2022-2023學年八年級數學下冊舉一反三系列三系列專題13.6 期末專項復習之反比例函數十四大必考點（舉一反三）（蘇科版）含解析

2022-2023學年八年級數學下冊舉一反三系列專題13.6反比例函數十四大必考點【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1反比例函數的概念辨析】 1【考點2根據反比例函數的圖象判斷解析式】 2【考點3根據反比例函數的圖象的對稱性求點的坐標】 3【考點4反比例函數圖象上點的坐標特征的運用】 4【考點5反比例函數性質的運用】 4【考點6反比例函數中k的幾何意義】 5【考點7待定系數法求反比例函數的解析式】 6【考點8反比例函數中的動點問題】 7【考點9反比例函數中的存在性問題】 9【考點10反比例函數中的最值問題】 11【考點11反比例函數與一次函數圖象的綜合判斷】 12【考點12反比例函數與一次函數圖象的交點問題】 13【考點13反比例函數與一次函數圖象的實際應用】 15【考點14反比例函數與一次函數的其他綜合運用】 17【考點1反比例函數的概念辨析】【例1】（2022秋·湖南婁底·九年級統(tǒng)考期末）下列函數中不是反比例函數的是（

）A．y=2x B．y=x?1 C．【變式1-1】（2022秋·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）函數y=2022x中，自變量x的取值范圍是（A．x＞0 B．x＜0 【變式1-2】（2022秋·山東棗莊·九年級校考期末）已知函數y=(m+1)xm2?5是關于【變式1-3】（2022秋·山東濱州·九年級?？计谀┫铝泻瘮担賧=2x，②y=x，③y=x?1，④y=1A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【考點2根據反比例函數的圖象判斷解析式】【例2】（2022秋·河北邯鄲·九年級校考期末）在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y=kx的圖象如圖所示，則k的值可以為（A．?4 B．?3 C．?2 D．2【變式2-1】（2022秋·河北·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A在函數y=3xx>0的圖象上，點B在函數y=kxx<0的圖象上，AB⊥y軸于點C.若A．?1 B．1 C．?2 D．2【變式2-2】（2022秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）某函數圖象如圖所示，則該函數解析式可能為（）A．y＝﹣2x B．y＝2x C．y＝﹣2|x| D．【變式2-3】（2022秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）反比例函數y=kx在第一象限的圖象如圖所示，則k的值可能是（A．3 B．5 C．6 D．8【考點3根據反比例函數的圖象的對稱性求點的坐標】【例3】（2022秋·湖南益陽·九年級校聯考期末）在平面直角坐標系xOy中，直線y=x與雙曲線y=mx交于A，B兩點．若點A，B的縱坐標分別為y1,y【變式3-1】（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，雙曲線y=kx與直線y=mx相交于A、B兩點，B點坐標為(?2,?3)，則A點坐標為（A．(?2,?3) B．(2,3) C．(?2,3) D．(2,?3)【變式3-2】（2022春·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點A、C是反比例函數圖象上的點，且關于原點對稱．過點A作AB⊥x軸于點B，若△ABC的面積為7，則反比例函數的表達式為__________．【變式3-3】（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，過原點的直線交反比例函數y=ax圖象于P、Q點，過點Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數y=bxx>0的圖象于A、B點，已知b?a=3【考點4反比例函數圖象上點的坐標特征的運用】【例4】（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）若點A(x1,?4)，B(x2,2)，C(x3,4)都在反比例函數y=A．x1<x2<x3 B．【變式4-1】（2022秋·陜西西安·九年級?？计谀┫铝懈鼽c在反比例函數y=12x的圖像上的是（A．?3,4 B．?4,3 C．6,2 D．1,?12【變式4-2】（2022秋·河南許昌·九年級統(tǒng)考期末）在反比例函數y=?3x圖象上有三個點A(x1，y1)、B(x2，A．y3<y2<y1 B．【變式4-3】（2022春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）已知反比例函數y=kx(k≠0)，當1≤x≤3時，y【考點5反比例函數性質的運用】【例5】（2022秋·江西撫州·九年級統(tǒng)考期末）已知反比例函數y=?8x，下列說法不正確的是（A．圖像經過點2,?4 B．圖像分別位于第二、四象限內C．在每個象限內y的值隨x的值增大而增大 D．y≤1時，x≤?8【變式5-1】（2022秋·河北衡水·九年級?？计谀┤鐖D，為反比例函數y=k1x，y=k2x，y=k3xA．k1>k2>k3 B．【變式52】（2022秋·安徽淮南·九年級統(tǒng)考期末）下列反比例函數圖象一定在第一、三象限的是（

）A．y=m2+1x B．y=m+1x【變式5-3】（2022秋·陜西商洛·九年級校考期末）若反比例函數y=2k?1x的圖象位于第一第象限，則k的取值范圍是（A．k≥12 B．k≤12 C．【考點6反比例函數中k的幾何意義】【例6】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點A是雙曲線y=?16xx<0上的一點，點B是雙曲線y=?6xx<0上的一點，AB所在直線垂直x軸于點C，點M是y軸上一點，連接MA、A．5 B．6 C．10 D．16【變式6-1】（2022秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，?ABCD的對角線AC在y軸上，原點O為AC的中點，點D在第一象限內，AD//x軸，當雙曲線y=4x經過點D時，則【變式6-2】（2022秋·河北保定·九年級保定十三中?？计谀┤鐖D所示，在x軸的正半軸上依次截取OA1=A1A2=A2A3…，過A1、A2、A3分別作x軸的垂線與反比例函數y=6x的圖象交于點P1、P2【變式6-3】（2022春·江蘇揚州·八年級校聯考期末）如圖，△AOB和△ACD均為正三角形，且頂點B、D均在雙曲線y=6x（x＞0）上，連接BC交AD于P，連接OP，則圖中S△OBP6 B．3 C．6 D．12【考點7待定系數法求反比例函數的解析式】【例7】（2022秋·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A是y軸正半軸上一點，過點A作x軸的平行線交反比例函數y=mxx>0的圖象于點B，交反比例函數y=nxx<0的圖象于點C，若AB:AC=1:2，則A．n=2m B．n=?2m C．n=?4m D．n=4m【變式7-1】（2022秋·江西九江·九年級統(tǒng)考期末）已知函數y=y1?y2，其中y1與x成正比例，y2與x?2成反比例，且當x=1時，y=1；當x=3【變式7-2】（2022秋·云南大理·九年級統(tǒng)考期末）若反比例函數y=kx的圖象過點?2,a，2,b，且a?b=?8，則【變式7-3】（2022秋·湖北荊門·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的頂點分別在反比例函數y=k1x（k1>0）和y=k2x（【考點8反比例函數中的動點問題】【例8】（2022秋·吉林長春·九年級長春外國語學校?？计谀┤鐖D，矩形OABC的頂點О與坐標原點重合，邊OA，OC分別落在x軸和y軸上，點B的坐標為4，2，點D是邊BC上一動點，函數y=kxx>0的圖像經過點D，且與邊AB交于點E，連接OB、OD．若線段OBA．12 B．34 C．1 【變式8-1】（2022秋·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形OABC中，A3，0，C0，2，F是AB上的一個動點，F不與A、(1)當F為AB的中點時，求該函數的解析式及

