概率第3章課件

第三章條件概率與事件的獨立性重點條件概率的概念概率的乘法定理第一節(jié)條件概率定義設A、B兩個事件，P(A)>0，稱已知A發(fā)生條件下B發(fā)生的概率為B的條件概率，記為。下面我們來推導條件概率的計算公式。例1箱中有同型號的產(chǎn)品7件，其中4件正品，3件次品，無放回地抽取2件，每次取1件，已知第一次取到的是正品，求第二次取到次品的概率。P(AB)=而P(A)=發(fā)現(xiàn)這就是已知A發(fā)生條件下B發(fā)生的條件概率的計算公式，其中P(A)>0。類似地，如果P(B)>0，那么給定B已發(fā)生條件下，A發(fā)生的概率為：由以上，可得概率的乘法定理：乘法定理：推廣條件概率與乘法公式的區(qū)別1、表示A發(fā)生并且B發(fā)生的概率；2、表示在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率，條件概率的標志詞：“當、已知、如果”等。條件概率與一般概率的區(qū)別條件概率：在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率。條件概率是以B這樣一個新的樣本空間來考慮問題的；一般概率是以基本事件的總數(shù)構成的樣本空間來考慮的。解

一個盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任?。敝唬B?。泊?，求(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．設Ａ表示第一次取得白球,Ｂ表示第二次取得白球,則（2）（3）（1）例2練一練某種動物出生之后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率為0.56，求現(xiàn)年為20歲的這種動物活到25歲的概率。練一練5把鑰匙，只有一把能打開，如果某次打不開就扔掉，問以下事件的概率？（1）第一次打開；（2）第二次打開；（3）第三次打開；（4）第一次沒有打開的情況下第二次打開。第二節(jié)全概率公式在社會經(jīng)濟統(tǒng)計中，欲統(tǒng)計某種指標數(shù)據(jù)時，常常采用由各部門、單位匯總的方式和途徑（比如全校黨員人數(shù)由各單位黨員數(shù)匯總而得），類似地，欲計算某一事件概率時，也往往采用由偏概全，把各種不同來源、出處的可能性加以匯總的方式和途徑得到。例1某市場供應的燈泡中，甲、乙兩廠的產(chǎn)品分別占70％與30％，而甲、乙兩廠的產(chǎn)品的合格品率分別為95％與80％。試求從市場上任買一只燈泡為合格品的概率及這個合格品來自甲廠的概率。設B＝{產(chǎn)品為合格品}，={產(chǎn)品來自甲廠}={產(chǎn)品來自乙廠}為互斥事件，也為互斥事件。在上面求解過程中，待求概率的事件B的分解式十分關鍵，將事件B看成“結果”，而事件看成是產(chǎn)生結果的兩個可能“原因”。分解式正是“結果”與可能“原因”之間的一種聯(lián)系方式，而問題就是已知可能“原因”發(fā)生的概率，求“結果”發(fā)生的概率。我們稱這一類問題為全概率問題。設事件兩兩互斥，且又事件B滿足則有全概率公式：當事情分成兩個隨機階段來完成，而且第二個階段需要根據(jù)第一階段各種各樣的結果來計算的時候，用全概公式。思考：袋中有四個白球、六個紅球，從中不放回依次取出兩個，求第二次取出白球的概率。“抓鬮模型”“彩票模型”例2（課本）設某工廠有兩個車間生產(chǎn)同型號家用電器，第1車間的次品率為0.15，第2車間的次品率為0.12。兩個車間生產(chǎn)的成品都混合堆放在一個倉庫中，假設第1、2車間生產(chǎn)的成品比例為2：3，今有一客戶從成品倉庫中隨機提一臺產(chǎn)品，求該產(chǎn)品合格的概率。解記B＝{從倉庫隨機提出的一臺是合格品}

＝{提出的一臺是第i車間生產(chǎn)的}則有例

設播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個等級的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結的穗含有50顆以上麥粒的概率．解

