2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題27.9 相似章末題型過關(guān)卷（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列第27章相似章末題型過關(guān)卷【人教版】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．APAB=AB2．（3分）（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'BA．△ABC～△A'B'C' B．點C．AO:AA'=1:23．（3分）（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個點均在格點上，AC與BD相交于點E，連接AB,CD，則△ABE與△CDE的周長比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：14．（3分）（2022·全國·九年級專題練習(xí)）P是線段AB上一點（AP>BP），則滿足APAB=BPAP，則稱點P是線段AB的黃金分割點．大自然是美的設(shè)計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割點”．如圖，一片樹葉的葉脈AB長度為10cm，P為AB的黃金分割點（AP>BP），求葉柄BPA．10-x2=10x B．x2=1010-x 5．（3分）（2022·全國·九年級課時練習(xí)）下列每個矩形都是由五個同樣的小正方形拼合組成，其中△ABC和△CDE的頂點都在小正方形的頂點上，則△ABC與△CDE一定相似的圖形是（

）A． B．C． D．6．（3分）（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知兩個直角三角形的三邊長分別為3，4，m和6，8，n，且這兩個直角三角形不相似，則m+n的值為（

）A．10+7或5+27 B．15 C．10+77．（3分）（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD:DC=1:2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，若BE=1，則EC=（

）A．32 B．2 C．3 8．（3分）（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，中線AD，BE相交于點F．EG∥BC，交AD于點G．GF=1，則BCA．5 B．6 C．10 D．129．（3分）（2022·廣西·來賓城南初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD=DE，連接BE分別交AC，AD于點F、G，連結(jié)OG、AE．則下列結(jié)論：①OG=12AB；

②四邊形ABDE是菱形；③S四邊形ODGF=A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．（3分）（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，將四邊形ABCD向左平移m個單位后，點B恰好和原點O重合，則m的值是（

）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3則DF＝___．12．（3分）（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點，若AMAN＝12，則13．（3分）（2022·湖北·武漢二中廣雅中學(xué)九年級階段練習(xí)）將圖1中的矩形和正方形紙片沿圖2中的虛線剪成5塊，再用這5塊拼接成如圖3所示矩形，其中陰影部分為空余部分，若AB=2AD，則ba14．（3分）（2022·湖南·寧遠縣中和鎮(zhèn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOCB的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，且OA＝2．OC＝1，則矩形AOCB的對稱中心的坐標是___；在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點O為位似中心放大為原來的32倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點O為位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B，…，按此規(guī)律，則矩形A4OC4B15．（3分）（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB點D，點M是AC一動點（AM＜12AC），將△ADM沿DM折疊得到△EDM，點A的對應(yīng)點為點E，ED與AC交于點F，則CD的長度是__________；若ME//CD，則AM16．（3分）（2022·江西·九年級專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的四個頂點位于坐標軸上，對角線AC，BD交于原點O，線段AD的中點E的坐標為-3,1，P是菱形ABCD邊上的點，若△PDE是等腰三角形，則點三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022·福建·廈門市第五中學(xué)八年級期中）定義：若一個三角形最長邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點F在邊AC上，D是邊BC上的一點，AB＝BD，點A，D關(guān)于直線l對稱，且直線l經(jīng)過點F．（1）如圖1，求作點F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關(guān)系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．18．（6分）（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知：a:b:c=2:3:5.（1）求代數(shù)式3a-b+c2a+3b-c（2）如果3a-b+c=24，求a,b,c的值.19．（8分）（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，在6×6的方格紙中，點A，B，C均在格點上，試按要求畫出相應(yīng)格點圖形．(1)如圖1，作一條線段，使它是AB向右平移一格后的圖形；(2)如圖2，作一個軸對稱圖形，使AB和AC是它的兩條邊；(3)如圖3，作一個與△ABC相似的三角形，相似比不等于1．20．（8分）（2022·安徽安慶·九年級階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F．（1）如圖①，當(dāng)CEEB=1（2）如圖②，當(dāng)點E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG=12

21．（8分）（2022·山東·棗莊市臺兒莊區(qū)教育局教研室九年級期中）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，已知△ABC三個頂點分別為A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）以原點O為位似中心，在x軸的上方畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC位似，且相似比為2；（2）△A1B1C1的面積是平方單位．（3）點P（a，b）為△ABC內(nèi)一點，則在△A1B1C1內(nèi)的對應(yīng)點P’的坐標為．22．（8分）（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長的邊重合，如圖2，將1張A4紙對折，使其較長的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．（1）A4紙較長邊與較短邊的比為；（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請說明理由．23．（8分）（2022·全國·九年級單元測試）如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽光恰好從窗戶的最高點C射進房間的地板F處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點D射進房間的地板E處，小明測得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并測得OE＝1m，OF＝5m，求圍墻AB的高度．第27章相似章末題型過關(guān)卷【人教版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．APAB=AB【答案】D【詳解】解：A．當(dāng)∠ABP=∠C時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤；B．當(dāng)∠APB=∠ABC時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤；C．當(dāng)APAB又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤；D．無法得到△ABP∽△ACB，故此選項正確．故選：D．2．（3分）（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'BA．△ABC～△A'B'C' B．點C．AO:AA'=1:2【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)進行判斷即可得．【詳解】解：∵以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A∴△ABC～△A'B'C'、點∴AO:AA即選項A、B、D說法正確，選項C說法錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（3分）（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個點均在格點上，AC與BD相交于點E，連接AB,CD，則△ABE與△CDE的周長比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】D【分析】運用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DCBM為平行四邊形，接著證明△ABE∽△CDE，最后利相似三角形周長的比等于相似比即可求出．【詳解】如圖：由題意可知，DM=3，BC=3，∴DM=BC，而DM∥∴四邊形DCBM為平行四邊形，∴AB∥∴∠BAE=∠DCE，∠ABE=∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴C△ABE故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識并正確計算是解題關(guān)鍵．4．（3分）（2022·全國·九年級專題練習(xí)）P是線段AB上一點（AP>BP），則滿足APAB=BPAP，則稱點P是線段AB的黃金分割點．大自然是美的設(shè)計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割點”．如圖，一片樹葉的葉脈AB長度為10cm，P為AB的黃金分割點（AP>BP），求葉柄BPA．10-x2=10x B．x2=1010-x 【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的特點即可求解．【詳解】∵AB=10，BP=x，∴AP=10-x，∵P點是黃金分割點，∴APAB∴AP∴(10-x)2故選：A．【點睛】本題主要考查了根據(jù)黃金分割點列一元二次方程的知識，依據(jù)APAB=BP5．（3分）（2022·全國·九年級課時練習(xí)）下列每個矩形都是由五個同樣的小正方形拼合組成，其中△ABC和△CDE的頂點都在小正方形的頂點上，則△ABC與△CDE一定相似的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)對每個選項分析論證得出正確選項．【詳解】解：已知每個矩形都是由五個同樣的小正方形拼合組成．A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠CDE，BC=DC=2，∴ABBC=1∴△ABC∽△CDE；B：△ABC為等腰三角形，則△CDE不是等腰三角形，所以不相似；C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，對應(yīng)角不相等，所以不相似；D：CDCD=1，∴CDCD故選：A．【點睛】此題考查的知識點是相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)對每個選項分析論證得出正確選項．6．（3分）（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知兩個直角三角形的三邊長分別為3，4，m和6，8，n，且這兩個直角三角形不相似，則m+n的值為（