△EFA的面積；(2)當△EFA的面積為23時，求F【變式8-2】（2022秋·河南鄭州·九年級校聯考期末）如圖，點A是反比例函數y=kx（x＞0）圖象上的一個動點，過點A作AB⊥y軸于點B，點C是反比例函數圖象上不與點A重合的點，以AB，BC為邊作菱形ABCD，過點D作DF⊥x軸于點F，交反比例函數(1)已知當AB=5時，菱形面積為20，則此時點C的橫坐標是，點D的橫坐標是，求該反比例函數的表達式；(2)若點A在（1）中的反比例函數圖象上運動，當菱形面積是48時，求DE：【變式8-3】（2022秋·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形OABC中，A（4，0），C（0，3），F是AB上的一個動點，F不與A、B重合，過點F的反比例函數y=kx的圖象與BC邊交于點E(1)當F為AB的中點時，求該函數的解析式及△EFA的面積；(2)當△EFA的面積為43時，求F【考點9反比例函數中的存在性問題】【例9】（2022秋·云南文山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數y=x+1與反比例函數y=ax的圖象交于點A和B（-2，n），與y軸交于點(1)求反比例函數解析式；(2)點P為第三象限內反比例函數圖象上一點，過點P作PD//y軸，交線段AB于點D，是否存在點P使得四邊形DPOC為平行四邊形？若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式9-1】（2022秋·上海浦東新·八年級校聯考期末）如圖，在平面直角坐標系內，雙曲線y=8xk≠0上有A，B兩點，且與直線y=axa>0交于第一象限內的點A，點A的坐標為4,2，點B的坐標為n,1，過點B作y軸的平行線，交x軸于點C，交直線（1）求：點D的坐標；（2）求：△AOB的面積；（3）在x軸正半軸上是否存在點P，使△OAP是以OA為腰的等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出P的坐標．【變式9-2】（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級新鄉(xiāng)市第一中學?？计谀┤鐖D，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=kx的圖象交于第一象限C，D兩點，坐標軸交于A、B兩點，連結OC，OD（（1）利用圖中條件，求反比例函數的解析式和m的值；（2）求△DOC的面積．（3）雙曲線上是否存在一點P，使得△POC和△POD全等？若存在，給出證明并求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【變式9-3】（2022秋·云南文山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A（m，4）、B（n，2）在反比例函數y＝kx的圖象上，AD⊥x軸于點D，BC⊥x軸于點C，DC（1）求反比例函數的解析式；（2）連接AB，在線段CD上求一點E，使得△ABE的面積為5；（3）在x軸上是否存在一點P，使得△ABP的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【考點10反比例函數中的最值問題】【例10】（2022秋·內蒙古赤峰·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點A(a，1)、B(﹣1，b)都在函數y=?【變式10-1】（2022秋·山東淄博·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角線坐標系中，點A，B在反比例函數y=5x的圖象上運動，且始終保持線段AB=42的長度不變，M為線段AB的中點，連接OM【變式10-2】（2022秋·福建莆田·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊BC在x軸上，點A坐標為2,4，點M是AB的中點，反比例函數y=kx的圖象經過點M，交CD于點(1)求反比例函數的表達式；(2)若反比例函數圖象上的一個動點Pm,n在正方形ABCD的內部（含邊界），求△POC【變式10-3】（2022秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，矩形OABC的頂點A、C分別落在x軸、y軸的正半軸上，點B（4，3），反比例函數y＝kx（x＞0）的圖象與AB、BC分別交于D、E兩點，BD＝1，點P是線段OA(1)求反比例函數關系式和點E的坐標；(2)如圖2，連接PE、PD，求PD+PE的最小值；(3)如圖3，當∠PDO＝45°時，求線段OP的長．【考點11反比例函數與一次函數圖象的綜合判斷】【例11】（2022春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期中）在同一直角坐標系中，函數y＝－ax與y＝ax＋1（a≠0）的圖象可能是（

A． B． C． D．【變式11-1】（2022春·浙江金華·八年級校聯考期中）反比例函數y=4x與一次函數y=x+1在同一坐標系中的大致圖象可能是（A． B．C． D．【變式11-2】（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數y＝kx＋b，反比例函數y=kbx（kb≠0），下列能同時正確描述這兩種函數大致圖像的是（A． B． C． D．【變式11-3】（2022秋·河北石家莊·九年級校考期末）對于不為零的兩個實數a，b，如果規(guī)定：a★b=a+ba<b?A． B．C． D．【考點12反比例函數與一次函數圖象的交點問題】【例12】（2022秋·安徽蚌埠·九年級校考期中）如圖，正比例函數y=?2x與反比例函數y=?8xx<0的圖象有一個交點A，直線BC∥OA，交反比例函數的圖象于點B，交y軸于點C【變式12-1】（2022秋·上?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，正比例函數y=32x的圖像與反比例函數y=(1)求點A的坐標和反比例函數的解析式；(2)若點Pm,n在該反比例函數圖像上，且它到y(tǒng)軸的距離小于3，請直接寫出n【變式12-2】（2022秋·重慶綦江·九年級統(tǒng)考期末）如圖，反比例函數y1=k1x過點A?1,?4，連接AO并延長交反比例函數圖象于點B，C為反比例函數圖象上一點，橫坐標為-4，一次函數y2=k2x+b(1)求反比例函數y1和一次函數y(2)求四邊形AODC的面積；(3)當y1≤y【變式12-3】（2022秋·內蒙古呼和浩特·九年級校考期末）如圖，一次函數y=kx+b的圖象分別交x軸、y軸于C，D兩點，交反比例函數y=nx圖象于Am,4(1)求直線CD的表達式；(2)點E是線段OD上一點，若S△AEB=11(3)請你根據圖象直接寫出不等式kx+b>n【考點13反比例函數與一次函數圖象的實際應用】【例13】（2022秋·河北邢臺·九年級?？计谀┠称放茻崴髦校兴臏囟葹?0°C，開機通電，熱水器啟動開始加熱（加熱過程中水溫y°C與開機時間x分鐘滿足一次函數關系），當加熱到80°C時自動停止加熱，隨后水溫開始下降（水溫下降過程中水溫y°C與開機時間x分鐘成反比例函數關系）．當水溫降至（1）當0≤x≤15時，水溫y°C開機時間x（2）當水溫為30°C時，t=（3）通電60分鐘時，熱水器中水的溫度y約為______．【變式13-1】（2022秋·山西·九年級山西實驗中學?？计谥校┠乘幤费芯克_發(fā)一種抗菌新藥，經多年動物實驗，首次用于臨床人體試驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x小時之間函數關系如圖所示（當4≤x≤10時，y與x成反比例）．血液中藥物濃度不低于6微克毫升的持續(xù)時間為（

）A．73 B．3 C．4 D．【變式13-2】（2022秋·廣東茂名·九年級統(tǒng)考期末）某蔬菜生產基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關閉后，大棚內的溫度y（℃）與時間x（h）之間的函數關系，其中線段AB．BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關閉階段．請根據圖中信息解答下列問題：(1)求線段AB和雙曲線CD的函數關系式；(2)求恒溫系統(tǒng)設定的恒定溫度；(3)若大棚內的溫度低于10℃時，蔬菜會受到傷害．問這天內，恒溫系統(tǒng)最多可以關閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？【變式13-3】（2022秋·吉林通化·九年級統(tǒng)考期末）為了預防“流感”，某學校對教室采用藥熏法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與藥物點燃后的時間x（分）滿足函數關系式y(tǒng)＝2x，藥物點燃后6分鐘燃盡，藥物燃盡后，校醫(yī)每隔6分鐘測一次空氣中含藥量，測得數據如下表：藥物點燃后的時間x（分）6121824空氣中的含藥量y（毫克/立方米）12643(1)在如圖所示平面直角坐標系中描出以表格中數據為坐標的各點；(2)觀察上述各點的分布規(guī)律，判斷它們是否在同一個反比例函數圖象上，如果在同一個反比例函數圖象上，求出這個反比例函數圖象所對應的函數表達式，如果不在同一個反比例函數圖象上，說明理由；(3)研究表明：空氣中每立方米的含藥量不低于8毫克，且持續(xù)4分鐘以上才能有效殺滅空氣中的病菌，應用上述發(fā)現的規(guī)律估算此次消毒能否有效殺滅空氣中的病菌？【考點14反比例函數與一次函數的其他綜合運用】【例14】（2022秋·福建寧德·九年級校聯考期中）如圖，直線y＝－x+m與雙曲線y=?3x相交于A，B兩點，直線y＝x與雙曲線y=1x相交于C，【變式14-1】（2022春·江蘇揚州·八年級?？计谥校τ谝粋€函數給出如下定義：對于函數y，若當a≤x≤b，函數值y滿足m≤y≤n，且滿足n?m=kb?a，則稱此函數為“k屬合函數”．例如：正比例函數y=?2x，當1≤x≤3時，?6≤y≤?2，則?2??6=k3?1，求得：(1)一次函數y=ax?1a<0，1≤x≤3為“1屬合函數”，求(2)反比例函數y=kx（k>0，a≤x≤b且0<a<b），是“k屬合函數”，且【變式14-2】（2022春·福建泉州·八年級泉州五中?？计谀鹃喿x材料】因式分解x2+16x﹣36（x﹣2）（x+18）．我們在解方程x2+16x﹣36＝0的過程中，可以利用因式分解的知識，把原方程化為（x﹣2）（x+18）＝0，可得x﹣2＝0或x+18＝0，∴x＝2或x＝﹣18．經檢驗發(fā)現x＝2或x＝﹣18是原方程的解．如圖，直線AB與反比例函數y＝kx（x＞0）的圖象交于A，B兩點，已知點A的坐標為（6，1），△AOB(1)填空：反比例函數的關系式為；(2)求直線AB的函數關系式；(3)動點P在y軸上運動，當線段PA與PB之差最大時，求點P的坐標；(4)在反比例函數y＝kx第三象限的圖象上找一點Q，使得點Q到直線AB距離最短，請直接寫出點Q【變式14-3】（2022秋·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數y=x與反比例函數y=1x(x>0)的圖象交于點A，過點A作AB⊥OA，交x軸于點B；作BA1∥OA，交反比例函數圖象于點A1；過點A1作A1B1專題13.6反比例函數十四大必考點【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1反比例函數的概念辨析】 1【考點2根據反比例函數的圖象判斷解析式】 3【考點3根據反比例函數的圖象的對稱性求點的坐標】 5【考點4反比例函數圖象上點的坐標特征的運用】 9【考點5反比例函數性質的運用】 11【考點6反比例函數中k的幾何意義】 13【考點7待定系數法求反比例函數的解析式】 17【考點8反比例函數中的動點問題】 21【考點9反比例函數中的存在性問題】 27【考點10反比例函數中的最值問題】 36【考點11反比例函數與一次函數圖象的綜合判斷】 42【考點12反比例函數與一次函數圖象的交點問題】 45【考點13反比例函數與一次函數圖象的實際應用】 51【考點14反比例函數與一次函數的其他綜合運用】 57【考點1反比例函數的概念辨析】【例1】（2022秋·湖南婁底·九年級統(tǒng)考期末）下列函數中不是反比例函數的是（

