第二十天萬(wàn)有引力理論的成就

第二十天：萬(wàn)有引力理論的成就萬(wàn)有引力定律的內(nèi)容的考點(diǎn)：1、預(yù)言彗星的回歸，發(fā)現(xiàn)未知天體；2、根據(jù)已知量計(jì)算出天體的質(zhì)量；3、計(jì)算中心天體的質(zhì)量和密度；4、已知近地表運(yùn)行周期求密度；5、已知地月/衛(wèi)系統(tǒng)常識(shí)可以求出的物理量；6、不同緯度的重力加速度；7、其他星球表面的重力加速度；8、在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度；9、天體自轉(zhuǎn)對(duì)自身結(jié)構(gòu)及表面g的影響；10、不計(jì)自轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力與地球表面的重力加速度。知識(shí)點(diǎn)1：萬(wàn)有引力理論的成就一、“稱(chēng)量”地球的質(zhì)量解決思路：若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的引力。解決方法：mg＝Geq\f(mm地,R2)。得到的結(jié)論：m地＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可計(jì)算出地球的質(zhì)量。知道某星球表面的重力加速度和星球半徑，可計(jì)算出該星球的質(zhì)量。二、計(jì)算天體的質(zhì)量解決思路：質(zhì)量為m的行星繞陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，行星與太陽(yáng)間的萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力。解決方法：eq\f(Gmm太,r2)＝meq\f(4π2,T2)r。得到的結(jié)論：m太＝eq\f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G，行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r就可以計(jì)算出太陽(yáng)的質(zhì)量。已知引力常量G，衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的周期和衛(wèi)星與行星之間的距離，可計(jì)算出行星的質(zhì)量。運(yùn)用萬(wàn)有引力定律，不僅可以計(jì)算太陽(yáng)的質(zhì)量，還可以計(jì)算其他天體的質(zhì)量。以地球質(zhì)量，月球的已知量為例，介紹幾種計(jì)算天體質(zhì)量的方法。已知量求解方法質(zhì)量的求解公式月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，半徑為r根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，得月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和月球運(yùn)行的線(xiàn)速度v地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的向心力，得月球運(yùn)行的線(xiàn)速度v和運(yùn)行周期T地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的向心力，得和兩式消去r，解得：地球的半徑R和地球表面的重力加速度g物體的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力，得三、天體密度的計(jì)算類(lèi)型分析方法已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，則天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)，結(jié)合ρ＝eq\f(M,V)和V＝eq\f(4,3)πR3，可得天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。已知衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r。由于Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，則中心天體質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)，結(jié)合ρ＝eq\f(M,V)和V＝eq\f(4,3)πR3，可得天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)（只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度）。四、發(fā)現(xiàn)未知天體海王星的發(fā)現(xiàn)：英國(guó)劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國(guó)年輕的天文學(xué)家勒維耶根據(jù)天王星的觀(guān)測(cè)資料，利用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出天王星外“新”行星的軌道。