高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第09講 6.4.1平面幾何中的向量方法+6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例（學(xué)生版）

第09講6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①.能用向量方法解決簡單的幾何問題。②.能用向量方法解決簡單的幾何應(yīng)用類問題和其他實(shí)際問題。③體會向量在解決幾何在生活中的實(shí)際問題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算、分析和解決實(shí)際問題的能力。1.在系統(tǒng)學(xué)習(xí)向量知識的基礎(chǔ)上，能用向量方法解決簡單的幾何問題；2.提升學(xué)生實(shí)際問題中的知識抽象，能用向量方法解決簡單的幾何應(yīng)用類問題和其他實(shí)際問題；3.體會向量在解決幾何問題在生活中的實(shí)際問題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算、分析和解決實(shí)際問題的能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).；知識點(diǎn)01：平面幾何中的向量方法（1）向量在平面幾何中的應(yīng)用①平面兩個向量的數(shù)量積：；②向量平行的判定:；③向量平行與垂直的判定:；④平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：（其中，）⑤求模：；；⑥對于題目中遇到的有些平面圖形(如長方形、正方形、直角三角形等)的計算求解問題,可通過建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)把向量表示出來,通過代數(shù)運(yùn)算來解決(“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”).（2）用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【即學(xué)即練1】（2023上·廣東佛山·高二華南師大附中南海實(shí)驗高中?？计谥校┮阎娜齻€頂點(diǎn)分別是，，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】易知，可得，即，且，所以可得的形狀是直角三角形.故選：B知識點(diǎn)02：向量在物理中的應(yīng)用舉例向量的定義有著豐富的物理背景,物理學(xué)中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的數(shù)量積的物理背景,因此,向量可以解決一些物理問題歸納.（1）力學(xué)問題的向量處理方法①解決此類問題必須用向量知識將力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即將力學(xué)各量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型,再利用建立的數(shù)學(xué)模型解析或回答相關(guān)物理現(xiàn)象；②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向線段可以有共同的起點(diǎn),也可以沒有共同的起點(diǎn).力是既有大小,又有方向的量.用向量知識解決共點(diǎn)力的問題,往往需要把向量平移到同一作用點(diǎn)上.（2）速度、位移問題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解,實(shí)質(zhì)就是向量的加減運(yùn)算,而運(yùn)動的疊加也用到了向量的合成.①向量在速度、加速度上的應(yīng)用,實(shí)質(zhì)是通過向量的線性運(yùn)算解決物理問題,最后獲得物理結(jié)果.②用向量解決速度、加速度和位移等問題,用的知識主要是向量的加法、減法以及數(shù)乘,有時也可借助坐標(biāo)來求解.（3）功、動量問題的向量處理方法物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積,它的實(shí)質(zhì)是力與位移的數(shù)量積,即(為與的夾角).功是一個標(biāo)量,它可正,也可負(fù).動量實(shí)際上是數(shù)乘向量.在解決問題時要注意數(shù)形結(jié)合（4）利用向量法解決物理問題的步驟用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：①問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.②建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.③求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.④回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.【即學(xué)即練2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在傾角為、高m的斜面上，質(zhì)量為5kg的物體沿斜面下滑，物體受到的摩擦力是它對斜面壓力的倍，N/kg．求物體由斜面頂端滑到底端的過程中，物體所受各力對物體所做的功，（參考數(shù)據(jù)，）．【答案】答案見解析【詳解】物體受三個力，重力，斜面對物體的支持力，摩擦力，且重力可分解為沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，則重力與位移之間的夾角，則重力對物體做的功，支持力與位移方向垂直，做功為，摩擦力與位移方向相反，對物體做功．

題型01利用向量解決平面幾何中的平行（共線）問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在四邊形中，若，且，則四邊形是（

）A．矩形 B．等腰梯形C．正方形 D．菱形【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為BD，AB，AC和CD的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH為平行四邊形.

【變式1】（2023上·山東泰安·高二?？奸_學(xué)考試）在四邊形中，，則四邊形的形狀是.題型02利用向量解決垂直問題【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）用向量的方法證明在等腰三角形ABC中，，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，求證：．【典例2】（2023下·廣東東莞·高一東莞市厚街中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為是的中點(diǎn)，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

(1)求的余弦值．(2)若點(diǎn)自點(diǎn)逆時針沿正方形的邊運(yùn)動到點(diǎn)，在這個過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得？若存在，求出的長度，若不存在，請說明理由．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，AC為的一條直徑，為圓周角.求證：.

【變式2】（2023下·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)與相交于點(diǎn).