）A．y=2x B．y=x?1 C．【答案】D【分析】根據反比例函數的概念進行判斷即可．【詳解】解：A．y=2B．y=xC．xy=3可得y=3D．中y=1故選D．【點睛】本題考查了反比例函數的表達式，形如y=kx(k≠0)是y關于x的反比例函數，也可表示為y=k【變式1-1】（2022秋·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）函數y=2022x中，自變量x的取值范圍是（A．x＞0 B．x＜0 【答案】C【分析】根據反比例函數的定義即可求解．【詳解】解：函數y=2022x中，自變量x的取值范圍是故選：C【點睛】本題主要考查了函數的自變量取值范圍，熟練掌握分式的分母不等于0是解題的關鍵．【變式1-2】（2022秋·山東棗莊·九年級?？计谀┮阎瘮祔=(m+1)xm2?5是關于【答案】±2【分析】根據反比例函數的定義：形如y=kx（k為常數，k≠0）的函數稱為反比例函數，即可求出【詳解】∵函數y=(m+1)xm2∴m+1≠0，m2∴m=±2，故答案為：±2【點睛】本題主要考查反比例函數的定義，熟練掌握反比例函數的定義是解題的關鍵．【變式1-3】（2022秋·山東濱州·九年級?？计谀┫铝泻瘮担賧=2x，②y=x，③y=x?1，④y=1A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據反比例函數定義直接逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，①y=2x，②y=x，是正比例函數，③y=x④y=1故選B．【點睛】本題考查反比例函數定義：形如y=kx(k≠0)的函數稱作y【考點2根據反比例函數的圖象判斷解析式】【例2】（2022秋·河北邯鄲·九年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，反比例函數y=kx的圖象如圖所示，則k的值可以為（A．?4 B．?3 C．?2 D．2【答案】B【分析】根據函數圖象確定k的取值范圍．【詳解】解：如圖所示，反比例函數y=kx的圖象位于第二、四象限，則又∵?2×2<k<1×(?2)，即?4<k<?2．∴觀察選項，只有選項B合題意．故選：B．【點睛】考查了反比例函數的圖象，根據函數圖象確定k的符號以及k的取值范圍是解題的難點．【變式2-1】（2022秋·河北·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A在函數y=3xx>0的圖象上，點B在函數y=kxx<0的圖象上，AB⊥y軸于點C.若A．?1 B．1 C．?2 D．2【答案】A【分析】設A的橫坐標為a，則縱坐標為3a，根據題意得出點B的坐標為(?13【詳解】解：設A的橫坐標為a，則縱坐標為3a∵AC=3BC，∴B的橫坐標為-13∵AB⊥y軸于點C，∴AB∥x軸，∴B（-13a，3∵點B在函數y=kx（x＜0）的圖象上，∴k=-13a×故選：A．【點睛】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，表示出點B的坐標是解題的關鍵．【變式2-2】（2022秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）某函數圖象如圖所示，則該函數解析式可能為（）A．y＝﹣2x B．y＝2x C．y＝﹣2|x| D．【答案】D【分析】由函數的圖象易知，無論x取正數還是負數，函數值y都是正數，據此對各選項進行分析即可.【詳解】A.當x＞0時，y＝﹣2xB.當x＜0時，y＝2xC.無論x取正數還是負數y＝﹣2|x|D.無論x取正數還是負數y＝2|x|故選：D．【點睛】本題考查函數的圖象，能根據圖象得出無論x取正數還是負數，函數值y都是正數是解決此題的關鍵．【變式2-3】（2022秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）反比例函數y=kx在第一象限的圖象如圖所示，則k的值可能是（A．3 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】根據點（1，3）在反比例函數圖象下方，點（3，2）在反比例函數圖象上方可得出k的取值范圍，即可得答案.【詳解】∵點（1，3）在反比例函數圖象下方，∴k>3，∵點（3，2）在反比例函數圖象上方，∴k3∴3<k<6，故選：B.【點睛】本題考查了反比例函數的圖象的性質，熟記k=xy是解題關鍵.【考點3根據反比例函數的圖象的對稱性求點的坐標】【例3】（2022秋·湖南益陽·九年級校聯考期末）在平面直角坐標系xOy中，直線y=x與雙曲線y=mx交于A，B兩點．若點A，B的縱坐標分別為y1【答案】0【分析】根據“正比例函數與反比例函數的交點關于原點對稱”即可求解.【詳解】解：∵正比例函數和反比例函數均關于坐標原點O對稱，∴正比例函數和反比例函數的交點亦關于坐標原點中心對稱，∴y1故答案為：0.【點睛】本題考查正比例函數和反比例函數的圖像性質，根據正比例函數與反比例函數的交點關于原點對稱這個特點即可解題.【變式3-1】（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，雙曲線y=kx與直線y=mx相交于A、B兩點，B點坐標為(?2,?3)，則A點坐標為（A．(?2,?3) B．(2,3) C．(?2,3) D．(2,?3)【答案】B【分析】反比例函數的圖象是中心對稱圖形，則經過原點的直線的兩個交點一定關于原點對稱．【詳解】解：∵點A與B關于原點對稱，∴A點的坐標為(2,3)．故選：B．【點睛】本題主要考查了反比例函數圖象的中心對稱性，解題的關鍵是熟練掌握橫縱坐標分別互為相反數．【變式3-2】（2022春·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點A、C是反比例函數圖象上的點，且關于原點對稱．過點A作AB⊥x軸于點B，若△ABC的面積為7，則反比例函數的表達式為__________．【答案】y=【分析】設反比例函數的表達式為y=kx，點A的坐標為a，ka，即可表示出點B和點C的坐標，那么【詳解】解：設反比例函數的表達式為y=kx，點A的坐標為a，ka，則點C的坐標為?a，?k∴△ABC的面積可以表示為12∵△ABC的面積為7，即12解得k=7，∴反比例函數的表達式為y=7故答案為：y=7【點睛】本題考查反比例函數的圖象與性質，掌握反比例函數的中心對稱性，表示出點C的坐標，是解決本題的關鍵．【變式3-3】（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，過原點的直線交反比例函數y=ax圖象于P、Q點，過點Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數y=bxx>0的圖象于A、B點，已知b?a=3【答案】