）A．10+7或5+27 B．15 C．10+7【答案】A【分析】判斷未知邊m、n是直角三角形的直角邊還是斜邊，再根據(jù)勾股定理計算出m、n的值，最后根據(jù)題目中兩個三角形不相似，對應(yīng)邊的比值不同進行判斷．【詳解】解：在第一個直接三角形中，若m是直角邊，則m=4若m是斜邊，則m=4在第二個直接三角形中，若n是直角邊，則n=8若n是斜邊，則n=8又因為兩個直角三角形不相似，故m=5和n=10，m=7和n=27即當(dāng)m=5，n=27，m+n=5+2當(dāng)m=7，n=10，m+n=10+故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)，在直角三角形中對未知邊是直角邊還是斜邊進行不同情況的討論是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD:DC=1:2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，若BE=1，則EC=（

）A．32 B．2 C．3 【答案】C【分析】過點D作DF∥AE交BC于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，BEEF=BOOD，EFFC=AD【詳解】解：過點D作DF∥AE交BC于∵OE∥∴BEEF∵O是BD的中點，∴BO=OD，∴BE=EF，∵DF∥∴EFFC∴CF=2EF，∴BE:EC=BE:3BE=1:3，∵BE=1，∴EC=3，故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．過分點作平行線構(gòu)建平行線分線段成比例定理的基本圖形是解決問題的關(guān)鍵．8．（3分）（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，中線AD，BE相交于點F．EG∥BC，交AD于點G．GF=1，則BCA．5 B．6 C．10 D．12【答案】D【分析】首先根據(jù)GE∥CD得到△AGF∽△ADC、△FEG∽△FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜邊的中線性質(zhì)得出結(jié)果．【詳解】解：∵GE∥CD，∴△AGE∽△ADC，△FEG∽△FBD，∴AGAD∴GEBD又∵BD=CD，∴GFDF∴DF=2GF=2，∴DG=DF+GF=3∴AD=2DG=6，在直角△ABC中，∠BAC=90°，∴BC=2AD=12，故選D．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行得到相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．9．（3分）（2022·廣西·來賓城南初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD=DE，連接BE分別交AC，AD于點F、G，連結(jié)OG、AE．則下列結(jié)論：①OG=12AB；

②四邊形ABDE是菱形；③S四邊形ODGF=A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】證明四邊形ABDE為平行四邊形可得OB=OD，由菱形ABCD可得AG=DG，根據(jù)三角形中位線定理可判斷①；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定可得△ABD為等邊三角形AB=BD，從而可判斷平行四邊形ABDE是菱形，由此判斷②；借助相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形中線有關(guān)的面積問題可判斷③．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD=AD，OA=OC，OB=OD，∵CD=DE，∴AB=DE．又∵AB∥DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴BG=EG，AB=DE，AG=DG，又∵OD=OB，∴OG是△BDA是中位線，∴OG=12故①正確；∵∠BAD=60°，AB=AD，∴△BAD是等邊三角形，∴BD=AB，∴?ABDE是菱形，故②正確；∵OB=OD，AG=DG，∴OG是△ABD的中位線，∴OG∥AB，OG=12∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），∴△GOD的面積=14∴△AFG的面積=△OGF的面積的2倍，又∵△GOD的面積=△AOG的面積=△BOG的面積，∴S四邊形ODGF=S△ABF；故③正確；故選：D．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．判斷①的關(guān)鍵是三角形中位線定理的運用，②的關(guān)鍵是利用等邊三角形證明BD=AB；③的關(guān)鍵是通過相似得出面積之間的關(guān)系．10．（3分）（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，將四邊形ABCD向左平移m個單位后，點B恰好和原點O重合，則m的值是（

