mmax=ql2/8=4×32/8=4.5kN﹒m，10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度所以，梁內最大正應力發(fā)生在跨中截面的上下邊緣處，其中最大拉應力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處，最大壓應力發(fā)生在跨中截面的上邊緣處，其值為10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度三、梁的正應力強度為了保證梁能安全正常的工作，必須使梁內的最大正應力不能超過材料的許用應力，這就是梁的正應力強度條件。1.對于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料，其正應力的強度條件為2.對于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料，其正應力的強度條件分別為10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度利用正應力的強度條件，可以解決與強度有關的三類問題：強度校核、設計截面尺寸和確定許可載荷。例10－14外伸梁的受力情況及其截面尺寸如圖所示，材料的許用拉應力[

t

]=30MPa，許用壓應力[

c]=70MPa。試校核梁的正應力強度。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度解：（1）求支座反力：根據(jù)梁的平衡，求得FAy=10kN，F(xiàn)By=20kN（2）計算截面幾何性質如圖所示，設參考軸z，截面形心C的位置為10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度截面對中性軸z的慣性矩為（3）畫彎矩圖，計算梁內最大拉、壓應力。梁的彎矩圖如圖所示。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度由于中性軸z不是截面的對稱軸，所以最大正彎矩所在的截面C和最大負彎矩所在的截面B都可能存在最大拉、壓應力。計算C截面：MC=10kN?m

其分布如圖所示。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度計算B截面：MB=－20kN?m其分布如圖所示。

10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度如圖，可見梁內最大拉應力發(fā)生在C截面的下邊緣，其值為

tmax=34.49MPa，最大壓應力發(fā)生在B截面的下邊緣，其值為

cmax=

68.98MPa。（3）校核強度。因為

tmax=34.49MPa＞[

t]，所以C截面的抗拉強度不夠，梁將會沿C截面（下邊緣開始）發(fā)生破壞。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度例10－15如圖所示工字形截面外伸梁，已知材料的許用應力[

t]

=140MPa，試選擇工字型號。解：畫彎矩圖，根據(jù)彎矩圖可知梁的最大彎矩：Mmax=10kN·m。

10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度根據(jù)強度條件計算梁的抗彎截面系數(shù)根據(jù)WZ值在型鋼表中查得型號為12.6工字鋼，其WZ

=77.5cm3，與71.43cm3相近，故選擇型鋼的型號為12.6工字鋼。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩10.2平面彎曲時

梁的內力——力和彎矩10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩一、梁的內力——剪力和彎矩若所有的橫向外力和外力偶都作用在梁的縱向對稱平面內，在求得支座反力之后，利用截面法，由隔離體的平衡條件，可求得梁任一橫截面上的內力?，F(xiàn)以圖示的簡支梁為例來說明求梁橫截面上內力的方法。簡支梁跨中受一集中力F的作用處于平衡狀態(tài)，梁在集中力F和A、B處支座反力作用下產(chǎn)生平面彎曲變形，現(xiàn)求距A端x處m-m橫截面上的內力。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩1.計算支座反力：由于梁在荷載和支反力的共同作用下處于平衡，因而可根據(jù)梁整體的平衡條件，求得支反力。根據(jù)靜力平衡條件列方程求解10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩2.用截面法分析內力：為研究任一橫截面m-m上的內力，假想將梁沿m-m截面分為左、右兩半部分，由于整體平衡，所以左、右半部分也處于平衡。取左半部為研究對象，如圖。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩分析該研究對象，由平衡條件：∑Fy=0，∑MO(F)=0（O為m-m截面的形心）可判斷m-m截面上必存在兩種內力素：1）作用在縱向對稱面內，與橫截面相切的內力稱為剪力（或稱切力），用FS表示，剪力實際上是該截面上切向分布內力的合力，剪力的常用單位是N或kN。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩【由平衡條件∑Fy=0，∑MO(F)=0（O為m-m截面的形心）可判斷m-m截面上必存在兩種內力素】2）作用面與橫截面垂直的內力偶矩稱為彎矩，用M表示，橫截面上的彎矩實際上是該截面上法向分布內力的合力偶矩，彎矩常用單位為N·m或kN·m。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩m-m截面上的剪力和彎矩，可利用左半部的平衡方程求得根據(jù)∑Fy=0，得：FA－Fs=0

