2024一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型概率統(tǒng)計(jì)-講義

概率統(tǒng)計(jì)——講義專題48簡單隨機(jī)抽樣一、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查1、全面調(diào)查（1）定義：對每一個(gè)調(diào)查對象都進(jìn)行調(diào)查的方法，成為全面調(diào)查，又稱普查.在一個(gè)調(diào)查中，我們把調(diào)查對象的全體稱為成為總體，組成總體的每一個(gè)調(diào)查對象稱為個(gè)體。（2）優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)是所有資料較為全面可靠；缺點(diǎn)是調(diào)查花費(fèi)的人力、物力、財(cái)力較多，且調(diào)查時(shí)間較長，全面調(diào)查只在樣本少的情況下適合采用。2、抽樣調(diào)查（1）定義：根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查。（2）相關(guān)的概念：=1\*GB3①總體：所要考察對象的全體叫做總體=2\*GB3②樣本：從總體中抽取出的若干個(gè)個(gè)體組成的集合叫作總體的一個(gè)樣本=3\*GB3③個(gè)體：總體中的每一個(gè)考察對象叫作個(gè)體=4\*GB3④樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫作樣本容量=5\*GB3⑤樣本數(shù)據(jù)：調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測數(shù)據(jù)，簡稱樣本數(shù)據(jù)。（3）優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)是迅速及時(shí)；節(jié)約人力、物力和財(cái)力缺點(diǎn)是調(diào)查結(jié)果不如全面調(diào)查全面、系統(tǒng)。二、簡單隨機(jī)抽樣1、放回簡單隨機(jī)抽樣一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N（N為正整數(shù)）個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n（1≤n<N）個(gè)個(gè)體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機(jī)抽樣.2、不放回簡單隨機(jī)抽樣如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機(jī)抽樣.3、簡單隨機(jī)抽樣與簡單隨機(jī)樣本放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機(jī)抽樣，通過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本成為簡單隨機(jī)樣本。4、簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：（1）總體個(gè)數(shù)有限：簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)有限，這樣便于通過樣本對總體進(jìn)行分析；（2）逐個(gè)抽取：簡單隨機(jī)抽驗(yàn)是從總體中種逐個(gè)進(jìn)行抽取，這樣便于實(shí)際操作；（3）不放回抽樣：簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，這樣便于樣本的獲取和一些相關(guān)的計(jì)算。（4）等可能抽樣：不僅每次從總體中抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等，而且在整個(gè)抽樣過程中，各個(gè)個(gè)體被抽到的可能性也相等，從而保證了這種抽樣方法的公平性。5、常用的簡單隨機(jī)抽樣有抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法三、抽簽法與隨機(jī)數(shù)法1、抽簽法（1）定義：把總體中的N個(gè)個(gè)體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個(gè)容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個(gè)號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)樣本容量為n的樣本。（2）抽簽法的操作步驟：第一步，編號：將N個(gè)個(gè)體編號（號碼可以從1到N，也可以使用已有的號碼）第二步，寫簽：將N個(gè)號碼寫到大小、形狀相同的號簽上.第三步，抽簽：將號簽攪拌均勻，每次從中抽取一個(gè)號簽，連續(xù)不放回地抽取n次，并記錄其編號.第四部，定樣：從總體中找出與號簽上的號碼對應(yīng)的個(gè)體，組成樣本.（3）抽簽法的注意事項(xiàng)：=1\*GB3①對個(gè)體編號時(shí)，也可以利用已有的編號.=2\*GB3②制作號簽時(shí)，所使用的工具（如紙條、小球等）的形狀、大小要一樣，以確保每個(gè)號簽被抽到的可能性相等.=3\*GB3③抽取樣本前總體要“均勻攪拌”，目的是讓每個(gè)號簽被抽到的機(jī)會相等.（4）優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：簡單易形，當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí)，使總體處于“攪拌”均勻的狀態(tài)比較容易，此時(shí)，每個(gè)個(gè)體都有均等的機(jī)會被抽中，從而能夠保證樣本的代表性；缺點(diǎn)：僅適用于個(gè)體數(shù)較少的總體，當(dāng)總體的容量較大時(shí)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力又不方便，況且，如果號簽攪拌的不均勻，可能導(dǎo)致抽樣不公平。2、隨機(jī)數(shù)法（1）定義：簡單隨機(jī)抽樣中，另一個(gè)經(jīng)常被采用的方法是隨機(jī)數(shù)表法，即利用隨機(jī)試驗(yàn)或信息技術(shù)（即計(jì)算器、電子表格軟件和R統(tǒng)計(jì)軟件）生成的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣.（2）隨機(jī)數(shù)表法步驟：=1\*GB3①把總體中的每個(gè)個(gè)體編號。=2\*GB3②用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生編號范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù).=3\*GB3③把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號，使與編號對應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本。重復(fù)上述過程，知道抽足樣本所需要的數(shù)量.