數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模

關(guān)于數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模21.什么是數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型第2頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天3自然離不開數(shù)學(xué)1、圓形蜘蛛網(wǎng)是一個(gè)簡(jiǎn)單漂亮的數(shù)學(xué)創(chuàng)造2、蜂巢消耗最少的材料和最少的“工時(shí)”巴黎科學(xué)院院士、瑞士數(shù)學(xué)家克尼格

3、在礦物結(jié)構(gòu)中，可以找到許多更為奇妙的空間圖形第3頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天4問(wèn)題/應(yīng)用來(lái)自數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)核磁共振成像技術(shù)(MRI)計(jì)算機(jī)輔助成像(CAT)積分幾何空中交通管制控制論期權(quán)定價(jià)Black-Scholes期權(quán)模型和MonteCarlo模擬全局勘察、信號(hào)處理、圖象處理、數(shù)據(jù)采掘應(yīng)急用儲(chǔ)備物資的管理運(yùn)籌學(xué)、最優(yōu)化理論復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性邏輯、計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合學(xué)機(jī)密和完整性數(shù)論、密碼學(xué)/組合學(xué)大氣和海洋的建模小波、統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)值分析敏捷制造、自動(dòng)制造、可視化、機(jī)器人過(guò)程質(zhì)量控制中的幾何學(xué)、控制論設(shè)計(jì)和訓(xùn)練模擬、建模、離散數(shù)學(xué)人類基因組分析數(shù)據(jù)采掘、模式識(shí)別、算法合理的藥物設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)采掘、組合學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)Seiberg-Witten方程(弦論)幾何學(xué)宇宙數(shù)據(jù)的解釋數(shù)據(jù)采掘、建模、奇點(diǎn)理論復(fù)合材料的設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制論、計(jì)算、偏微分方程地震的分析和預(yù)測(cè)過(guò)程控制中的統(tǒng)計(jì)學(xué)動(dòng)力系統(tǒng)/湍流建模社會(huì)離不開數(shù)學(xué)第4頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天5

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，華工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無(wú)處不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用數(shù)學(xué)，研究量（或形）的關(guān)系、量（或形）的變化、量（或形）的變化關(guān)系、量（或形）的關(guān)系的變化等問(wèn)題都離不開數(shù)學(xué)作為語(yǔ)言工具?！麛?shù)學(xué)家

華羅庚任何應(yīng)用問(wèn)題，一旦建立起了數(shù)學(xué)的模型，就會(huì)立即顯現(xiàn)出解決問(wèn)題的清晰途徑和通向勝利的一線曙光。馬克思教導(dǎo)我們：一門學(xué)科只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了完善的地步！第5頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天6玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型我們常見的模型第6頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天7玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型我們常見的模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型第7頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天8玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物，集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見的模型第8頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天9模型物質(zhì)模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直觀模型物理模型思維模型符號(hào)模型數(shù)學(xué)模型模型的分類第9頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天10

“1”是最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。

那些我們所熟知的數(shù)學(xué)模型

設(shè)水池的總?cè)萘繛?。兩臺(tái)抽水機(jī)同時(shí)工作所需要時(shí)間為

例

兩臺(tái)不同功率的抽水機(jī)向一個(gè)大水池中注水。如果第一臺(tái)抽水機(jī)單獨(dú)工作，4小時(shí)可以將水池注滿；如果第二臺(tái)抽水機(jī)單獨(dú)工作，6小時(shí)可以將水池注滿?，F(xiàn)在由兩臺(tái)抽水機(jī)同時(shí)工作，需要多長(zhǎng)時(shí)間注滿水池？（小時(shí)）

第10頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天11弧度制是對(duì)角大小的另一種度量方式，弧度制的基本原理與平面相似形有關(guān)。1扇形相似于扇形

因此，可以用扇形弧長(zhǎng)與半徑之比來(lái)確定圓心角。

比如，當(dāng)扇形的弧長(zhǎng)與半徑之比為時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角是直角；時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角是平角（扇形剛好是半圓）.

