四川省雅安市2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題(含答案)

屆高三數(shù)學(xué)試題（文科）考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分。考試時(shí)間120分鐘。2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上。3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容。第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則B中元素的最小值為（）A.-16 B.-8 C.-2 D.322.若向量，，，則（）A. B. C. D.3.若圓C：與圓D：外切，則（）A.2 B.3 C.4 D.54.設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若復(fù)數(shù)的實(shí)部為4，則點(diǎn)的軌跡是（）A.短軸長(zhǎng)為4的橢圓 B.實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線C.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓 D.虛軸長(zhǎng)為4的雙曲線6.函數(shù)是（）A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的奇函數(shù)C.最小正周期為的偶函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)7.設(shè)的整數(shù)部分為，則數(shù)列的前30項(xiàng)和為（）A.465 B.466 C.467 D.4688.若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A. B. C. D.9.一質(zhì)點(diǎn)的速度（單位：m/s）與時(shí)間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系式，其中為常數(shù).當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)加速度為8m/s2，則當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)加速度為（）A.28m/s2 B.26m/s2 C.32m/s2 D.24m/s210.已知函數(shù)，，則（）A.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有2個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)11.的最小值為（）A. B.5 C. D.612.在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，與底面所成的角分別為，，且，則（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.一組樣本數(shù)據(jù)12，15，12，13，18，10，16，19，15，12的眾數(shù)為_____________，中位數(shù)為____________.14.若x，y滿足約束條件則的取值范圍是____________.15.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的座位要進(jìn)行調(diào)整，且四位同學(xué)的座位就在他們四人之間隨機(jī)調(diào)整（每人不能坐回自己的原位），則調(diào)整座位之后，甲和乙的座位恰好交換的概率為____________16.已知定義在上的函數(shù)滿足，，則___________.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）已知甲社區(qū)有120人計(jì)劃去四川旅游，他們每人將從峨眉山與青城山中選擇一個(gè)去旅游，將這120人分為東、西兩小組，兩組的人數(shù)相等，已知東小組中去峨眉山的人數(shù)是去青城山人數(shù)的兩倍，西小組中去峨眉山的人數(shù)比去青城山的人數(shù)少10.（1）完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān)；去峨眉山旅游去青城山旅游合計(jì)東小組西小組合計(jì)（2）判斷是否有99%的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān)，說(shuō)明你的理由.參考公式：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，.（1）求A；（2）若D為邊上一點(diǎn)，且，證明：外接圓的周長(zhǎng)為.19.（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若以為直徑的球的表面積為，求三棱錐的體積.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間;(2)定義表示不超過的最大整數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明:有兩個(gè)零點(diǎn)，，并求的值.參考數(shù)據(jù):，，.21.（12分）雙曲線：上一點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)的距離之差為6.（1）求的方程.（2）已知，，過點(diǎn)（5，0）的直線與交于M，N（異于A，B）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)P，試問點(diǎn)P到直線的距離是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分.22.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，曲線M的方程為，曲線N的方程為，其中m為常數(shù).（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，求曲線M與N的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，曲線M與N的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)C的極坐標(biāo)為，若的重心G的極角為，求的值.23.[選修4—5：不等式選講]（10分）已知.（1）若，求b的取值范圍；（2）求的最大值.2024屆高三數(shù)學(xué)試題參考答案（文科）1.A【解析】本題考查集合中的元素，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)..2.A【解析】本題考查平面向量的共線問題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).因?yàn)?，所以，解?3.C【解析】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查直觀想象的核心素養(yǎng).依題意可得，解得.4.D【解析】本題考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系與充分必要條件的判定，考查空間想象能力與邏輯推理的核心素養(yǎng).如圖1，當(dāng)時(shí)，與不一定垂直.如圖2，當(dāng)時(shí)，m與n不一定垂直.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.5.C【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與實(shí)部以及曲線與方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.6.B【解析】本題考查三角函數(shù)的周期性與奇偶性，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).因?yàn)?，所以該函?shù)為奇函數(shù).因?yàn)椋淖钚≌芷诜謩e為，，所以的最小正周期為.7.D【解析】本題考查數(shù)列的新定義與數(shù)列求和，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，.故數(shù)列的前30項(xiàng)和為.8.B【解析】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次不等式，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).依題意可得要取遍所有正數(shù)，則，因?yàn)椋?，所?9.A【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的概念，考查應(yīng)用意識(shí)與邏輯推理的核心素養(yǎng).，當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，所以該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)加速度為28m/s2.10.D【解析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).作出，的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)或只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).11.B【解析】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，考查直觀想象的核心素養(yǎng)及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.設(shè)，，，易知點(diǎn)P的軌跡是拋物線的上半部分..因?yàn)镕為拋物線的焦點(diǎn)，所以等于P到拋物線的準(zhǔn)線的距離，所以的最小值等于A到準(zhǔn)線的距離，所以的最小值為5.12.B【解析】本題考查線面角與三角恒等變換，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以?因?yàn)椋?，解得（?fù)根已舍去）.13.12；14【解析】本題考查樣本的數(shù)字特征，考查數(shù)據(jù)處理能力.將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為10，12，12，12，13，15，15，16，18，19，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為12，中位數(shù)為.14.【解析】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).作出約束條件表示的可行域（圖略），當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值3，所以的取值范圍是.15.【解析】本題考查古典概型，考查應(yīng)用意識(shí).四位同學(xué)的所有換位情況如下圖所示：由圖可知甲和乙的座位恰好交換的概率為.16.【解析】本題考查抽象函數(shù)與數(shù)列的交匯，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).令，得.設(shè)數(shù)列滿足，，則，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比也為2的等比數(shù)列，則，則，所以.17.解：（1）2×2列聯(lián)表如下：去峨眉山旅游去青城山旅游合計(jì)東小組402060西小組253560合計(jì)6555120（2）因?yàn)?，所以?9%的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān).18.（1）解：因?yàn)?，所以，即，又，所?因?yàn)?，所?（2）證明：在中，由正弦定理，得，則，則.設(shè)外接圓的半徑為，則，所以外接圓的周長(zhǎng)為.19.（1）證明：連接交于點(diǎn)E，則E為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，在平面，所以平面.（2）解：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且.因?yàn)橐詾橹睆降那虻谋砻娣e為，所以，解得.因?yàn)榈拿娣e，所以.20.（1）解：的定義域?yàn)椋?令，得.當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，，，，由零點(diǎn)存在性定理知有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，，則，所以.21.解：（1）依題意可得解得，，故的方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，則，，.直線：，直線：，聯(lián)立與，消去得，解得，所以點(diǎn)在定直線上.因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以點(diǎn)P到直線的距離為定值，且定值