）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6【答案】A【分析】由題意可得，m的值就是線段OB的長度，過點D作DE⊥AC，過點C作CF⊥OB，根據(jù)勾股定理求得DE的長度，再根據(jù)三角形相似求得BF，矩形的性質(zhì)得到OF，即可求解．【詳解】解：由題意可得，m的值就是線段OB的長度，過點D作DE⊥AC，過點C作CF⊥OB，如下圖：∵CD=AD=5，DE⊥AC∴CE=12由勾股定理得DE=∵AB//DC∴∠DCE=∠BAC，∠ODC=∠BOD=90°又∵AC⊥BC∴∠ACB=∠CED=90°∴△DEC∽△BCA∴DEBC=解得BC=8，AB=10∵CF⊥OB∴∠ACB=∠BFC=90°∴△BCF∽△BAC∴BCAB=解得BF=6.4由題意可知四邊形OFCD為矩形，∴OF=CD=5OB=BF+OF=11.4故選A【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形的平移，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3則DF＝___．【答案】7.5【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝5，BD＝3，∴ACCE=BDDF，即故答案為：7.5．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，熟知三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例是解答此題的關(guān)鍵．12．（3分）（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點，若AMAN＝12，則【答案】1【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比求出DEBC【詳解】解：∵M，N分別是DE，BC的中點，∴AM、AN分別為△ADE、△ABC的中線，∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝AMAN＝∴SΔADESΔABC＝(DEBC)故答案為：14【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．13．（3分）（2022·湖北·武漢二中廣雅中學(xué)九年級階段練習(xí)）將圖1中的矩形和正方形紙片沿圖2中的虛線剪成5塊，再用這5塊拼接成如圖3所示矩形，其中陰影部分為空余部分，若AB=2AD，則ba【答案】15-【分析】如圖，設(shè)FH=EJ=AK=x，則PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先證明x=3b-2a，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建關(guān)系式，即可解決問題．【詳解】解：如圖，設(shè)FH=EJ=AK=x，則PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，∴CD=2a-b，∵KQ=PF，∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，∴x=3b-2a，∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，∴∠EFH=∠FTP，∴△EHF∽△FPT，∴EHFP∴4a5a+2b-(3b-2a)整理得，3b2-15ab+14a2=0，∴b=15±576∵4a-2b＞0，∴ba∴ba=15-故答案為：15-57【點睛】本題考查圖形拼剪，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．14．（3分）（2022·湖南·寧遠縣中和鎮(zhèn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOCB的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，且OA＝2．OC＝1，則矩形AOCB的對稱中心的坐標是___；在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點O為位似中心放大為原來的32倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點O為位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B，…，按此規(guī)律，則矩形A4OC4B【答案】

（﹣1，12），

（﹣8116，【分析】先利用矩形的性質(zhì)寫出B點坐標，則根據(jù)線段中點坐標公式可寫出矩形AOCB的對稱中心的坐標；再利用以原點為位似中心的對應(yīng)點的坐標之間的關(guān)系分別寫出B1、B2、B3、B4的坐標，然后矩形A4OC4B4的對稱中心的坐標．【詳解】解：∵OA=2．OC=1，∴B（-2，1），∴矩形AOCB的對稱中心的坐標為（-1，12∵將矩形AOCB以原點O為位似中心放大為原來的32倍，得到矩形A1OC1B1∴B1（-3，32同理可得B2（-92，94），B3（-274，278），B4（-∴矩形A4OC4B4的對稱中心的坐標是（﹣8116，81故答案為（-1，12），（﹣8116，【點睛】本題考查作圖-位似變換：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．15．（3分）（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB點D，點M是AC一動點（AM＜12AC），將△ADM沿DM折疊得到△EDM，點A的對應(yīng)點為點E，ED與AC交于點F，則CD的長度是__________；若ME//CD，則AM【答案】

5

2.5【分析】（1）根據(jù)已知條件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后證明△ABC∽△CBD，進而可以解決問題；（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，進而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的長，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的長，再證明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的長．【詳解】（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，∵∠B=∠B，∴ΔBCD∽ΔBAC，∴BC：AB=BD：BC，即6：9=BD：6，BD=4，∴AD=CD=9-4=5；（2）∵△ADM沿DM折疊得到ΔEDM，∴AM=EM，∠CAD=∠E，∵ME//CD，∴∠E=∠CDE，∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，∴DF//BC，且DF=CF，∴ΔADF∽ΔABC，∴DF：BC=AD：AB，即DF：6=5：9，解得DF=103∴CF=103∵DF//BC，∴AF：CF=AD：BD，即AF：103解得：AF=256設(shè)AM=ME=x，則MF=256-x∵ME//CD，∴ΔMEF∽ΔCDF，∴ME：CD=MF：CF，即x：5=（256-x）：10解得x=2.5；故答案：5；2.5；【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是得到CM=DE=5，然后由△ABC∽△CBD解決問題．16．（3分）（2022·江西·九年級專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的四個頂點位于坐標軸上，對角線AC，BD交于原點O，線段AD的中點E的坐標為-3,1，P是菱形ABCD邊上的點，若△PDE是等腰三角形，則點【答案】-3,-1或3【分析】根據(jù)線段AD的中點E的坐標為-3,1，易得OE=2，根據(jù)菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，可得菱形的邊長4，∠ADO=60°，然后分別從①當(dāng)PE=DE時，②當(dāng)DP=DE時，③當(dāng)【詳解】解：①過點E作EM⊥AC于M，延長EM交AB于點P1，連接OE∵點E的坐標為-3∴在Rt△EMO中，EM=1，OM=3∴OE=E∴∠EOM=30°，