當(dāng)扇形的弧長(zhǎng)與半徑之比為弧度制的主要特點(diǎn)是只用數(shù)就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再加量綱（名數(shù)）。引入角的弧度制實(shí)際上是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，這種數(shù)學(xué)模型恰是關(guān)于幾何圖形的數(shù)學(xué)模型。第11頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天12方程是表現(xiàn)等量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

那些我們所熟知的數(shù)學(xué)模型例一百匹馬，一百塊瓦，大馬馱仨，小馬馱倆，馬仔倆馱一塊。問(wèn)大馬、小馬、馬仔各幾何。解設(shè)大馬，小馬，馬仔分別為匹，應(yīng)有分別消去和可得這是一個(gè)不完全方程組的求整數(shù)解問(wèn)題——丟番圖問(wèn)題。第12頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天13“點(diǎn)”、“面”、“線”——抽象化的數(shù)學(xué)模型那些我們所熟知的數(shù)學(xué)模型1726年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1701－1783）受聘于沙俄科學(xué)院，后來(lái)出任數(shù)學(xué)部主任。1736年秋天，歐拉收到來(lái)自東普魯士首都哥尼斯堡（今屬奧地利）的一封信，哥尼斯堡大學(xué)的學(xué)生在來(lái)信中向他請(qǐng)教的是下面一個(gè)問(wèn)題。布勒格爾河橫穿市區(qū)，哥尼斯堡大學(xué)的校園就坐落于新舊河道交匯處。校園附近有一個(gè)小島，七座小橋分別連通著河岸、小島和半島。傍晚前后，學(xué)生們?nèi)齼蓛傻厣⒉接谛u上與河岸邊。

有人突發(fā)奇想，能不能在一個(gè)晚上走遍這七座橋而每座橋又都只通過(guò)一次呢？哥尼斯堡七橋問(wèn)題第13頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天14店主橋鐵匠橋木橋綠橋“饞嘴”吉布萊茨橋高橋蜜橋內(nèi)福夫島普雷蓋爾河新河道舊河道哥尼斯堡是條頓騎士在1380年建立的，作為日耳曼勢(shì)力最東端的前哨達(dá)四百年之久。第二次世界大戰(zhàn)以后，他被更名為加里寧格勒，成為前蘇聯(lián)最大的海軍基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛與波蘭之間，加里寧格勒現(xiàn)仍屬俄羅斯。第14頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天15CDBA作為一筆畫過(guò)程，應(yīng)該只有一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)終點(diǎn)，并且起點(diǎn)和終點(diǎn)應(yīng)該是奇節(jié)點(diǎn)，而其它點(diǎn)都是通過(guò)點(diǎn)，并只能是偶節(jié)點(diǎn)．歐拉在草紙上勾畫出示意圖。在他看來(lái)，問(wèn)題是否有可行的方案，與島、半島的大小無(wú)關(guān)，也與河岸上橋頭的間隔及小橋的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。因而不妨將半島、兩側(cè)河岸和小島都縮為一點(diǎn)，將各個(gè)小橋代之以線。現(xiàn)在的問(wèn)題是，能否用一只鉛筆從“結(jié)點(diǎn)”A、B、C、D之中的某一點(diǎn)開始，不抬筆地連續(xù)描完每一條線而不出現(xiàn)線路重復(fù)呢？類似這樣的問(wèn)題，后來(lái)被統(tǒng)稱為“一筆畫”問(wèn)題。圖中四個(gè)節(jié)點(diǎn)A、B、C、D都是奇節(jié)點(diǎn)。所以，這是一個(gè)不可行的一筆畫問(wèn)題。第15頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天16什么是數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模一般地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型可以描述為，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）第16頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天17數(shù)學(xué)模型的分類分類標(biāo)準(zhǔn)具體類別對(duì)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機(jī)型模型等建模中所用的數(shù)學(xué)方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實(shí)際范疇人口模型、生態(tài)系統(tǒng)模型、交通流模型、經(jīng)濟(jì)模型、基因模型等第17頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天182.如何數(shù)學(xué)建模？第18頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天19你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型——“航行問(wèn)題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少?x=20y=5求解第19頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天20航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）；