【注意】如果產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，即同一編號被多次抽到，可以剔除重復(fù)的編號并重新產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，知道產(chǎn)生的不同標(biāo)號個(gè)數(shù)等于樣本所需要的數(shù)量.（3）優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：操作簡單易行，它很好地解決了用抽簽法當(dāng)總總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)制簽難的問題，在總體容量不大的情況下是行之有效的。缺點(diǎn)：總體中的個(gè)數(shù)很多，對個(gè)體編號的工作量太大，即使用隨機(jī)數(shù)表法操作也不方便快捷。3、抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的比較相同點(diǎn)：（1）抽簽法與隨機(jī)數(shù)法都是簡單隨機(jī)抽樣，并且要求被抽取樣本的總體的個(gè)數(shù)有限；（2）抽簽法與隨機(jī)數(shù)法都是從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取，都是不放回抽樣；不同點(diǎn)：抽簽法適用于總體個(gè)數(shù)較少的情況；隨機(jī)數(shù)法適用于總體個(gè)數(shù)較多的情形。四、簡單隨機(jī)抽樣中的兩類特征數(shù)1、總體平均數(shù)一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k（k≤N）個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)2、樣本平均數(shù)如果從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn專題49分層抽樣和獲取數(shù)據(jù)的途經(jīng)一、分層隨機(jī)抽樣的概念1、分層隨機(jī)抽樣的定義：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層．2、比例分配：在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．3、分層隨機(jī)抽樣使用的原則（1）將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；（2）分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比．4、分層隨機(jī)抽樣的步驟（1）分層：按某種特征將總體分成若干部分（層）；（2）計(jì)算抽樣比：抽樣比k=樣本容量（3）定數(shù)：按抽樣比確定每層抽取的個(gè)體數(shù)；（4）抽樣：每層分貝按簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本（5）成樣：綜合各層抽樣，組成樣本。5、分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算關(guān)系：（1）eq\f(樣本容量n,總體的個(gè)數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個(gè)體數(shù),該層的個(gè)體數(shù))；（2）總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．（3）樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系為：eq\x\to(ω)＝eq\f(m,m＋n)＋eq\f(n,m＋n)＝eq\f(M,M＋N)＋eq\f(N,M＋N).二、獲取數(shù)據(jù)的基本途徑選擇獲取數(shù)據(jù)的途徑主要是根據(jù)所要研究問題的類型，以及獲取數(shù)據(jù)的難易程度．有的數(shù)據(jù)可以有多種獲取途徑，有的數(shù)據(jù)只能通過一種途徑獲取，選擇合適的方法和途徑能夠更好地提高數(shù)據(jù)的可靠性．1、通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)：（1）使用類型：對于有限總體問題，我們一般通過抽樣調(diào)查或普查的方法獲取數(shù)據(jù)；（2）注意問題：要充分有效地利用背景信息選擇或創(chuàng)建更好的抽樣方法，并有效地避免抽樣過程中的人為錯(cuò)誤2、通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)（1）適用類型：沒有現(xiàn)存的數(shù)據(jù)可以查詢（2）注意問題：嚴(yán)格控制實(shí)驗(yàn)環(huán)境，通過精心的設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)，以提高數(shù)據(jù)質(zhì)量3、通過觀察獲取數(shù)據(jù)（1）適用類型：自然現(xiàn)象（2）注意問題：要通過長久的持續(xù)觀察獲取數(shù)據(jù)4、通過查詢獲得數(shù)據(jù)（1）適用類型：眾多專家研究過，其收集的數(shù)據(jù)有所存儲（2）注意問題：必須根據(jù)問題背景知識“清洗數(shù)據(jù)”，去偽存真專題50樣本估計(jì)總體一、頻率分布直方圖1、頻率分布直方圖（1）列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟：①計(jì)算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計(jì)算它們的差；②決定組距與組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少分成5~12組，且；③將數(shù)據(jù)分組：通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間區(qū)左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；也可以將樣本數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組．④列頻率分布表：對落入各小組的數(shù)據(jù)累計(jì)，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得到各小組的頻率．⑤繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖。（2）頻率分布直方圖的特點(diǎn)：①，②個(gè)小長方形的面積等于1，③．（3）頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個(gè)長方形上邊的中點(diǎn)用線段連接起來，就得到頻率分布折線圖，一般把折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點(diǎn)沒有實(shí)際意義．（4）總體密度曲線：樣本容量不斷增大時(shí)，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，頻率分布直方圖可以用一條光滑曲線來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線．