∵點E為菱形ABCD的邊AD的中點，∴AC⊥BD，AD=2OE=4，AE=DE=2，∴EP1∥BD∴AP∴AM=OM，AP∴點M是線段AO的中點，點P1是線段AB∴BD=2DO=2×2EM=4，BO=DO=2，AO=2MO=23，AO=CO=2∴EP1∴EP∴P1-②過點E作EN⊥BD于N，延長EN交CD于點P3∵點E為菱形ABCD的邊AD的中點，AC⊥BD∴EP∴DP∴DN=ON，DP∴點N是線段DO的中點，點P3是線段CD由①知：CO=23，CD=4∴NP3=12∴DE=DP3∴P3③過點O作OG⊥AD于G，延長GO交BC于點P2，連接EP2由①知：EO=EA=ED，∠EOA=30°，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴∠EAO=∠EOA=30°，∠ADO=90°-30°=60°，∴△EDO是等邊三角形，∴點G是線段DE的中點，∴OG是DE的垂直平分線，∴P2∵E-3,1∴D0,2，∴G-根據(jù)題意，菱形ABCD關(guān)于坐標軸和原點對稱，∴P2綜上所述，點P的坐標是-3,-1或3,1【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形的中位線，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，中點坐標等知識點．掌握菱形的性質(zhì)及分類討論是解答本題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022·福建·廈門市第五中學(xué)八年級期中）定義：若一個三角形最長邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點F在邊AC上，D是邊BC上的一點，AB＝BD，點A，D關(guān)于直線l對稱，且直線l經(jīng)過點F．（1）如圖1，求作點F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關(guān)系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．【答案】（1）見解析（2）①a=b+1②見解析【分析】（1）作AD的垂直平分線，交AC于F點即可；（2）①根據(jù)題意得到a=2c，聯(lián)立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；②證明△ABE∽△CBA，得到AECA【詳解】（1）如圖，點F為所求；（2）①∵△ABC是“和諧三角形”∴a=2c又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．聯(lián)立化簡得到a=b+1；②∵E點是BD中點∴BE=1由①得到AB=1∴AB又∠ABE=∠CBA∴△ABE∽△CBA∴AB故△ACE是“和諧三角形”．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知垂直平分線的做法．18．（6分）（2022·上海·九年級專題練習(xí)）已知：a:b:c=2:3:5.（1）求代數(shù)式3a-b+c2a+3b-c（2）如果3a-b+c=24，求a,b,c的值.【答案】（1）1；（2）a=6,b=9,c=15【分析】（1）設(shè)a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，代入代數(shù)式3a-b+c（2）把a、b、c的值代入，求出即可．【詳解】∵a:b:c=2:3:5∴設(shè)a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)（1）3a-b+c2a+3b-c（2）∵3a-b+c=24∴6k-3k+5k=24，∴k=3，∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力．19．（8分）（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，在6×6的方格紙中，點A，B，C均在格點上，試按要求畫出相應(yīng)格點圖形．(1)如圖1，作一條線段，使它是AB向右平移一格后的圖形；(2)如圖2，作一個軸對稱圖形，使AB和AC是它的兩條邊；(3)如圖3，作一個與△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析(3)畫圖見解析【分析】（1）分別確定A，B平移后的對應(yīng)點C，D，從而可得答案；（2）確定線段AB，AC關(guān)于直線BC對稱的線段即可；（3）分別計算△ABC的三邊長度，再利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例確定△DEF的三邊長度，再畫出△DEF即可．（1）解：如圖，線段CD即為所求作的線段，（2）如圖，四邊形ABDC是所求作的軸對稱圖形，（3）如圖，如圖，△DEF即為所求作的三角形，由勾股定理可得：AB=12+同理：DF=22+∴AB∴△ABC∽△DFE.【點睛】本題考查的是平移的作圖，軸對稱的作圖，相似三角形的作圖，掌握平移軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．20．（8分）（2022·安徽安慶·九年級階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F．（1）如圖①，當(dāng)CEEB=1（2）如圖②，當(dāng)點E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG=12

【答案】（1）S△CEFS【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理，得△CEF∽△ADF，可得EFDF=1（2）由AD∥CB，點E是BC的中點，得△EFC∽△DFA．CF：AF=EC：AD，由FG//AB，得CG：BG=CF：AF，進而即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵CEEB∴CEBC=1∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△CEF∽△ADF，∴EFDF=CE∴EFDF=CEBC=∴S△CEFS△CDF（2）∵AD∥CB，點E是BC的中點，∴△EFC∽△DFA．∴CF：AF=EC：AD=1：2，∵FG⊥BC，∴FG//AB，∴CG：BG=CF：AF=1：2，∴CG=12【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例，是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2022·山東·棗莊市臺兒莊區(qū)教育局教研室九年級期中）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，已知△ABC三個頂點分別為A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）以原點O為位似中心，在x軸的上方畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC位似，且相似比為2；（2）△A1B1C1的面積是平方單位．（3）點P（a，b）為△ABC內(nèi)一點，則在△A1B1C1內(nèi)的對應(yīng)點P’的坐標為．【答案】（1）見解析；（2）28；（3）（2a，2b）．【分析】（1）連接OB，延長OB到B1使得OB1=2OB，同法作出A1，C1，連接A1C1，B1C1，A1B1即可．（2）兩條分割法求出三角形的面積即可．（3）利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：（1）△A1B1C1即為所求．（2）△A1B1C1的面積＝4S△ABC＝4×（4×5﹣12×3×5﹣12×1×3﹣故答案為：28．（3）點P（a，b）為△ABC內(nèi)一點，則在△A1B1C1內(nèi)的對應(yīng)點P’的坐標為（2a，2b），故答案為：（2a，2b）．【點睛】本題考查作圖——位似變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．22．（8分）（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長的邊重合，如圖2，將1張A4紙對折，使其較長的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．（1）A4紙較長邊與較短邊的比為；（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請說明理由．【答案】（1）2；（2）相似，理由見解析【分析】（1）根據(jù)邊的關(guān)系得出比例等式解答即可；（2）根據(jù)相似圖形的判定解答即可．【詳解】解：（1）如圖1，設(shè)AB＝x，由上面兩個圖，由翻折的性質(zhì)我們知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，∴∠BCF＝∠BDF=90°，又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，∴∠ACB=∠ECF=45°，∴BC=2x，∴BD＝BC＝2x，AD＝AB+BD＝（2+1）x，∴EF＝CE＝AD＝（2+1）x，∵DE＝AC＝AB＝x，∴DF＝DE+EF＝（2+2）x，∴DFAD故答案為：2．（2）由（1）知：A5紙長邊為A4紙短邊，長為（2+1）x，A5紙短邊長為（2+22）∴對A5紙，長邊：短邊=2∴A4紙與A5紙相似．【點睛】此題考查了相似圖形，關(guān)鍵是根據(jù)相似圖形判斷和性質(zhì)解答．23．（8分）（2022·全國·九年級單元測試）如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽光恰好從窗戶的最高點C射進房間的地板F處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點D射進房間的地板E處，小明測得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并測得OE＝1m，OF＝5m，求圍墻AB的高度．【答案】4m【分析】首先根據(jù)DO=OE=1m，可得∠DEB=45°，然后證明AB=BE，再證明△ABF∽△COF，可得ABBF【詳解】解：延長OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE=90°，∵OD=1m，OE=1m，∴∠DEB=45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE=45°，∴AB=BE，設(shè)AB=EB=xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴ABBF∴x解得：x=4．經(jīng)檢驗：x=4是原方程的解．答：圍墻AB的高度是4m．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是求出AB=BE，根據(jù)相似三角形的判定方法證明△ABF∽△COF．專題28.1銳角的三角函數(shù)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】 1【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】 2【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】 4【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長】 5【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】 6【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】 7【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】 8【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計算】 8【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】 9【題型10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】 10【知識點1銳角三角函數(shù)】在中，，則的三角函數(shù)為定義表達式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)【知識點2特殊角的三角函數(shù)值】三角函數(shù)30°45°60°1【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】【例1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)金石實驗中學(xué)九年級期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCAB=3A．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【變式1-1】（2022·上?！ぞ拍昙墕卧獪y試）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于cosBA．CDAC B．BDCB C．CDCB【變式1-2】（2022·全國·九年級課時練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a(chǎn)＝c?cosB【變式1-3】（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校九年級階段練習(xí)）圖①、圖②是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，點A、點B和點C在小正方形的頂點上.請在圖①、圖②中各畫一個圖形，滿足以下要求：(1)在圖①中以AB和BC為邊畫四邊形ABCE，點E在小正方形的頂點上，且此四邊形有兩組對邊相等．(2)在圖②中以AB為邊畫△ABD，使tan∠ADB=【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】【例2】（2022·山東·肥城市湖屯鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，那么sin∠EFC的值為()．A．13 B．45 C．23【變式2-1】（2022·河南南陽·九年級期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE＝2，則tanA．12 B．2 C．52 【變式2-2】（2022·廣東·惠州一中二模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，點D為BC的中點，DE⊥AB于點E，則cos∠BDE的值等于（

