2023-2024學(xué)年上海市新川中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年上海市新川中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷

(試卷滿分100分.考試用時(shí)120分鐘)2023.11

一、填空題(3x12=36)

1.用集合符號(hào)表示直線1在平面。上

n

2.直線/過(guò)點(diǎn)p(I2)且傾斜角為5,則直線/的方程為.

3.若球的半徑為1,則球的體積是.

4.過(guò)點(diǎn)P(-1,3)且垂直于直線x—2y+3=0的直線方程是.

5.若圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為1的正三角形.則圓錐的側(cè)面積是.

11

6.已知向量〃=(T°，2),且版+各與2。-匕互相垂直，則&的值是.

7.如圖，在三棱臺(tái)ABC-A8|G的9條棱所在直線中，與直線A8是異面直線的共有條

8.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,則該正四面體的高為.

9.如圖，在三棱柱ABC-A8C中，D,E,F分別為AB,AC,4A的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐尸-3體

積為匕，三棱柱ABC-ABC的體積為匕，則匕：匕=

10,若04=(1，-2,0b08=(2,1,0)℃=(1,1,3),則三棱錐JABC的體積為.

ZBAC=-,AB=2,AC=2y/3,PA^2

11.在三棱錐尸—MC中，叢，底面ABC,。是PC的中點(diǎn)，已知2

則異面直線BC與AD所成角的余弦值為.

12.如圖所示，在正方體ABC￡>-A?C'。'中，AB=3,M是側(cè)面BCC'”內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足

若AM與平面BCC'8'所成的角6,貝pan6的最大值為.

二、選擇題（3x4=12）

13."，”=2是，，直線2x+沖+1=0與直線加t+2y-l=0平行,，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

14.已知直線1、m和平面B,下列命題中的真命題是（）

A.若mil,l"a,則加B.若lUa,a、0,則/

C,若/'a,。邛,則D.若/上2，,則〃/機(jī)

15.直線以+外+c=°經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，貝ija,b,c應(yīng)滿足（）

Aab>0,bc<0gab<0,bc<0Qab>0,bc>0pab<0,bc>0

16.下列結(jié)論中

①若空間向量。=（4'%'%），八（偽也也），則自瓦"是"http://的充要條件；

②若x<2是x<"的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為。<2.

a

③已知a,夕為兩個(gè)不同平面，,6為兩條直線，aB=m,aua,bu/3,aLm,貝『，a_L尸,，是

“a的充要條件；

④已知向量〃為平面。的法向量，。為直線/的方向向量，則a〃〃是“e的充要條件.

其中正確命題的序號(hào)有（）

A.②③B.②④C.②③④D.①②③④

三、解答題（9+9+10+12+12）

17.已知直線/過(guò)點(diǎn)P（41）.

⑴若直線/過(guò)點(diǎn)。（一1'6）,求直線/的方程；

（2）若直線/在x軸和丁軸上的截距相等求直線/的方程.

18.已知向量虛=（?3,2）,/=（-2,1,1）,點(diǎn)4（-3,-1,4）,5（-2,-2,2）

⑴求即4

（2）在直線AB上，是否存在一點(diǎn)E,使得（O為原點(diǎn)），若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存

在，說(shuō)明理由.

19.如圖，四棱錐尸一至8的底面是矩形，PD_L底面ABCD,PD=DC=1,AQ=0.點(diǎn)M為BC的

中點(diǎn).

(1)證明：平面RVW_L平面PBD；

(2)求點(diǎn)8到平面24M的距離.

20.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體A4GA中，M、N、P分別是G"、℃、A4的中點(diǎn)

(2)求異面直線P0與MN所成角的大??；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

(3)求三棱錐尸-MNB的體積.

21.如圖，在長(zhǎng)方體AS。-A8m中，DR=DA=1,A5=2,點(diǎn)E在棱A8上運(yùn)動(dòng).

(1)證明：BC上RE；

CF

⑵設(shè)E為棱AB的中點(diǎn)，在棱CG上是否存在一點(diǎn)尸，使得BF〃平面OEG,若存在，求CG的值，若

不存在，說(shuō)明理由；

(3)求直線48與平面DEC、所成角的取值范圍

1.iuot

【分析】直線1在平面a上，利用集合與集合的關(guān)系符合表示即可.

【詳解】直線1在平面a上，即直線1包含于平面利用集合與集合的關(guān)系表示為/ua.

故答案為：lua

2.x=l

71

［詳解］,:直線/過(guò)點(diǎn)0°,2）且傾斜角為3,

.?.直線/的方程為x=l

故答案為：x=l

4萬(wàn)

3.3

【分析】已知半徑，根據(jù)球的體積公式計(jì)算即可.

