人教版八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題18.4菱形的性質(zhì)與判定(原卷版+解析)

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》18.4菱形的性質(zhì)和判定知識點一知識點一菱形的定義●●定義：有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.◆1、菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等，二者必須同時具備，缺一不可.◆2、菱形的定義既是菱形的性質(zhì)，也是菱形的基本判定方法.知識點二知識點二菱形的性質(zhì)◆1、菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì).②菱形的四條邊都相等.③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.⑤利用菱形的性質(zhì)可證線段線段，角相等.性質(zhì)定理應(yīng)用格式：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；

AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；

BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；◆2、菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式=底×高．②菱形面積＝ab．（a、b是兩條對角線的長度）③四個小直角三角形的面積之和(或一個小直角三角形面積的4倍)；知識點三知識點三菱形的判定●●菱形的判定方法：◆1、定義法：有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.◆2、判定定理1（從對角線）：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.定理1應(yīng)用格式：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形.◆3、判定定理2（從邊）：四條邊相等四邊形是菱形.定理2應(yīng)用格式：∵AB=BC=CD=AD,

∴四邊形ABCD是菱形.【要點解析】（1）判斷菱形時，一定要明確前提條件是從“四邊形”出發(fā)的，還是從“平行四邊形”出發(fā)的；（2）①若從“四邊形”出發(fā)的，則還需四條邊相等.②若從“平行四邊形”出發(fā)的，則還需一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直.（3）①若用對角線進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對角線互相垂直，或直接證明四邊形的對角線互相垂直平分；②若用邊進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊形的四條邊都相等.題型一利用菱形的性質(zhì)求角度題型一利用菱形的性質(zhì)求角度【例題1】(2023秋?南海區(qū)期末）如圖，AC為菱形ABCD的對角線，已知∠ADC＝140°，則∠BCA等于（）A．40° B．30° C．20° D．15°解題技巧提煉在求有關(guān)菱形的角的問題時，由于菱形的對角線互相垂直且平分一組對角，因此常通過連接對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化為特殊三角形（等邊三角形、直角三角形）問題來解答.【變式1-1】(2023秋?豐城市校級期末）如圖，菱形ABCD中對角線相交于點O，AB＝AC，則∠ADB的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式1-2】(2023秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的周長是40cm，對角線AC為10cm，則菱形相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)分別為．【變式1-3】（2023?博羅縣校級開學(xué)）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，∠CAD＝20°，則∠DHO的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【變式1-4】(2023春?香坊區(qū)校級期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，對角線AC和BD相交于點O，在AC上取點P，連接PB、PD，若∠PBD＝20°，則∠PDC的度數(shù)為．【變式1-5】如圖所示，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度數(shù)．題型二利用菱形的性質(zhì)求線段長題型二利用菱形的性質(zhì)求線段長【例題2】(2023秋?山亭區(qū)期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點E為AD的中點，連接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，則OE＝．解題技巧提煉由于菱形的對角線互相垂直平分，所以對于菱形的兩條對角線及邊這三個元素中知道任意兩個的長度，都能根據(jù)勾股定理求出第三個.【變式2-1】(2023秋?滕州市校級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，則OH的長為（）A．45 B．8 C．4 D．【變式2-2】(2023秋?嶗山區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝10，AC：BD＝3：4，DH⊥AB于H，則DH等于（）A．245 B．485 C．5【變式2-3】（2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E在線段BO上，連接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，則線段AE的長為6．【變式2-4】(2023秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的周長為20，面積為24，P是對角線BD上一點，分別作P點到直線AB、AD的垂線段PE、PF，則PE+PF等于．【變式2-5】（2023?漢陽區(qū)校級一模）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，過點B作BE⊥AB交CD于點E，連接AE，F(xiàn)為AE的中點，H為BE的中點，連接FH和CF，CF交BE于點G，則GF的長為（）A．3 B．5 C．23 D．19題型三利用菱形的性質(zhì)求周長或面積題型三利用菱形的性質(zhì)求周長或面積【例題3】(2023秋?峰峰礦區(qū)校級期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若∠BAD＝60°，AC＝23，則菱形ABCD的周長為（）A．8 B．43 C．6 解題技巧提煉因為菱形的四邊都相等，所以菱形的周長等于邊長×4；菱形的面積計算公式：（1）底×高；（2）對角線乘積的12【變式3-1】(2023秋?武侯區(qū)期末）在菱形ABCD中，若對角線AC=2，BD＝8，則菱形ABCD的面積是【變式3-2】(2023秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點．若OE＝4，則菱形ABCD的周長為（）A．48 B．32 C．24 D．16【變式3-3】(2023秋?陽山縣期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點O，E、F分別是AB、BC邊上的中點，連接EF，著EF=3，BD＝4，則菱形ABCDA．4 B．46 C．47 D．28【變式3-4】(2023秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，已知菱形的兩條對角線AC與BD長分別是12和16，則這個菱形的面積是（）A．192 B．48 C．96 D．40【變式3-5】(2023秋?峰峰礦區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，過O點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當(dāng)菱形的兩條對角線的長分別為6和8時，則陰影部分的面積為（）A．48 B．24 C．12 D．6【變式3-6】(2023春?巨野縣校級月考）若菱形ABCD的周長為8，∠A：∠B＝1：2，則菱形的面積為（）A．3 B．33 C．43 題型四利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行證明題型四利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行證明【例題4】(2023秋?臨渭區(qū)期末）已知：如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是邊AB和BC上的點，且∠ADE＝∠CDF，求證：BE＝BF．解題技巧提煉菱形的一條對角線把菱形分成兩個全等的等腰三角形（特殊時為兩個全等的等邊三角形），兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形，所以有關(guān)菱形的一些證明與計算問題常常與特殊三角形的有關(guān)問題綜合在一起.【變式4-1】(2023秋?楚雄州期末）如圖，在菱形ABCD中，E是對角線AC上的一點．連BE，DE，求證：BE＝DE．【變式4-2】(2023秋?武功縣期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)在對角線BD上，且BF＝DE，連接AE，AF．