A．52 B．53 C．23【變式2-3】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB=5，AD=3，點E在AB上，點F在BC上．若AE=2，CF=1，則sin∠1+∠2=（A．12 B．22 C．32【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】【例3】（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為（

）A．3 B．2 C．22 D．3【變式3-1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖所示，在Rt△ABC中，斜邊AB=3，BC=1，點D在AB上，且BDAD=13A．13 B．1 C．223【變式3-2】（2022·浙江·寧波市興寧中學(xué)九年級期中）如圖，將△ABC沿著CE翻折，使點A落在點D處，CD與AB交于點F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，則tan∠CEF＝___．【變式3-3】（2022·江蘇·陽山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB的延長線上，連接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，則ACBC的值為【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長】【例4】（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD為△ABC的角平分線，若CD=2，則AB的長為（

）A．3 B．22+2 C．4 【變式4-1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過點C，且點G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長為（）A．32 B．332 C．【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC．點D在△ABC內(nèi)部，AD⊥CD，且∠ADB【變式4-3】（2022·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC≌△ABD，點E在邊AB上，CE∥BD，連接(1)求證：四邊形BCED是菱形．(2)已知點F為BC中點，過點F作GF⊥BC交AB于點G，BG=5，cos∠ABC=0.6，請直接寫出BE【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】【例5】（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)九年級期末）已知△ABC中，點D為BC邊上一點，則下列四個說法中，一定正確的有（

）①連接AD，若D為BC中點，且AD平分∠BAC，則AB=AC；②若∠BAC=90°，且BC=2AC，則∠B=30°；③若∠B=30°，且BC=2AC，則∠BAC=90°；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，則△ABC的重心在AD上．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式5-1】（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校一模）在△ABC中，若，sinB?12【變式5-2】（2022·湖南·長沙市雅禮實驗中學(xué)二模）若菱形的周長為82，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（

A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1【變式5-3】（2022·山東日照·三模）如圖，直線AB=?33x+3與坐標軸相交于A、B兩點，動點P在線段AB上，動點Q在線段OA上，連接OP，且滿足∠BOP=∠OQP，則當(dāng)【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】【例6】（2022·廣東·東莞市東華初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．33【變式6-1】（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學(xué)校模擬預(yù)測）計算：(1)3tan(2)cos2【變式6-2】（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學(xué)九年級階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，則sin∠ABC【變式6-3】（2022·河南·油田十中九年級階段練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A、B、O都在格點上，則∠AOB的正切值是______．

【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】【例7】（2022·全國·九年級課時練習(xí)）下列結(jié)論中（其中α，β均為銳角），正確的是___________．（填序號）①sin2α+cos2α=1；②cos2α=2cos【變式7-1】（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校一模）已知sinα?cosα=18【變式7-2】（2022·福建莆田·一模）求證：若α為銳角，則sin2α+cos2α＝1．要求：①如圖，銳角α和線段m用尺規(guī)作出一個以線段m為直角邊，α為內(nèi)角的Rt△ABC保留作圖痕跡，不寫作法）②根據(jù)①中所畫圖形證明該命題．【變式7-3】（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知sinα，cosα為方程x2【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計算】【例8】（2022·全國·九年級課時練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，則sinB等于(

A．25 B．35 C．45【變式8-1】（2022·全國·九年級單元測試）若α為銳角，且cosα＝1213A．513 B．1213 C．512【變式8-2】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知α，β都是銳角，且α+β=90°，sinα+cosβ=【變式8-3】（2022·福建·龍海二中九年級階段練習(xí)）李華在作業(yè)中得到如下結(jié)果：tantantantantan根據(jù)以上，李華猜想：對于任意銳角α，均有tan（1）當(dāng)α=30°時，驗證tanα?（2）李華的猜想是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請舉出一個反例．（3）小明發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)解析式中的k值（一次項系數(shù)的值）其實就是該一次函數(shù)圖像與x軸所形成的夾角的正切值，已知平面直角坐標系中有兩條直線互相垂直，l1：y1=k1x+b1，l2【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】【例9】（2022·福建省泉州實驗中學(xué)九年級期中）三角函數(shù)sin40°、cos16°、A．tan50°>cos16°>C．cos16°>tan50°>【變式9-1】（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）已知△ABC是銳角三角形，若AB>AC，則（）A．sinA<sinB B．sinB<sinC【變式9-2】（2022·四川·西昌市俊波學(xué)校九年級階段練習(xí)）已知32<cosA．30°<A<B B．60°<A<B C．B<A<60° D．B<A<30°【變式9-3】（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，梯子地面的夾角為∠A，關(guān)于∠A的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間的關(guān)系，下列敘述正確的是（

