4.6 相似多邊形（3大題型）（分層練習(xí)）（解析版）

第4章相似三角形4.6相似多邊形（3大題型）分層練習(xí)考查題型一相似圖形1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）下列圖形中?定相似的是（

）A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似 C．矩形都相似 D．等腰直角三角形都相似【答案】D【分析】根據(jù)相似圖形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，結(jié)合直角三角形、等腰三角形、矩形以及等腰直角三角形的特點對各選項進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：A、兩個直角三角形的邊不一定成比例，角不一定相等，故本選項不符合題意；B、兩個等腰三角形的邊不一定成比例，角不一定相等，故本選項不符合題意；C、兩個矩形的對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊不一定成比例，故本選項不符合題意；D、兩個等腰直角三角形的對應(yīng)邊一定成比例，對應(yīng)角一定相等，所以一定相似故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了相似圖形的定義，從邊和角的角度去考慮是本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）將不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形各邊向外平移1個單位并適當(dāng)延長，得到下列圖形，變化前后的兩個圖形不相似的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)相似多邊形的定義，結(jié)合圖形，對選項一一分析，排除不符合要求答案．【詳解】解：A、兩個不等邊三角形形狀相同，符合相似形的定義，故A選項不符合題意；B、兩個等邊三角形形狀相同，符合相似形的定義，故B選項不符合題意；C、兩個正方形形狀相同，符合相似形的定義，故C選項不符合題意；D、兩個矩形，雖然四個角對應(yīng)相等，但對應(yīng)邊不成比例，故D選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查相似多邊形的定義，熟練掌握相似圖形的定義是解題的關(guān)鍵，相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．3．（2022秋·江西宜春·九年級江西省宜豐中學(xué)?？计谥校┰谝粡堄蓮?fù)印機通過放大復(fù)印出來的紙上，一個面積為圖案的一條邊由原來的1cm變成4cm，則這次復(fù)印出來的圖案的面積是【答案】32【分析】復(fù)印前后的圖案按照比例放大或縮小，因此它們是相似圖形，按照相似圖形的面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：∵在一張由復(fù)印機通過放大復(fù)印出來的紙上，一個面積為圖案的一條邊由原來的1cm變成4cm，∴相似比，∴面積比，∴這次復(fù)印出來的圖案的面積．故答案是：32．【點睛】考查了相似圖形，掌握相似圖形面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．4（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）某同學(xué)的眼睛到黑板的距離是，課本上的文字大小為．要使這名同學(xué)看黑板上的字時，與他看相距的課本上的字的感覺相同，老師在黑板上寫的文字大小應(yīng)約為（答案請按同一形式書寫）．【答案】【分析】設(shè)，則老師在黑板上寫的文字大小為，根據(jù)比例線段和相似圖形的性質(zhì)，列出方程求解即可．【詳解】解：如圖：，，令，設(shè)，則老師在黑板上寫的文字大小為，∵，∴，解得：，∴老師在黑板上寫的文字大小為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了成比例線段和相似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出教科書上的字與黑板上的字相似，根據(jù)相似圖形對應(yīng)邊成比例求解．5．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形是矩形的“減半”矩形．請你解決下列問題：（1）當(dāng)矩形的長和寬分別為，時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并說明理由．（2）邊長為的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）存在；理由見解析；（2）不存在，理由見解析．【分析】（1）假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長和寬分別為x、y，根據(jù)如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，可列出方程組求解．（2）正方形和其他的正方形是相似圖形，周長比是2，面積比就應(yīng)該是4，所以不存在“減半”正方形．【詳解】解：（1）存在假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長和寬分別為，，則，由①，得：，③把③代入②，得，解得，．所以“減半”矩形長和寬分別為與．（2）不存在因為兩個正方形是相似圖形，當(dāng)它們的周長比為時，面積比必定是，所以正方形不存在“減半”正方形．【點睛】本題考查反證法和相似圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵知道相似圖形的面積比，周長比的關(guān)系．考查題型二相似多邊形1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）下列各組四邊形中是相似多邊形的是（

）A．一組鄰邊為厘米和厘米與一組鄰邊為厘米和厘米的矩形B．有一個內(nèi)角為的兩個菱形C．邊長分別為厘米和厘米的兩個菱形D．兩個高相等的等腰梯形【答案】B【分析】根據(jù)相似多邊形的定義，即可求解．【詳解】解：B菱形一個內(nèi)角確定，則每個內(nèi)角都可以確定下來，同時，菱形四邊相等，對應(yīng)成比例，是相似多邊形，則B選項符合題意；A選項邊不對應(yīng)成比例，不是相似多邊形，則A選項不符合題意；C選項菱形有不穩(wěn)定性，形狀不固定，不是相似多邊形，則C選項不符合題意；D選項等腰梯形形狀不固定，不是相似多邊形，則D選項不符合題意．故選：B【點睛】本題主要考查了相似多邊形，熟練掌握兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，有甲、乙、丙三個矩形，其中相似的是（