求證：AE＝AF．【變式4-3】(2023秋?渭濱區(qū)校級月考）如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分別與AC交于點M，N．求證：DM＝DN．【變式4-4】(2023秋?榆陽區(qū)校級期末）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，且AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．（1）求證：AE＝AF；（2）若AB＝10，CE＝4，求菱形ABCD的面積．【變式4-5】(2023春?江漢區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC，BD交于點O，DH⊥AB于點H．（1）若對角線AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的長；（2）連HO，求證：∠BOH＝∠DAH．【變式4-6】(2023春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，延長AB至點E，使BE＝AB，連接CE．（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面積．題型五菱形判定的條件題型五菱形判定的條件【例題5】(2023秋?二七區(qū)校級月考）如圖?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列說法正確的是（）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形 C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形解題技巧提煉①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．③【變式5-1】(2023?鐵鋒區(qū)二模）中，對角線AC、BD相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件，使平行四邊形ABCD是菱形．【變式5-2】(2023春?海倫市期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，請你添加一個條件，使四邊形AEDF是菱形．【變式5-3】(2023?營口）如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，只需添加一個條件即可證明四邊形ABED是菱形，這個條件可以是．（寫出一個即可）【變式5-4】(2023春?房山區(qū)期中）在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O．現(xiàn)存在以下四個條件：①AB∥CD；②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．從中選取三個條件，可以判定四邊形ABCD為菱形．則可以選擇的條件序號是（寫出所有可能的情況）．【變式5-5】(2023秋?寶雞期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，連接DE，DF，當(dāng)△ABC滿足下列哪個條件時，四邊形AEDF為菱形（）A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF【變式5-6】(2023秋?順慶區(qū)月考）如圖，在?ABCD中，O為AC的中點，經(jīng)過點O的直線交AD于E交BC于F，連接AF、CE，下列選項可以使四邊形AFCE是菱形的為（）A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC【變式5-7】(2023春?高唐縣期末）如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點，添加下列條件后，不能得到四邊形DBFE是菱形的是（）A．AB＝BC B．BE平分∠ABC C．BE⊥AC D．AB＝AC【變式5-8】(2023?大名縣三模）如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AD、BC的中點，點G、H在AC上，且AH＝CG，若添加一個條件使四邊形EGFH是菱形，則下列可以添加的條件是（）A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AB＝AC D．AB⊥AC題型六菱形的判定的證明題型六菱形的判定的證明【例題6】(2023秋?武功縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，點D為AB的中點，連接CD，過點D作DE∥BC，且DE＝BC，連接BE，求證：四邊形BCDE是菱形．解題技巧提煉證明一個圖形是菱形時，關(guān)鍵是看已知條件，若是一般的四邊形，則考慮證明四條邊相等或?qū)蔷€互相垂直平分；若是平行四邊形，則考慮證明一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直.【變式6-1】(2023秋?虹口區(qū)校級月考）如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M為AC中點，MN⊥BD于點O，BN∥DM，求證：BNDM為菱形．【變式6-2】（2023?東莞市模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在BD上，且BE＝DF．（1）求證：△ADF≌△CBE；（2）不添加輔助線，請你補(bǔ)充一個條件，使得四邊形AECF是菱形；并給予證明．【變式6-3】(2023春?蒼溪縣期末）如圖，在△AFC中，∠FAC＝90°，B、E分別是FC、AB的中點，過點A作AD∥FC交FE的延長線于點D．（1）求證：BF＝AD；（2）求證：四邊形ABCD是菱形．【變式6-4】(2023春?南丹縣期末）已知：如圖，在?ABCD中，M，N分別是AD和BC的中點．（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；（2）當(dāng)∠ACD滿足什么條件時，四邊形AMCN是菱形，請說明理由．【變式6-5】(2023春?梅江區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對角線AC上的兩點，∠1＝∠2．（1）求證：AE＝CF．（2）若BE＝ED時，求證：四邊形EBFD是菱形．【變式6-6】(2023春?郯城縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，M是BD上任意一點，連接AM并延長至點N，使AM＝MN，交BC于H，連接CN、BN．（1）求證：OM∥CN．（2）連接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求證：四邊形BNCM是菱形．題型七菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用題型七菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用【例題7】(2023春?鎮(zhèn)安縣期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上一點，且CD＝DE，連接BE，分別交AC，AD于點F、G，連接OG、AE，則下列結(jié)論：①OG=12②四邊形ABDE是菱形；③四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等．其中正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個解題技巧提煉菱形的判定可以確定菱形的存在，再利用菱形的性質(zhì)，可以得出線段或角的對應(yīng)關(guān)系.【變式7-1】(2023春?高邑縣期末）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；再分別以點A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；再連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．則四邊形AOBC的面積是（）A．45 B．8 C．4 D．5【變式7-2】(2023春?惠民縣期末）如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個四邊形，轉(zhuǎn)動其中一張紙條，則下列相等關(guān)系：①AD＝AB；②AD＝BC；③∠DAC＝∠ACD；④AO＝BO，其中一定成立的是.（只填序號）【變式7-3】(2023秋?碭山縣校級月考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：四邊形ADCF是菱形；（2）若AC＝32，AB＝42，求四邊形ADCF的面積．【變式7-4】(2023春?潁州區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，CE＝DF，AB＝BE，AE與BF相交于點O，連接EF．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若平行四邊形ABCD的周長為20，CE＝DF＝2，∠ABE＝60°，求AE的長．【變式7-5】(2023?巴州區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AD=6，BD＝2，求OE【變式7-6】(2023秋?龍崗區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，連接BD交AC于點O，過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E．