1846年9月23日，德國(guó)的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星，人們稱(chēng)其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”。這就是海王星。其他天體的發(fā)現(xiàn)：海王星的軌道之外殘存著太陽(yáng)系形成初期遺留的物質(zhì)，近100年來(lái)，人們發(fā)現(xiàn)了冥王星、鬩神星等幾個(gè)較大的天體。五、預(yù)言哈雷彗星回歸英國(guó)天文學(xué)家哈雷計(jì)算了1531年、1607年和1682年出現(xiàn)的三顆彗星的軌道，他大膽預(yù)言這三顆彗星是同一顆星，周期約為76年，并預(yù)言了這顆彗星再次回歸的時(shí)間。1759年3月這顆彗星如期通過(guò)了近日點(diǎn)，它最近一次回歸是1986年，它的下次回歸將在2061年左右。六、一些重要的知識(shí)1、解決天體(衛(wèi)星)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本思路天體運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源于天體之間的萬(wàn)有引力，即；在中心天體表面或附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg(g表示天體表面的重力加速度)；若已知星球表面的重力加速度g′和星球的半徑，忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，則星球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力等于物體的重力，有，所以；若已知環(huán)繞中心天體運(yùn)動(dòng)的行星(或衛(wèi)星)繞恒星(或行星)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，半徑為r，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可知：，得恒星或行星的質(zhì)量。解決天體質(zhì)量和密度的估算問(wèn)題的兩點(diǎn)注意：考點(diǎn)1：預(yù)言彗星的回歸，發(fā)現(xiàn)未知天體1．（2021下·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，下列說(shuō)法符合史實(shí)和事實(shí)的是（）A．天文學(xué)家第谷通過(guò)艱苦的觀(guān)測(cè)，總結(jié)出行星運(yùn)動(dòng)三大定律B．開(kāi)普勒進(jìn)行“月—地檢驗(yàn)”，并總結(jié)出了天上、地上物體所受的引力遵從相同的規(guī)律C．牛頓通過(guò)扭秤實(shí)驗(yàn)結(jié)合“理想模型”物理思想測(cè)得引力常量GD．海王星是亞當(dāng)斯和勒維耶各自獨(dú)立研究推算出來(lái)的，后人稱(chēng)其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”【答案】D【詳解】A．天文學(xué)家開(kāi)普勒通過(guò)艱苦的觀(guān)測(cè)，總結(jié)出行星運(yùn)動(dòng)三大定律，故A錯(cuò)誤；B．牛頓進(jìn)行“月—地檢驗(yàn)”，并總結(jié)出了天上、地上物體所受的引力遵從相同的規(guī)律。故B錯(cuò)誤；C．卡文迪許通過(guò)扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)量出引力常量G，故C錯(cuò)誤；D．海王星是亞當(dāng)斯和勒維耶各自獨(dú)立研究推算出來(lái)的，后人稱(chēng)其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”，故D正確；故選D?？键c(diǎn)2：根據(jù)已知量計(jì)算出天體的質(zhì)量；2．（2023下·廣東汕尾·高一統(tǒng)考期末）已知地球的半徑約為，地球表面的重力加速度約為，引力常量約為，則地球的質(zhì)量約為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體在地球表面的重力約等于萬(wàn)有引力，即解得故選C?？键c(diǎn)3：計(jì)算中心天體的質(zhì)量和密度；3．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）我國(guó)“嫦娥二號(hào)”可視為在月球表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)。已知引力常量，要測(cè)定月球的密度，僅僅需要（）A．測(cè)定飛船的運(yùn)行周期B．測(cè)定飛船的環(huán)繞半徑C．測(cè)定月球的體積D．測(cè)定飛船的運(yùn)行速度【答案】A【詳解】A．當(dāng)測(cè)定飛船在月球表面附近的運(yùn)行周期T時(shí)，設(shè)月球半徑為R，飛船受到月球的萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律可得月球的質(zhì)量則月球的密度可見(jiàn)月球的密度可以測(cè)定，故A正確；B．