所以：∑MO(F)=0，得：－FAx+M=0所以：10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩如果取梁得右半部為研究對象（如圖），用同樣方法亦可求得截面上的剪力和彎矩。但必須注意，分別以左半部和右半部為研究對象求出的剪力FS和彎矩M數(shù)值是相等的，而方向和轉向則是相反的，因為它們是作用力和反作用力的關系。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩二、剪力和彎矩的正負號為使不論從梁的左半部、還是從梁的右半部，求得同一截面上的內力FS和M不僅大小相等，而且具有相同的正負號，并由正負號反映出梁的變形情況，對梁的剪力和彎矩的正負號，應作統(tǒng)一規(guī)定。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩（1）剪力的正負號：當截面上的剪力FS使所考慮的研究對象，可能發(fā)生左邊向上、右邊向下的相對錯動，即有順時針方向轉動趨勢時取正號；反之取負號（如圖）。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩（2）彎矩的正負號：截面上的彎矩使所考慮的研究對象產(chǎn)生上凹下凸的彎曲變形，亦即梁的上部受壓，下部受拉時，彎矩為正；反之為負（如圖）10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩如何理解梁在彎矩作用下，引起上部受壓、下部受拉這種變形？以彈簧受彎觀察現(xiàn)象：下面縫變寬，上面縫變窄。思考縫變寬與縫變窄原因？變寬受拉伸長；變窄受壓縮短。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩三、用截面法計算指定截面內力用截面法計算指定截面的剪力和彎矩的步驟和方法如下1）計算支座反力。2）用假想的截面在欲求內力處將梁切成左、右兩部分，取其中一部分為研究對象。3）畫研究對象的受力圖。畫研究對象的受力圖時，應注意，對于截面上未知的剪力和彎矩，均假設為正向。4）建立平衡方程，求解剪力和彎矩。計算出的內力值可能為正值或負值，當內力值為正值時，說明內力的實際方向與假設方向一致，內力為正剪力或正彎矩；當內力值為負值時，說明內力的實際方向與假設的方向相反，內力為負剪力或負彎矩。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩例10－1.簡支梁的荷載作用如圖所示，已求得其支座反力。試用截面法求圖示簡支梁D、E兩處截面的內力。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩解：（1）先求D處的內力：由于梁上D處有一個集中力作用，所以應分為左右截面分別求解。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩在D點以左作截面將梁截開，取左邊一半為研究對象進行研究，其受力圖如圖10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩在D點以右作截面將梁截開，仍取左邊一半為研究對象進行研究，如圖（多一12kN的力）10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩（2）求E處的內力：由于梁上E處有一個集中力偶作用，所以同樣應分為左右截面分別求解。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩在E點以左作截面將梁截開，取右邊一半為研究對象進行研究，其受力圖如圖10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩在E點以右作截面將梁截開，仍取右邊一半為研究對象進行研究，如圖（少了一個16kNm的力偶）計算結果：10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩四、梁上任一截面剪力和彎矩的計算規(guī)律從截面法計算內力中，可歸納出計算剪力和彎矩的規(guī)律1．計算剪力的規(guī)律：梁上任一截面上的剪力,等于該截面一側（左側或右側）所有豎向外力（包括支座反力）的代數(shù)和。外力的正負號：外力對所求截面產(chǎn)生順時針方向轉動趨勢時，取正號；反之取負號?？捎洖椤绊樲D剪力正”,也即當從截面的左側計算時，向上的外力外正；當從截面的右側計算時，向下的外力為正10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩根據(jù)梁上剪力的計算規(guī)律，正確求剪力的過程（分解動作）（1）先根據(jù)平衡條件正確求出支座反力；（2）確定（找到）需求剪力的截面位置；（3）確定從截面的哪一側進行計算（簡單一側）；（4）觀察該一側有幾個橫向外力（包括支反力）；（5）判定這些橫向外力（包括支反力）相對于截面的轉向（順時針為正）；（6）求出這些橫向外力（包括支反力）的代數(shù)和。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩2．計算彎矩的規(guī)律梁任一橫截面上的彎矩，在數(shù)值上等于該截面一側（左側或右側）所有外力（包括支座反力）對該截面形心之矩的代數(shù)和外力對截面形心之矩的正負號：將所求截面固定,另一端自由,外力使所考慮的梁段產(chǎn)生向下凸的變形時,取正號；反之取負號,可記為“下凸彎矩正”。10.2平面彎曲時梁的內力―剪力和彎矩也即當從截面的左側計算時，左邊梁上向上的外力及順時針轉向的外力偶引起正彎矩；當從截