（1）求證：四邊形ABCD為菱形；（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的長．題型八菱形與矩形的綜合應(yīng)用題型八菱形與矩形的綜合應(yīng)用【例題8】(2023秋?鐵西區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，DE⊥AB于點E交AC于點P，BF⊥CD于點F．（1）判斷四邊形DEBF的形狀，并說明理由；（2）如果BE＝3，BF＝6，求DP的長．解題技巧提煉綜合利用菱形、矩形的性質(zhì)與判定方法實現(xiàn)相應(yīng)線段、角之間的轉(zhuǎn)化時解題的關(guān)鍵.【變式8-1】(2023?五華區(qū)校級模擬）如圖，AP是△ABC的角平分線，MN垂直平分AP，且交AP于點D，判斷以下結(jié)論錯誤的是（）A．MP∥AC B．AM＝AN C．PA是∠MPN的平分線 D．四邊形AMPN是矩形【變式8-2】(2023春?虹口區(qū)校級月考）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）判斷四邊形OEFG的形狀，并證明．（2）若AC＝8，BD＝6，求四邊形OEFG的面積．【變式8-3】(2023秋?市中區(qū)校級月考）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，DE⊥AC，AE⊥BD．（1）求證：四邊形AODE是矩形；（2）若菱形邊長為10，面積為96，求矩形AODE周長．【變式8-4】(2023秋?通川區(qū)期末）如圖，已知在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，延長DC到點E，使CE＝CD，延長BC到點F，使CF＝BC，順次連接點B，E，F(xiàn)，D，若BD＝1，AC=3（1）求證：四邊形BEFD是矩形；（2）求四邊形BEFD的周長為多少．【變式8-5】(2023春?瑯琊區(qū)校級月考）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；（2）①對角線AC，BD滿足時，四邊形DEBF是矩形；②對角線AC，BD滿足時，四邊形DEBF是菱形．【變式8-6】(2023春?靖西市期末）如圖，在?ABCD中，DB⊥CB．（1）延長CB到E，使BE＝CB，連接AE，求證：四邊形AEBD是矩形；（2）若點F，G分別是AB，CD的中點，連接DF、BG，試判斷四邊形DFBG是什么特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論．八年級下冊數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》18.4菱形的性質(zhì)和判定知識點一知識點一菱形的定義●●定義：有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.◆1、菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等，二者必須同時具備，缺一不可.◆2、菱形的定義既是菱形的性質(zhì)，也是菱形的基本判定方法.知識點二知識點二菱形的性質(zhì)◆1、菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì).②菱形的四條邊都相等.③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.⑤利用菱形的性質(zhì)可證線段線段，角相等.性質(zhì)定理應(yīng)用格式：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；

AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；

BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；◆2、菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式=底×高．②菱形面積＝ab．（a、b是兩條對角線的長度）③四個小直角三角形的面積之和(或一個小直角三角形面積的4倍)；知識點三知識點三菱形的判定●●菱形的判定方法：◆1、定義法：有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.◆2、判定定理1（從對角線）：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.定理1應(yīng)用格式：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形.◆3、判定定理2（從邊）：四條邊相等四邊形是菱形.定理2應(yīng)用格式：∵AB=BC=CD=AD,

∴四邊形ABCD是菱形.【要點解析】（1）判斷菱形時，一定要明確前提條件是從“四邊形”出發(fā)的，還是從“平行四邊形”出發(fā)的；（2）①若從“四邊形”出發(fā)的，則還需四條邊相等.②若從“平行四邊形”出發(fā)的，則還需一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直.（3）①若用對角線進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對角線互相垂直，或直接證明四邊形的對角線互相垂直平分；②若用邊進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊形的四條邊都相等.題型一利用菱形的性質(zhì)求角度題型一利用菱形的性質(zhì)求角度【例題1】(2023秋?南海區(qū)期末）如圖，AC為菱形ABCD的對角線，已知∠ADC＝140°，則∠BCA等于（）A．40° B．30° C．20° D．15°【分析】直接利用菱形的性質(zhì)可得∠BCD的度數(shù)，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠D+∠BCD＝180°，∠DCA＝∠BCA，∵∠ADC＝140°，∴∠BCD＝40°，∴∠BCA＝∠DCA=12故選：C．【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．解題技巧提煉在求有關(guān)菱形的角的問題時，由于菱形的對角線互相垂直且平分一組對角，因此常通過連接對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化為特殊三角形（等邊三角形、直角三角形）問題來解答.【變式1-1】(2023秋?豐城市校級期末）如圖，菱形ABCD中對角線相交于點O，AB＝AC，則∠ADB的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得△ABC是等邊三角形，進(jìn)一步可得∠ADC＝60°，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠ADB的度數(shù)．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝∠ABC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝30°，故選：A．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，涉及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】(2023秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的周長是40cm，對角線AC為10cm，則菱形相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)分別為．【分析】證明△ACD是等邊三角形，則∠D＝60°，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD=404=10（cm），AB∴∠D+∠BAD＝180°，又∵AC＝10cm，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD是等邊三角形，∴∠D＝60°，∴∠DAB＝120°，故答案為：60°，120°．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△ACD為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023?博羅縣校級開學(xué)）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，∠CAD＝20°，則∠DHO的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，則利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以O(shè)H為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度數(shù)【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，∴OH＝OD＝OB，∴∠1＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO＝90°，∴∠1＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝20°，∴∠DHO＝20°，故選：A．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式1-4】(2023春?香坊區(qū)校級期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，對角線AC和BD相交于點O，在AC上取點P，連接PB、PD，若∠PBD＝20°，則∠PDC的度數(shù)為．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)：對角線互相垂直平分，對角線平分對角進(jìn)行分情況討論即可．