總體密度曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律．2、根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系(1)平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替．(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等．(3)眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)據(jù)．二、百分位數(shù)的計(jì)算1．第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．2．計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計(jì)算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．三、樣本估計(jì)總體1、用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)（1）眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)；（2）中位數(shù)：將樣本數(shù)據(jù)按大小順序排列，若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則最中間的數(shù)據(jù)為中位數(shù)，若樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)。（3）平均數(shù)：設(shè)樣本的數(shù)據(jù)為,則樣本的算術(shù)平均數(shù)為；（4）眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變．?dāng)?shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值不敏感（5）平均數(shù)相關(guān)結(jié)論：①如果兩組數(shù)和的平均數(shù)分別是和，則一組數(shù)的平均數(shù)是；②如果一組數(shù)的平均數(shù)為，則一組數(shù)的平均數(shù)為。③如果一組數(shù)的平均數(shù)為，則一組數(shù)的平均數(shù)為2、根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（1）平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替．（2）中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等．（3）眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)據(jù)．四、總體離散程度的估計(jì)（方差、標(biāo)準(zhǔn)差）用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差（1）數(shù)據(jù)的離散程度可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述；（2）極差（又叫全距）是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動幅度；（3）樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大??；一般地，設(shè)樣本的數(shù)據(jù)為，樣本的平均數(shù)為，定義樣本方差為；簡化公式：=（方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)平均數(shù)的平方）（4）樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根．樣本標(biāo)準(zhǔn)差．標(biāo)準(zhǔn)差越大數(shù)據(jù)離散程度越大，數(shù)據(jù)家分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)集中在平均數(shù)周圍．（5）方差相關(guān)結(jié)論：①如果一組數(shù)的方差為，則一組數(shù)的方差為；②如果一組數(shù)的方差為，則一組數(shù)的方差為。專題51隨機(jī)事件與概率一、有限樣本空間1、隨機(jī)試驗(yàn)：我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn).特點(diǎn)：（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果都是明確可知的，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。2、樣本點(diǎn)和樣本空間（1）樣本點(diǎn)：我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，用ω表示樣本點(diǎn)；（2）樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，用Ω表示樣本空間；（3）有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間，Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}3、樣本空間中樣本點(diǎn)的求法：（1）列舉法：也稱枚舉法，對于一些情境比較簡單，樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是很多的概率問題，計(jì)算時(shí)只需要一一列舉，即可得出隨機(jī)事件所包含的言本店，注意列舉時(shí)必須按一定的順序，做到不重不漏。（2）列表法：碎玉樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是太多的情況，可以采用列表法。通常把對問題的思考分析歸結(jié)為“有序?qū)崝?shù)對”，以便更直接地得到樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，列表法的有點(diǎn)是準(zhǔn)確、全面、不易遺漏，期中最常用的方法是坐標(biāo)系法。（3）樹狀圖法：樹狀圖適用于按一順序排雷的較復(fù)雜問題中言本店個(gè)數(shù)的求解，是一種常用的方法。二、三種事件的定義1、隨機(jī)事件：我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生；2、必然事件：Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件；3、不可能事件：空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件。注意：判斷一個(gè)事件是哪類事件要看兩點(diǎn)一看條件：因?yàn)槿N事件都是相對于一定條件而言的；二看結(jié)果是否發(fā)生：一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一定不發(fā)生的是不可能事件．三、事件的關(guān)系判斷1.