）A．sinAB．cosAC．梯子的長度決定傾斜程度D．梯子傾斜程度與∠A的函數(shù)值無關(guān)【題型10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】【例10】（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級中學(xué)一模）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝102cm，D為AB邊上一點，tan∠ACD＝15，點P由C點出發(fā)，以2cm/s的速度向終點B運動，連接PD，將PD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DQ，連接PQ(1)填空：BC＝，BD＝；(2)點P運動幾秒，DQ最短；(3)如圖2，當(dāng)Q點運動到直線AB下方時，連接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；(4)在點P運動過程中，若∠BPQ＝15°，請直接寫出BP的長．【變式10-1】（2022·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在平面直角坐標系中，點A1的坐標是(0,?1)，點A1，A2，A3，A4，A5…所在直線與x軸交于點B0(?2,0)，點B1，B2，B3，B4…都在【變式10-2】（2022·廣東深圳·九年級期末）如圖1，分別以ΔABC的AB、AC為斜邊間外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF，點G是AC的中點，連接DG、BF．（1）求證：ΔADG∽ΔABF；（2）如圖2，若∠BAC=90°，AB=22，AC=32，求（3）如圖3，以ΔABC的BC邊為斜邊問外作等腰直角三角形BCE，連接EG，試探究線段DG、EG的關(guān)系，并加以證明．【變式10-3】（2022·江蘇·揚州中學(xué)教育集團樹人學(xué)校一模）（1）【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直線MN經(jīng)過點C，AE⊥MN，垂足為E，BF⊥MN，垂足為F，則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是．（2）【拓展探究】如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直線MN經(jīng)過點C，AE⊥MN，垂足為E，BF⊥MN，垂足為F，試猜想AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）【遷移應(yīng)用】如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，E為AC的中點，F(xiàn)為邊BC上一點，CE＝CF，P為AB上一點（不與A、B重合），D為射線EF上一點，當(dāng)△CDP為等腰直角三角形時．①tan∠EFC＝．②求出BP的長度．專題28.1銳角的三角函數(shù)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】 2【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】 5【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】 9【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長】 14【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】 20【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】 24【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】 27【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計算】 30【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】 33【題型10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】 35【知識點1銳角三角函數(shù)】在中，，則的三角函數(shù)為定義表達式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)【知識點2特殊角的三角函數(shù)值】三角函數(shù)30°45°60°1【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】【例1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)金石實驗中學(xué)九年級期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【答案】D【分析】設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項排查即可．【詳解】解：設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，則cosA＝ACAB＝4a5a=sinB＝BCAB＝4a5a=tanA＝BCAC=3atanB＝ACBC=4k3k＝故選：D．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理，掌握并靈活運用三角函數(shù)的定義成為解答本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·上?！ぞ拍昙墕卧獪y試）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于cosBA．CDAC B．BDCB C．CDCB【答案】C【分析】根據(jù)已知可得∠B=∠ACD，然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC∴cosB=CDAC故A不符合題意；B．在Rt△DBC中，cosB=BDCB，故BC．在Rt△DBC中，cos∠BCD=CDCB∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠CDCB故C符合題意；D．在Rt△ABC中，cosB=CBAB故選：C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)只與角度大小有關(guān)與角度位置無關(guān)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·全國·九年級課時練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a(chǎn)＝c?cosB【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義：（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．分別進行分析即可．【詳解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，則sinA＝ac，則a=c·tanA＝ab，則b＝acosB＝ac，則a＝ccosB故選：D．【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．【變式1-3】（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校九年級階段練習(xí)）圖①、圖②是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，點A、點B和點C在小正方形的頂點上.請在圖①、圖②中各畫一個圖形，滿足以下要求：(1)在圖①中以AB和BC為邊畫四邊形ABCE，點E在小正方形的頂點上，且此四邊形有兩組對邊相等．(2)在圖②中以AB為邊畫△ABD，使tan∠ADB=【答案】(1)作圖見解析；(2)作圖見解析．【分析】（1）根據(jù)該四邊形有兩組對邊相等可知這個四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊互相平行即可作出；（2）根據(jù)正切值的定義即可作出△ABD．（1）解：作圖如下：根據(jù)該四邊形有兩組對邊相等可知這個四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形的對邊互相平行可知，AD∥BC，由BC平移可以得到AD，∵點B向上平移三個單位，向右平移一個單位，得到點A，∴點C向上平移三個單位，向右平移一個單位，即可得到點D．（2）△ABD如下圖，BE=3，DE=4，∠BED=90°，tan∠ADB=【點睛】本題考查在網(wǎng)格中作圖，需要熟練掌握平行四邊形的對邊平行且相等，正切值的定義．【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】【例2】（2022·山東·肥城市湖屯鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，那么sin∠EFC的值為()．A．13 B．45 C．23【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得AF=AD=5，EF=DE，由勾股定理得BF=4，進而得CF=1，設(shè)CE=x，則DE=EF=3?x，根據(jù)勾股定理，列出方程，求出x的值，即可得到答案．【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3．∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的F處，∴AF=AD=5，EF=DE，∵在Rt△ABF中，BF=A∴CF=BC?BF=5?4=1，設(shè)CE=x，則DE=EF=3?x，∵在Rt△ECF中，CE∴x2+1∴EF=3?x=5∴sin∠EFC=故選B．【點睛】本題主要考查矩形中折疊的性質(zhì)以及勾股定理和正弦三角函數(shù)的定義，掌握勾股定理，列方程，是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·河南南陽·九年級期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE＝2，則tanA．12 B．2 C．52 【答案】B【分析】在直角三角形ADE中，cosA=【詳解】設(shè)菱形ABCD邊長為t．∵BE＝2，∴AE＝t?2．∴cosA=∴35∴t＝5．∴AE＝5?2＝3．∴DE＝AD2?AE∴tan∠DBE＝DEBE故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握邊角之間的關(guān)系．【變式2-2】（2022·廣東·惠州一中二模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，點D為BC的中點，DE⊥AB于點E，則cos∠BDE的值等于（