）

A．甲與丙 B．乙與丙 C．甲與乙 D．三個矩形都不相似【答案】A【分析】如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形，據(jù)此作答．【詳解】解：三個矩形的角都是直角，甲、乙、丙相鄰兩邊的比分別為，，，∴甲與丙相似，故選：A．【點睛】本題考查相似多邊形的概念與判定，解題的關(guān)鍵是要考慮對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．3．（2023秋·九年級單元測試）下列各組圖形中一定是相似形的是（填序號）．（1）兩個平行四邊形一定相似；（2）兩個矩形一定相似；（3）兩個正方形一定相似；（4）兩個菱形一定相似；（5）兩個下底角相等的等腰梯形相似；（6）有一個內(nèi)角為80°的兩個等腰三角形相似；（7）有一個內(nèi)角為100°的兩個等腰三角形相似；（8）等邊三角形都相似；（9）直角三角形都相似；（10）鄰邊之比都為2︰1的兩個等腰三角形相似．【答案】（3）、（7）、（8）、（10）【分析】利用相似圖形的定義，分別判斷得出即可．【詳解】解：（1）兩個平行四邊形對應(yīng)角不一定相等，所以兩個平行四邊形不一定相似；（2）兩個矩形對應(yīng)邊不一定成比例，所以兩個矩形不一定相似；（3）兩個正方形一定相似，正確；（4）兩個菱形對應(yīng)角不一定相等，所以兩個菱形不一定相似；（5）兩個下底角相等的等腰梯形其對應(yīng)邊不一定成比例，所以兩個下地角相等的等腰梯形不一定相似；（6）有一個內(nèi)角為80°的兩個等腰三角形其對應(yīng)角不一定相等，所以有一個內(nèi)角為80°的兩個等腰三角形不一定相似；（7）有一個內(nèi)角為100°的兩個等腰三角形相似一定相似，正確；（8）等邊三角形都相似，正確；（9）直角三角形其對應(yīng)銳角不一定相等，所以直角三角形不一定相似；（10）鄰邊之比都為2︰1的兩個等腰三角形相似，正確．故答案為：（3）、（7）、（8）、（10）．【點睛】本題考查相似圖形的定義，正確把握相似圖形的定義是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·陜西榆林·九年級?？计谥校┤鐖D，五邊形五邊形，則五邊形與五邊形的相似比是．

【答案】【分析】相似圖形的相似比等于對應(yīng)邊之比；再由五邊形五邊形可得相似比為，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：設(shè)橫向相鄰的兩點距離為1，則，，∴五邊形五邊形可得相似比為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似圖形的相似比，掌握相似比的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2021春·九年級課時練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，點F在對角線AC上運動，，．四邊形和四邊形一直保持相似嗎？證明你的結(jié)論．【答案】四邊形與四邊形一直保持相似．原因是它們的角分別相等、邊成比例．【分析】由，證明再證明四個角分別對應(yīng)相等，四條邊分別對應(yīng)成比例，從而可得答案.【詳解】解：，，即，，四邊形與四邊形一直保持相似．【點睛】本題考查的是四邊形相似的判定，掌握“四個角分別對應(yīng)相等，四條邊分別對應(yīng)成比例的兩個四邊形相似”是解題的關(guān)鍵.考查題型三相似多邊形的性質(zhì)1．（2023秋·山東聊城·九年級校考階段練習(xí)）兩個相似五邊形，一組對應(yīng)邊的長分別為4和6，若它們的面積之和為260，則較大五邊形的面積是（

）A．100 B．180 C．75 D．30【答案】B【分析】兩個相似五邊形的一組對應(yīng)邊的長分別是4和6，則相似比為，設(shè)較大的五邊形的面積為，則較小的五邊形的面積為，根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方列式計算即可．【詳解】解：兩個相似五邊形的一組對應(yīng)邊的長分別是是4和6，這兩個相似五邊形的相似比為，設(shè)較大的五邊形的面積為，則較小的五邊形的面積為，，解得，經(jīng)檢驗：是原方程的解，即較大的五邊形的面積為．故選：B．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的面積之比等于相似比的平方．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，將一張兩邊長分別為和的矩形紙片兩次對折后展開，得到四個全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，則x的值為（）