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，對角線AC和BD相交于點O，∴AC，BD互相垂直平分，∵∠ABC＝∠ADC＝100°，∴∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO=1當(dāng)點P如下圖P點所在位置時：∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠PDB＝20°，∴∠PDC＝50°﹣20°＝30°；當(dāng)點P如下圖P′點所在位置時：∵P'B＝P'D，∴∠P'BD＝∠P'DB＝20°，∴∠P'DC＝∠P'DB+∠CDO＝70°；綜上：∠PDC的度數(shù)為30°或70°，故答案為：30°或70°．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，注意分類討論．【變式1-5】如圖所示，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度數(shù)．【分析】先連接AC，證明△ABE≌△ACF，然后推出AE＝AF，證明△AEF是等邊三角形，最后運(yùn)用三角形外角性質(zhì)，求出∠CEF的度數(shù)．【解答】解：連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠B＝∠EAF＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∠BCD＝120°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∵∠BAE+∠EAC＝∠FAC+∠EAC，∴∠BAE＝∠FAC，在△ABE與△ACF中，∠BAE=∠CAFAB=AC∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝∠D＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF＝60°，又∠AEC＝∠B+∠BAE＝84°，∴∠CEF＝84°﹣60°＝24°．【點評】此題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定以及三角形的內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．題型二利用菱形的性質(zhì)求線段長題型二利用菱形的性質(zhì)求線段長【例題2】(2023秋?山亭區(qū)期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點E為AD的中點，連接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，則OE＝．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，則BO＝23，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝23，∴AO=33∴AB＝2AO＝4，∵E為AD的中點，∠AOD＝90°，∴OE=12故答案為：2．【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉由于菱形的對角線互相垂直平分，所以對于菱形的兩條對角線及邊這三個元素中知道任意兩個的長度，都能根據(jù)勾股定理求出第三個.【變式2-1】(2023秋?滕州市校級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，則OH的長為（）A．45 B．8 C．4 D．【分析】由菱形的性質(zhì)得出OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，則AC＝16，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出OH=12BD【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝16，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH=1∵菱形ABCD的面積=1∴BD＝8，∴OH=1故選：C．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求得OH=1【變式2-2】(2023秋?嶗山區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝10，AC：BD＝3：4，DH⊥AB于H，則DH等于（）A．245 B．485 C．5【分析】設(shè)OA＝3a，則OB＝4a，由勾股定理求出OA、OB的長，得出AC、BD的長，再由菱形面積的計算方法即可求解．【解答】解：設(shè)AC與BD交于點O，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=12AC，OB=12BD，∴∠AOB＝90°，∵AC：BD＝3：4，∴OA：OB＝3：4，設(shè)OA＝3a，則OB＝4a，在Rt△AOB中，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝102，解得：a＝2（負(fù)值已舍去），∴OA＝6，OB＝8，∴AC＝2OA＝12，BD＝2OB＝16，∵菱形ABCD的面積＝AB?DH=12AC?BD∴DH=48故選：B．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E在線段BO上，連接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，則線段AE的長為6．【分析】設(shè)BE＝x，則CD＝3x，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB＝AD＝CD＝3x，OB＝OD，AC⊥BD，再證明DE＝DA＝3x，所以1+x＝2x，解得x＝1，然后利用勾股定理計算OA，再計算AE的長．【解答】解：設(shè)BE＝x，則CD＝3x，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD＝CD＝3x，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝3x，∴BD＝4x，∴OB＝OD＝2x，∵OE+BE＝BO，∴1+x＝2x，解得x＝1，即AB＝3，OB＝2，在Rt△AOB中，OA=A在Rt△AOE中，AE=A故答案為：6．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．【變式2-4】(2023秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的周長為20，面積為24，P是對角線BD上一點，分別作P點到直線AB、AD的垂線段PE、PF，則PE+PF等于．【分析】直接利用菱形的性質(zhì)得出AB＝AD＝10，S△ABD＝12.5，進(jìn)而利用三角形面積求法得出答案．【解答】解：∵菱形ABCD的周長為40，面積為24，∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，∵分別作P點到直線AB、AD的垂線段PE、PF，∴12×AB×PE+12∴12×5×（PE+∴PE+PF＝4.8．故答案為：4.8．【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，正確得出12×AB×PE+12×PF×AD【變式2-5】（2023?漢陽區(qū)校級一模）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，過點B作BE⊥AB交CD于點E，連接AE，F(xiàn)為AE的中點，H為BE的中點，連接FH和CF，CF交BE于點G，則GF的長為（）A．3 B．5 C．23 D．19【分析】由菱形的性質(zhì)得AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，再由三角形中位線定理得FH=12AB＝2，F(xiàn)H∥AB，然后證△FHG≌△CEG（AAS），得EG＝GH=1【解答】解：∵菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，∵F為AE的中點，H為BE的中點，∴EH=12BE，F(xiàn)H是△∴FH=12AB＝2，F(xiàn)H∥∴FH∥AB∥CD，∵BE⊥AB，∴FH⊥BE，CD⊥BE，∴∠FHE＝∠BEC＝90°，∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°，∴CE=12∴BE=BC2∴EH=12BE∴FH＝CE，在△FHG和△CEG中，∠FHG=∠CEG∠FGH=∠CGE∴△FHG≌△CEG（AAS），∴EG＝GH=12EH在Rt△FHG中，由勾股定理得：GF=F故選：D．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．題型三利用菱形的性質(zhì)求周長或面積題型三利用菱形的性質(zhì)求周長或面積【例題3】(2023秋?峰峰礦區(qū)校級期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若∠BAD＝60°，AC＝23，則菱形ABCD的周長為（）A．8 B．43 C．6 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，AO=12AC=3，∠【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=1∵∠BAD＝60°，∴∠DAO＝30°，∴AD＝2OD，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OD2+AO2，∴AD∴AD＝2，∴菱形ABCD的周長為4AD＝8，故選：A．