互斥（互不相容）：一般地，如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說A∩B是一個(gè)不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)2、互為對立：一般地，如果事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事件A與事件B互為對立．事件A的對立事件記為eq\o(A,\s\up6(－))四、事件的運(yùn)算1、包含關(guān)系：一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，即B?A(或A?B)，特殊情形：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等，記作A＝B2、并事件（和事件）：一般地，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，則稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)3、交事件（積事件）：一般地，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，則稱這樣的事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)五、古典概型的判斷1、古典概型的定義我們將具有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．（1）有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；（2）等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．2、古典概型的概率計(jì)算公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ)，其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．六、概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)．性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．專題52事件的相互獨(dú)立性一、相互獨(dú)立事件1、定義：對任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立．2、判斷事件是否相互獨(dú)立的方法（1）定義法：若事件A的發(fā)生對事件B的發(fā)生概率沒有影響，反之亦然，則這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的（2）公式法：若對兩事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，則事件A，B相互獨(dú)立.3、用相互獨(dú)立事件的乘法公式解題的步驟：（1）用恰當(dāng)?shù)淖帜副硎绢}中有關(guān)事件；（2）根據(jù)題設(shè)條件，分析事件間的關(guān)系；（3）將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個(gè)事件的乘積之和(相互乘積的事件之間必須滿足相互獨(dú)立)；（4）利用乘法公式計(jì)算概率．二、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式已知兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立，它們的概率分別為P(A)，P(B)，則有事件表示概率A，B同時(shí)發(fā)生ABP(A)P(B)A，B都不發(fā)生eq\o(A,\s\up12(－))eq\o(B,\s\up12(－))P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))A，B恰有一個(gè)發(fā)生(Aeq\x\to(B))∪(eq\x\to(A)B)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生(Aeq\x\to(B))∪(eq\x\to(A)B)∪(AB)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(B)A，B中至多有一個(gè)發(fā)生(Aeq\x\to(B))∪(eq\x\to(A)B)∪(eq\o(A,\s\up12(－))eq\o(B,\s\up12(－)))P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))專題53頻率與概率一、頻率與概率1、頻率的穩(wěn)定性大量的試驗(yàn)證明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有__隨機(jī)性__.一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性_.因此我們可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).2、頻率的求法頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率，頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近擺動，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率．3、頻率和概率區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：（1）在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．（2）概率是度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的量（3）頻率是一個(gè)變量，隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率是一個(gè)定值，是某事件的固有屬性．聯(lián)系：對于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A)．二、游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法（1）游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的．（2）具體判斷時(shí)，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較．三、隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生及模擬應(yīng)用1、隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生（1）標(biāo)號：把n個(gè)大小、形狀相同的小球分別標(biāo)上1，2，3，…，n.（2）攪拌：放入一個(gè)袋中，把它們充分?jǐn)嚢?（3）摸?。簭闹忻鲆粋€(gè).這個(gè)球上的數(shù)就稱為從1～n之間的隨機(jī)整數(shù)，簡稱隨機(jī)數(shù).2、偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生（