A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】求出折疊后小矩形的一條邊長，然后根據(jù)相似圖形的性質(zhì)列式計算即可．【詳解】解：∵大矩形的一條邊長為，∴折疊后小矩形的一條邊長為，∵小矩形和原矩形相似，∴，解得（負(fù)值已舍去），故選：B．【點睛】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，熟知相似圖形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·福建泉州·九年級福建省泉州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校有兩塊相似的多邊形草坪，其相似比為，其中較大的一塊草坪的周長是36米，則另一塊草坪的周長是米．【答案】24【分析】根據(jù)相似多邊形周長的比等于相似比即可求解．【詳解】解：設(shè)另一塊草坪的周長為x米，∵兩塊相似的多邊形草坪，其相似比為，其中較大的一塊草坪的周長是36米，∴，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，故答案為：24．【點睛】本題主要考查相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的周長的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形中，，，剪去一個矩形后，余下的矩形矩形，則的長為．【答案】1【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得，即，然后利用比例性質(zhì)求出即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵余下的矩形矩形，∴，即，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形；相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比．5．（2022秋·寧夏銀川·九年級銀川市第三中學(xué)?？计谥校┮粋€矩形的較短邊長為2．(1)如圖1，若沿長邊對折后得到的矩形與原矩形相似，求的長；(2)如圖2，已知矩形的另一邊長為4，剪去一個矩形后，余下的矩形與原矩形相似，求矩形的面積．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)題意可得，，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得，據(jù)此代值計算即可；（2）根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得，然后利用比例性質(zhì)求出，再利用矩形面積公式計算矩形的面積．【詳解】（1）解：由題意得，，∵沿長邊對折后得到的矩形與原矩形相似，∴矩形與矩形相似，∴，∴，即，∴；（2）解：∵矩形與原矩形相似，∴，∵，，∴，∴矩形的面積．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形；相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比．1．（2022秋·四川成都·九年級?？计谥校┫铝姓f法錯誤的是(

)A．有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形B．平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例C．邊數(shù)相等的兩個正多邊形一定相似D．如果一個四邊形是軸對稱圖形，而且有兩條互相垂直的對稱軸，這個四邊形一定是菱形【答案】D【分析】根據(jù)正方形的判定方法、平行線分線段成比例、相似三角形的性質(zhì)和菱形的判定方法一一判斷即可．【詳解】A.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個角是直角的菱形是正方形，說法正確，不符合題意；B.平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例，說法正確，不符合題意；C.邊數(shù)相等的兩個正多邊形一定相似，說法正確，不符合題意；D.如果一個四邊形是軸對稱圖形，而且有兩條互相垂直的對稱軸，這個四邊形不一定是菱形，也可能是箏形，原說法錯誤，不合題意；故選：D．【點睛】本題考查正方形的判定、平行線分線段成比例、相似三角形的性質(zhì)和菱形的判定等知識，注意區(qū)分菱形和箏形．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，一塊矩形綢布的長，寬，按照圖中的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗與矩形綢布相似，則a的值等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，則可利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建比例式，求解后即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，∴，解得：或（不合題意，舍去），∴，故選：B．【點睛】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點落在點處，折痕為；使邊落在邊上，點落在點處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得，設(shè)的長為x，則，再根據(jù)相似多邊形性質(zhì)得出，即，求解即可．【詳解】解：，由折疊可得：，，∵矩形，∴，∴，設(shè)的長為x，則，∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，解得：（負(fù)值不符合題意，舍去）∴，故選：C．【點睛】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形，點在對角線上，，分別交、于點、，若隨機向正方形內(nèi)投一粒米，則落在陰影部分的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】證明四邊形是正方形，，進(jìn)而可得陰影部分面積等于正方形的面積，根據(jù)相似圖形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過作于點，于點，則四邊形是矩形，

∵四邊形是正方形，點在的對角線上，∴，，∴四邊形是正方形，∵，，∴，在與中，，∴，∴陰影部分面積等于正方形的面積，又∵正方形與正方形相似，，∴,∴陰影部分面積與正方形的面積比，故選：B．【點睛】本題考查了幾何概率，正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似圖形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·山東威海·八年級校聯(lián)考期末）在研究相似問題時，甲、乙同學(xué)的觀點如下：甲：將三角形按圖①的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將矩形按圖②的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形相似．丙：將菱形按圖③的方式向外擴張，得到新的菱形，他們的對應(yīng)邊間距均為1，則新菱形與原菱形相似．對于三人的觀點，下列說法正確的是（

）

A．甲對，丙、乙不對 B．甲、乙都對，丙不對C．甲、丙都對，乙不對 D．甲、乙、丙都對【答案】C【分析】根據(jù)邊數(shù)相同的兩個多邊形，如果對應(yīng)角相等，且對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形相似即可判斷．【詳解】解：如圖所示，