設從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，又設Ｂ表示任選一顆種子所結的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825練一練設有來自三個地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3份、7份和5份。隨機地取一個地區(qū)的報名表，求抽到的一份是女生表的概率。第三節(jié)貝葉斯公式例1某市場供應的燈泡中，甲、乙兩廠的產(chǎn)品分別占70％與30％，而甲、乙兩廠的產(chǎn)品的合格品率分別為95％與80％。試求從市場上任買一只燈泡為合格品的概率及這個合格品來自甲廠的概率。設B＝{產(chǎn)品為合格品}，={產(chǎn)品來自甲廠}={產(chǎn)品來自乙廠}為互斥事件，也為互斥事件。在這一只燈泡為合格品的概率為0.905中，來自甲廠的占了，從而一只合格品來自甲廠的概率為：這個問題與第一個問題恰好相反，第一個問題是由“原因”推斷“結果”，而這個問題則是由“結果”推斷“原因”。我們稱它為貝葉斯公式：設事件互斥，且事件B滿足條件且，則對任一，有貝葉斯公式是大統(tǒng)計學家Bayes提出的。其中一般可利用統(tǒng)計資料事先取得，故稱為先驗概率或事前概率，而則是一種已知結果后追查原因、出處的逆向條件概率，稱為后驗概率或逆概率，貝葉斯公式也可稱為逆概率公式。貝葉斯ThomasBayes，英國數(shù)學家.1702年出生于倫敦，做過神甫。1742年成為英國皇家學會會員。1763年4月7日逝世。貝葉斯在數(shù)學方面主要研究概率論。他首先將歸納推理法用于概率論基礎理論，并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論，對于統(tǒng)計決策函數(shù)、統(tǒng)計推斷、統(tǒng)計的估算等做出了貢獻.1763年發(fā)表了這方面的論著，對于現(xiàn)代概率論和數(shù)理統(tǒng)計都有很重要的作用。貝葉斯的另一著作《機會的學說概論》發(fā)表于1758年。貝葉斯所采用的許多術語被沿用至今。

他對統(tǒng)計推理的主要貢獻是使用了"逆概率"這個概念，并把它作為一種普遍的推理方法提出來。貝葉斯定理原本是概率論中的一個定理，這一定理可用一個數(shù)學公式來表達，這個公式就是著名的貝葉斯公式。貝葉斯公式是他在1763年提出來的.從時間的順序上來說，貝葉斯公式是已知第二階段的某一結果，來求第一階段某一結果的概率。例有朋自遠方來，他乘火車、船、汽車、飛機的概率分別為3/10，1/5，1/10，2/5。若乘火車、船、汽車遲到的概率分別為1/4，1/3，1/12，而乘飛機便不會遲到，即概率為0，結果他遲到了。求在這一條件下，他乘火車來的概率。解

設Ａ1,Ａ2,Ａ3，A4分別表示乘火車，乘船，乘汽車，乘飛機。Ｂ表示“他遲到了”．依題意，有例（課本）一項血液化驗以概率0.95將帶菌病人檢出陽性，但也有1％的概率誤將健康人檢出陽性。設人群中帶菌病人為0.5%,求已知一個個體檢出為陽性條件下，該個體確實帶菌的概率。解：設B＝{陽性}，A1＝{帶菌}，A2＝{不帶菌}解設原發(fā)信號為“?”為事件

A1

原發(fā)信號為“—”為事件

A2收到信號“不清”為事件B練習在無線電通訊中發(fā)出信號“?”,由于隨機干擾,收到信號“?”,“不清”,“—”的概率分別為0.7,0.2,0.1;發(fā)出信號“—”,收到信號“?”,“不清”,“—”的概率分別為0,0.1,0.9.已知在發(fā)出的信號中,“?”和“—”出現(xiàn)的概率分別為0.6和0.4,試分析,當收到信號“不清”時,原發(fā)信號為“?”還是“—”的概率哪個大？可見,當收到信號“不清”時,原發(fā)信號為“?”的可能性大已知：第四節(jié)事件的獨立性一般來說，條件概率，即A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率是有影響的；但也有很多情形是例外的。引例將一顆均勻骰子投擲兩次A＝{第一次擲出3點}B={第二次擲出6點}顯然，事件A是否發(fā)生，對事件B發(fā)生的概率沒有影響。事件A與事件B沒有關系。事件A與事件B是相互獨立的。相互獨立事件滿足：設Ａ、Ｂ為任意兩個隨機事件，如果Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ）(1)即事件Ｂ發(fā)生的可能性不受事件Ａ的影響，則稱事件Ｂ對于事件Ａ獨立．