6

9【分析】連接OA，OB，延長BP交x軸于點C，易求S△BOP由P，Q關于與原點成中心對稱，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面積相等可得S△BPO＝S△BQO，易求S△BPQ＝2S△BOP＝3，同理可得：S△APQ＝2S【詳解】連接PQ，OA，OB，延長BP交x軸于點C，設點C對應的數為m，m＞0.則P（m，am），B（m，b∴OC=m，PC=am，BC=∴S△POC=∴S∵P、Q關于原點成中心對稱，∴OP=OQ∴S∴S同理可得：S所以S設點C（m，0）m＞0．則P（m，am），A（m，bm），B（bma∴AP＝bm∵S△APB＝3，∴1∴a＝32∵b?a＝3，∴b＝92故答案為：6，92【點睛】本題主要考查了反比例函數系數k的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標的特征，關于原點對稱的點的坐標的性質，三角形的面積．利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．【考點4反比例函數圖象上點的坐標特征的運用】【例4】（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）若點A(x1,?4)，B(x2,2)，C(x3,4)都在反比例函數y=A．x1<x2<x3 B．【答案】D【分析】解法一：直接將點A、B、C的坐標代入反比例函數y=8x中，求出x1、x解法二：根據反比例函數的圖象和性質，結合點A、B、C縱坐標的數值，即可解答．【詳解】解法一：解：在反比例函數y=8當y=?4時，x1當y=2時，x2當y=4時，x3∴x故選：D．解法二：解：在反比例函數y=8x中，∴函數圖象在一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小，∵點B、C在第一象限，且2<4，∴x∵點A在第三象限，∴x∴x故選：D．【點睛】本題考查反比例函數的圖象與性質，熟練掌握反比例函數圖象的性質是解題關鍵．【變式4-1】（2022秋·陜西西安·九年級?？计谀┫铝懈鼽c在反比例函數y=12x的圖像上的是（A．?3,4 B．?4,3 C．6,2 D．1,?12【答案】C【分析】將每個選項中點的橫坐標代入反比例函數解析式中，看函數值是否一致，如果一致，說明點在函數圖像上，反之則不在．【詳解】A、當x=?3時，y=12B、當x=?4時，y=?12C、當x=6時，y=D、當x=1時，y=12故選∶C．【點睛】本題主要考查點是否在反比例函數圖像上，掌握反比例函數變量的求法是解題的關鍵．【變式4-2】（2022秋·河南許昌·九年級統(tǒng)考期末）在反比例函數y=?3x圖象上有三個點A(x1，y1)、B(x2，A．y3<y2<y1 B．【答案】C【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征解答．【詳解】解：∵A(x1，y1)在反比例函數∴y對于反比例函數y=?3x，在第四象限，y隨∵0<x∴y∴故選：C．【點睛】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特征，掌握反比例函數的性質、反比例函數的增減性是解題的關鍵．【變式4-3】（2022春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）已知反比例函數y=kx(k≠0)，當1≤x≤3時，y【答案】6或-6．【分析】根據反比例函數的增減性質列解一元一次方程解答即可．【詳解】解：當k>0時，在每個象限內y隨x的增大而減小，∴設x=1時y=a，則當x=3時，y=a-4，∴a=3（a-4），解得a=6，∴k=6；當k<0時，在每個象限內y隨x的增大而增大，∴設x=1時y=b，則當x=3時，y=b+4，∴b=3（b+4），解得b=-6，∴k=-6；∴k=6或-6，故答案為：6或-6．【點睛】此題考查反比例函數的增減性：當k>0時，在每個象限內y隨x的增大而減小，當k<0時，在每個象限內y隨x的增大而增大，以及正確解一元一次方程．【考點5反比例函數性質的運用】【例18】（2022秋·江西撫州·九年級統(tǒng)考期末）已知反比例函數y=?8x，下列說法不正確的是（A．圖像經過點2,?4 B．圖像分別位于第二、四象限內C．在每個象限內y的值隨x的值增大而增大 D．y≤1時，x≤?8【答案】D【分析】根據反比例函數的性質逐一判斷即可．【詳解】因為2×?4所以A正確，不符合題意；因為反比例函數y=?8所以圖象分別位于第二、四象限內；在每個象限內y的值隨x的值增大而增大；所以B、C正確，不符合題意；當y≤1時，x≤?8或x＞所以D錯誤，符合題意，故選D．【點睛】本題考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的基本性質是解題的關鍵．【變式5-1】（2022秋·河北衡水·九年級?？计谀┤鐖D，為反比例函數y=k1x，y=k2x，y=k3xA．k1>k2>k3 B．【答案】A【分析】先根據函數圖象所在的象限判斷出k1、k2、【詳解】解：由圖知，y=k3x的圖象在第二象限，y=∴k1>0，k2又當x=1時，由圖象可得k2∴k2∴k1故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數的圖象的性質．k<0時，反比例函數圖象在第二、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大；k>0時，反比例函數圖象在第一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減?。咀兪?-2】（2022秋·安徽淮南·九年級統(tǒng)考期末）下列反比例函數圖象一定在第一、三象限的是（