【詳解】己知球的半徑R=l,

4乃144

V=—/?3=—

體積33.

4開

故答案為：T.

4.2x+y-l=0

【詳解】試題分析：由題可知，設(shè)直線Ax+By+C=O,與它垂直的直線為-Bx+Ay+D=O,故設(shè)與已知直線

垂直的直線為2x+y+D=0,將點(diǎn)P（-l,3）代入，得出D=-l,故直線方程為2x+y?l=0.

考點(diǎn)：兩條直線的位置關(guān)系

71

5.2

【分析】根據(jù)題意可得圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)圓錐側(cè)面積公式5=?！ㄇ蟮媒Y(jié)果.

【詳解】若圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則圓錐的底面半徑一一2,母線e,

s—?！癬2E

故圓錐的側(cè)面積--2,

兀

故答案為：2.

7

6.5##1.4

【分析】向量的垂直用坐標(biāo)表示為內(nèi)々+%必+2仔2=。，代入即可求出答案

［詳解］?4+1=氏（1，1，0）+（一1，°，2）=（左一1，憶2）,

2a-b=2（1,1,0）—（-1,0,2）=（3,2,-2）,

因?yàn)橐?b與2a-b互相垂直，

所以（""+4Q叫=。，

即(左—(3,2,—2)=5A:—7=0

L

故答案為：5

7.3

【分析】利用異面直線的判定定理判斷即可.

【詳解】空間直線的位置關(guān)系有平行、相交、異面，即不平行也不相交則異面,

由圖可知九條棱中A4,4C,AA,AB,BB\,BC與A8相交，

沒有直線與AB平行，

所以與直線4出是異面直線的共有3條，分別為8C,AC,CC、,

故答案為：3

見176

8.3##3

【分析】設(shè)正四面體為A-BCD,過(guò)A作AOJ?底面BCD,可知°為底面正三角形的中心，然后求解直

角三角形得答案.

【詳解】如圖，設(shè)正四面體為A-BCO,過(guò)A作AO,底面BCD,垂足為O,

四面體為正四面體，，°為底面正三角形的中心,

連接C。并延長(zhǎng)交于G,則G為B。中點(diǎn)，

:.CO=-CG=-Jl2-(-)2=—

.底面邊長(zhǎng)為1,33丫23,

AO=VAC2-co2=與=乎

76

,該正四面體的高為3.

故答案為：3

9.24

【詳解】試題分析：因?yàn)镈,E,分別是AB,AC的中點(diǎn)，所以SAADE：SAABC=1：4,

又F是AA1的中點(diǎn)，所以Al到底面的距離H為F到底面距離h的2倍.

即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱錐F-ADE高的2倍.

2j_

所以VI：V2=§SAADE?h/SAABC?H=24=1：24

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

5

10.2

【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得棱錐底面積和高，結(jié)合棱錐的體積計(jì)算公式，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)已知可得：0408=1x2-2x1=0,即

附=J『+(_2)2=底網(wǎng)=V212+3l2=逐

S=-x^5xy/5=-

故△04B的面積22.

不妨取平面°鉆的一個(gè)法向量機(jī)=（0'°'1）,

OC-m

h='------2

則點(diǎn)C到平面048的距離同

1n,15o5

故三棱錐O—ABC的體積332'2.

5

故答案為：2.

3

11.4##0.75

【分析】根據(jù)三棱錐「一ABC的幾何特征，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求

3

出異面直線BC與AD所成角的余弦值為W.

［詳解］由PA，底面ABC,A8,ACu平面ABC,所以PA，AB,PA_LAC,

又NBAC-］,可得M/AC,即AB,AC,AP兩兩垂直;

因此以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A8,AC.4P所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示:

D

則A（0,0,0）,8（2,0,0）,C（0,2^,0）,P（0,0,2）

又。是小的中點(diǎn)，可得吸⑸），所以8c=（-2,2百0）,4。=（0,石,1）,

cos（BC,A￡））=63

4724

可得MM

3

所以異面直線BC與AD所成角的余弦值為W.

3

故答案為：4

12.夜

【分析】以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M（x，3，#（x,ye[O,3]）,根據(jù)人用_1a>',求得的關(guān)系,

再根據(jù)A3人平面8CC%',可得e=解RtVABM即可.

【詳解】解：如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（3,0,0）,5（3,3,0）,D（0,0,3）,

設(shè)M（x,3M（x,ye[0,3]）,

則AM=（x—3,3,y）,80=（-3,—3,3）,

因?yàn)?/p>

所以'84=（x—3,3,y>（—3,-3,3）=—3（x—3）-9+3y=0

所以丁=巴則M（x,3,x）,

因?yàn)锳B工平面BCCB'（

所以NAM3即為AM與平面BCC'B'所成角，即6

tan”旦33

BMj(x-3)~+)2A/2X2-6X+9

則

_3

所以當(dāng)“一5時(shí)，tang取得最大值

故答案為：3.

