排列組合問(wèn)題的求解策略

關(guān)于排列組合問(wèn)題的求解策略2.掌握解決排列組合問(wèn)題的常用策略;能運(yùn)用解題策略解決簡(jiǎn)單的綜合應(yīng)用題。提高學(xué)生解決問(wèn)題分析問(wèn)題的能力

3.學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決排列組合問(wèn)題.教學(xué)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解和應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理。第2頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2

種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．1.分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)

第3頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）第4頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件．3.分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。第5頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天解決排列組合綜合性問(wèn)題的一般過(guò)程如下:1.認(rèn)真審題弄清要做什么事2.怎樣做才能完成這件事,即分步還是分類,確定分多少步及多少類。3.確定排列問(wèn)題(有序)還是組合(無(wú)序)問(wèn)題,元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素.※解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略第6頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天一.合理分類與分步策略例1.在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?++第7頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______34

練習(xí)題第8頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天二.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例2.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計(jì)數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。第9頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

練習(xí)題7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？第10頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天三.相鄰元素捆綁策略例3.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決.即將需要相鄰的元素合為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.第11頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天四.不相鄰問(wèn)題插空策略例4.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種

不同的方法

由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端第12頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（）練習(xí)題20第13頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）

30練習(xí)題第14頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天五.定序問(wèn)題除法策略例5.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(除序法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：

（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?第15頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？第16頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天六.重排問(wèn)題求冪策略例6.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有

種分法.7把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分法，依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法第17頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天某8層大樓一樓電梯上來(lái)8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法（）練習(xí)題第18頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天七.多排問(wèn)題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有____種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問(wèn)題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.第19頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天八.排列組合混合問(wèn)題先選后排策略例8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有__種方法.再把5個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有_____種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問(wèn)題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?第20頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題1.一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加,則不同的選法有________種1922.有4個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),恰有一個(gè)空盒,共有多少不同的裝法.第21頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天九.選即為排策略（默認(rèn)）例9.同步20頁(yè)8（方法兩種）

27頁(yè)2025頁(yè)7解決此類問(wèn)題,提前默認(rèn)游戲規(guī)則是最基本的指導(dǎo)思想.第22頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天十.小集團(tuán)問(wèn)題先整體局部策略31524小集團(tuán)小集團(tuán)排列問(wèn)題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。例10.計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國(guó)畫,排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_______第23頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有_______種第24頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天十一.元素相同問(wèn)題隔板策略例11.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每

班至少一個(gè),有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為第25頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一個(gè)球，有多少裝法？第26頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天十二.正難則反總體淘汰策略再淘汰和小于10的偶數(shù)共___________符合條件的取法共有___________9013015017023025027041045043-9+有些排列組合問(wèn)題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中淘汰.例12.我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?第27頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天十三.構(gòu)造模型策略一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問(wèn)題直觀解決例13.某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120第28頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天十四.實(shí)際操作窮舉策略例14.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2

3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,.有多少投法

解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_____種

還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球,3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法3號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒345第29頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天十四.實(shí)際操作窮舉策略例14.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2

3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,.有多少投法

解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_____種

還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球,3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法,同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有2種第30頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來(lái),然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有____種2134572第31頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)束用心體會(huì)，注重反思與實(shí)踐第32頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天十七.化歸策略例18.25人排成5×5方隊(duì),現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的

選法有多少種？解：將這個(gè)問(wèn)題退化成9人排成3×3方隊(duì),現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，第33頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天從5×5方隊(duì)中選取3行3列有_____選法所以從5×5方隊(duì)選不在同一行也不在同一列的3人有__________________選法。處理復(fù)雜的排列組合問(wèn)題時(shí)可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題，通過(guò)解決這個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來(lái)的問(wèn)題如此繼續(xù)下去.從3×3方隊(duì)中選3人的方法有___________種。再?gòu)?×5方隊(duì)選出3×3方隊(duì)便可解決問(wèn)題第34頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？練習(xí)題