）A．y=m2+1x B．y=m+1x【答案】A【分析】根據反比例函數的性質，函數若位于一、三象限，則反比例函數系數k＞0，對各選項逐一判斷即可．【詳解】解：A、∵m2+1＞0，∴反比例函數圖象一定在一、三象限；B、不確定；C、不確定；D、不確定．故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數的性質，理解反比例函數的性質是解題的關鍵．【變式5-3】（2022秋·陜西商洛·九年級?？计谀┤舴幢壤瘮祔=2k?1x的圖象位于第一第象限，則k的取值范圍是（A．k≥12 B．k≤12 C．【答案】C【分析】根據反比例函數的圖象在第一象限，可得2k?1>0，解不等式即可求解．【詳解】解：∵反比例函數y=2k?1∴2k?1>0，解得：k>1故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數的性質，在y=kxk≠0中，當k>0【考點6反比例函數中k的幾何意義】【例6】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點A是雙曲線y=?16xx<0上的一點，點B是雙曲線y=?6xx<0上的一點，AB所在直線垂直x軸于點C，點M是y軸上一點，連接MA、A．5 B．6 C．10 D．16【答案】A【分析】作MN⊥BA交BA的延長線于N，則S△AMB=12BA?MN，設點A【詳解】解：如圖所示，作MN⊥BA交BA的延長線于N，，則S△AMB設點A的坐標為a，?16∵AB所在直線垂直x軸于點C，∴B點坐標為a，∴AB=?16a?∴S故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數與三角形綜合，解題的關鍵是作出恰當的輔助線，設出相關點的坐標，從而將需要的條件都表示出來，再進行計算即可．【變式6-1】（2022秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，?ABCD的對角線AC在y軸上，原點O為AC的中點，點D在第一象限內，AD//x軸，當雙曲線y=4x經過點D時，則【答案】8【分析】根據反比例函數k的幾何意義先求出△AOD的面積，再根據平行四邊形是中心對稱圖形可得S?ABCD=4S△AOD，即可求出?ABCD的面積．【詳解】解：連接BD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，且O點是AC的中點，∴O點是BD的中點，∵D點在反比例函數y=4x的圖像上，且AD//∴S△AOD=12∴S?ABCD=4S△AOD=8，即?ABCD的面積為8．故答案為：8．【點睛】本題考查了反比例函數k的幾何意義，平行四邊形是中心對稱圖形的性質．熟練掌握反比例函數k的幾何意義是解題的關鍵．【變式6-2】（2022秋·河北保定·九年級保定十三中?？计谀┤鐖D所示，在x軸的正半軸上依次截取OA1=A1A2=A2A3…，過A1、A2、A3分別作x軸的垂線與反比例函數y=6x的圖象交于點P1、P2【答案】3【分析】結合圖象，根據反比例函數系數k的幾何意義，即可得答案．【詳解】解：∵過雙曲線y=6x上任一點引x軸垂線和原點連線與x軸所圍成的直角三角形面積是個定值，∴S∵OA∴SS3S4S5……以此類推，Sn故答案為：3n【點睛】本題考查了反比例函數y=kxk≠0的系數k的幾何意義，即過雙曲線上任一點引x軸，y軸垂線，所得矩形面積為k，利用數形結合的思想，正確理解【變式6-3】（2022春·江蘇揚州·八年級校聯考期末）如圖，△AOB和△ACD均為正三角形，且頂點B、D均在雙曲線y=6x（x＞0）上，連接BC交AD于P，連接OP，則圖中S△OBPA．6 B．3 C．6 D．12【答案】C【分析】先根據△AOB和△ACD均為正三角形可知∠AOB=∠CAD=60°，故可得出AD∥OB，所以S△ABP=S△AOP，故S△OBP=S△AOB，過點B作【詳解】解：如圖：∵△AOB和△ACD均為正三角形，∴∠AOB=∠CAD=60°，∴AD∥OB，∴S△ABP∴S△OBP過點B作BE⊥OA于點E，則S△OBE∵點B在反比例函數y=6∴S△OBE∴S△OBP故選：C．【點睛】本題考查的是反比例函數，等邊三角形的性質及反比例函數系數k的幾何意義等知識，綜合運用以上知識是解題的關鍵．【考點7待定系數法求反比例函數的解析式】【例7】（2022秋·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A是y軸正半軸上一點，過點A作x軸的平行線交反比例函數y=mxx>0的圖象于點B，交反比例函數y=nxx<0的圖象于點C，若AB:AC=1:2，則A．n=2m B．n=?2m C．n=?4m D．n=4m【答案】B【分析】首先根據BC∥x軸，AB:AC=1:2，可設B(x,y)，C(?2x,y)，根據B在反比例函數y=mx的圖象上，可得xy=m，再根據C在反比例函數【詳解】解：∵BC∥∴設B(x,y)，∵AB:AC=1:2∴C(?2x,y)，∵B在反比例函數y=m∴xy=m，∵C在反比例函數y=n∴y=n∴?2xy=n，∴n=?2m，故先：B．【點睛】此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特點，反比例函數y=kx圖象上的點(x,y)的橫縱坐標的積是定值k，即【變式7-1】（2022秋·江西九江·九年級統(tǒng)考期末）已知函數y=y1?y2，其中y1與x成正比例，y2與x?2成反比例，且當x=1時，y=1；當x=3【答案】y=【分析】首先設y1=k1x，y2=k2x?2，進而可得y=k1x?k2【詳解】解：∵y1與x成正比例，y2與∴設y1=k∵y=y∴y=k∵當x=1時，y=1；當x=3時，y=5，∴k1解得：k1∴y=3【點睛】本題主要考查了待定系數法求反比例函數解析式，關鍵是正確掌握正比例函數與反比例函數解析式的形式．【變式7-2】（2022秋·云南大理·九年級統(tǒng)考期末）若反比例函數y=kx的圖象過點?2,a，2,b，且a?b=?8，則【答案】8【分析】將點?2,a，2,b代入反比例函數y=kx得a=?b，再代入a?b=?8，得到a，【詳解】∵反比例函數y=kx的圖象過點?2,a，∴k=?2a=2b，∴a+b=0，又∵a?b=?8，∴a=?4，b=4，∴k=8，故答案為：8．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，把點坐標代入解析式是解題的關鍵．【變式7-3】（2022秋·湖北荊門·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的頂點分別在反比例函數y=k1x（k1>0）和y=k2x（【答案】32【分析】連接AC交BD于E，延長BD交x軸于F，連接OD、OB，由四邊形ABCD是正方形，設AE=BE=CE=DE=m，D(4，a)，由BD∥y軸，可以表示點A，B的坐標，可求得m，a的關系，再由B(4，8?a)在反比例函數y=k1x（k【詳解】解：連接AC交BD于E，延長BD交x軸于F，連接OD、OB，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AE=BE=CE=DE．設AE=BE=CE=DE=m，D(4，∵BD∥y軸，∴B(4，a+2m)，∵A，B都在反比例函數y=k1x∴k1∵m≠0，∴m=4?a，∴B(4，∵B(4，8?a)在反比例函數y=k1x（k1>0∴k1∴k1故答案為：32．【點睛】本題考查反比例函數的圖象及應用，涉及正方形的性質，解題的關鍵是用含字母的代數式表示相關點坐標．【考點8反比例函數中的動點問題】【例8】（2022秋·吉林長春·九年級長春外國語學校?？计谀┤鐖D，矩形OABC的頂點О與坐標原點重合，邊OA，OC分別落在x軸和y軸上，點B的坐標為4，2，點D是邊BC上一動點，函數y=kxx>0的圖像經過點D，且與邊AB交于點E，連接OB、OD．若線段OBA．12 B．34 C．1 【答案】B【分析】先根據矩形的性質，角平分線定義得出∠DBO=∠DOB，然后根據等腰三角形的判定得出BD=OD，在Rt△COD中根據勾股定理可求出CD，從而求出點D的坐標，根據待定系數法求出反比例函數解析式，最后把x=4【詳解】解∶∵OB平分∠AOD，∴∠AOB=∠DOB，∵四邊形ABCD是矩形，B4∴BC∥OA，BC=AO=4，OC=AB=2，∴∠DBO=∠AOB，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，設BD=OD=a，則CD=BC?BD=4?a，在Rt△COD中，C∴4?a2解得a=5∴CD=3∴D3∴k=3∴y=3當x=4時，y=3∴點E的縱坐標為34故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系數法等知識，正確求出點D的坐標是解題的關鍵．【變式8-1】（2022秋·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形OABC中，A3，0，C0，2，F是AB上的一個動點，F不與A、(1)當F為AB的中點時，求該函數的解析式及

