2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶市肇州縣高二年級下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)（含答案）

2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶市肇州縣高二下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)

一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的).

1.己知雙曲線的一個焦點(diǎn)為(石,0),漸近線方程為x±^y=0,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

()

22

A.--x2=lB.=1

22

22

C.x2-^-=lD.--->2=1

22-

2.己知數(shù)列｛%｝滿足凡+i=ga“，若。4+%=3,則4+%=()

1

A.-B.1C.6D.12

9

3.已知拋物線C：V=-4x,直線/過定點(diǎn)尸(0,1),與C僅有一個公共點(diǎn)的直線/有()

條

A.1B.2C.3D.4

4.設(shè)等差數(shù)列｛““｝的前〃項(xiàng)和為S”，若q+出+%=。4+%，55=60,則%=()

A.16B.20

C.24D.26

丫22

5.尸是雙曲線"號=1上一點(diǎn)，耳,工是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，且冏1=9,則|叫=()

A.1B.17C.1或17D.2或18

6.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“，若邑=2見+74,則公比夕為()

A.2或一3B.3C.2D.-3

7.過拋物線C：y?=2px(2>0)的焦點(diǎn)F的直線/與拋物線C交于兩點(diǎn)A,8,若3A尸=5FB，

則直線/的斜率欠=()

A.土屈B.±2五C.+y/5D.±73

8.已知雙曲線C：W-1=l(a>08>0)的左、右焦點(diǎn)分別為的、尸”過尸2作垂直于實(shí)軸的弦

a-b

jr

PQ,若NP"Q=1，則C的離心率e為()

A.V2-1B.V2C.72+1D.亞+2

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四

個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分,

有選錯的得0分）

22

9.若方程+工=1表示的曲線為C,則下列說法正確的有（）

4Tt-2

A.若2<f<4,則曲線。為橢圓B.若曲線C為雙曲線，則/<2或/>4

C.若曲線C為橢圓，則橢圓的焦距為2r

D.若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則2<r<3

10.數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為。,,="+3.若數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）

n

A.-1B.0C.1D.2

11.設(shè)等比數(shù)列｛a〃｝的前甘項(xiàng)和為且滿足的此多,則（）

A.數(shù)列｛“〃｝的公比為2B.數(shù)列｛助｝的公比為8

12.已知拋物線丁=2*（〃>0）的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸且傾斜角為7的直線/與拋物線相交于

A,5兩點(diǎn)，|A@=8,過A,8兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，交于點(diǎn)。.下列說法正確的是（）

A.QArQBB.^AOB（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2夜

C.而+血=2D.若P是拋物線上一動點(diǎn)，則1PMi+|PF|的最小值為g

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知數(shù)列｛4｝,｛么｝均為等差數(shù)列，且其前〃項(xiàng)和分別為$“和7”.若爭=景|，則

&=

A-------

14.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且a,用=S,,+2（〃eN*）,則a.=.

15.設(shè)尸為拋物線C：/=16y的焦點(diǎn)，直線/：y=-1,點(diǎn)A為C上任意一點(diǎn),過點(diǎn)A作

于P,則||AP|_|4F||=.

22

16.已知離心率為G的橢圓C1：之■+與=l（q>4>0）和離心率為e2的雙曲線C2：

坪

r22

與-￡v=1（%>0/2>0）有公共的焦點(diǎn)，其中耳為左焦點(diǎn)，尸是C1與C2在第一象限的公共點(diǎn).

線段。耳的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則4e；+說的最小值為

四、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的步驟或文字說明或證明過程)

17.(1)設(shè)拋物線f=2py(p>0)上第一象限的點(diǎn)〃與焦點(diǎn)尸的距離為4,點(diǎn)M到V軸的

距離為廊，求拋物線方程；

(2)求與雙曲線片-片=1有共同的漸近線，且過點(diǎn)(-3,26)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.

916

18.已知數(shù)列｛q｝滿足4=1,+.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列標(biāo))的前“項(xiàng)和

19.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,數(shù)列圾｝滿足：仇=1,4=2,且凡'也,-“川

(HeN*).

⑴求等差數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列］彳——匕~\的前〃項(xiàng)和S”.

20.己知等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為由,公比為勺，且關(guān)于X的不等式qx2-*-12>0的解集為

(-00,-2)<J(6,+oo).

(1)求凡;

(2)設(shè)〃=4+啕4,求數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和卻

22

21.已知雙曲線C:三-￡=l(a>0力>0)的漸近線方程為產(chǎn)環(huán)實(shí)軸長26

(1)求C的方程;

(2)若直線/過C的右焦點(diǎn)與C交于A&，x),5(孫％)兩點(diǎn)，中2=6,求直線/的方程.

