仿射變換背景及應(yīng)用講義 高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

9.教材上的仿射變換背景及應(yīng)用一．引例．（《人教A版選擇性必修第一冊(cè)》第115頁“綜合應(yīng)用”第9題）如圖，軸，垂足為D，點(diǎn)M在DP的延長線上，且，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．解析：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，由題意可知，則由題可得，即，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，，即點(diǎn)的軌跡方程為，點(diǎn)的軌跡為橢圓，除去與軸的交點(diǎn)．這個(gè)問題就是用仿射變換把圓變換為橢圓．二．更多案例例1．（23屆合肥一模）已知曲線C：，從曲線C上的任意點(diǎn)作壓縮變換得到點(diǎn)．（1）求點(diǎn)所在的曲線E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交曲線E于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并寫出分析過程．解析：（1）由得，代入得，曲線E的方程為．（2）由題知，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：，由消去y整理得，．設(shè)，，則，以AB為直徑的圓的圓心橫坐標(biāo)為．又，以AB為直徑的圓的半徑為，圓心到直線的距離為，，即，以AB為直徑的圓與直線相離．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易知以AB為直徑的圓的半徑為，圓的方程是，該圓與直線相離．綜上可知，以AB為直徑的圓與直線相離．例2．在同一平面直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過伸縮變換后，得到曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，連接并延長與曲線相交于點(diǎn)，且.求面積的最大值.解析：（1）設(shè)圓上任意一點(diǎn)經(jīng)過伸縮變換得到對(duì)應(yīng)點(diǎn).將，代入，得，化簡得.∴曲線的方程為；（2）面積得最大值為2.三．壓縮變換的更多應(yīng)用壓縮變換：平面上的所有點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?，平面上的橢圓在壓縮變換下變?yōu)槠矫嫔系膱A．1、研究橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之間的關(guān)系平面上對(duì)應(yīng)與原來平面上點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即．縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模矗?、研究直線的斜率在壓縮變換下，平面上直線的斜率變?yōu)樵瓉砥矫嫔蠈?duì)應(yīng)直線斜率的倍，即．3、研究封閉圖形的面積在壓縮變換下，平面對(duì)應(yīng)封閉圖形面積是原來平面上封閉圖形面積的倍，即．變換前變換后方程橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)斜率面積弦長例4．（2023屆廣東省一模）已知點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)為橢圓上不同的三個(gè)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，△ABC恰好是邊長為2的等邊三角形.（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為原點(diǎn)，且滿足，求的面積.解析1：（仿射變換）考慮變換，則在的作用下橢圓對(duì)應(yīng)圓，則在壓縮變換下，平面對(duì)應(yīng)封閉圖形面積是原來平面上封閉圖形面積的倍，即．設(shè)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn),由為的重心，又為的外心，從而為正三角形．易得圓的內(nèi)接正三角形的面積為定值從而為定值．一般地，已知是橢圓的內(nèi)接三角形，若其重心恰為橢圓的中心，那么的面積為定值，即例5.雙曲線的旋轉(zhuǎn)和壓縮首先，我們來說明就是我們熟悉的二次曲線等軸雙曲線.如圖1，設(shè)，，那么從逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后到，兩者坐標(biāo)間的關(guān)系為：.將上述結(jié)論應(yīng)用到圓錐曲線，我們先把等軸雙曲線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，看看會(huì)得到什么有趣的結(jié)果：設(shè)是上任意一點(diǎn)，是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則有，整理可得，代入的方程整理可得：，即我們?cè)诔踔芯鸵呀?jīng)學(xué)過的反比例函數(shù)圖象.下來就重點(diǎn)討論反比例函數(shù)的一些重要性質(zhì).（1）長軸所在直線為，離心率；（2）頂點(diǎn)是和；（3）實(shí)半軸長和虛半軸長是，半焦距是；（4）焦點(diǎn)是和；圖1圖2例6（23屆南京鹽城一模）已知雙曲線的離心率，直線與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為，直線平行于，且交雙曲線于兩點(diǎn)，求證：的垂心在雙曲線上.下證：若的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，則的垂心也在反比例函數(shù)的圖像上.證明：由于點(diǎn)在反比例