【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉因為菱形的四邊都相等，所以菱形的周長等于邊長×4；菱形的面積計算公式：（1）底×高；（2）對角線乘積的12【變式3-1】(2023秋?武侯區(qū)期末）在菱形ABCD中，若對角線AC=2，BD＝8，則菱形ABCD的面積是【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半計算即可．【解答】解：菱形ABCD中，AC=2，BD∴AC⊥BD，∴菱形ABCD的面積=12AC?BD＝4故答案為：42．【點評】本題考查了菱形面積的計算，熟記菱形的各種計算面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】(2023秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點．若OE＝4，則菱形ABCD的周長為（）A．48 B．32 C．24 D．16【分析】由菱形的性質(zhì)可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD的長，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△COD為直角三角形．∵OE＝4，點E為線段CD的中點，∴CD＝2OE＝8．∴C菱形ABCD＝4CD＝4×8＝32．故選：B．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CD＝8．【變式3-3】(2023秋?陽山縣期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點O，E、F分別是AB、BC邊上的中點，連接EF，著EF=3，BD＝4，則菱形ABCDA．4 B．46 C．47 D．28【分析】首先利用三角形的中位線定理得出AC，進(jìn)一步利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求得邊長，得出周長即可．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點，EF=3∴AC＝2EF＝23，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC=3，OB∴AB=O∴菱形ABCD的周長為47．故選：C．【點評】此題考查菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-4】(2023秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，已知菱形的兩條對角線AC與BD長分別是12和16，則這個菱形的面積是（）A．192 B．48 C．96 D．40【分析】直接由菱形面積公式列式計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴S菱形ABCD=12AC?BD故選：C．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟記菱形的面積公式，屬于中考常考題型．【變式3-5】(2023秋?峰峰礦區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，過O點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當(dāng)菱形的兩條對角線的長分別為6和8時，則陰影部分的面積為（）A．48 B．24 C．12 D．6【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半求出面積，再根據(jù)中心對稱的性質(zhì)判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半解答．【解答】解：∵菱形的兩條對角線的長分別為12和8，∴菱形的面積=1∵O是菱形兩條對角線的交點，∴陰影部分的面積=1故選：C．【點評】本題考查了中心對稱，菱形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半是解題的關(guān)鍵．【變式3-6】(2023春?巨野縣校級月考）若菱形ABCD的周長為8，∠A：∠B＝1：2，則菱形的面積為（）A．3 B．33 C．43 【分析】根據(jù)鄰角互補(bǔ)可得出∠ABC＝60°，∠BAC＝120°，從而根據(jù)菱形的對角線互相垂直且平分的性質(zhì)可分別求出兩對角線的長，進(jìn)而根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半進(jìn)行解答．【解答】解：如圖，∵菱形ABCD的周長為8，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，又∵∠A：∠B＝1：2，∠A+∠B＝180°，∴∠ABC＝60°，∠BAC＝120°，∴∠ABO=12∠在Rt△ABO中，AO=12AB＝1，BO=3∴AC＝2，BD=23∴菱形的面積=12AC×BD故選：D．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題用到的知識點為：①菱形的四邊形等，菱形的對角線互相垂直且平分，②菱形的面積等于對角線乘積的一半，熟記菱形的各種性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型四利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行證明題型四利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行證明【例題4】(2023秋?臨渭區(qū)期末）已知：如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是邊AB和BC上的點，且∠ADE＝∠CDF，求證：BE＝BF．【分析】證△ADE≌△CDF（ASA），得AE＝CF，則AB﹣AE＝BC﹣CF，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，在△ADE和△CDF中，∠A=∠CAD=CD∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝BC﹣CF，即BE＝BF．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明△ADE≌△CDF是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉菱形的一條對角線把菱形分成兩個全等的等腰三角形（特殊時為兩個全等的等邊三角形），兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形，所以有關(guān)菱形的一些證明與計算問題常常與特殊三角形的有關(guān)問題綜合在一起.【變式4-1】(2023秋?楚雄州期末）如圖，在菱形ABCD中，E是對角線AC上的一點．連BE，DE，求證：BE＝DE．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定即可證明．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∵AC是菱形ABCD的對角線，∴∠BCA＝∠DCA，∵BC＝CD，∠BCA＝∠DCA，CE＝CE，∴△CDE≌△CBE（SAS），∴DE＝BE，【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．【變式4-2】(2023秋?武功縣期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)在對角線BD上，且BF＝DE，連接AE，AF．求證：AE＝AF．【分析】由菱形的性質(zhì)得到OB＝OD，AC⊥BD，由BF＝DE得到OF＝OE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到AE＝AF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∵BF＝DE，∴BF﹣OB＝DE﹣OD，∴OF＝OE，∴AE＝AF．【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-3】(2023秋?渭濱區(qū)校級月考）如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分別與AC交于點M，N．求證：DM＝DN．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定SAS，可以證明△ADE≌△CDF，再利用等腰三角形的性質(zhì)，可以得到DE＝DF，DM＝DN．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，∵BE＝BF，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，DA=DC∠DAE=∠DCF∴△ADE≌△CDF（SAS）；∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DAM＝∠DCN，∵∠ADM＝∠CDN，∴∠DMA＝∠DNC，∴∠DMN＝∠DNM，∴DM＝DN．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式4-4】(2023秋?榆陽區(qū)校級期末）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，且AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．（1）求證：AE＝AF；（2）若AB＝10，CE＝4，求菱形ABCD的面積．【分析】（1）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB＝AD，∠B＝∠D，再利用AAS證明△ABE≌△ADF，于是得到AE＝AF；（2）根據(jù)菱形的面積公式解答即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD．∵S菱形ABCD＝BC?AE＝CD?AF，∴AE＝AF．（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝10．∵CE＝4，∴BE＝6，∴AE=A∴S菱形ABCD＝BC?AE＝10×8＝80．【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的四邊相等，此題難度不大．【變式4-5】(2023春?江漢區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC，BD交于點O，DH⊥AB于點H．（1）若對角線AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的長；（2）連HO，求證：∠BOH＝∠DAH．【分析】（1）由勾股定理求出AB＝5cm，根據(jù)菱形的面積公式可得出答案；（2）由菱形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出答案．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵AC＝8cm，BD＝6cm，∴OA=12AC=4cm，OB=1∴AB=OA2∴S菱形ABCD=12AC?BD＝AB?∴DH=12×（2）證明：∵∠DHB＝90°，OB＝OD，∴OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，∴∠BOH＝180°﹣2∠OBH，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DAH＝2∠OAB，∵∠OAB＝90°﹣∠OBH，∴∠DAH＝180°﹣2∠OBH，∴∠BOH＝∠DAH．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)．【變式4-6】(2023春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，延長AB至點E，使BE＝AB，連接CE．（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面積．【分析】（1）根據(jù)菱形的對邊平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后證明得到BE＝CD，BE∥CD，從而證明四邊形BECD是平行四邊形；（2）欲求菱形ABCD的面積，求得AC、BD的長度即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四邊形BECD是平行四邊形；（2）解：由（1）知，四邊形BECD是平行四邊形，則BD∥CE．∵∠E＝60°，∴∠ABD＝60°．∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∴△ABD是等邊三角形．∴AB＝BD＝8．又∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=12∴OA=AB2∴AC＝83．∴菱形ABCD的面積=12AC?BD=12×【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用．證明出四邊形BECD是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．題型五菱形判定的條件題型五菱形判定的條件【例題5】(2023秋?二七區(qū)校級月考）如圖?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列說法正確的是（）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形 C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，故選項A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選項B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選項C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．③【變式5-1】(2023?鐵鋒區(qū)二模）中，對角線AC、BD相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件，使平行四邊形ABCD是菱形．【分析】根據(jù)菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴當(dāng)AB＝BC或AC⊥BD或AC平分∠DAB時，四邊形ABCD為菱形．故答案為：AB＝BC（答案不唯一）．【點評】本題考查了菱形的判定，熟記菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】(2023春?海倫市期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，請你添加一個條件，使四邊形AEDF是菱形．【分析】根據(jù)DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，可以判斷四邊形AEDF是平行四邊形，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立．【解答】解：DF∥AB，理由如下：∵DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD，∴FA＝FD，∴四邊形AEDF是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．【點評】本題考查菱形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的需要的條件，利用菱形的判定解答．【變式5-3】(2023?營口）如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，只需添加一個條件即可證明四邊形ABED是菱形，這個條件可以是．（寫出一個即可）【分析】由平移的性質(zhì)得AB∥DE，AB＝DE，則四邊形ABED是平行四邊形，再由菱形的判定即可得出結(jié)論．【解答】解：這個條件可以是AB＝AD，理由如下：由平移的性質(zhì)得：AB∥DE，AB＝DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，又∵AB＝AD，∴平行四邊形ABED是菱形，故答案為：AB＝AD（答案不唯一）．【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及平移的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-4】(2023春?房山區(qū)期中）在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O．現(xiàn)存在以下四個條件：①AB∥CD；②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．從中選取三個條件，可以判定四邊形ABCD為菱形．則可以選擇的條件序號是（寫出所有可能的情況）．【分析】根據(jù)角平分線定義得到∠DAO＝∠BAO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DO＝CB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：如：若②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB，則四邊形ABCD是菱形，證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAO＝∠BAO，在△AOD和△AOB中，AD=AB∠DAO=∠BAO∴△AOD≌△AOB（ASA），∴DO＝CB，∵AO＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形，若①AB∥CD；②AO＝OC；④AC平分∠DAB或①AB∥CD；③AB＝AD；④AC平分∠DAB或②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．都可以判定四邊形ABCD為菱形．故答案為：①②③或②③④或①②④或①③④．【點評】本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-5】(2023秋?寶雞期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，連接DE，DF，當(dāng)△ABC滿足下列哪個條件時，四邊形AEDF為菱形（）A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF【分析】可根據(jù)三角形的中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定，分析得出當(dāng)△ABC滿足條件AB＝AC或∠B＝∠C時，四邊形AEDF是菱形．【解答】解：要使四邊形AEDF是菱形，則應(yīng)有DE＝DF＝AE＝AF，∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，∴AE＝BE，AF＝FC，∴DE＝BE，DF＝CF，∴△BDE≌△CDF（SSS），∴BD＝CD，∴當(dāng)點D應(yīng)是BC的中點，而AD⊥BC，∴△ABC應(yīng)是等腰三角形，∴應(yīng)添加條件：AB＝AC或∠B＝∠C．則當(dāng)△ABC滿足條件AB＝AC或∠B＝∠C時，四邊形AEDF是菱形．故選：A．【點評】此題考查的是菱形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．