驗(yàn)證上述結(jié)果（用實(shí)際現(xiàn)象進(jìn)行驗(yàn)證）。第20頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天21幾個(gè)數(shù)學(xué)建模示例第21頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天22例1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地

四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續(xù)變化，任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷，即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;

地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。第22頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天23

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性xBADCOD′C′B′A′用

(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是

的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個(gè)距離

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)模型構(gòu)成第23頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天24用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意

,f(

),g(

)至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知：f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù);

對(duì)任意

，f(

)?g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地第24頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天25模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因?yàn)閒(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子

和f(

),g(

)的確定第25頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天26

數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問(wèn)題’第26頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天27模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)抓本質(zhì)，在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具

數(shù)學(xué)建模的一般步驟第27頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天28模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模的一般步驟第28頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天29例2商人們?cè)鯓影踩^(guò)河問(wèn)題(智力游戲)3名商人

3名隨從河小船(至多2人)隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析多步?jīng)Q策過(guò)程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河第29頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天30模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,

sk=(xk,yk)~狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=skdk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問(wèn)題第30頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天31模型求解xy3322110

窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)~10個(gè)點(diǎn)允許決策D~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)SS={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}D={(u

,v)u+v=1,2}適當(dāng)?shù)卦O(shè)置狀態(tài)和決策，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律，建立多步?jīng)Q策模型，是有效解決此類問(wèn)題的方法。第31頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天32數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐第32頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天33思考與練習(xí)第33頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天

交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過(guò)渡狀態(tài)——亮一段時(shí)間的黃燈。請(qǐng)分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請(qǐng)立即停車。停車是需要時(shí)間的，在這段時(shí)間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說(shuō)，在離街口距離為L(zhǎng)處存在著一條停車線（盡管它沒(méi)被畫在地上），見圖1-4。對(duì)于那些黃燈亮?xí)r已過(guò)線的車輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^(guò)馬路。

馬路的寬度D是容易測(cè)得的，問(wèn)題的關(guān)鍵在于L的確定。為確定L，還應(yīng)當(dāng)將L劃分為兩段：L1和L2，其中L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車的反應(yīng)時(shí)間內(nèi)駛過(guò)的路程，L2為剎車制動(dòng)后車輛駛過(guò)的路程。L1較容易計(jì)算，交通部門對(duì)司機(jī)的平均反應(yīng)時(shí)間t1早有測(cè)算，反應(yīng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)將考不出駕照），而此街道的行駛速度v也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來(lái)（留作習(xí)題）。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計(jì)算出L應(yīng)多大才能使看見黃燈的司機(jī)停得住車。第二步，黃燈亮的時(shí)間應(yīng)當(dāng)讓已過(guò)線的車順利穿過(guò)馬路，即T至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到（L+D）/v。

DL第34頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)

我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時(shí)敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問(wèn)巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。顯然，這是一個(gè)對(duì)策問(wèn)題，較為復(fù)雜。僅討論以下簡(jiǎn)單情形：敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。（追趕方案的設(shè)計(jì)）設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以B為極點(diǎn)，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為r=r(θ)，見圖1。BAA1drdsdθθ圖1第35頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天363.為什么數(shù)學(xué)建模？第36頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天37隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)模型這個(gè)詞匯越來(lái)越多地出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會(huì)活動(dòng)中。例如：電氣工程師必須建立一個(gè)用于控制生產(chǎn)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)它的精確設(shè)計(jì)和計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)有效的過(guò)程控制；氣象工作者為得到準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)，需要依賴于根據(jù)氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風(fēng)速等資料建立的數(shù)學(xué)模型；生理醫(yī)學(xué)家通過(guò)構(gòu)建藥物濃度在人體內(nèi)隨時(shí)間和空間變化的數(shù)學(xué)模型，可以分析藥物的療效，有效地指導(dǎo)臨床用藥；城市規(guī)劃者需要建立一個(gè)包括人口、經(jīng)濟(jì)、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為領(lǐng)導(dǎo)層對(duì)城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學(xué)依據(jù)。第37頁(yè),共43頁(yè)，2024年