新高考數(shù)學一輪復習題型歸類與強化測試39數(shù)列求和2

專題39數(shù)列求和

知考綱要求

識

考點預測

梳

理常用結論

方法技巧

題題型一：分組轉化求和

型

題型二：錯位相減法求和

歸

類題型三：裂項相消法求和

訓練一：

培

訓練二：

優(yōu)

訓練三：

訓

練訓練四：

訓練五：

訓練六：

強

單選題：共8題

化

多選題：共4題

測

試填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前"項和公式.

2.掌握非等差數(shù)列，非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.

【考點預測】

數(shù)列求和的幾種常用方法

1.公式法

直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和.

(1)等差數(shù)列的前〃項和公式：

?n(ai+an),?(?-1)_,

S=—---------=nai-\--d.

n22

⑵等比數(shù)列的前"項和公式：

,q=L

S”="一。應’1(1—4"),

.\~q1-q

2.分組求和法與并項求和法

(1)若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和

后相加減.

(2)形如斯=(—lyys)類型，常采用兩項合并求解.

3.錯位相減法

如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和即

可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的.

4.裂項相消法

(1)把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.

(2)常見的裂項技巧

【常用結論】

1.1+2+3+4H——卜〃="(〃+1)

〃〃

2+22+…+〃2=n(+1)(2+1)

6

3.裂項求和常用的三種變形

1__L

(n(〃+1)

nn~\-1

(2)------------------------12n-\-1

(2//—1)(2〃+1)2

4.在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況

求解.

【方法技巧】

1.分組轉化法求和的常見類型

(1)若斯=s土以，且｛6〃｝,｛金｝為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求｛斯｝的前九項和.

An為奇數(shù)

(2)通項公式為斯=?一的數(shù)列，其中數(shù)列｛幻｝,匕"｝是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉化法

Cn,n為偶數(shù)

求和.

2.用錯位相減法求和的策略和技巧

(1)掌握解題“3步驟”

(2)注意解題“3關鍵”

①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形.

②在寫出“S,”與“qSj的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“S"—qS「的表達

式.

③在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比q=l和兩種情況求解.

3.裂項相消法求和的實質和解題關鍵

裂項相消法求和的實質是先將數(shù)列中的通項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目

的，其解題的關鍵就是準確裂項和消項.

①裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.

②消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.

［注意］利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注意求和時，正負項相消

消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項.

二、【題型歸類】

【題型一】分組轉化求和

【典例1】已知等差數(shù)列｛許｝的前〃項和為a,且關于x的不等式aix2-5zx+2<0的解集為(1,

2).

(1)求數(shù)列｛服｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛兒｝滿足bn=a2?+2a?-\,求數(shù)列｛bn｝的前n項和T?.

【典例2］已知數(shù)列｛a?｝的通項公式是念=23口+(—l)"(ln2—In3)+(—3,求其前n項

和S“.

【典例3］已知各項都不相等的等差數(shù)列｛斯｝,然=6,又0,。2,。4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛以｝的通項公式；

(2)設b?=2“"+(-1)%?求數(shù)列｛b?｝的前2"項和T2m

【題型二】錯位相減法求和

【典例1】設｛?！ǎ枪炔粸?的等比數(shù)列，為。2,。3的等差中項.

(1)求｛詼｝的公比;

(2)若01=1,求數(shù)列的前〃項和.

【典例2】已知數(shù)列他“｝的前〃項和為S”ai=-1,且4a+i=3S“一9MdN*).

(1)求數(shù)列｛?,｝的通項公式；

(2)設數(shù)列｛兒｝滿足36“+(〃―4)以=O(〃GN*),記也”｝的前〃項和為7k若4W心“,對任意〃dN*恒成立,求

實數(shù)力的取值范圍.

【典例3】在①&=2斯+1；②的=—1,log2(a“a〃+i)=2〃一l；③雇+1=斯斯+2,&=-3,6=

—4這三個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線上，并解答.

問題：已知單調數(shù)列｛斯｝的前〃項和為且滿足.

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)求數(shù)歹U｛—〃斯｝的前〃項和Tn.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【題型三】裂項相消法求和

【典例1】數(shù)列｛以｝的前〃項和為S”m=l.現(xiàn)在給你三個條件.①詼+1=2麗②5"=2°"+匕③S“=2"+無從

上述三個條件中.選一個填在下面問題的橫線上，并完成后面問題的解答.

已知，若，”=log2a”+i,｛6〃｝的前n項和為Tn.

(1)求Tn；

(2)求證：數(shù)列“的前〃項和4<2.

【典例2】數(shù)列｛。“｝滿足。1=1,7點+2=。”+1(〃GN*).

(1)求證：數(shù)列｛忌｝是等差數(shù)列，并求出｛斯｝的通項公式；

(2)若Z>?=—f—,求數(shù)列｛b?｝的前〃項和.

2

【典例3］在①數(shù)列的前n項和51?=1?+|?；②加一斯一晶.1一斯_i=0(〃N2N*)，an

>0，且ai=Z>2這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的"存在,求出河

的最小值；若/不存在，說明理由.

’1、

數(shù)列｛兒｝是首項為1的等比數(shù)列，bn>062+63=12，且>設數(shù)列anlog3bn+\.的

前〃項和為Tn>是否存在/?N*，使得對任意的〃?N*，Tn<M?

三、［培優(yōu)訓I練］

【訓練一】［校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.

規(guī)格為20dmX12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dmX12dm,20dmX6dm兩種規(guī)

格的圖形，它們的面積之和S=240dm2,對折2次共可以得到5dmX12dm,10dmX6dm,

20dmX3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和§2=180dn?,以此類推，則對折4次共可以

n

得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對折〃次，那么？科=dm2.