22.已知拋物線C:y2=2px過點(diǎn)A(l,l),過點(diǎn)P(3,-1)的直線與拋物線C交于兩個不同

的點(diǎn)(均與點(diǎn)A不重合).

⑴求拋物線C的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵設(shè)直線40,4V的斜率分別為勺，包,求證：勺網(wǎng)為定值，并求出該定值.

答案：

1.D

【分析】先確定焦點(diǎn)位置，再求出即可.

【詳解】解：由題意得：雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，且c=6,2=變，再由‘2=/+〃，解

a2

得：(T=2,b-=\,該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

故選D.

2.D

【分析】由4可知數(shù)列｛4｝是公比為q=g的等比數(shù)列，再由題意結(jié)合等比數(shù)列的通

項(xiàng)公式代入可求出答案.

【詳解】由“向=1an可知數(shù)列｛可｝是公比為q=g的等比數(shù)列，

所以%+%=3=%-Q2+?3,Q2=(生+。3>42=；(42+%)>

解得.％+%=12

故選：D

3.C

【分析】過拋物線外一定點(diǎn)「(()」)的直線恰好與該拋物線只有一個交點(diǎn)，則分兩種情況分別

討論，一是直線與拋物線的對稱軸平行，二是直線與拋物線相切，根據(jù)這兩種情況進(jìn)而求解.

【詳解】過點(diǎn)P(O，D的直線/與拋物線C：V=-4x僅有一個公共點(diǎn)，則該直線/可能與拋物線

的對稱軸平行，也可能與拋物線相切，下面分兩種情況討論：

當(dāng)直線/與拋物線的對稱軸平行時，則直線/的方程為：y=i,滿足條件；

當(dāng)直線/與拋物線相切時，由于點(diǎn)P(O,D在x軸上方，且在拋物線外，則存在兩條直線與拋物

線相切，易知I：x=0是其中一條，

不妨設(shè)另一條直線/的方程為、=履+1,聯(lián)立直線/與拋物線方程可得：

k2x2+(2k+4)x+l=Q,則有A=(2k+4)2-4%2=0,解得：k=—l,

所以過點(diǎn)尸(0,1)的直線/的方程為：y=l或x=o或y=T+l,

故選.C

4.A

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式化簡已知等式可求得4,d,由%=4+44可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差為"，

q+4+4=4+〃5,「Sq+34=2〃]+7d,解得：4=4d,

5x4

S5=5a]+2d=30d=60,解得：d=2,，q=8,

%=4+4d=16.

故選：A.

5.B

【分析】利用雙曲線的定義即可求解.

22

【詳解】由雙曲線方程為土-乙=1可得：叱4,。=6,

1620

22

因?yàn)閜是雙曲線三-匯=1上一點(diǎn)，6,K是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，

1620

由雙曲線的定義可知：||「用-1尸或=24=8,又因?yàn)閨P周=9,

所以歸國=1或17,由題意可知：\PF2\>c-a=2,所以歸閭=17,

故選.B

6.B

【分析】根據(jù)已知條件列方程求得q.

【詳解】依題意$3=2%+7《，

即4+生+%=2%+7apa3-a2+64,

442=44+64,依題意q>0,

所以/-q-6=0,由于4>0,故解得4=3.

故選：B

7.A

【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及向量關(guān)系

求解作答.

【詳解】拋物線C：9=2力的焦點(diǎn)F(5,0),顯然直線/不垂直于y軸，設(shè)直線/的方程為

p

i萬

_E

22

由，“=)'+,消去x并整理得：y-2pty-p=0,設(shè)4為,％),例々，必)，則

y2=2px

%+以=2",丫跖=-P：

AF=(^--xA,-y,'),FB=(x2-^,y2),由3AF=5尸B得：X=-g%，而％+%=28,

貝IJ有乂=50,乃=-30，因此X%=-15。)2=-。2,解得f=±￡,則％=1=±巫,

“5t

所以直線/的斜率氏=土后.

故選：A

8.C

首先根據(jù)已知條件建立等量關(guān)系，進(jìn)一步利用通徑和焦距間的等量求出雙曲線的離心率.

【詳解】解：雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為寫、8,過K作垂直于實(shí)軸的弦PQ,若=

則：△?耳。為等腰直角三角形.

由于通徑P。=生2b2，

a

則：2c=—?

解得：c2-a2-2ac=0,

所以：e2-2e-1=0,

解得：e=\±5/2;

由于e>l,

所以：e=l+6,

故選：C.

本題考查通徑在求離心率中的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題型.