△EFA的面積；(2)當△EFA的面積為23時，求F【答案】(1)y=3x(2)F13，【分析】（1）當F為AB的中點時，點F的坐標為3，1，由此代入求得函數解析式即可；將y=2代入求出點E的坐標，從而求出（2）先求點F的坐標，再求點E，表示出△EFA的面積，最后求出點F的坐標．【詳解】（1）∵點F是AB的中點，A3∴F∴k=3×1=3，∴y=3當y為2時，x為3∴E3∴BE=3∴SΔ（2）設點F3，k∵點E的縱坐標為2，∴Ek∴BE=3?k∵SΔ解得k1=4，∴F13【點睛】本題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法確定反比例解析式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．【變式8-2】（2022秋·河南鄭州·九年級校聯考期末）如圖，點A是反比例函數y=kx（x＞0）圖象上的一個動點，過點A作AB⊥y軸于點B，點C是反比例函數圖象上不與點A重合的點，以AB，BC為邊作菱形ABCD，過點D作DF⊥x軸于點F，交反比例函數(1)已知當AB=5時，菱形面積為20，則此時點C的橫坐標是，點D的橫坐標是，求該反比例函數的表達式；(2)若點A在（1）中的反比例函數圖象上運動，當菱形面積是48時，求DE：【答案】(1)3，8：y=30(2)13【分析】（1）過點C作CT⊥AB于點T，利用菱形面積求出CT=4，再利用勾股定理求出BT=3，從而可設出點C的坐標為3，m，則點A的坐標為5，m?4，得到（2）設點Aa，30a，過點C作CN⊥x軸于點N，交AB于點M，利用菱形面積得到CM=48a，即可得到點C的縱坐標為78a，則C5a13，78【詳解】（1）解：過點C作CT⊥AB于點T，∴菱形面積=AB?CT=5CT=20，∴CT=4，在Rt△BCT中，BC=AB=5∴BT=B∴點C的橫坐標為3，點D的橫坐標為3+5=8，設點C的坐標為3，m，則點A的坐標為∴k=3m=5m?4解得：m=10，∴k=3m=30，C3∴反比例函數的表達式為：y=30x，故答案為：3，8；（2）解：設點Aa，30a，過點C作CN⊥x軸于點N，交∵菱形面積是48，∴CM?AB=48，∴CM=48∴點C的縱坐標為78a∴C5a∴點D的坐標為18a13∴點E的坐標為18a13∴EF=65∴DE:EF=169【點睛】本題主要考查了反比例函數與幾何綜合，菱形的性質，勾股定理，正確利用菱形的面積求出對應線段的長度是解題的關鍵【變式8-3】（2022秋·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形OABC中，A（4，0），C（0，3），F是AB上的一個動點，F不與A、B重合，過點F的反比例函數y=kx的圖象與BC邊交于點E(1)當F為AB的中點時，求該函數的解析式及△EFA的面積；(2)當△EFA的面積為43時，求F【答案】(1)y=6x(2)F點的坐標（4，1）或F2（4，2）．【分析】（1）當F為AB的中點時，點F的坐標為（4，32），由此代入求得函數解析式即可；將y=3代入求出點E的坐標，從而求出△EFA（2）先求點F的坐標，再求點E，表示出△EFA的面積，最后求出點F的坐標．(1)解：∵在矩形OABC中，A（4，0），C（0，3），∴在矩形OABC中，OA=4，OC=3，∴B（4，3），∵F為AB的中點，∴F（4，32∵點F在反比例函數y=kx∴k=6，∴該函數的解析式為y=6x當y=3時，x=2，∴E（2，3），∴BE=4-2=2，∴S△AEF=12×2×32＝(2)解：設點F（4，k4），則AF=k∵點E的縱坐標為3，∴E（k3∴BE=4-k3∴S△AEF=12×k4×(4?k3解得：k1=4，k2=8，∴F1（4，1），F2（4，2）．【點睛】本題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法確定反比例解析式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．【考點9反比例函數中的存在性問題】【例9】（2022秋·云南文山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數y=x+1與反比例函數y=ax的圖象交于點A和B（-2，n），與y軸交于點(1)求反比例函數解析式；(2)點P為第三象限內反比例函數圖象上一點，過點P作PD//y軸，交線段AB于點D，是否存在點P使得四邊形DPOC為平行四邊形？若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=(2)存在，（?2，?【分析】（1）將點B（?2，n）代入y＝x＋1得點B的坐標，再將點B坐標代入反比例函數解析式即可；（2）由四邊形DPOC為平行四邊形，得PD＝OC，設P（m，2m），表示出點D的坐標，求出PD【詳解】（1）解：由題意知，點B在一次函數y=x+1的圖象上，∴n=?2+1=?1，∴點B坐標為（-2，-1），代入反比例函數解析式可得a=（∴反比例函數解析式為y=2（2）解：存在，理由如下：由y=x+1可知，點C坐標為（0，1），設點P坐標為（m，2m∵PD//y軸，且D在線段AB上，∴點D坐標為（m，m+1），∴PD＝m+1?2∵四邊形DPOC為平行四邊形，∴PD＝OC＝1，即m+1?2解得m=±2∵點P在第三象限，∴m=?2∴點P的坐標為（?2，?【點睛】本題是反比例函數與一次函數綜合題，主要考查了函數圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質等知識，用m的代數式表示PD的長度是解題的關鍵．【變式9-1】（2022秋·上海浦東新·八年級校聯考期末）如圖，在平面直角坐標系內，雙曲線y=8xk≠0上有A，B兩點，且與直線y=axa>0交于第一象限內的點A，點A的坐標為4,2，點B的坐標為n,1，過點B作y軸的平行線，交x軸于點C，交直線（1）求：點D的坐標；（2）求：△AOB的面積；（3）在x軸正半軸上是否存在點P，使△OAP是以OA為腰的等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出P的坐標．【答案】（1）點D坐標為8,4；（2）S△AOB=6；（3）存在，P1【分析】（1）根據點A的坐標求得直線解析式，進而根據B點的坐標代入反比例函數即可求得點B的橫坐標，進而根據D的橫坐標和B的橫坐標相等，代入直線解析式即可求得點D的坐標；（2）聯結AB、OB，過A作AH⊥BD．根據題意可得點C坐標為8,0，A4,2，D(8,4),B(8,1)，根據S△AOB（3）根據等腰三角形的定義分類討論，①當AO=AP時，②當AO=OP時，即可求得P的坐標【詳解】（1）解：∵直線y=axa>0與雙曲線y=8x∴a=1∴直線OA函數解析式為y=1∵點Bn,1在雙曲線y=∴n=8．∴B∵過點B的直線CD平行于y軸，∴點C，點D的橫坐標都是8．代入y=∴可得點D坐標為8,4．（2）如圖，聯結AB、OB，過A作AH⊥BD．根據題意可得點C坐標為8,0，A4,2，D(8,4),B(8,1)∴OC=8，CD=4，BD=3，BC=1，AH=4．∵S∴S（3）由△OAP是以OA為腰的等腰三角形，①當AO=AP時，∴即P②當AO=OP時∵A(4,2),O∴P綜上所述P的坐標為8,0或2【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數綜合，等腰三角形的性質，掌握反比例函數與一次函數的性質是解題的關鍵．【變式9-2】（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級新鄉(xiāng)市第一中學?？计谀┤鐖D，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=kx的圖象交于第一象限C，D兩點，坐標軸交于A、B兩點，連結OC，OD（（1）利用圖中條件，求反比例函數的解析式和m的值；（2）求△DOC的面積．（3）雙曲線上是否存在一點P，使得△POC和△POD全等？若存在，給出證明并求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】1）y=2x，m=1；（2）S△DOC=1.5；（3）P（2，2）或P（-2【分析】（1）把C（1，2）代入y=kx可求出k值，可得出反比例函數解析式，把D（2，m）代入即可求出（2）如圖，過點C作⊥OA于E，過點D作DF⊥OA于F，根據C、D坐標可得CE、DF的長，利用待定系數法可求出直線AB的解析式，即可得出點A坐標，可得OA的長，根據S△DOC=S△AOC-S△AOD，利用三角形面積公式即可得答案；（3）設點P坐標為（n，2n），根據全等三角形的性質可得PC=PD，根據兩點間距離公式列方程求出n【詳解】（1）∵點C（1，2）在反比例函數y=k∴k=2，∴反比例函數解析式為y=2∵點B（2，m）在反比例函數y=2∴m=22（2）如圖，過點C作⊥OA于E，過點D作DF⊥OA于F，∵C（1，2），D（2，1），∴CE=2，DF=1，∵C、D在一次函數y=ax+b的圖象上，∴a+b=22a+b=1解得：a=?1b=3∴一次函數解析式為y=-x+3，當y=0時，x=3，∴A點坐標為（3，0），∴OA=3，∴S△DOC=S△AOC-S△AOD=12OA?CE?（3）設點P坐標為（n，2n∵C（2，1），D（1，2），∴OC=OD，∵△POC和△POD全等，∴PC=PD，∴(n?1)2解得：n=±2∴P（2，2）或P（?2，?