測(cè)定飛船的環(huán)繞半徑，即已知月球的半徑，但月球的質(zhì)量未知，故無(wú)法求出月球的密度，故B錯(cuò)誤；C．測(cè)定月球的體積，但月球的質(zhì)量未知，故無(wú)法求出月球的密度，故C錯(cuò)誤；D．測(cè)定飛船的速度，由飛船受到月球的萬(wàn)有引力提供向心力，有可得月球的質(zhì)量月球的密度為由于月球的半徑未知，故無(wú)法求出月球的密度，故D錯(cuò)誤。故選A?？键c(diǎn)4：已知近地表運(yùn)行周期求密度；4．（2023下·浙江寧波·高一余姚中學(xué)校考階段練習(xí)）若某載人宇宙飛船繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，由于地球遮擋，宇航員發(fā)現(xiàn)有時(shí)間會(huì)經(jīng)歷“日全食”過(guò)程，如圖所示，已知引力常量為G，太陽(yáng)光可看作平行光，則地球的平均密度為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)地球質(zhì)量為M，飛船運(yùn)動(dòng)半徑為r，對(duì)飛船研究可知解得由幾何關(guān)系可知?jiǎng)t地球密度解得故選C?？键c(diǎn)5：已知地月/衛(wèi)系統(tǒng)常識(shí)可以求出的物理量；5．（2021下·陜西西安·高一校考期中）2019年1月3日，“嫦娥四號(hào)”月球探測(cè)器成功登陸月球背面，人類(lèi)首次實(shí)現(xiàn)了月球背面的軟著陸。已知月球表面重力加速度g，月球半徑R，引力常量G，則（）A．月球的質(zhì)量為B．月球的第一宇宙速度為C．近月衛(wèi)星的角速度為D．近月衛(wèi)星的周期為【答案】B【詳解】A．在月球表面有解得A錯(cuò)誤；B．月球的第一宇宙速度等于近月衛(wèi)星的環(huán)繞速度，則有結(jié)合上述解得B正確；C．對(duì)近月衛(wèi)星有結(jié)合上述解得C錯(cuò)誤；D．近月衛(wèi)星的周期結(jié)合上述解得D錯(cuò)誤。故選B?？键c(diǎn)6：不同緯度的重力加速度；6．（2023下·遼寧大連·高一育明高中?？计谥校┰O(shè)宇宙中有一自轉(zhuǎn)角速度為，半徑為R、質(zhì)量分布均勻的小行星。在小行星上用彈簧測(cè)力計(jì)稱(chēng)量某一質(zhì)量為m的物塊，在極點(diǎn)處彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為F，此處重力加速度大小為；在赤道處彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為，此處重力加速度大小為，則下列關(guān)系式正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】在極點(diǎn)處有在赤道處有根據(jù)萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系有解得，故選B?？键c(diǎn)7：其他星球表面的重力加速度；7．（2023下·廣東茂名·高一茂名市第一中學(xué)?？计谀┨煳膶W(xué)家發(fā)現(xiàn)遙遠(yuǎn)星空中的某顆半徑為R繞通過(guò)兩極的軸自轉(zhuǎn)的行星兩極處的重力加速度為g，而赤道處的重力加速度為兩極處重力加速度的，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于該行星兩極處的物體m，可得對(duì)于赤道處的物體m′，可得解得該行星自轉(zhuǎn)的角速度為故選B?？键c(diǎn)8：在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度；8．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考一模）2021年10月16日神舟十三號(hào)飛船順利將3名航天員送入太空，并與天和核心艙對(duì)接。已知核心艙繞地球運(yùn)行近似為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，離地面距離約為390km，地球半徑約為6400km，地球表面的重力加速度g取10m/s2，下列說(shuō)法正確的是（）A．核心艙的向心加速度小于gB．核心艙運(yùn)行速度大于7.9km/sC．由題干條件可以求出地球的質(zhì)量D．考慮到稀薄大氣的阻力，無(wú)動(dòng)力補(bǔ)充，核心艙的速度會(huì)越來(lái)越小【答案】A【詳解】A．核心艙所處的重力加速度為，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律而在地面處由于核心艙做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，核心艙在該處的萬(wàn)有引力提供向心力，重力加速度等于向心加速度，因此向心加速度小于g，A正確；B．根據(jù)可知軌道半徑越大，運(yùn)行速度越小，在地面處的運(yùn)行速度為7.9km/s，因此在該高度處的運(yùn)行速度小于7.9km/s，B錯(cuò)誤；C．