13.D

【解析】根據(jù)兩條直線平行的條件以及充要條件的定義可得答案.

【詳解】因?yàn)橹本€21+切+1=。與直線加+2丁-1=0平行等價(jià)于2x2—/=0且2x(7)-機(jī)工0,即

〃?=2,

所以“帆=2是“直線2x+緲+1=0與直線如+2y-1=0平行，，的充要條件.

故選：D

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：

(1)若夕是夕的必要不充分條件，則夕對(duì)應(yīng)集合是。對(duì)應(yīng)集合的真子集；

(2)夕是夕的充分不必要條件，則。對(duì)應(yīng)集合是“對(duì)應(yīng)集合的真子集；

(3)夕是夕的充分必要條件，則。對(duì)應(yīng)集合與g對(duì)應(yīng)集合相等；

(4)「是夕的既不充分又不必要條件，夕對(duì)的集合與夕對(duì)應(yīng)集合互不包含.

14.C

【分析】線面平行及線線垂直，線可以有無(wú)數(shù)種朝向；線面垂直，線只有一種朝向；面面平行，面只有

一種朝向，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)A,若mU/a,則可能有，”//a,m與a相交不垂直，A錯(cuò)；

對(duì)B,若〃/。，aX-P,則/,尸，則可能有/J?民〃/，1與月相交不垂直，/u￡,B錯(cuò);

對(duì)C,若/'a,a/甲，貝c對(duì);

對(duì)D,若,由于a與夕關(guān)系不確定，故i與m關(guān)系也不確定，D錯(cuò).

故選：C

15.A

【分析】寫成斜截式，由斜率和與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)確定直線經(jīng)過(guò)的象限.

【詳解】若匕=°，則直線不會(huì)經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，所以6x0,

因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，

k=--<0-->0

所以斜率b,與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)b,

解得ab>0,bc<0,

故選：A

16.B

［解析］①由a〃匕04=勸04=獨(dú),02=勸2，%=獨(dú)3(幾w/?)可判斷①不正確；

②由犬<2是x<a的必要不充分條件，可得{x|x<2}3犬<“},從而得到。<2正確；

③根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和判定定理即可判斷；

④結(jié)合利用法向量與方向向量的定義即可判斷.

【詳解】解:①空間向量"二(12^3),■(I23)，貝|J

a〃boa=Aboa、=Ab、,％=Ah-,,a^=曲(2e/?)

所以4A伉是“//8的充要條件錯(cuò)誤,故①不正確；

②若x<2是的必要不充分條件，則&|x<2}所以。<2,故②正確；

③若a，尸，則由條件可得。，力，又，uP,所以；_L)；

若：工)，則根據(jù)條件得不到a'B，故③不正確；

④若a”〃，則。,巴因?yàn)椤盀橹本€/的方向向量，所以

若/J_a,則a_La,因?yàn)椤槠矫鎍的法向量，所以a//〃,故④正確.

綜上，正確命題的序號(hào)為②④.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量平行的充要條件，利用必要不充分條件求參數(shù)范圍，平面與平面垂直的判定和

利用法向量與方向向量判定平行和垂直關(guān)系，屬中檔題.

1

,y=-x=

*.⑴y=-x+5⑵,4或y=—+5

【分析】（1）根據(jù)直線過(guò)兩點(diǎn)即可求出直線方程；

（2）分類討論直線截距是否為。，即可得出直線方程.

【詳解】（1）由題意，

y—1x—4

直線過(guò)點(diǎn)P（4/），Q（T6）,.?.直線方程：6-1--1-4,即y=r+5

（2）由題意，

直線過(guò)點(diǎn)P（4」），且在x軸和曠軸上的截距相等

1

y=-x

當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，截距為0,方程為.4

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線/：y=-x+。，

.?」=-4+6,解得：。=5,、.?.直線方程為y=—+5

1

y=—x_

綜上，直線的方程為：-4或y=-x+5

d-士-0

18.（1）5&；（2）存在，（555人

->—>

->->2。+b

【解析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算求出2。+°,再利用向量的模長(zhǎng)公式即可求出；

—>—>—>—>—>—>

（2）由向量共線定理和向量的線性運(yùn)算得出OE=0A+AE=QA+fAB,從而得出。E的坐標(biāo)，再根據(jù)

—>—>

人以及向量的數(shù)量積，即可求出，的值，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo).