【訓練二】已知數(shù)列/二方『,￡方看,￡L］或金…(其中第一項是以‘接下來

的22—1項是2W'會，再接下來的23—1項是「|\',依此類推)'其前n項和

為出，則下列判斷正確的是()

210—1

是｛斯｝的第2036項

B.存在常數(shù)M，使得恒成立

C.52036=1018

D.滿足不等式y(tǒng)>1019的正整數(shù)〃的最小值是2100

【訓練三】已知等差數(shù)列｛斯｝中，05—03=4,前〃項和為S“，且S2,邑一1,S4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)令d=(—1)TJ求數(shù)列｛b?｝的前n項和Tn.

【訓練四】在等差數(shù)列｛斯｝中，已知06=12,418=36.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式。“；

(2)若,求數(shù)列｛瓦｝的前〃項和S”

在①兒=^^,②6“=(-1產(chǎn)a,”③兒=2%?a”這三個條件中任選一個補充在第(2)問中，并對其求解.

【訓練五】已知數(shù)列｛為｝是正項等比數(shù)列,滿足“3是2對,3放的等差中項,04=16.

(1)求數(shù)列｛?！埃耐椆剑?/p>

(2)若C=(-l)"log2a2"+1,求數(shù)列｛?。那啊椇蚑n.

【訓練六】已知｛為｝為等差數(shù)列,｛兒｝為等比數(shù)列，01=61=1,45=5(<24—。3),65=4(64—63).

⑴求。｝和仇｝的通項公式；

(2)記｛4”｝的前〃項和為求證：S5+2〈忌+1(〃GN*)；

⑶對任意的正整數(shù)〃，設c〃=

.(3a〃-2)〃為奇數(shù)，

a”斯+2

—,〃為偶數(shù)，

b“+1

求數(shù)列｛c“｝的前2〃項和.

四、【強化測試】

【單選題】

1.數(shù)列｛斯｝的通項公式是a“=(—1)"(2〃-1),則該數(shù)列的前100項之和為()

A.-200B.-100C.200

2.已知數(shù)列｛斯｝滿足斯+1一。"=2,ai=—5,則⑶|+|a21H--卜|熊|=()

A.9B.15C.18

3.我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏.次第每人多十

七，要將第八數(shù)來言.務要分明依次第，孝和休惹外人傳意為：“996斤棉花，分別贈送給8

個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止.分配時一定

要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話.”在這個問題中，第8個孩

子分到的棉花為（）

斤斤

斤斤

4.在數(shù)列｛念｝中，若41=1,42=3,斯+2=.+1—斯（〃七N*）,則該數(shù)列的前100項之和是（）

A.18B.8C.5

5.已知函數(shù)人x）=〃+6（a>0,且的圖象經(jīng)過點P（l,3）,0（2,5）.當〃6N*時，0=人：,二口,記

數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S,,當a=熱，〃的值為（）

A.7B.6

C.5D.4

6.在數(shù)列｛斯｝中，若“1=1,42=3,an+2=an+i—an（neN*）,則該數(shù)列的前100項之和是（）

A.18B.8

C.5D.2

7.已知數(shù)列｛服｝滿足m=2,4a3=然，是等差數(shù)列，則數(shù)列｛（一1）"斯｝的前10項的和$0是（）

A.220B.110

C.99D.55

8.數(shù)列｛斯｝滿足劭+1=（—1）"+%〃+2〃一1，則數(shù)列｛為｝的前48項和為（）

A.1006B.1176

C.1228D.2368

【多選題】

9.設出是數(shù)列｛詼｝的前〃項和，且ai=—1，a”+i=SS+i，則（）

A.數(shù)列H為等差數(shù)列

B.S=--

nn

—1577=1，

C-%=-1——i，〃三2，“GN+

n~\n

111

Dn.------_i1-_------_L1-----?H-〃-----1-

S1S2S2s3Sn-lSn〃

10.已知數(shù)列｛呢｝為等差數(shù)列，首項為1，公差為2.數(shù)列｛兒｝為等比數(shù)列，首項為1，公比為2.

設c?=abn-Tn為數(shù)列｛c?｝的前〃項和，則當Tn<2019時，〃的取值可能是()

A.8B.

C.10D.11

已知數(shù)列｛〃｝：［，

11.a-F—+---1-----…，若兒=—"—,設數(shù)歹U

23344410101010an-a?+i

｛兒｝的前"項和S”則()

._n?

——D.dn—77

〃+17?+1

12.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為和，且有(。1+。2+…+念)斯=(。1+。2+…+斯一1)斯+i(〃N25n

'1,

￡N*)，m=42=1.數(shù)列［log2s〃+1?log2sMi的前〃項和為A，則以下結論正確的是()

A.an=\B.S〃=2"—1

n—I—1

C.Tn=—D.｛T〃｝為增數(shù)列

n+3

【填空題】

13.已知數(shù)列｛斯｝的首項為-1,奧斯+1=—2",則數(shù)列｛念｝的前10項之和等于.

14.已知數(shù)列｛詼｝滿足ai=1,且&+1+勿=〃-1009(〃WN*),則其前2021項之和82021=

15.已知數(shù)列｛〃斯｝的前〃項和為S?,且an=2",且使得〃斯+1+500的最小正整數(shù)〃的值

為.

16.設數(shù)列｛。“｝的前力項和為S”且內=1,即+即+1=￡("=1,2,3,…)，則S20-1=.

【解答題】

17.已知在等差數(shù)列｛斯｝中，S”為其前〃項和,且的=5,5