根據(jù)從題干信息無(wú)法知道G的值，因此無(wú)法求出地球的質(zhì)量，C錯(cuò)誤；D．考慮到稀薄大氣的阻力，無(wú)動(dòng)力補(bǔ)充，核心艙逐漸做近心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑逐漸減小，運(yùn)行速度會(huì)越來(lái)越大，D錯(cuò)誤。故選A?？键c(diǎn)9：天體自轉(zhuǎn)對(duì)自身結(jié)構(gòu)及表面g的影響；9．（2023下·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）2020年9月，我國(guó)明確提出2030年“碳達(dá)峰”與2060年“碳中和”目標(biāo)。人類(lèi)社會(huì)的快速進(jìn)步使得碳排放量不斷增加，這導(dǎo)致溫室效應(yīng)加劇，地球南北兩極的生態(tài)環(huán)境遭到一定的破壞。一頭質(zhì)量為的北極熊在失去家園后，被運(yùn)送到了位于赤道上的北極熊館加以照料，它在北極和館內(nèi)的重力差為。已知地球自轉(zhuǎn)周期為。根據(jù)以上信息，可求出地球的半徑為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】北極熊在赤道上時(shí)，萬(wàn)有引力的一部分提供向心力北極熊在北極上時(shí)根據(jù)題意，有A正確，BCD錯(cuò)誤。故選A?？键c(diǎn)10：不計(jì)自轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力與地球表面的重力加速度。10．（2021·全國(guó)·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）卡文迪許用扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)定了引力常量，不僅用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了萬(wàn)有引力定律的正確性，而且應(yīng)用引力常量還可以測(cè)出地球的質(zhì)量，卡文迪許也因此被稱(chēng)為“能稱(chēng)出地球質(zhì)量的人”。已知引力常量，地面上的重力加速度，地球半徑，則地球質(zhì)量約為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)公式可得故選D。多選題11．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）為了驗(yàn)證拉住月球使它圍繞地球運(yùn)動(dòng)的力與拉著蘋(píng)果下落的力是同一性質(zhì)的力，同樣遵從平方反比定律，牛頓進(jìn)行了著名的“月—地檢驗(yàn)”。已知月地之間的距離為60R（R為地球半徑），月球圍繞地球公轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，引力常量為G。則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．由題中信息可以計(jì)算出地球的密度為B．由題中信息可以計(jì)算出月球繞地球公轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度大小為C．月球繞地球公轉(zhuǎn)的向心加速度是在地面附近重力加速度的D．物體在月球軌道上受到的地球引力是其在地面附近受到的地球引力的【答案】ABD【詳解】A．由萬(wàn)有引力提供向心力可得地球的體積為由題意知，月球的軌道半徑r＝60R，地球的密度為A錯(cuò)誤；B．由題中信息可以計(jì)算出月球繞地球公轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度大小為B錯(cuò)誤；C．由黃金代換，有可知，月球繞地球公轉(zhuǎn)的向心加速度與軌道半徑的平方成反比，有C正確；D．由萬(wàn)有引力公式可知，物體在月球軌道上受到的地球引力是其在地面附近受到的地球引力的，D錯(cuò)誤。本題選擇錯(cuò)誤選項(xiàng)。故選ABD。12．（2023下·湖北·高一赤壁一中校聯(lián)考期中）行星外圍有一圈厚度為的發(fā)光帶（發(fā)光的物質(zhì)），簡(jiǎn)化為如圖所示模型，為該行星除發(fā)光帶以外的半徑?，F(xiàn)不知發(fā)光帶是該行星的組成部分還是環(huán)繞該行星的衛(wèi)星群，某科學(xué)家做了精確的觀(guān)測(cè)，發(fā)現(xiàn)發(fā)光帶繞行星中心的運(yùn)行速度與到行星中心的距離的倒數(shù)之間關(guān)系如圖所示（圖線(xiàn)斜率為已知量），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．發(fā)光帶是該行星的組成部分 B．該行星的質(zhì)量C．行星表面的重力加速度 D．該行星的平均密度為【答案】BC【詳解】A．若發(fā)光帶是該行星的組成部分，則其角速度與行星自轉(zhuǎn)角速度相同，應(yīng)有與應(yīng)成正比，與圖像不符，因此發(fā)光帶不是該行星的組成部分，故A錯(cuò)誤；B．