A．52 B．53 C．23【答案】B【分析】如圖所示，連接AD，由D為BC中點得出BD=DC=4，AD⊥BC，從而根據(jù)勾股定理得出AD=25，然后由∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°得出∠BDE=∠BAD【詳解】如圖所示，連接AD，∵AB=AC=6，BC=8，D為BC中點，∴AD⊥BC，BD=DC=4，∴AD=A∵∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°，∴∠BDE=∠BAD，∴cos故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是通過等量代換得出∠BDE=∠BAD，進而得出答案．【變式2-3】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB=5，AD=3，點E在AB上，點F在BC上．若AE=2，CF=1，則sin∠1+∠2=（A．12 B．22 C．32【答案】B【分析】連接EF，求證△DEF是等腰直角三角形，得∠EDF=45°，所以∠1+【詳解】解：連接EF，∵四邊形ABCD是長方形，∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，BC=AD=3，CD=AB=5，在Rt△ADE中，AD=3，AE=2，∴DE∵AB=5，∴BE=AB-AE=3，∵CF=1，∴BF=BC-CF=2，在在Rt△EBF中，∴EF∴EF=DE在Rt△CDF中，∴DF∵26=13+13，即：DF∴∠DEF=90°，∴∠EDF=∠DFE=45°，∴∠1+∴sin∠1+∠2故選B．【點睛】本題考查長方形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、正弦函數(shù)，根據(jù)勾股定理的逆定理證明出△DEF是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】【例3】（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為（

）A．3 B．2 C．22 D．3【答案】A【分析】過C作CM∥AB，過D作DN⊥MC于N，從而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理求出CN、DN的值，最后再利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【詳解】：連接CM，DN，由題意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由題意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，∴CN=2∴tan∠DCN＝DNCN＝3∴∠APD的正切值為：3，故選：A．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)與勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、正切函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖所示，在Rt△ABC中，斜邊AB=3，BC=1，點D在AB上，且BDAD=13A．13 B．1 C．223【答案】C【分析】過點D作DE⊥BC于點E，構(gòu)造含∠BCD的Rt△CDE，分別算出DE、CE的長，利用正切的定義計算即可．【詳解】如圖，過點D作DE⊥BC于點E，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴AC∥DE∴∠A=∠EDB∴△ACB∽△DEB（AA）∵BDAD∴BD又∵AB=3，BC=1∴BE=14，CE=∵Rt△BDE∴DE=∵BC=1∴CE=BC?BE=∴tan故選C．【點睛】本題考查了正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識點，正切值定義的成立條件是在直角三角形中，這點是容易被忽略的易錯點．【變式3-2】（2022·浙江·寧波市興寧中學(xué)九年級期中）如圖，將△ABC沿著CE翻折，使點A落在點D處，CD與AB交于點F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，則tan∠CEF＝___．【答案】7【分析】如圖，作CH⊥AB于H．設(shè)CF=EC=x．由CF=CE，CH⊥EF，推出FH=EH，設(shè)FH=EH=y，根據(jù)勾股定理可得x2?y2=(x+42【詳解】解：如圖，作CH⊥AB于H．設(shè)CF=EC=x，∵CF=CE，CH⊥EF，∴FH=EH，設(shè)FH=EH=y，則有x整理得2x+3y=14∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠D+∠FED，∠CEF=∠A+∠ECA，∠A=∠D，∴∠FED=∠ECA，∴△EFD∽△CEA，∴DFAE∴4212?2y=由①②可得x=42，y=2，∴CH=x∴tan∠CEF=故答案為7．【點睛】本題考查翻折變換、求正切、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題【變式3-3】（2022·江蘇·陽山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB的延長線上，連接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，則ACBC的值為【答案】3【分析】過點D作DM⊥CM，交CB的延長線于點M，可得∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義可設(shè)DM＝a，則CM＝2a，然后證明8字模型相似三角形△ACB∽△DMB，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得ABBD＝ACDM＝CBBM＝2，進而可得AC＝2a，CB＝【詳解】解：過點D作DM⊥CM，交CB的延長線于點M，∴∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，tan∠BCD＝12∴tan∠DCM＝DMCM＝1設(shè)DM＝a，則CM＝2a，∵∠ACB＝∠DMC＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ACB∽△DMB，∴ABBD＝ACDM＝CBBM∴AC＝2DM＝2a，∴CB=∴ACBC＝2a4故答案為：32【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長】【例4】（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD為△ABC的角平分線，若CD=2，則AB的長為（