9.BD

【分析】根據(jù)f的取值，結(jié)合圓與圓錐曲線方程的特征逐一判斷即可.

4-r>0

【詳解】對于A,當(dāng)，-2>0時，即2y<3或3<，<4,此時曲線C為橢圓，故A錯；

4THf-2

對于B,若曲線C為雙曲線，則(4T).(f—2)<0,即f<2或f>4,故B對;

對于C,若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則橢圓的焦距為2n-2)=2>/^方,

若曲線C為焦點(diǎn)在，軸上的橢圓，則橢圓的焦距為2”-2-(4-)=26二,故C錯；

對于D,曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4T>，-2>0,解得2<f<3,故D對.

故選：BD.

10.ABC

【分析】根據(jù)數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，即a<〃2+〃，〃wN*恒成立求解.

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列｛q｝單調(diào)遞增，

所以

即〃+1+------>〃+—,

〃+1n

整理得a<"2+〃，即a<〃2+〃，〃eN"恒成立.

因?yàn)?5)=〃2+〃在〃wN*時的最小值為2,

所以a<2.

故選：ABC.

11.AD

【分析】由題意，若等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為4，有六8求根據(jù)等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求

苓，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】??.等比數(shù)列｛“〃｝的前〃項(xiàng)和為Sn,且滿足%=8%，

.?譚=八8,解得q=2,

U3

9M=l+/=9.

S3i-q

故選：AD.

12.AB

【分析】對于A：先根據(jù)弦長公式求出P得出方程，再分別求出斜率相乘即可驗(yàn)證；

對于B：代入面積公式轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理即可求解；

對于C:通分代入韋達(dá)定理所得的式子即可求解；

對于D：根據(jù)拋物線的定義即可求解.

【詳解】?；/過點(diǎn)F且傾斜角3，

4

???直線/的方程為x=y+g與拋物線方程聯(lián)立，得），2-20，-/=0,

設(shè)A（%，x）,3（%2，%），則弘+%=2。，%為=-「2,

-x,+x2=3p,中=.（』內(nèi)）_=2,

1-4p24

,/\A^=p+xl+x2=4p=89

P=2,則y2=4苫，

不妨設(shè)y>o,當(dāng)y>o時，

???過點(diǎn)A的切線的斜率為心=Mf=在，

同理可得過點(diǎn)B的切線的斜率為原=)'Lf=一忑，

,,12

V?=~7==一一=-1,AQAA.QB,故A項(xiàng)正確；

P

SAA.=gI。尸|,M-必|=gJ(M+先J-4y跖=；=2夜，故B正確;

11114P2

----1----=-------1------=-------------------=—=1

\AF\\BF\J'Pp(\p2p,故c錯誤;

%l222占*2+§國+*2)+勺

設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d,若"（1,1）,則|則+|叩2"=1+勺2,故D錯誤.

故選：AB.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列中等差中項(xiàng)的性質(zhì)，將所求的：=:詈，再由等差數(shù)列的求和公式,

轉(zhuǎn)化為率，從而得到答案.

15

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛凡卜也｝均為等差數(shù)列，且爭=案',

5（q+一）

所以。_4+%_5_$5J5-2=13

-

2/bt+bs5屹+4）T5~10+111

2

+J3

故77

14.2"

【分析】由題知當(dāng)"22時，a?=Sn_l+2,進(jìn)而結(jié)合已知得公比為2,再求得q=2即可求解.

【詳解】解：因?yàn)椤?用=S,,+2（〃eN*）

所以，當(dāng)〃22時，a?=S.T+2,

所以a,I+t-an=S?-S,-=an,即”,出=2an,

所以，等比數(shù)列｛q｝的公比為2,

所以，當(dāng)〃=1時，/=S|+2=4+2,

所以24I=q+2,解得％=2,

所以。“=22一=2"

故2"

15.3.

【分析】設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（七,%）,利用拋物線的焦半徑公式可得|AF|=%+4,由點(diǎn)到直線的

距離公式可得IAP|=%+1,代入||”|-|AF||即可得解.

【詳解】由/=16），可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（0,4）,準(zhǔn)線方程為y=T,設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（毛,%）,由

拋物線的定義可得|AE=%+曰=%+4,

因?yàn)檫^點(diǎn)A作于P,可得|42|=%-（-1）=%+1,

所以||AP|-|A邦=|%+1-（%+4）|=3.

故答案為.3

9

16.一##4.5

2

【分析】設(shè)尸2為右焦點(diǎn)，半焦距為J尸耳=%尸入=》,由題意，PFi1PF29則

222

x-by=4c,x+y=2a^x-y=2a2f所以（2q+（2%）?=,從而有4+4"=2,最

e\e2

后利用均值不等式即可求解.

