高二年級(jí)上冊(cè)期數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)《直線和圓的方程》單元知識(shí)總結(jié)

高二上期數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)《直線和圓的方程》單元知識(shí)總結(jié)

萬(wàn)三中譚青春

一、直線的方程

1、傾斜角:

L

,范圍OWa<71,

若/〃x軸或與x軸重合時(shí)，a=O°。

2、斜率：k=tintze與K的關(guān)系：C=0OK=0

已知L上兩點(diǎn)Pi（xi,y,）0vav—^>0

2

P2（x2,y2）a=—<=>K不存在

2

一<2<7T=K<0

^2-^12

當(dāng)X1=》2時(shí)，a=90°,K不存在。當(dāng)KNO時(shí)，a=arctank,KVO時(shí)，a=7r+arctank

3、截距（略）曲線過(guò)原點(diǎn)O橫縱截距都為0。

4、直線方程的幾種形式

已知方程說(shuō)明幾種特殊位置的直線

斜截式K、bY=kx+b不含y軸和行平①x軸：y=0

于y軸的直線

點(diǎn)斜式Pi=(xi,yi)y-yi=k(x-xi)不含y軸和平行②y軸:x=0

k于y軸的直線

兩點(diǎn)式Pi(xi,yi)不含坐標(biāo)輛和③平行于x軸：y=b

P2(X2?2)平行于坐標(biāo)軸

當(dāng)一必x-x,

2的直線

截距式a^b2+2=1不含坐標(biāo)軸、平④平行于y軸：x=a

ab行于坐標(biāo)軸和⑤過(guò)原點(diǎn)：y二kx

過(guò)原點(diǎn)的直線

一般式Ax+by+c=0A、B不同時(shí)為0

兩個(gè)重要結(jié)論：①平面內(nèi)任何一條直線的方程都是關(guān)于x、y的二元一次方程。

②任何一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程都表示一條直線。

5、直線系：（1）共點(diǎn)直線系方程：po（x0,yo）為定值，k為參數(shù)y-yo=k（x-x0）

特別：y=kx+b,表示過(guò)（0、b）的直線系（不含y軸）

（2）平行直線系：①丫:收+卜k為定值，b為參數(shù)。

②AX+BY+入=0表示與Ax+By+C=0平行的直線系

③BX-AY+入=0表示與AX+BY+C垂直的直線系

(3)過(guò)LiL交點(diǎn)的直線系A(chǔ)"+Biy+G+入(A2X+B2Y+C2)=0(不含L2)

6、三點(diǎn)共線的判定：①|(zhì)A月+|明=陷,②KAB=KBC，

③寫出過(guò)其中兩點(diǎn)的方程，再驗(yàn)證第三點(diǎn)在直線上。

二、兩直線的位置關(guān)系

1、

Li：y=kix+b|Li：A1X+B]Y+Ci=0L與L2組成的方程組

L2：y=k2X+b2L2：A2X4-B2Y+C2=0

平行=Ki=k2且b￥b2無(wú)解

A〕_G

———豐—

A2B2C2

重合=K產(chǎn)k2且bi=b2有無(wú)數(shù)多解

A=A=￡L

A2B2C2

相交=3k2a有唯一解

---豐----

A,B2

垂直。Kbk2=-1A1A2+BIB2=0

（說(shuō)明：當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸時(shí)，要單獨(dú)考慮）

k-k

2、L］到L2的角為0,則tan6=T—卜（左/2。一1）

1+&,匕

3、夾角：tan0=----L

1+k)k、

\AX(.+By(}+cl

4、點(diǎn)到直線距離：d=J~:?(已知點(diǎn)(po(xo,yo),L：AX+BY+O0)

7A2+B2

C|

①兩行平線間距離：LI=AX+BY+CI=0L2：AX+BY+C2=0=>d=|

4A2+%

②與AX+BY+C=0平行且距離為d的直線方程為Ax+By+C±A2+B2=0

③與AX+BY+C]=0和AX+BY+C2=0平行且距離相等的直線方程是

C,+C)

AX+BY+-^——^=0

2

5^對(duì)稱：(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：p(xi,yD關(guān)于M(xo,yo)的對(duì)稱P(2Xo—X1,2為一匕)

（2）點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱：設(shè)p（a、b）

對(duì)稱軸對(duì)稱軸

對(duì)稱點(diǎn)p'對(duì)稱點(diǎn)p'