(1)請用、表示向量；(2)設(shè)和的夾角為，若，且，求證：.題型03利用向量求線段長度【典例1】（2023下·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）一個人騎自行車由A地出發(fā)向東騎行了到達(dá)B地，由B地向南東方向騎行了到達(dá)C地，從C地向北偏東騎行了到達(dá)D地，則A，D兩地的距離是．【典例2】（2023下·河北滄州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，.(1)求的長；(2)求的長.【變式1】（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的夾角為，則三角形的邊上中線的長為.【變式2】（2023下·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在菱形ABCD中，O為菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn).(1)用，，，表示；(2)若，，求，.題型04向量在物理中的應(yīng)用【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知兩個力，的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為60°，那么的大小為（

）．A．N B．5N C．10N D．N【典例2】（2022上·江西·高二南昌縣蓮塘第一中學(xué)校考期中）在如圖的天平中，左、右兩個秤盤均被3根細(xì)繩均勻地固定在橫梁上．在其中一個秤盤中放入重量為的物品，在另一個秤盤中放入重量的砝碼，天平平衡．根細(xì)繩通過秤盤分擔(dān)對物品的拉力（拉力分別為，，，若3根細(xì)繩兩兩之間的夾角均為，不考慮秤盤和細(xì)繩本身的質(zhì)量，則的大小為．【典例3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在傾角為、高m的斜面上，質(zhì)量為5kg的物體沿斜面下滑，物體受到的摩擦力是它對斜面壓力的倍，N/kg．求物體由斜面頂端滑到底端的過程中，物體所受各力對物體所做的功，（參考數(shù)據(jù)，）．【變式1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）飛機(jī)從A地向西北飛行200km到達(dá)B地后，又從B地向東飛行km到達(dá)C地，再從C地向南偏東60°飛行km到達(dá)D地，求飛機(jī)從D地飛回A地的位移．【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在細(xì)繩l上作用著一個大小為200N的力，與水平方向的夾角為45°，細(xì)繩上掛著一個重物，使細(xì)繩的另一端與水平面平行，求物重G的大?。?/p>

【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，一艘船從長江南岸點(diǎn)A出發(fā)，以km/h的速度垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h．

(1)試用向量表示江水速度、船速以及該船實(shí)際航行的速度；(2)求船實(shí)際航行速度的大小與方向（方向用與江水速度間的夾角表示）．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·高一課時練習(xí)）在四邊形中，若，則四邊形為（

）A．平行四邊形 B．梯形 C．菱形 D．矩形2．（2023下·貴州貴陽·高一?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點(diǎn)O為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且，，則等于（

）A．1 B． C． D．23．（2022上·湖南岳陽·高二校聯(lián)考期中）中，，則等于（

）A． B． C． D．4．（2020下·高一課時練習(xí)）已知三個力，，同時作用于某物體上一點(diǎn)，為使該物體保持平衡，需再加上一個力，則（

）A． B． C． D．5．（2022上·江蘇宿遷·高三沭陽縣建陵高級中學(xué)?？计谥校┰O(shè)向量與的夾角為θ，定義，已知，，則（

）A． B． C． D．6．（2023下·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運(yùn)動的節(jié)目深受觀眾們的喜愛，當(dāng)小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態(tài)時，每只胳膊的拉力大小為，此時兩只胳膊的夾角為，試估算小猴子的體重（單位）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.57．（2022下·山東臨沂·高一?？茧A段練習(xí)）加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運(yùn)動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）（

）A． B．61 C．75 D．608．（2020上·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）某河流南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸，假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)B在A的正北方向，游船正好到達(dá)B處時，（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023下·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．中，D為BC的中點(diǎn)，則B．向量，可以作為平面向量的一組基底C．若非零向量與滿足，則為等腰三角形D．已知點(diǎn)，，點(diǎn)P是線段AB的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為10．（2022·高一課時練習(xí)）在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為.下列結(jié)論中正確的是（

）A．越大越費(fèi)力，越小越省力 B．的取值范圍為C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，三、填空題11．（2022下·上海虹口·高一華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谀└咭粚W(xué)生將質(zhì)量為20kg的物體用兩根繩子懸掛起來，如圖（1）（2），兩根繩子與鉛垂線的夾角分別為45°和30°，則拉力與大小的比值為.12．（2022上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，則的周長為.四、解答題13．（2023·全國·高一課堂例題）如圖所示，把一個物體放在傾角為的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個力的作用，即重力，沿著斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的彈力．已知N，求，的大小．

14．（2021下·福建·高一校聯(lián)考期中）如圖，設(shè)Ox、Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，設(shè).(1)計算的大?。?2)甲在Ox上距O點(diǎn)3千米的點(diǎn)A處，乙在Oy上距O點(diǎn)1千米的點(diǎn)B處，現(xiàn)在甲沿的方向，乙沿的方向同時以4千米/小時的速度行走；①若過半小時后甲到達(dá)C點(diǎn)，乙到達(dá)D點(diǎn)，請用與來表示；②若t時刻，甲到達(dá)G點(diǎn)，乙到達(dá)H點(diǎn)，求的最小值.B能力提升1．（2023上·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，D為的中點(diǎn)，，，是圓心為C、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2017·陜西寶雞·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不與A，C重合)為AC邊上的兩個動點(diǎn)，且滿足||