∴雙曲線上存在一點P，使得△POC和△POD全等，P（2，2）或P（?2，?【點睛】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求反比例函數及一次函數解析式及全等三角形的性質，熟練掌握相關性質是解題關鍵．【變式9-3】（2022秋·云南文山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A（m，4）、B（n，2）在反比例函數y＝kx的圖象上，AD⊥x軸于點D，BC⊥x軸于點C，DC（1）求反比例函數的解析式；（2）連接AB，在線段CD上求一點E，使得△ABE的面積為5；（3）在x軸上是否存在一點P，使得△ABP的周長最?。咳舸嬖?，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=12x；（2）E【分析】（1）A（m，4）、B（n，2）在反比例函數y＝kx的圖象上，DC＝3．AD⊥x軸，BC⊥x軸，列方程組n=m+34m=2n，解方程組可得（2）如圖，設點Ex,0,而A3,4,B6,2（3）由C△ABP=AB+AP+BP,又AB是定值，當AP+BP的值最小時，△ABP的周長最小，如圖，作點B關于x軸的對稱點F6,?2，連接AF交x軸于點P，此時AP+BP=AF有最小值，再求解直線的解析式為y=?2x+10【詳解】解：（1）∵A（m，4）、B（n，2）在反比例函數y＝kx的圖象上，DC＝3．AD⊥x軸，BC⊥x∴n=m+3解得：m=3n=6∴A3,4∴k=xy=3×4=12,∴反比例函數的解析式為y=12（2）如圖，設點Ex,0,∴DE=x?3,CE=6?x,AD=4,BC=2,∵S△ABE∴1∴9?x=5,∴x=4，∴點E4,0（3）∵C△ABP又∵AB是定值，∴當AP+BP的值最小時，△ABP的周長最小，如圖，作點B關于x軸的對稱點F6,?2，連接AF交x軸于點P此時AP+BP=AP+PF=AF有最小值，設直線AF的解析式為y=kx+b，∴3k+b=4解得k=?2∴直線的解析式為y=?2x+10，當y=0時，x=5，∴點P【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解反比例函數與一次函數的解析式，坐標與圖形，利用軸對稱確定使三角形周長取最小值時點的位置，掌握以上知識是解題的關鍵．【考點10反比例函數中的最值問題】【例10】（2022秋·內蒙古赤峰·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點A(a，1)、B(﹣1，b)都在函數y=?【答案】y=x+2【詳解】試題分析：作點A關于x軸的對稱點A′，作點B關于y軸的對稱點B′，連接A′B′，分別于x、y軸交于點P、Q點，此時四邊形PABQ的周長最小，由點A、B均為反比例函數上的點，由此即可求出a、b值，即得出點A、B的坐標，再根據對稱的性質找出點A′、B′的坐標，結合兩點的坐標利用待定系數法即可求出PQ所在直線的解析式．解：作點A關于x軸的對稱點A′，作點B關于y軸的對稱點B′，連接A′B′，分別于x、y軸交于點P、Q點，此時四邊形PABQ的周長最小，如圖所示．∵點A（a，1）、B（﹣1，b）都在函數y=?∴a=﹣3÷1=﹣3，b=﹣3÷（﹣1）=3，∴點A（﹣3，1），點B（﹣1，3），∴點A′（﹣3，﹣1），點B′（1，3）．設直線A′B′的解析式為y=kx+c，∴，解得：，∴直線A′B′的解析式為y=x+2，即PQ所在直線的解析式是y=x+2．故答案為y=x+2．【變式10-1】（2022秋·山東淄博·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角線坐標系中，點A，B在反比例函數y=5x的圖象上運動，且始終保持線段AB=42的長度不變，M為線段AB的中點，連接OM【答案】3【分析】如圖，當OM⊥AB時，線段OM長度的最小．首先證明點A與點B關于直線y=x對稱，因為點A，B在反比例函數y=5x的圖象上，AB=42，所以可以假設Am,5m，則Bm+4,5m?4，則m+45【詳解】解：如圖，因為反比例函數關于直線y=x對稱，觀察圖象可知：當線段AB與直線y=x垂直時，垂足為M，此時AM=BM，OM的值最小，∵M為線段AB的中點，∴OA=OB，∵點A，B在反比例函數y=5∴點A與點B關于直線y=x對稱，∵AB=42∴設Am,5m∴m+45整理得5=m解得：m=1（負值舍去），∴A1,5，B∴M3,3∴OM=32∴線段OM的最小值為32故答案為：32【點睛】本題主要考查了反比例函數的綜合，勾股定理，垂直平分線的性質，軸對稱性質，判斷OM取得最小值時A，B兩點的位置，熟練掌握對稱兩點坐標的設法，函數解析式代入求值，由坐標計算線段長度的方法是解題的關鍵．【變式10-2】（2022秋·福建莆田·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊BC在x軸上，點A坐標為2,4，點M是AB的中點，反比例函數y=kx的圖象經過點M，交CD于點(1)求反比例函數的表達式；(2)若反比例函數圖象上的一個動點Pm,n在正方形ABCD的內部（含邊界），求△POC【答案】(1)y=4(2)2【分析】（1）先確定點M的坐標，再把點M點的坐標代入y=kx中求出k（2）利用正方形的性質確定點C的坐標為（6，0），再利用反比例函數解析式確定點N的坐標為（6，23），利用反比例函數的性質得到當m=6時，n有最小值23，然后計算出△【詳解】（1）∵點A坐標為（2，4），∴OB=2，AB=4，∵M是AB的中點，∴點M的坐標是（2，2），把點M（2，2）代入y=kx得k∴反比例函數解析式為y=4x（2）∵四邊形ABCD是正方形，點A的坐標是（2，4），∴點C的坐標是（6，0），當x=6時，y=46∴點N的坐標是（6，23∵反比例函數y=4x圖象上的動點P（m，n）在正方形ABCD∴n隨m的增大而減少，且2≤m≤6，∴當m=6時，n有最小值23∴△POC面積的最小值為12【點睛】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式：設出含有待定系數的反比例函數解析式y(tǒng)=kx（k為常數，k≠0），然后把一個已知點的坐標代入求出k【變式10-3】（2022秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，矩形OABC的頂點A、C分別落在x軸、y軸的正半軸上，點B（4，3），反比例函數y＝kx（x＞0）的圖象與AB、BC分別交于D、E兩點，BD＝1，點P是線段OA(1)求反比例函數關系式和點E的坐標；(2)如圖2，連接PE、PD，求PD+PE的最小值；(3)如圖3，當∠PDO＝45°時，求線段OP的長．【答案】(1)y＝8x，（8(2)241(3)10【分析】（1）由點B的坐標及BD的長，可得出點D的坐標，利用反比例函數圖象上點的坐標特征，可求出反比例函數的關系式，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征，即可得出點E的坐標；（2）作點D關于x軸的對稱點D′，連接D′E交x軸于點P，連接PD，此時PD+PE取得最小值，最小值為D′E，由點D的坐標可得出點D′的坐標，結合點E的坐標可求出D′E的長，由BE，BD的長，利用勾股定理可求出DE的長，進而可求出△PDE周長的最小值；（3）過點P作PF⊥OD于點F，則△PDF為等腰直角三角形，利用勾股定理可求出OD的長，設AP=m，則OP=4-m，利用勾股定理及等腰直角三角形的性質，可得出DF，PF的長，進而可求出OF的長，再由OF2+PF2=OP2可求出m的值，將其正值代入OP=4-m中即可得出結論．(1)解：∵點B的坐標為（4，3），∴OC=AB=3，OA=BC=4．∵BD=1，∴AD=2，∴點D的坐標為（4，2）．∵反比例函數y=kx（x＞0）的圖象過點D∴k=4×2=8，∴反比例函數的關系式為y=8x當y=3時，3=8x，解得：x=8∴點E的坐標為（83(2)解：在圖2中，作點D關于x軸的對稱點D′，連接D′E交x軸于點P，連接PD，此時PD+PE取得最小值，最小值為D′E．∵點D的坐標為（4，2），∴點D′的坐標為（4，-2）．又∵點E的坐標為（83∴D′E=(4?8∴PD+PE的最小值為2413(3)在圖3中，過點P作PF⊥OD于點F，則△PDF為等腰直角三角形．∵OA=4，AD=2，∴OD=OA設AP=m，則OP=4-m，∴PD=AD∵△PDF為等腰直角三角形，∴DF=PF=22∴OF=OD-DF=25∵OF2+PF2=OP2，即(25整理得：3m2+16m-12=0，解得：m1=23，m2∴OP=4-m=103【點睛】本題考查了矩形的性質、反比例函數圖象上點的坐標特征、勾股定理、等腰直角三角形以及軸對稱-最短路徑問題，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用反比例函數圖象上點的坐標特征求出k值；（2）利用兩點之間線段最短，找出點P的位置；（3）利用勾股定理，找出關于AP長的一元二次方程．【考點11反比例函數與一次函數圖象的綜合判斷】【例11】（2022春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期中）在同一直角坐標系中，函數y＝－ax與y＝ax＋1（a≠0）的圖象可能是（