X軸Y=-x

p'(a、-b)〃'（一/?、_〃）

Y軸X=m(mW0)

p'(-。、b)p'Qm—a、b)

y=xy=n(nW0)

p'S、a)p\a>2n-b)

一般方法:

如圖：（思路1）設(shè)P點(diǎn)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)為Po（xo,yo）則Xppo.KL=-l

tp,Po中點(diǎn)滿足L方程

解出Po（xo,yo）

（思路2）寫出過(guò)PLL的垂線方程，先求垂足，然后用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出Po（x°,yo）的坐標(biāo)。

（3）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

L：AX+BY+C=O關(guān)于點(diǎn)P（Xo^Yo）的對(duì)稱直線/'：A（2X0-X）+B（2Y0-Y）+C=0

（4）直線關(guān)于直線對(duì)稱

①幾種特殊位置的對(duì)稱：已知曲線f（x、y）=0

關(guān)于x軸對(duì)稱曲線是f（x、-y）=0關(guān)于y=x對(duì)稱曲線是f（y、x）=0

關(guān)于y軸對(duì)稱曲線是f（-x、y）=0關(guān)于y=-x對(duì)稱曲線是f（-y、-x）=0

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱曲線是f（-x、-y）=0關(guān)于x=a對(duì)稱曲線是f（2a-x、y）=0

關(guān)于y=b對(duì)稱曲線是f（x、2b-y）=O

一般位置的對(duì)稱、結(jié)合平幾知識(shí)找出相關(guān)特征，逐步求解。

三、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

不等式表示的區(qū)域

AX+BY+C=0

約束條件、線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)劃，可行解，最優(yōu)解。

要點(diǎn)：①作圖必須準(zhǔn)確（建議稍畫大一點(diǎn)）。②線性約束條件必須考慮完整。

③先找可行域再找最優(yōu)解。

四、園的方程

1、園的方程：①標(biāo)準(zhǔn)方程（x—ay+（y—b）=r2,c（a、b）為園心，r為半徑。

②一般方程：x2+y2+DX+EY+F=O,

VD2+￡2-4F

r-----------------

2

當(dāng)。2+七2-4尸=0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)。

當(dāng)+F2-4/<0時(shí)，不表示任何圖形。

③參數(shù)方程：rx=a+rcosO

y=/?+rsin^。為參數(shù)

以A（Xi，YI）,B（X2,Y2）為直徑的兩端點(diǎn)的園的方程是

（X-Xi）（X-X2）+（Y-Y|）（Y-Y2）=0

2、點(diǎn)與園的位置關(guān)系：考察點(diǎn)到園心距離d,然后與r比較大小。

3、直線和園的位置關(guān)系：相交、相切、相離

判定：①聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知量，得到一個(gè)一元二次方程：^〉。一相交、△二。一相切、△<00

相離

②利用園心c（a、b）到直線AX+BY+C=0的距離d來(lái)確定：

dVrO相交、d=rO相切d>rO相離

（直線與園相交，注意半徑、弦心距、半弦長(zhǎng)所組成的kta）

4、園的切線：（1）過(guò)園上一點(diǎn)的切線方程

與園/+y?=/相切于點(diǎn)（xi、yi）的切線方程是X1X+yy=/

與園（x-a）2+（y-b）2=U相切于點(diǎn)（xi、yi）的切成方程

為:（Xj-aX^-?）+（?i-b）（y-b）=r2

與園—+：/+加+石丫+/?=0相切于點(diǎn)（x|、yi）的切線是

X|X+yy+￡）（￡±^L）+￡（2±2L）+/=0

（2）過(guò)園外一點(diǎn)切線方程的求法：己知：po（xo，yo）是園（x-a）?+（y-b）2=/外一點(diǎn)

（玉一a）2+（以一份2=/

①設(shè)切點(diǎn)是pi（xi、y。解方程組-1[

（尤o—。）（范一a）+（yo一①（%一份2=/

先求出pi的坐標(biāo)，再寫切線的方程

②設(shè)切線是y-%=k（x-xn）即kx-y-kxn+打=0

\ka-b-kxr，+yn|

再由J----'"」!=一求出k,再寫出方程。

（當(dāng)k值唯一時(shí)，應(yīng)結(jié)合圖形、考察是