【詳解】解：設(shè)尸2為右焦點(diǎn)，半焦距為%尸6=x，尸乙=y,由題意，尸耳，尸鳥，則

22

x+y=4c2,x+y=2a^x-y=2a2,

11

所以（2aJ9+（2%）9-=2-4c2,即-7+^=2,

e\e2

故（4e；+e；）-y+-y=5+當(dāng)~+烏..5+2，與ig=9,當(dāng)且僅當(dāng)/時取等，

'"（e：el）紜e：N%e；2

9

所以4e[+e；…5,

故答案為成9

17.①f=10y；②?4-1.

4

【分析】（1）設(shè)M（x,y）,根據(jù)拋物線上第一象限的點(diǎn)M到V軸的距離為而，求得M的

坐標(biāo)，再利用拋物線的定義求解;

(2)設(shè)與雙曲線$=1有共同的漸近線的雙曲線的方程為

,再由雙曲線過

916916

點(diǎn)(-3,2白)求解.

【詳解】(1)設(shè)M(x,y),

因?yàn)閽佄锞€x2=2py(p>0)上第一象限的點(diǎn)M到>軸的距離為而，

所以x=萬，

則(再了=2外，

3

解得y=],

又因?yàn)辄c(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離為4,

由拋物線的定義得，4=4,

22

解得P=5,

所以拋物線方程是x2=10y；

(2)設(shè)與雙曲線片-《=1有共同的漸近線的雙曲線的方程為=

2,

916916

因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(-3,2石)，

所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是可一彳二1

4

18.(1)a?=nT-'.(2)5?=2"-1.

【分析】(1)利用數(shù)列遞推式中的累乘法求通項(xiàng).

⑵利用等比數(shù)列的公式法求和.

1(1、a,,2(〃+1)

【詳解】⑴由彳4川=1+一?！翱傻?二三~--

2I???

所以"=2X￡,幺=2X]旦=2X(，…，2—=2x號(〃..2),

a}1a22a33an_{n-1

以上各式左右兩邊分別相乘可得

生生。4/-r-'J2x3x4xxn]

a2a3an-\(123n-\)

即"=2"T.〃,所以a=〃.2"T(*2),

公式對“=1也適合,所以

⑵因?yàn)椋?"T,所以數(shù)列為等比數(shù)列，

且公比為2,首項(xiàng)為1,通項(xiàng)組=2"T

n

由公式法可得數(shù)列的前“項(xiàng)和s=-0-2"）=2"_1.

〃1-2

19.⑴4=2〃-1

⑵S"=島

【分析】⑴根據(jù)題意將〃=1代入遞推公式中，求出的，進(jìn)而得出等差數(shù)列的公差，利用定

義法求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

（2）由⑴可知?！钡耐?xiàng)公式，代入遞推公式，變形可得%=%,即［4］為常數(shù)列，求出",

利用裂項(xiàng)相消求和法即可求出S?.

⑴

ahb

因?yàn)?n+i~?=4+也,一%（"eN"）

所以當(dāng)九=1時，。也一乙=。24一優(yōu)=%=3,則。2-4=2

所以等差數(shù)列｛4｝的公差為2,

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：

（2）

由（1）可知4出=2〃+1,代入anbn+l-b?=an+lbn-b?+l中可得:

用一々=（2〃+1）々一〃田=箝=勺，故數(shù)列為常數(shù)列,

hb

又g=l,故字=ln?=〃，

【分析】（1）首先把不等式轉(zhuǎn)換為方程，進(jìn)一步求出首項(xiàng)和公比，再利用等比數(shù)列的定義求

出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

(2)利用(1)的結(jié)論，進(jìn)一步利用分組法的應(yīng)用求出數(shù)列的和.

【詳解】(1)等比數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為4,公比為4,且關(guān)于X的不等式4/-於-12>0的解

集為(YO,—2)U(6,+OO).

則-2和6為4/-/-12=0的兩根，

所以(-2)+6=",(-2"6=_匕

解得4=1,q=4.

所以4=4廣=4"，

(2)由(1)得〃,=a“+log4a“=4"T+〃-l,

所以％=1+4+...+4"—+(1+2+…+〃-1),

4"-1n(n-l)

=--------F----------，

4-12

4〃一1n2-n

=-------+--------.

32

本題主要考查了求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了分組求和，屬于中檔題.

x22

21.⑴C:hJv=1

22

(2)2%+丁-4=0或2%-丁-4=0.

【分析】(1)根