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題可先由反比例函數y=-ax圖象得到字母a的正負，再與一次函數y【詳解】解：A、由函數y=-ax的圖象可知a＞0，由y＝ax+1（aB、由函數y=-ax的圖象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的圖象可知aC、y＝ax+1（a≠0）的圖象應該交于y軸于正半軸，故選項C錯誤．D、由函數y=-ax的圖象可知a＜0，由y＝ax+1（a故選：B．【點睛】本題考查反比例函數的圖象、一次函數的圖象等知識，靈活應用反比例函數及一次函數的性質是解題的關鍵．【變式11-1】（2022春·浙江金華·八年級校聯考期中）反比例函數y=4x與一次函數y=x+1在同一坐標系中的大致圖象可能是（A． B．C． D．【答案】B【分析】根據反比例函數的性質、一次函數的性質即可判斷反比例函數的圖象和一次函數的圖象所處的象限．【詳解】解：由反比例函數y=4x與一次函數y=故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數的圖象、一次函數的圖象，熟練掌握一次函數的性質和反比例函數的性質是解題的關鍵．【變式11-2】（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數y＝kx＋b，反比例函數y=kbx（kb≠0），下列能同時正確描述這兩種函數大致圖像的是（A． B． C． D．【答案】D【分析】根據一次函數的圖象確定k和b的符號，進一步確定反比例函數的圖象即可．【詳解】解：A選項中根據一次函數圖象可知，k＞0，b＜0，∴kb＜0，∴反比例函數經過二、四象限，故A選項不符合題意；B選項中根據一次函數圖象可知，k＞0，b＞0，∴kb＞0，∴反比例函數經過一、三象限，故B選項不符合題意；C選項中，一次函數b=0，∵kb≠0，故C選項不符合題意；D選項中根據一次函數圖象可知，k＜0，b＞0，∴kb＜0，∴反比例函數經過二、四象限，故D選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的圖象，熟練掌握反比例函數與一次函數的圖象與參數的關系是解題的關鍵．【變式11-3】（2022秋·河北石家莊·九年級?？计谀τ诓粸榱愕膬蓚€實數a，b，如果規(guī)定：a★b=a+ba<b?A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據規(guī)定得出y=2★x的解析式，再利用一次函數和反比例函數的圖像性質即可求解．【詳解】由題意得，這是一個分段函數圖象，y=2★即當x>2時，y=x+2；當x≤2時，y=?2故選：C．【點睛】本題考查新定義、一次函數與反比例函數的圖像性質，根據新定義得出y=2★x的解析式是解題的關鍵．【考點12反比例函數與一次函數圖象的交點問題】【例12】（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？计谥校┤鐖D，正比例函數y=?2x與反比例函數y=?8xx<0的圖象有一個交點A，直線BC∥OA，交反比例函數的圖象于點B，交y軸于點C【答案】y=?2x?6##y=?6?2x【分析】將正比例函數y=?2x與反比例函數y=?8xx<0的解析式聯立，求得點A的橫坐標，根據定義求得點B的橫坐標，然后求得點B的坐標，將點B的坐標代入y=?2x+b即可求得b【詳解】解：∵正比例函數y=?2x與反比例函數y=?8xx<0∴?8解得：x=±2，∴點A的橫坐標為：?2，∵BC=2OA，∴點B的橫坐標為：?4，∵點B在反比例函數y=?8∴B∵BC∥OA，即將直線y=?2x沿y軸向下平移b∴將B?4,2代入y=?2x+b得：b=?6∴直線BC的解析式為：y=?2x?6故答案為：y=?2x?6【點睛】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，求得交點坐標是解決問題的關鍵【變式12-1】（2022秋·上海·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正比例函數y=32x的圖像與反比例函數y=(1)求點A的坐標和反比例函數的解析式；(2)若點Pm,n在該反比例函數圖像上，且它到y(tǒng)軸的距離小于3，請直接寫出n【答案】(1)A2,3，(2)n<?2或n>2【分析】（1）將點Aa,3代入y=32x求出a=2，得到點A的坐標，再將點A的坐標代入（2）先確定m的取值范圍，再根據反比例函數關系式得出n的取值范圍即可．【詳解】（1）解：將點Aa,3代入y=32解得a=2，∴A2,3將A2,3代入y=k=xy=2×3=6，∴反比例函數的解析式y(tǒng)=6（2）∵點P（m，n）在該反比例函數圖像上，點P到y(tǒng)軸的距離小于3，∴?3<m<0或0<m<3，當m=3時n=2；當m=?3時n=?2，當點P到y(tǒng)軸的距離小于3時，n<?2或n>2．【點睛】此題考查了反比例函數圖像上點的坐標特征，反比例函數與一次函數的圖像交點坐標，把點的坐標代入相應的函數關系式求出待定系數是求函數關系式的常用方法．【變式12-2】（2022秋·重慶綦江·九年級統(tǒng)考期末）如圖，反比例函數y1=k1x過點A?1,?4，連接AO并延長交反比例函數圖象于點B，C為反比例函數圖象上一點，橫坐標為-4，一次函數y2=k2x+b(1)求反比例函數y1和一次函數y(2)求四邊形AODC的面積；(3)當y1≤y【答案】(1)y1=(2)9(3)?4≤x<0或x≥1【分析】（1）將?1,?4代入y1=k1x得出k1=4，即可得出反比例函數解析式，根據點A，B關于原點成中心對稱，求出B坐標為1,4（2）作DE∥y軸交AC于點E，設AC所在直線解析式為y=mx+n，將?1,?4，?4,?1代入即可得出y=?x?5，求出點D坐標為?3,0，點E坐標為?3,?2，根據S△ACD（3）曲線在直線BC下方時，y1【詳解】（1）解：將?1,?4代入y1=k解得k1∴y1∵A，B在反比例函數圖象上，∴點A，B關于原點成中心對稱，∴點B坐標為1,4，把x=?4代入y1=4∴點C坐標為?4,?1，將1,4，?4,?1代入y2得4=解得k2∴y2（2）解：如圖，作DE∥y軸交AC于點E，設AC所在直線解析式為y=mx+n，將?1,?4，?4,?1代入y=mx+n，得?4=解得m=?1n=?5∴y=?x?5，將y=0代入y2=x+3得解得x=?3，∴點D坐標為?3,0，把x=?3代入y=?x?5得y=?2，∴點E坐標為?3,?2，DE=2，∴S＝12DE?（xD?xC）+12∴四邊形AODC的面積=S（3）解：由圖象可得當?4≤x<0或x≥1時，曲線在直線BC下方，∴當y1≤y2時，【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，求反比例函數解析式，一次函數解析式，求出函數解析式是解題的關鍵．【變式12-3】（2022秋·內蒙古呼和浩特·九年級?？计谀┤鐖D，一次函數y=kx+b的圖象分別交x軸、y軸于C，D兩點，交反比例函數y=nx圖象于Am,4(1)求直線CD的表達式；(2)點E是線段OD上一點，若S△AEB=11(3)請你根據圖象直接寫出不等式kx+b>n【答案】(1)y=?(2)0,(3)x<0或3【分析】（1）先把B點坐標代入y=nx中求出n得到反比例函數解析式，再利用反比例函數解析式確定A(3（2）設E(0,t)，求出D(0,6)，然后根據S△BDE?S△A.DE=（3）利用函數圖象，寫出反比例函數圖象在直線下方所對應的自變量的范圍．【詳解】（1）把B3,2代入y=nx∴反比例函數解析式為y=6把Am,4代入y=6x得4m=6∴A(3把A(32,4)，B3,2代入解得k=?4∴直線CD的解析式為y=?4（2）設E(0,t)，當x=0時，y=?4則D(0,6)，∵S△BDE∴12解得t=10∴E點坐標為0,10（3）結合圖象得當x<0或32<x<3時，∴不等式kx+b>nx的解集為x<0或【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，一次函數與坐標軸的交點，利用圖象解不等式，待定系數法求反比例函數解析式等知識，數形結合是解答本題的關鍵．【考點13反比例函數與一次函數圖象的實際應用】【例13】（2022秋·河北邢臺·九年級?？计谀┠称放茻崴髦?，原有水的溫度為20°C，開機通電，熱水器啟動開始加熱（加熱過程中水溫y°C與開機時間x分鐘滿足一次函數關系），當加熱到80°C時自動停止加熱，隨后水溫開始下降（水溫下降過程中水溫y°C與開機時間x分鐘成反比例函數關系）．當水溫降至（1）當0≤x≤15時，水溫y°C開機時間x（2）當水溫為30°C時，t=（3）通電60分鐘時，熱水器中水的溫度y約為______．【答案】

y=4x+20

40

160【分析】（1）設直線解析式為y=kx+b，結合圖像點(0,20)，(15,80)代入即可得到答案；（2）設反比例函數解析式為y=kx，結合圖像點(15,80)代入求出k，將（3）根據（1）（2）