橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

橢圓知識(shí)點(diǎn)一．橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，即點(diǎn)集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；這里兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距2c。（時(shí)為線段，無軌跡）。2．標(biāo)準(zhǔn)方程：①焦點(diǎn)在x軸上：（a＞b＞0）；焦點(diǎn)F（±c，0）②焦點(diǎn)在y軸上：（a＞b＞0）；焦點(diǎn)F（0,±c）注意：①在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a＞b＞0，并且橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上；②兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示：或者mx2+ny2=1二．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：1.范圍（1）橢圓（a＞b＞0）橫坐標(biāo)-a≤x≤a,縱坐標(biāo)-b≤x≤b（2）橢圓（a＞b＞0）橫坐標(biāo)-b≤x≤b,縱坐標(biāo)-a≤x≤a2.對(duì)稱性橢圓關(guān)于x軸y軸都是對(duì)稱的，這里，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心3.頂點(diǎn)（1）橢圓的頂點(diǎn)：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于2a，短軸長(zhǎng)等于2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。4．離心率（1）我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比，即稱為橢圓的離心率，

記作e（），是圓；e越接近于0（e越?。?，橢圓就越接近于圓;e越接近于1（e越大），橢圓越扁；注意：離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān)，與其所處的位置無關(guān)。（2）橢圓的第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和一定直線（準(zhǔn)線）的距離的比為常數(shù)e，（0＜e＜1）的點(diǎn)的軌跡為橢圓。（）①焦點(diǎn)在x軸上：（a＞b＞0）準(zhǔn)線方程：②焦點(diǎn)在y軸上：（a＞b＞0）準(zhǔn)線方程：小結(jié)一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四個(gè)量），特征三角形（2）基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心（共七個(gè)點(diǎn)）（3）基本線：對(duì)稱軸（共兩條線）5．橢圓的的內(nèi)外部（1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.（2）點(diǎn)在橢圓的外部.6.幾何性質(zhì)（1）最大角（2）最大距離，最小距離橢圓方程的幾種常見求法對(duì)于求橢圓方程的問題，通常有以下常見方法：一、定義法例1已知兩圓C1：，C2：，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．分析：動(dòng)圓滿足的條件為：①與圓C1相內(nèi)切；②與圓C2相外切．依據(jù)兩圓相切的充要條件建立關(guān)系式．解：設(shè)動(dòng)圓圓心Ｍ（，），半徑為，如圖所示，由題意動(dòng)圓Ｍ內(nèi)切于圓C1，∴，圓Ｍ外切于圓C2，∴，ＯＭC2ＯＭC2∴動(dòng)圓圓心Ｍ的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓，且，，故所求軌跡方程為：二、待定系數(shù)法例２已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，求該橢圓的方程．分析：已知兩點(diǎn)，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式不確定，我們可以設(shè)橢圓方程的一般形式：＝１（，進(jìn)行求解，避免討論。解：設(shè)所求的橢圓方程為＝１（．∵橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，∴解得，故所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．三、直接法例３設(shè)動(dòng)直線垂直于軸，且交橢圓于Ａ、Ｂ兩點(diǎn)，Ｐ是上線段AB外一點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)Ｐ的軌跡方程．分析：如何利用點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)與橢圓上Ａ，Ｂ兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，是求點(diǎn)Ｐ的軌跡的關(guān)鍵，因直線垂直于軸，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，由Ａ、Ｂ在橢圓上，所以Ａ、Ｂ兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此，緊緊抓住等式即可求解．解：設(shè)Ｐ（，），Ａ（，），Ｂ（，），由題意：＝＝，＋＝０∴,，∵Ｐ在橢圓外，∴－與－同號(hào)，∴=（－）（－）＝∵，即為所求．四、相關(guān)點(diǎn)法例４的底邊BC＝16，AC和AB兩邊上的中線長(zhǎng)之和為30，求此三角形重心Ｇ和定點(diǎn)Ａ的軌跡方程．分析：由題意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ兩點(diǎn)的距離之和為定值，故可用定義法求解，Ａ點(diǎn)和Ｇ點(diǎn)的關(guān)系式好建立，故可用相關(guān)點(diǎn)法去求．解（１）以BC邊所在直線為軸，BC邊的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)Ｇ（，），由，知Ｇ點(diǎn)的軌跡是以Ｂ、Ｃ為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20的橢圓且除去軸上的