）A．3 B．22+2 C．4 【答案】D【分析】過點D作DE⊥BC于點E，設(shè)AB=AC=x，則AD=x-2，根據(jù)等腰Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，得到∠C=45°，根據(jù)BD為△ABC的角平分線，∠A=90°，DE⊥BC，推出DE=AD=x-2，運用∠C的正弦即可求得．【詳解】解：過點D作DE⊥BC于點E，則∠DEB=∠DEC=90°，設(shè)AB=AC=x，則AD=x-2，∵等腰Rt△ABC中，，∠A=90°，AB=AC，，∴∠C=（180°-∠A）=45°，∵BD為△ABC的角平分線，∴DE=AD=x-2，∵sinC=∴x?22∴x=2+2，即故選D．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形，角平分線，解直角三角形，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正弦的定義和45°的正弦值，是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過點C，且點G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長為（）A．32 B．332 C．【答案】B【分析】過點G作GM⊥BC于點M，過點C作CN⊥AD于點N，由菱形的性質(zhì)得出AB＝BC＝CD＝23，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性質(zhì)求出MG＝3，證明△GBM∽△BCE，由相似三角形的性質(zhì)得出BG【詳解】解：過點G作GM⊥BC于點M，過點C作CN⊥AD于點N，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC＝CD＝23，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC∴∠MGN＝90°，∴四邊形GMCN為矩形，∴GM＝CN，在△CDN中，∠D＝60°，CD＝23∴CN＝CD?sin60°＝23∴MG＝3，∵四邊形BEFG為矩形，∴∠E＝90°，BG∥EF，∴∠BCE＝∠GBM，又∵∠E＝∠BMG，∴△GBM∽△BCE，∴BGBC∴42∴BE＝32故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC．點D在△ABC內(nèi)部，AD⊥CD，且∠ADB【答案】41【分析】取點H在AD上，使AH=BD，連接CH，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理的運用求解即可解答．【詳解】解：取點H在AD上，使AH=BD，連接CH，∵AB=AC，∠ADB=2∠ACB，∴∠BAD+∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠DAC，在△ABD和△AB=∴△ABD?△∴∠BAD=∠ACH，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∴∠BAC=∠ACH+∠DAC，又∵∠DHC=∠ACH+∠DAC，∴∠DHC=∠BAC，∴tan∠DHC又∵AD⊥∴DCHD∴HD=∴AD=HC=2+34∵HD∴34解得：DC=4，∴AD=5，∴AC=【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．【變式4-3】（2022·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC≌△ABD，點E在邊AB上，CE∥BD，連接(1)求證：四邊形BCED是菱形．(2)已知點F為BC中點，過點F作GF⊥BC交AB于點G，BG=5，cos∠ABC=0.6，請直接寫出BE【答案】(1)見解析(2)7.2【分析】（1）通過三角形全等證明相應(yīng)角和相應(yīng)邊相等，再根據(jù)CE∥BD證明內(nèi)錯角相等，從而得到CE=BD，從而證明四邊形（2）先連接CD，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的比值求出BF的長度，從而求出BC的長度，再求出BH的長度，從而求出BE的長度．(1)解：∵△ABC≌△ABD∴∠ABC=∠ABD，CB=BD∵CE∴∠CEB=∠ABD∴∠CEB=∠ABC∴CE=BC∴CE=BD∵CE=BD，CE∴四邊形BCED為平行四邊形∵CB=BD∴四邊形BCED為菱形(2)解：連接CD交AB與點H，如圖所示∵四邊形BCED為菱形∴BH=EH，BE⊥CD∴∠CHB=90°∵GF⊥BC∴∠GFB=90°∵BG=5，cos∴BF∴BF=3∵點F為BC中點∴BC=6∵cos∴BH=3.6∴EH=3.6∴BE=7.2【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運用，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運用是解答本題的關(guān)鍵．【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】【例5】（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)九年級期末）已知△ABC中，點D為BC邊上一點，則下列四個說法中，一定正確的有（

）①連接AD，若D為BC中點，且AD平分∠BAC，則AB=AC；②若∠BAC=90°，且BC=2AC，則∠B=30°；③若∠B=30°，且BC=2AC，則∠BAC=90°；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，則△ABC的重心在AD上．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①根據(jù)三角形的中線性質(zhì)，可得S△ABD=S△ACD，再利用角平分線性質(zhì)得到AB=AC；②因為BC=2AC根據(jù)直角三角形特殊三角函數(shù)值即可解答；③∠B=30°，且BC=2AC，根據(jù)三角形中的特殊角的角邊關(guān)系即可確定∠BAC=90°；④三角形重心在三角形中線上，根據(jù)等腰三角形三線合一可確定【詳解】①因為D為BC中點，所以S△ABD=S△ACD,又因為AD平分∠BAC，則點D到線段AB、②若∠BAC=90°，且BC=2AC，則∠B的正弦值為12，則∠B=30°③若∠B=30°，且BC=2AC，過點C作線段AB的垂線段恰好與AC重合，則∠BAC=90°，故③正確；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，根據(jù)三線合一，AD為BC邊中線，則△ABC的重心在AD上．故答案選D【點睛】本題考查了三角形的中線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，特殊角三角行的角邊關(guān)系，熟練掌握三角形的角平分線性質(zhì)，中線性質(zhì)，靈活運用三角形角邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校一模）在△ABC中，若，sinB?12【答案】90【分析】用非負數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值解答．【詳解】∵sinB?∴sinB?12sinB=12∠B=30°，∠A=60°，∠C=180-（∠A+∠B）=90°．故答案為90．【點睛】本題考查了非負數(shù)性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握非負數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值，是解決此類問題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·湖南·長沙市雅禮實驗中學(xué)二模）若菱形的周長為82，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（

A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1【答案】D【分析】如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2，利用菱形的性質(zhì)得到AB=22，利用正弦的定義得到∠B=45°，則∠C=135°，從而得到∠C:∠B【詳解】解：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2，∵菱形的周長為82∴AB=22在RtΔABH中，sinB=∴∠B=45°，∵AB//CD，∴∠C=135°，∴∠C:∠B=3:1．故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．【變式5-3】（2022·山東日照·三模）如圖，直線AB=?33x+3與坐標軸相交于A、B兩點，動點P在線段AB上，動點Q在線段OA上，連接OP，且滿足∠BOP=∠OQP，則當(dāng)【答案】

30

2【分析】過點P作PM⊥OA于點M，設(shè)P(t,?33t+3)，由三角形相似可得MQ【詳解】解：如圖，過點P作PM⊥OA于點M，∵動點P在線段AB上，∴設(shè)P(t,?3∴PM=?33t+∵∠BOP+∠POM=90°,∠MQP+∠QPM=90°，∠BOP=∠OQP，∴∠POM=∠QPM，∵∠OMP=∠PMQ=90°，∴△OPM∽△PQM，∴PM∴MQ=P設(shè)OQ=m，∵OQ=OM+MQ，∴m=t+(?整理得：4t∴Δ整理可得：m2設(shè)y=m則其與x軸的兩個交點為(?6,0),(2,0)，∵a=1＞∴當(dāng)y=m2+4m?12≥0時