《勾股定理》示范公開(kāi)課教學(xué)設(shè)計(jì)【八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)】

《勾股定理》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.了解勾股定理的文化歷史背景，經(jīng)歷勾股定理的探究、證明過(guò)程．2.能用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】探索并證明勾股定理．【教學(xué)難點(diǎn)】勾股定理的探究和證明．教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課同學(xué)們，2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在我國(guó)的北京召開(kāi)，下圖就是這一屆大會(huì)會(huì)徽的圖案.請(qǐng)你仔細(xì)的觀察這副圖案，說(shuō)一說(shuō)，它是由哪些基本圖形組成的？生：四個(gè)直角三角形和正方形組成的師：直角三角形與正方形是我們生活當(dāng)中比較常見(jiàn)的基本圖形，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)直角三角形兩角之間的關(guān)系，兩個(gè)銳角互余，今天這節(jié)課來(lái)研究直角三角形三邊之間的特殊關(guān)系評(píng)析：本節(jié)課由國(guó)際數(shù)學(xué)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生的興趣，引入新課教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)會(huì)徽?qǐng)D案是由直角三角形、正方形組成.引出本節(jié)內(nèi)容是研究直角三角形三邊之間的某種特殊關(guān)系.二、探究新知問(wèn)題1：相傳2500多年前，畢達(dá)哥拉斯從地磚圖案中發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊之間的某種數(shù)量關(guān)系．我們也來(lái)觀察一下這副示意圖，我把地磚的顏色給隱藏，可以清楚的發(fā)現(xiàn)圖中每個(gè)小三角形都是等腰直角三角形，假設(shè)每個(gè)小等腰直角三角形的面積為1．問(wèn)題1：圖中三個(gè)正方形A,B,C的面積分別是多少？三個(gè)面積之間有什么等量關(guān)系？接下來(lái)，在網(wǎng)格圖中畫(huà)出一個(gè)任意的直角三角形，像剛才的示意圖一樣，以這個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作出三個(gè)正方形，分別記為A,B,C,假設(shè)圖中每個(gè)小正方形的面積為1.問(wèn)題1：正方形A的面積為？正方形B的面積為？正方形C的面積呢？追問(wèn)：如何求正方形C的面積呢？師：通過(guò)古希臘數(shù)學(xué)家在朋友家做客，發(fā)現(xiàn)朋友家的地板磚三邊之間的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)圖中觀察正方形內(nèi)的三角形是什么三角形？生：等腰直角三角形師：假設(shè)每個(gè)小的等腰直角三角形的面積為1，請(qǐng)同學(xué)們思考A、B、C三角形的面積各位多少？生：正方形A與B的面積為2，正方形C的面積為4師：繼續(xù)思考正方形A、B、C面積之間有怎樣的等量關(guān)系？生：正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積師：這個(gè)結(jié)論在等腰直角三角形的前提下成立，反問(wèn)在一個(gè)任意的直角三角形當(dāng)中是否還成立呢?生：猜想成立問(wèn)題2：三個(gè)正方形A，B，C面積之間有什么關(guān)系？SA+SB=SC下面，我把這幅示意圖中的三個(gè)正方形推開(kāi)，把這個(gè)直角三角形的三邊記為a，b，c，直角三角形三邊之間有什么關(guān)系呢？得出猜想：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.CCBAbac問(wèn)題：c的平方可以表示為什么圖形的面積？師：給出任意的直角三角形以各個(gè)邊向外作正方形A、B、C,假設(shè)每個(gè)小正方形面積都為1，思考正方形A、B、C的面積為多少？生：正方形A的面積為16，正方形B的面積為9正方形C的面積為25師：請(qǐng)學(xué)生解釋一下正方形C的面積為什么為25？生：正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積師:這個(gè)規(guī)律剛剛是在等腰直角三角形當(dāng)中得到的，這個(gè)三角形是一般的直角三角形，這個(gè)結(jié)論還能用嗎？生：不能師：如何來(lái)求正方形C的面積呢？