【詳解】⑴根據(jù)題意,得2。+【（2,-6,4）+（-2,1,1）=（0,-5,5）,故2.+Z-枷+（一5）+5-5后

（2）由于點(diǎn)E在直線4B上，則0E=0A+AE=0A+/A8,

9

由施立，則亦1=0,所以-2（-3+/）+（-1-。+（4-2/）=0,解得‘二二,

因此在直線AB上存在點(diǎn)E,使得°￡,牝此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為I55

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算和向量的模，考查向量的共線定理和向量的線性運(yùn)算，及向

量垂直運(yùn)算，考查學(xué)生運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

也

19.(1)證明見解析；(2)7.

【分析】(1)由線面垂直性質(zhì)得叨JAM,根據(jù)已知可證3。AM,再應(yīng)用線面、面面垂直的判定證

結(jié)論；

(2)AM與BD交于點(diǎn)E,連接PE,過(guò)點(diǎn)B作BH垂直于PE交其于點(diǎn)H,由面面垂直的性質(zhì)有BH，面

PAM,即BH的長(zhǎng)為B到面PAM的距離，等面積法求長(zhǎng)度即可.

【詳解】(1)因?yàn)榈酌鍭BC。，4Wu平面鉆8,所以

..ADrrAB小

t-tan==J2=-----=cot

底面為矩形，且PD=3=1,AD=4i,則ABBM

所以RSABDRtABMA,易知

又PDcBD=D,PD,BDu面PBD,所以平面以冷，而平面RAM,

所以平面以"，平面網(wǎng)3Z).

(2)設(shè)AM與BD交于點(diǎn)E,連接PE,過(guò)點(diǎn)B作BH垂直于PE交其于點(diǎn)H,

p

由①知，面%面PBD,面PW/C面P8￡)=PE,且W/u面P8。,

因此B”_L面PAM,線段BH的長(zhǎng)為點(diǎn)B到平面PAM的距離.

RH一百

S.,,FII^-BEPD^-PE-BHbn=--

由-22，解得7

也

因此點(diǎn)B到平面PAM的距離為7.

TIP

arccos10

20.⑴證明見詳解；(2):⑶3.

【分析】⑴由已知可證明AB"。和MN/",即可證明MN/",進(jìn)而得出結(jié)果;

(2)MNHCD、,所以NPRC即等于異面直線「A與MN所成角，在丫「℃中，求出各邊長(zhǎng)，用余弦定

理即可求出;

⑶根據(jù)已知可得，四邊形為梯形，SVMNB=3SVMAH,則％根據(jù)等體積法可知

%-2二九-",求出力*成，即可解出.

【詳解】(1)證明:

如圖1,連結(jié)MN、AB、CD,

由已知可得，AA=8C,所以四邊形為平行四邊形，則A8//CA

又M、N分別是G2、°C的中點(diǎn)，所以MN〃CD、,且MN-]CD\

所以“N〃AB,且出一5”,所以M、N、A、B四點(diǎn)共面.

(2)圖2

如圖2,連結(jié)。尸、IP、CP.

因?yàn)镃O,平面4DRA,DPu平面4。力必，所以CO_LOP.

因?yàn)椋?是AA的中點(diǎn)，所以PA=PA=1.

又Aq_LAA,所以PR=JA。2+RP-=J,同理op=石.

在Rt.PDC中，PC=〃>產(chǎn)+a>2=3又RC=yjDD：+DC2=20,

在“8中，有PC=3,*=2亞,PD、=也，

PD^+DC2-PC25+8-9V10

cos/PD[C=——!---!-t-------=-----==--

由余弦定理可得，2PDtDtC2xV5x2V210

又MNHCD,,所以異面直線02與MN所成角的大小即等于直線尸"與C"所成角的大小，即等于

/P“曬

Zr^C=arccos-j^-

(3)

如圖3MP.MB,PN,,NB

A4A7//4DMN='A、BA

因?yàn)镸N〃A8,且2，且M、N、4、B四點(diǎn)共面，

a/浦.pS~MNR=2xMN?hSVMAR=—xAB-/z

所以四邊形MNAB為梯形，設(shè)梯形高為〃，則2,2

心、ISVMNB=；*MN-h=；x；AB-h=；SVMA,B

所以2222.

設(shè)P到平面MNB即到平面MNA、B的距離為d,

r=TXSvMNB

則3

因?yàn)镃Q〃平面ABqA[,QB]_L平面ABB1%,MuCR,

所以M到平面ABBM的距離等于線段GA到平面A88M的距離C,B,=2

乂Sv仆=；xPA-A8=gxlx2=l所以丫…然=gxSvp”x2=；xlx2=|

v_lv_12_]_

所以，5AMM

CF11

arcsin—,arcsin

21.(1)證明詳見解析(2)存在，且CG2(3)3

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得