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文檔簡介
第六章
平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運算6.2.4向量的數(shù)量積
(第一課時)一二三學(xué)習(xí)目標掌握向量的數(shù)量積運算理解數(shù)量積的幾何意義與投影向量掌握數(shù)量積的性質(zhì)與運算律,并加以運用學(xué)習(xí)目標復(fù)習(xí)回顧我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算?這些運算的結(jié)果是什么?加法運算;減法運算;數(shù)乘運算;運算的結(jié)果都依然是向量。
向量的線性運算那向量與向量可以相乘嗎?結(jié)果是什么量?我們該怎么定義呢?物理學(xué)中有沒有兩個向量之間的有關(guān)乘法運算?新知探究問題1.1
一個物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移s,那么力F所做的功應(yīng)當怎樣計算?問題1.2功是一個矢量還是標量?它的大小由那些量確定?
θsFF標量,大小由力、位移兩個向量及它們的夾角確定。
這給我們一種啟示,能否把“功”看成是兩個向量“相乘”的結(jié)果呢?受此啟發(fā),我們引入向量“數(shù)量積”的概念.先定義向量夾角的概念
向量的夾角已知兩個非零向量
,O是平面上的任意一點,作
則∠AOB=θ(
)叫做向量
的夾角.OABθ記作:<
>0≤θ≤π顯然,當θ=0時,同向.當時,垂直,記作.當θ=π時,反向.注意:計算向量的夾角時,要將兩個向量起點放在一起.概念生成50°ABC45°85°在△ABC中,已知A=45°,B=50°,C=85°,求下列向量的夾角:
(1)45°130°85°45°130°85°(2)(3)追問
兩個向量的夾角與兩條直線的夾角有何區(qū)別?向量
與
之間的夾角θ的取值范圍是[0,π],兩直線夾角的范圍.跟蹤練習(xí)新知探究問題2
如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量,其結(jié)果又該如何表述?
?=兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積所得結(jié)果是什么呢?力與位移的大小及其夾角余弦的乘積所得結(jié)果是功;向量的數(shù)量積已知兩個非零向量
,它們的夾角為θ,把數(shù)量
做向量
的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作
,即特別地,零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.OABθ概念生成①“·”不能省略不寫,也不能寫成“×”.注意:②數(shù)量積a·b的結(jié)果為實數(shù),不是向量.
(數(shù)量積運算是非線性運算)問題3向量的數(shù)量積是一個數(shù)量,那么它什么時候為正,什么時候為負?數(shù)量積的正負是由什么決定的?新知探究兩個非零向量的數(shù)量積,符號由夾角θ決定:
例1例2典例解析鞏固練習(xí)課本P20新知探究問題4在計算所做的功的過程中,我們會先求力在物體運動方向上的分力,你能將其表示出來嗎?那么,在向量中我們也有類似的概念。新知探究設(shè)
是兩個非零向量,
,過
的起點A和終點B,分別作
所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到
,我們稱這種變換為向量
向向量
投影,
叫做向量
在向量
上的投影向量.
我們可以在平面內(nèi)任取一點O,作.過點M作直線ON的垂線,垂足為,則就是向量在向量上的投影向量投影向量新知探究問題5NMOM1圖(1)圖(2)圖(3)新知探究圖(4)圖(5)鞏固練習(xí)課本P4典例解析例3例4典例解析新知探究
概念生成數(shù)量積的性質(zhì)
aa常記為aθ=90oθ=0oθ=180o可用于求向量的模
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