請(qǐng)同學(xué)們思考一下生：使用割的辦法來(lái)求正方形C的面積，把正方形C切割成4個(gè)直角三角形+一個(gè)正方形得到正方形C的面積為25師：請(qǐng)思考一下還有沒(méi)有其他辦法？生：補(bǔ)上4個(gè)小的直角三角形，通過(guò)大的正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積師：這兩種方法都可以求出正方形C的面積，統(tǒng)稱為“割補(bǔ)法”師：通過(guò)正方形A、B、C的面積數(shù)據(jù)，有什么等量關(guān)系？你們能得出什么結(jié)論？生：正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積師：把直角三角形的三邊記為a、b、c，能否由上面的等式推出直角三角形三邊之間的等量關(guān)系？生：因?yàn)镾A+SB=SC,所以a2+b2=c2師：那個(gè)同學(xué)能夠用文字語(yǔ)言來(lái)表達(dá)一下呢？生：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方師：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2，這個(gè)結(jié)論是在網(wǎng)格圖當(dāng)中得到，去掉網(wǎng)格，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？評(píng)析：由地磚中存在的特殊示意圖導(dǎo)入，發(fā)現(xiàn)圍成等腰直角三角形的三個(gè)正方形面積之間存在特殊的數(shù)量關(guān)系.在正方形的網(wǎng)格圖中進(jìn)一步研究這個(gè)示意圖，由特殊的直角三角形過(guò)渡到一般的直角三角形，面積之間也存在特殊的數(shù)量關(guān)系.問(wèn)題1中，教師提出問(wèn)題，讓學(xué)生自己獨(dú)立觀察圖形，分析數(shù)據(jù)，思考其中隱含的規(guī)律．得出結(jié)論：在等腰直角三角形的前提條件下，從這幅示意圖中可以得出小正方形A，B的面積之和等于大正方形C的面積．學(xué)生很容易通過(guò)數(shù)格子的方法答出正方形A和正方形B的面積.難點(diǎn)是求由斜邊所作的正方形C的面積.動(dòng)手實(shí)踐，驗(yàn)證猜想拼圖活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們拿出課前老師分發(fā)的四個(gè)直角三角形,拼一拼，擺一擺，看能否得到一個(gè)含有邊長(zhǎng)為c的正方形.請(qǐng)同學(xué)上臺(tái)展示他們的拼圖結(jié)果。這兩種拼法滿足我們的要求含有邊長(zhǎng)為c的正方形嗎？其實(shí)這兩種拼法還有一定的內(nèi)在聯(lián)系.下面，我將第一種拼法中邊長(zhǎng)為c的正方形標(biāo)記出來(lái)，從面積的角度可以得出什么樣的等量關(guān)系？追問(wèn)：小正方形的邊長(zhǎng)怎么表示？我們借助于這種拼圖里存在的面積之間的等量關(guān)系，從而得到直角三角形三邊之間的特殊關(guān)系.請(qǐng)同學(xué)們借助于第二種拼法，獨(dú)立的完成第二種拼法的證明.勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.CBAbac幾何語(yǔ)言：在Rt△ABC中，CBAbac師：如何通過(guò)證明這個(gè)猜想呢？通過(guò)課前準(zhǔn)備的4個(gè)直角三角形讓學(xué)生擺一擺拼一拼看你能否得到一個(gè)以邊長(zhǎng)為c的正方形，通過(guò)拼圖活動(dòng)讓學(xué)生動(dòng)手拼一個(gè)邊長(zhǎng)為C的正方形，得到兩種拼法師：通過(guò)面積之間的等量關(guān)系S小正方形=S大正方形-4S直角三角形得到a2+b2=c2通過(guò)證明推出它是正確的，那就是定理師：用另外一種拼圖辦法同樣也能推出這個(gè)定理a2+b2=c2這兩種拼法之間還有一定的聯(lián)系，當(dāng)把第一種拼法向內(nèi)翻折就得到了第二種拼法，當(dāng)把第二種拼法向外翻折就得到第一種拼法，現(xiàn)在我們能夠運(yùn)用兩種方法證明a2+b2=c2在古代我們把這個(gè)定理叫作勾股定理三、例題講解例1求出下列直角三角形中未知的邊:例2如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形.求圖中字母所代表的正方形的面積．四、鞏固新知練習(xí)1已知3和4是直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊的長(zhǎng).解：設(shè)第三邊的長(zhǎng)為x(x>0).①當(dāng)3為斜邊時(shí)，因?yàn)?小于4，所以此直角三角形不存在;②當(dāng)4為斜邊時(shí)，由勾股定理得，32＋x2＝42,解得x＝;③當(dāng)x為斜邊時(shí)