據(jù)題意得：，，，∴，，∴，∴新三角形與原三角形相似，甲說法正確．乙：設(shè)原矩形邊長為，．向外擴張一個單位后邊長變?yōu)?，．則∴新矩形與原矩形不相似，乙說法不正確；丙：將邊長為的菱形按圖③的方式向外擴張，得到新菱形，各邊與原菱形邊平行，因此各角與原菱形角對應(yīng)相等，擴張后四條邊依然相等，即新菱形與原菱形相似，故丙正確，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，相似多邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的判定是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形的對稱軸交于點E，交于點F．若矩形與矩形相似，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵矩形的對稱軸分別交于點E，交于點F，∴，∵矩形與矩形相似，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，把一個大長方形劃分成三個全等的小長方形，若每一個小長方形均與大長方形相似，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，矩形矩形，然后利用相似多邊形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：如圖：由題意得：，矩形矩形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·廣東深圳·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，．點在矩形的邊上，連接，將矩形沿翻折，翻折后的點落在邊上的點處，得到矩形．若矩形與原矩形相似，則的長為．【答案】/【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)即可求解；【詳解】矩形矩形，∴，即，整理得，，解得，（舍去），，故答案為：．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，相似圖象的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，是矩形內(nèi)的任意一點，鏈接，，，，得到，，，，設(shè)它們的面積分別是，，，，給出如下結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則點在矩形的對角線上．其中正確的結(jié)論的序號是．（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）【答案】②④【分析】根據(jù)三角形面積求法以及矩形性質(zhì)得出，以及，，即可得出P點一定在上．【詳解】如圖，作，作，∵以AD為底邊，以BC為底邊，∴此時兩三角形的高的和為AB，即可得到，同理可得，∴，故②正確，則①錯誤，③若，只能得出與高度之比，不一定等于，故此選項錯誤；④若，，∴與高度之比為：，∵，∴四邊形是矩形，∴此時矩形與矩形相似，∴，∴P點在矩形的對角線上，故答案為：②和④．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形面積求法，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．10．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形中，、、、分別是、、、上靠近、、、的四等分點，、、、分別是、、、上靠近、、、的四等分點，則．【答案】【分析】設(shè)，，求出小正方形的邊長，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)，，則，，，故答案為．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．11．（2023春·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形的邊上任取一點O（不與點A、B重合）連接、，分別取的中點、、、，連接、、，四邊形與四邊形相似嗎？為什么？

【答案】四邊形四邊形，見解析【分析】根據(jù)三角形的中位線定理證明兩個多邊形對應(yīng)邊的比相等、對應(yīng)角相等即可得到答案．【詳解】解：四邊形四邊形，理由如下：證明：、是、的中點，，，，同理，，，，，同理，，，四邊形四邊形．

【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握相似多邊形的判定定理、靈活運用三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，的平分線交于點E，的平分線交于點F．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，且，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定解答即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可以得到，設(shè)，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)可得，列方程求出的值，從而可解答本題．【詳解】（1）證明：∵的平分線交于點，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．∴．∴．同理：．∴．∵∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形；（2）解：由（1）知，四邊形是菱形，又四邊形是平行四邊形，，設(shè)，∵四邊形是平行四邊形，且，∴，，即，整理得，解得，∴，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及相似多邊形的性質(zhì)，求出與的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵13．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，中，的平分線交于點，的平分線交于點．(1)求證：是菱形：(2)若，則的值為______．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定解答即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可以得到設(shè)，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)可得，列方程求出和的關(guān)系，從而可解答本題【詳解】（1）∵的平分線交于點，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．∴．∴．同理，．∴．∵∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．（2）由（1）知，四邊形是菱形，又四邊形是平行四邊形，，設(shè)，，則有：，即，整理得，解得，，，故答案為：【點睛】本題主要考查了靺的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及相似多邊形的性質(zhì)，求出與的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵14．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）矩形紙片的邊長為，動直線l分別交于E、F兩點，且∶(1)若直線l是矩形的對稱軸，且沿著直線l剪開后得的矩形與原矩形相似，試求的長？(2)若使，試探究：在邊上是否存在點E，使剪刀沿著直線l剪開后，所得到的小矩形紙片中存在與原矩形相似的情況．若存在，請求出的值，并判斷E點在邊上位置的特殊性；若不存在，試說明理由．【答案】(1)(2)存在，或，E剛好是邊的兩個黃金分割點【分析】（1）先根據(jù)矩形矩形可得出兩矩形的對應(yīng)邊成比例，再，把的值代入關(guān)系式即可得出x的值，進(jìn)而可求出的值；（2）假設(shè)存在矩形與矩形相似，則必與對應(yīng)，必與對應(yīng)，由相似多邊形的對應(yīng)邊成比例即可得出的長