【變式5-6】(2023秋?順慶區(qū)月考）如圖，在?ABCD中，O為AC的中點，經(jīng)過點O的直線交AD于E交BC于F，連接AF、CE，下列選項可以使四邊形AFCE是菱形的為（）A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定以及矩形的判定分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、∵O為AC的中點，∴OA＝OC，∵OE＝OF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，故選項A不符合題意；B、四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵AE＝CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，故選項B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵O為AC的中點，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，∠AEO=∠CFO∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵EF⊥AC，∴平行四邊形AFCE是菱形，故選項C符合題意；D、∵EF＝AC，∴平行四邊形AFCE是矩形，故選項D不符合題意；故選：C．【點評】此題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-7】(2023春?高唐縣期末）如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點，添加下列條件后，不能得到四邊形DBFE是菱形的是（）A．AB＝BC B．BE平分∠ABC C．BE⊥AC D．AB＝AC【分析】當(dāng)AB＝BC時，四邊形DBFE是菱形．根據(jù)三角形中位線定理證明即可；當(dāng)BE平分∠ABC時，可證BD＝DE，可得四邊形DBFE是菱形，當(dāng)BE⊥AC，可證AB＝BC，可得四邊形DBFE是菱形，由此即可判斷；【解答】解：當(dāng)AB＝BC時，四邊形DBFE是菱形；理由：∵點D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，∴DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形，∵DE=12BC，EF=∴DE＝EF，∴四邊形DBFE是菱形，故A正確，不符合題意，當(dāng)BE平分∠ABC時，可證BD＝DE，可得四邊形DBFE是菱形，故B正確，不符合題意，當(dāng)BE⊥AC，可證AB＝BC，可得四邊形DBFE是菱形，故C正確，不符合題意．故選：D．【點評】本題考查三角形的中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位線定理，屬于中考?？碱}型．【變式5-8】(2023?大名縣三模）如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AD、BC的中點，點G、H在AC上，且AH＝CG，若添加一個條件使四邊形EGFH是菱形，則下列可以添加的條件是（）A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AB＝AC D．AB⊥AC【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，AD∥BC，推出四邊形ABFE是平行四邊形，得到AB∥EF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，推出四邊形EGFH是平行四邊形，連接EF交AC于O，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：可以添加的條件是AB⊥AC，理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E、F分別為邊AD、BC的中點，∴AE=12AD，BF＝CF=∴AE＝BF＝CF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴AB∥EF，∵AD∥BC，∴∠EAG＝∠FCH，∵AH＝CG，∴AH﹣HG＝CG﹣HG，即AG＝CH，∴△AEG≌△CFH（SAS），∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，∴∠EGH＝FHG，∴EG∥FH，∴四邊形EGFH是平行四邊形，連接EF交AC于O，∵AB∥EF，AB⊥AC，∴EF⊥AC，∴四邊形EGFH是菱形，故選：D．【點評】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型六菱形的判定的證明題型六菱形的判定的證明【例題6】(2023秋?武功縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，點D為AB的中點，連接CD，過點D作DE∥BC，且DE＝BC，連接BE，求證：四邊形BCDE是菱形．【分析】先證明四邊形BCDE是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=BD=12AB，進(jìn)而證明△BCD為等邊三角形得到BC【解答】證明：∵DE∥BC，且DE＝BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形．∵CD為Rt△ABC的斜邊AB上的中線，∴CD=BD=1∵∠ABC＝60°，∴△BCD為等邊三角形，∴BC＝CD，∴四邊形BCDE是菱形．【點評】本題考查菱形的判定，涉及平行四邊形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，證明△BCD為等邊三角形是解答的關(guān)鍵．解題技巧提煉證明一個圖形是菱形時，關(guān)鍵是看已知條件，若是一般的四邊形，則考慮證明四條邊相等或?qū)蔷€互相垂直平分；若是平行四邊形，則考慮證明一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直.【變式6-1】(2023秋?虹口區(qū)校級月考）如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M為AC中點，MN⊥BD于點O，BN∥DM，求證：BNDM為菱形．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM＝DM=12AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BMN＝∠DMN，由平行線的性質(zhì)得到∠BNM＝∠DMN，等量代換得到∠BMN＝∠BNM，求得BM＝BN，得到BN＝【解答】證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M為對角線AC的中點，∴BM＝DM=12∵M(jìn)N⊥BD，∴∠BMN＝∠DMN，∵BN∥DM，∴∠BNM＝∠DMN，∴∠BMN＝∠BNM，∴BM＝BN，∴BN＝DM＝BM＝DN，∴四邊形BNDM是菱形．【點評】本題考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023?東莞市模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在BD上，且BE＝DF．（1）求證：△ADF≌△CBE；（2）不添加輔助線，請你補(bǔ)充一個條件，使得四邊形AECF是菱形；并給予證明．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)知，AD＝BC，AD∥BC，得到∠ADF＝∠CBE，又有BE＝DF，故由SAS證得△ADF≌△CBE；（2）平行四邊形的性質(zhì)知，AO＝CO，BO＝DO，由BE＝DF可求得OE＝OF，根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形AECF是平行四邊形，由AC⊥EF可得平行四邊形AECF是菱形．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CBE，在△ADF和△CBE中，AD=CB∠ADF=∠CBE∴△ADF≌△CBE（SAS）；（2）解：補(bǔ)充的條件是：AC⊥BD．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形AECF是菱形．【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定，證得四邊形AECF是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．【變式6-3】(2023春?蒼溪縣期末）如圖，在△AFC中，∠FAC＝90°，B、E分別是FC、AB的中點，過點A作AD∥FC交FE的延長線于點D．（1）求證：BF＝AD；（2）求證：四邊形ABCD是菱形．【分析】（1）證明△AED≌△BEF（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝BF；（2）由直角三角形的性質(zhì)得出AB＝BF＝BC，證出AD＝BC，得出四邊形ABCD為平行四邊形，由菱形的判定可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AD∥FC，∴∠ADE＝∠BFE，∵E為AB的中點，∴AE＝BE，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED≌△BEF（AAS），∴AD＝BF；（2）證明：∵∠FAC＝90°，B為CF的中點，∴AB＝BF＝BC，∵AD＝BF，∴AD＝BC，又∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，證明△AED≌△BEF是解題的關(guān)鍵．【變式6-4】(2023春?