顯然，Ｂ對于Ａ獨立，則Ａ對于Ｂ也獨立，故稱Ａ與Ｂ相互獨立．定義由(1)式，在等式兩邊同時乘以，得：我們稱這是事件Ａ與事件Ｂ獨立的充要條件。(2)注在實際應用中，我們一般是根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否相互獨立，并不根據(jù)(2)式去判斷。而僅將(2)式作為相互獨立事件的一個性質加以應用。如：(1)甲乙兩人向同一目標射擊，A＝{甲命中目標}，B＝{乙命中目標}(2)從有限的總體中，有放回的抽取兩次產(chǎn)品，A＝{第一次抽到次品}，B＝{第二次抽到次品}(3)擲一顆均勻的骰子兩次，兩次擲到的點數(shù)。對于三事件A,B,C

如果：注：1)關系式(1)(2)不能互相推出

2)僅滿足(1)式時,稱A,B,C

兩兩獨立

(1)(2)A,B,C

相互獨立A,B,C

兩兩獨立

定義(1)與(2)同時成立，則稱A，B，C相互獨立。例

隨機投擲編號為1與2的兩顆骰子

事件A

表示1號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)

B

表示2號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)

C

表示兩骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)

則但本例說明不能由A,B,C

兩兩獨立A,B,C

相互獨立

n個事件A1,A2,…,An

相互獨立是指下面的關系式同時成立定義常由實際問題的意義判斷事件的獨立性

四對事件任何一對相互獨立,則其它三對也相互獨立如事實上注：相互獨立與互斥的關系？反之由A，B互斥則A，B不相互獨立。若A,B相互獨立,，則A與B不互斥。而是獨立：互斥：若獨立：利用獨立事件的性質計算其并事件的概率若A1,A2,…,An

相互獨立,則例

加工某一種零件需要經(jīng)過三道工序，設三道工序的次品率分別為2%，1%，5%，假設各道工序是互不影響的．求加工出來的零件的次品率．解

設Ａ1

，Ａ2

，Ａ3

分別表示第一、第二、第三道工序出現(xiàn)次品，則依題意：Ａ1,Ａ2,Ａ3相互獨立，且

Ｐ（Ａ1）＝2%,Ｐ（Ａ2）＝1%,Ｐ（Ａ3）＝5%又設Ａ表示加工出來的零件是次品,則A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3

＝1－(1－0.02)(1－0.01)(1－0.05)＝0.0783例（課本）設有n個人向保險公司購買人身意外險（保險期為1年），假定投保人在一年內(nèi)發(fā)生意外的概率為0.01，求該保險公司賠付的概率。解記{第i個投保人出現(xiàn)意外}A={保險公司賠付}則相互獨立，例

設兩系統(tǒng)都是由

4個元件組成,每個元件正常工作的概率為

p,每個元件是否正常工作相互獨立.兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性.A1A2B2B1S1:A1A2B2B1S2:第五節(jié)伯努利試驗和二項概率有時為了了解某些隨機現(xiàn)象的全過程，需要觀察一串試驗，例如對某一目標進行連續(xù)射擊；在一批燈泡中隨機抽取若干個測試它們的壽命等。這些試驗是由某個隨機試驗的多次重復所組成，且各次試驗的結果是相互獨立的，稱這樣的試驗序列為獨立重復試驗，稱重復試驗次數(shù)為重數(shù)。特別地，在n重獨立重復試驗中，若每次試驗只有結果A與，且A在每次試驗中發(fā)生的概率為p，則稱其為伯努利試驗。獨立重復試驗與伯努利試驗

伯努利JacobBernoulli1654-1705

瑞士數(shù)學家概率論的奠基人伯努利

(JacobBernoulli)簡介伯努利家屬祖孫三代出過十多位數(shù)學家.這在世界數(shù)學史上絕無僅有.伯努利幼年遵從父親意見學神學,當讀了R笛卡爾的書后,頓受啟發(fā),興趣轉向數(shù)學.

1694年,首次給出直角坐標和極坐標下的曲率半徑公式,同年關于雙紐線性質的論文,使伯努利雙紐線應此得名.此外對對數(shù)螺線深有研究,發(fā)現(xiàn)對數(shù)螺線經(jīng)過各種變換后,結果還是對數(shù)螺線,在驚嘆此曲線的奇妙之余,遺言把對數(shù)螺線刻在自己的墓碑上,并附以頌詞:縱使變化,依然故我1695年提出著名的伯努利方程定理設在一次試驗中，事件A發(fā)生的概率為p，則在n重伯努利試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率記＝{在n次伯努利試驗中，A恰好發(fā)生k次}此公式與二項展開式有密切關系，

(1)式恰好是二項展開