設(shè)發(fā)光帶是環(huán)繞該行星的衛(wèi)星群，由萬(wàn)有引力提供向心力，則有得該行星的質(zhì)量為又圖像的斜率為聯(lián)立可得故B正確；C．當(dāng)時(shí)，有得行星表面的重力加速度為故C正確；D．該行星的平均密度為故D錯(cuò)誤。故選BC。13．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）月球繞地球的運(yùn)動(dòng)可以近似看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，月球中心到地心的距離為r，引力常量為G，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，則（）A．地球的質(zhì)量為 B．月球的質(zhì)量為C．月球表面的重力加速度為 D．月球運(yùn)動(dòng)的加速度為【答案】AD【詳解】A．根據(jù)解得地球的質(zhì)量為故A正確；B．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得地球的質(zhì)量為故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得月球繞地球運(yùn)動(dòng)的加速度為故C錯(cuò)誤；D．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力解得月球運(yùn)動(dòng)的加速度為故D正確。故選AD。14．（2021下·甘肅金昌·高一金昌市金川高級(jí)中學(xué)?？计谥校┘僭O(shè)在半徑為R的某天體發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，若它貼近天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，已知引力常量為G，該天體表面的重力加速度為g，不考慮天體自轉(zhuǎn)的影響，下列關(guān)于該天體密度ρ正確的是（）A．ρ= B．ρ= C．ρ= D．ρ=【答案】AC【詳解】由題意可得解得則天體密度或者故選AC。15．（2023·廣東清遠(yuǎn)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，周期為T(mén)。已知火星的半徑為R，火星的第一宇宙速度為v1，引力常量為G，則（）A．火星的質(zhì)量為B．火星的密度為C．火星表面的重力加速度為D．停泊軌道的半長(zhǎng)軸為【答案】BD【詳解】A．設(shè)火星的質(zhì)量為M，天問(wèn)一號(hào)的質(zhì)量為m，當(dāng)天問(wèn)一號(hào)繞火星表面運(yùn)行時(shí)，有可得A錯(cuò)誤；B．又因?yàn)榻獾没鹦堑拿芏菳正確；C．根據(jù)牛頓第二定律得火星表面的重力加速度C錯(cuò)誤；D．設(shè)停泊軌道的半長(zhǎng)軸為a，由開(kāi)普勒第三定律有又因?yàn)榻獾肈正確。故選BD。16．（2021下·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會(huì)隨緯度的變化而有所不同．已知地球表面兩極處的重力加速度大小為，在赤道處的重力加速度大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。下列說(shuō)法正確的是（）A．質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的重力大小為mgB．質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到的萬(wàn)有引力大小為mgC．地球的半徑為D．地球的密度為【答案】CD【詳解】A．質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的地球引力等于其重力，大小為mg0，A錯(cuò)誤；B．質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到的萬(wàn)有引力大小等于其在地球兩極受到的萬(wàn)有引力，大小為mg0，B錯(cuò)誤；C．設(shè)地球半徑為R，在地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)物體的質(zhì)量為m，由牛頓第二定律可得C正確；

D．設(shè)地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，質(zhì)量為m的物體在地球表面兩極處受到的地球引力等于其重力，可得又則有D正確。故選CD。解答題17．（2023下·北京大興·高一北京八十中統(tǒng)考期中）2021年2月10日19時(shí)52分，我國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器實(shí)施近火捕獲制動(dòng)，成功實(shí)現(xiàn)環(huán)繞火星運(yùn)動(dòng)，成為我國(guó)第一顆人造火星衛(wèi)星。在“天問(wèn)一號(hào)”環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，距火星表面的高度為h，周期為。已知火星的半徑為R，引力常量為G，不考慮火星自轉(zhuǎn)的影響。