南丹縣期末）已知：如圖，在?ABCD中，M，N分別是AD和BC的中點．（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；（2）當(dāng)∠ACD滿足什么條件時，四邊形AMCN是菱形，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得AM∥CN，AD＝BC，根據(jù)M，N分別是AD和BC的中點證得AM＝CN即可證得結(jié)論；（2）當(dāng)∠ACD＝90°，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵M(jìn)、N分別是AD和BC的中點，∴AM=12AD，CN=∴AM＝CN，∵AM∥CN，AM＝CN，∴四邊形AMCN是平行四邊形；（2）解：當(dāng)∠ACD＝90°，四邊形AMCN是菱形，理由如下：∵M(jìn)是AD的中點，∴AM＝DM，∵∠ACD＝90°，∴CM＝AM＝DM，∴AM＝CM，由（1）知，四邊形AMCN是平行四邊形，∴四邊形AMCN是菱形．【點評】本題考查了平行四邊形和菱形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四條邊都相等的四邊形是菱形菱形．②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形菱形．③一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形菱形．【變式6-5】(2023春?梅江區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對角線AC上的兩點，∠1＝∠2．（1）求證：AE＝CF．（2）若BE＝ED時，求證：四邊形EBFD是菱形．【分析】（1）證明△ADE≌△CBF（AAS），即可得出結(jié)論；（2）由平行線的判定得DE∥BF，再由全等三角形的性質(zhì)得DE＝BF，則四邊形EBFD是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵∠1＝∠2，∴∠AED＝∠CFB，在△ADE與△CBF中，∠AED=∠CFB∠DAE=∠BCF∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF；（2）∵∠1＝∠2，∴DE∥BF．由（1）知，△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四邊形EBFD是平行四邊形，又∵BE＝ED，∴平行四邊形EBFD是菱形．【點評】本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式6-6】(2023春?郯城縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，M是BD上任意一點，連接AM并延長至點N，使AM＝MN，交BC于H，連接CN、BN．（1）求證：OM∥CN．（2）連接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求證：四邊形BNCM是菱形．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得OA＝OC，再證OM是△ACN的中位線，即可得出結(jié)論；（2）證△MBH≌△NCH（ASA），得MH＝NH，再證四邊形BNCM是平行四邊形，然后由菱形的判定定理即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵AM＝MN，∴OM是△ACN的中位線，∴OM∥CN；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵AD⊥AN，∴BC⊥AN，∵AB＝AC，∴BH＝CH，由（1）可知，OM∥CN，∴∠MBH＝∠NCH，在△MBH和△NCH中，∠MBH=∠NCHBH=CH∴△MBH≌△NCH（ASA），∴MH＝NH，∴四邊形BNCM是平行四邊形，又∵BC⊥MN，∴平行四邊形BNCM是菱形．【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型七菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用題型七菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用【例題7】(2023春?鎮(zhèn)安縣期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上一點，且CD＝DE，連接BE，分別交AC，AD于點F、G，連接OG、AE，則下列結(jié)論：①OG=12②四邊形ABDE是菱形；③四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等．其中正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】①由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，證出OG是△ACD的中位線，得出OG=12CD=12②先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證△ABD、△BCD是等邊三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，則四邊形ABDE是菱形，②正確；③由菱形的性質(zhì)得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS證明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，由中線的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等，得出③正確．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，∠BAG=∠EDG∠AGB=∠DGE∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位線，∴OG=12CD=12∵AB∥CE，AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等邊三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四邊形ABDE是菱形，故②正確；∴AD⊥BE，由菱形的性質(zhì)得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），在△BGA和△COD中，AG=DO∠BAG=∠CDO∴△BGA≌△COD（SAS），∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，∵OB＝OD，∴S△BOG＝S△DOG，∵四邊形ABDE是菱形，∴S△ABG＝S△DGE，∴四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等，故③正確；故正確的結(jié)論有3個．故選：D．【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉菱形的判定可以確定菱形的存在，再利用菱形的性質(zhì)，可以得出線段或角的對應(yīng)關(guān)系.【變式7-1】(2023春?高邑縣期末）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；再分別以點A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；再連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．則四邊形AOBC的面積是（）A．45 B．8 C．4 D．5【分析】根據(jù)作圖可得：OA＝AC＝BC＝OB，從而可得四邊形OACB是菱形，然后利用菱形的面積公式進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：由題意得：OA＝AC＝BC＝OB，∴四邊形OACB是菱形，∵AB＝2，OC＝4，∴菱形OACB的面積=12OC=1＝4，故選：C．【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】(2023春?惠民縣期末）如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個四邊形，轉(zhuǎn)動其中一張紙條，則下列相等關(guān)系：①AD＝AB；②AD＝BC；③∠DAC＝∠ACD；④AO＝BO，其中一定成立的是.（只填序號）【分析】由條件可知AB∥CD，AD∥BC，可證明四邊形ABCD為平行四邊形，得到AD＝BC，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意可知：AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝BC，故答案為：②．【點評】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明四邊形ABCD為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】(2023秋?碭山縣校級月考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：四邊形ADCF是菱形；（2）若AC＝32，AB＝42，求四邊形ADCF的面積．【分析】（1）由“AAS”可證△AFE≌△DBE，得AF＝BD＝CD，再證四邊形ADCF是平行四邊形，然后由直角三角形的性質(zhì)可證AD＝CD，可得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)和面積關(guān)系可求解．【解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BDE，∵E是AD的中點，∴AE＝DE