雙曲拋物型方程省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

4.雙曲－拋物型方程初條：準(zhǔn)確解為初值問(wèn)題此乃線性Burgers方程，為N-S方程模型方程1第1頁(yè)4.1差分格式1.迎格調(diào)式(c>0)(c<0)精度：穩(wěn)定條件：2.蛙跳（leapfrog）格式精度：穩(wěn)定條件：僅對(duì)對(duì)流項(xiàng)2第2頁(yè)3.時(shí)間前差，空間中心差分顯格式精度：穩(wěn)定條件：4.Lax-Wendroff格式精度：穩(wěn)定條件：3第3頁(yè)5.Crank-Nicholson格式精度：穩(wěn)定條件：恒穩(wěn)6.全隱格式精度：穩(wěn)定條件：恒穩(wěn)可對(duì)對(duì)流項(xiàng)及擴(kuò)散項(xiàng)分別采取不一樣格式4第4頁(yè)非線性Burgers方程為N-S方程一個(gè)很好模型方程對(duì)于特殊選定初始值和邊界條件，及尤其函數(shù)f，可得準(zhǔn)確解設(shè)f=u2/2，定解域?yàn)?

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L,t0,邊界值u(0,t)=u0,u(L,t)=0定常問(wèn)題準(zhǔn)確解：其中自行嘗試各種格式5第5頁(yè)時(shí)間微商差分迫近上述差分方法中在對(duì)時(shí)間偏微分時(shí)，只分為1單步二層格式（前向差分）一階精度2蛙跳格式（中心差分）：二階精度3若維持相關(guān)歐拉格式空間微商差分形式不變（簡(jiǎn)記為L(zhǎng)d），則我們可引入龍格－庫(kù)塔(Runge-Kutta)格式，其時(shí)間差分精度為4階（只是內(nèi)存占用量大）6第6頁(yè)范例若對(duì)空間微商采取中心差分，即則龍格－庫(kù)塔格式為穩(wěn)定條件：7第7頁(yè)守恒型與非守恒型作為源方程方程組能夠有不一樣解析形式，如歐拉形式與拉格朗日形式，守恒形式與非守恒形式，積分形式與特征形式等。不一樣形式源方程在解析分析中完全等效，但在數(shù)值計(jì)算方面則不盡然。對(duì)任一物理量U=U(x,t)，若能寫(xiě)成則稱(chēng)U為守恒型變量，F(xiàn)為其通量（密度），形如此方程者為守恒型方程8第8頁(yè)質(zhì)量守恒動(dòng)量守恒能量守恒磁通守恒渦旋守恒9第9頁(yè)差分格式從守恒型方程出發(fā)設(shè)計(jì)格式含有總體守恒特征，故稱(chēng)為守恒型格式，如該方程可寫(xiě)為半格點(diǎn)值由插值得到若體系與外界無(wú)交換，則10第10頁(yè)差分格式子類(lèi)半格點(diǎn)插值公式選取若干子類(lèi)1.歐拉顯格式二階四階2.歐拉全隱格式精度：11第11頁(yè)3.Lax格式4.蛙跳－梯形格式蛙跳步梯形步相當(dāng)于12第12頁(yè)5.Lax-Wendroff格式(等價(jià)于半步長(zhǎng)Lax＋半步長(zhǎng)蛙跳)格式4、5時(shí)間精度均為二級(jí)。尤其是碰到激波時(shí)，守恒格式能使激波關(guān)系較為準(zhǔn)確地滿足，所以在激波計(jì)算中應(yīng)首先考慮使用守恒型格式。13第13頁(yè)5.說(shuō)明對(duì)流方程差分格式

耗散性和色散性對(duì)于對(duì)流方程差分格式穩(wěn)定性含有主要影響，而理想（磁）流體方程含有與對(duì)流方程相同形式，同屬于雙曲型方程，故設(shè)計(jì)格式時(shí)須注意耗散性及色散性在穩(wěn)定條件滿足情況下，迎格調(diào)式、Lax格式及全隱格式含有一階耗散，屬?gòu)?qiáng)耗散格式，L-W格式含有三階耗散，龍格庫(kù)塔格式含有五階耗散，屬弱耗散格式，色散效應(yīng)起主導(dǎo)作用。蛙跳、跳點(diǎn)和C-N格式耗散余項(xiàng)為0，屬無(wú)耗散格式，在碰到激波等強(qiáng)間斷時(shí)，弱（無(wú)）耗散格式色散性會(huì)造成波頭振蕩和計(jì)算失穩(wěn)，須引入人為耗散。14第14頁(yè)隱式與顯式隱格式穩(wěn)定性好（步長(zhǎng)僅受非線性效應(yīng)及計(jì)算精度約束），而顯格式則在步長(zhǎng)上有強(qiáng)約束條件，有時(shí)會(huì)使步長(zhǎng)太短而無(wú)法實(shí)現(xiàn)。但對(duì)波動(dòng)過(guò)程及瞬變現(xiàn)象，物理量改變時(shí)間尺度較小，故顯格式步長(zhǎng)限制有時(shí)并不十分嚴(yán)重，且顯格式含有編程簡(jiǎn)單及適宜并行處理優(yōu)點(diǎn)，也經(jīng)常被采取。對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)，當(dāng)耗散系數(shù)較大或空間步長(zhǎng)較小時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮隱格式。將前面介紹單一方程差分格式對(duì)整個(gè)方程組進(jìn)行統(tǒng)一處理是結(jié)構(gòu)偏微分方程組差分格式最簡(jiǎn)單路徑。15第15頁(yè)6.守恒型方程組單步顯格式考慮方程組其中U為未知函數(shù)，F(xiàn)為通量項(xiàng)，S為非齊次項(xiàng)（能夠是U函數(shù)），三者均m維矢量上式可寫(xiě)為非守恒形式其中為矩陣上式中F可分解為與速度相關(guān)對(duì)流項(xiàng)FT和諸應(yīng)力項(xiàng)＋耗散項(xiàng)FD

常見(jiàn)單步格式：Lax格式、Lax-Wendroff格式及迎格調(diào)式16第16頁(yè)Lax格式精度：穩(wěn)定條件：式中為矩陣A最大本征值該格式可推廣到二、三維，對(duì)應(yīng)穩(wěn)定條件為對(duì)流體，為聲速17第17頁(yè)Lax-Wendroff格式精度：穩(wěn)定條件：普通A是U線性函數(shù)，故其色散正比于k4，故適合研究長(zhǎng)波作業(yè)：這兒應(yīng)該是F還是U?18第18頁(yè)迎風(fēng)格式精度：穩(wěn)定條件：推廣到高維問(wèn)題時(shí)效果很差，故普通只用于一維問(wèn)題Lax方法及迎格調(diào)式雖精度低，但卻含有強(qiáng)耗散和弱色散，故實(shí)際使用時(shí)穩(wěn)定性及可靠性很好