高三物理一輪復習教案第4章 曲線運動

第四章：曲線運動

本章內(nèi)容包括圓周運動的動力學局部和物體做圓周運動的能量問題，其核心內(nèi)容是牛頓第

二定律、機械能守恒定律等學問在圓周運動中的詳細應用。本章中所涉及到的根本方法及第

二章牛頓定律的方法根本一樣，只是在詳細應用學問的過程中要留意結合圓周運動的特點：

物體所受外力在沿半徑指向圓心的合力才是物體做圓周運動的向心力，因此利用矢量合成的

方法分析物體的受力狀況同樣也是本章的根本方法；只有物體所受的合外力的方向沿半徑指

向圓心，物體才做勻速圓周運動。根據(jù)牛頓第二定律合外力及加速度的瞬時關系可知，當物

體在圓周上運動的某一瞬間的合外力指向圓心，我們?nèi)钥梢杂门ｎD第二定律對這一時刻列出

相應的牛頓定律的方程，如豎直圓周運動的最高點和最低點的問題。另外，由于在詳細的圓

周運動中，物體所受除重力以外的合外力總指向圓心，及物體的運動方向垂直，因此向心力

對物體不做功，所以物體的機械能守恒。

★命題規(guī)律

本章學問點，從近幾年高考看，主要考察的有以下幾點：（1）平拋物體的運動。（2）勻速

圓周運動及其重要公式，如線速度、角速度、向心力等。（3）萬有引力定律及其運用。（4）

運動的合成及分解。留意圓周運動問題是牛頓運動定律在曲線運動中的詳細應用，要加深對

牛頓第二定律的理解，進步應用牛頓運動定律分析、解決實際問題的實力。近幾年對人造衛(wèi)

星問題考察頻率較高，它是對萬有引力的考察。衛(wèi)星問題及現(xiàn)代科技結合親密，對理論聯(lián)絡

實際的實力要求較高，要引起足夠重視。本章內(nèi)容常及電場、磁場、機械能等學問綜合成難

度較大的試題，學習過程中應加強綜合實力的培育。

從近幾年的高考試題可以看出，曲線運動的探討方法一一運動的合成及分解、平拋運動和

圓周運動；萬有引力定律及牛頓運動定律結合分析天體、人造衛(wèi)星、宇宙飛船、航天飛機的

運動問題，估算天體的質量和密度問題，反映了現(xiàn)代科技信息及現(xiàn)代科技開展親密聯(lián)絡是高

考命題的熱點。例如2008全國I第17題，山東根本實力第32題，全國Il第25題，廣東單科

第12題考察了萬有引力定律的應用，2005年全國I、II、In卷以及北京理綜、廣東物理均考

察了人造衛(wèi)星在萬有引力作用下的圓周運動問題。再如2006全國I卷、江蘇物理、天津理綜、

重慶理綜、廣東物理均考察了人造衛(wèi)星及萬有引力定律在天體運動中的應用問題。

預料在今后的高考中平拋運動的規(guī)律及其探討方法、圓周運動的角速度、線速度和向心加

速度仍是高考的熱點。及實際應用和及消費、生活、科技聯(lián)絡命題已經(jīng)成為一種命題的趨向，

特殊是神舟系列飛船的放射勝利、探月安排的施行，更會結合萬有引力進展命題。

★復習策略

在本專題內(nèi)容的復習中，肯定要多及萬有引力、天體運動、電磁場等學問進展綜合，以便

開闊視野，進步自己分析綜合實力。

1.在復習詳細內(nèi)容時，應側重曲線運動分析方法，可以嫻熟地將曲線運動轉化為直線運

動。如平拋運動就是將曲線運動轉化為程度方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體

運動再進展處理的。對于豎直平面內(nèi)的圓周運動，由于涉及學問較多而成犯難點和重點。就

圓周運動的自身而言有一個臨界問題，同時又往往及機械能守恒結合在一起命題。在有關圓

周運動最高點的各種狀況下的各物理量的臨界值的分析和計算應作為復習中的重點打破內(nèi)

容，極值分析法、數(shù)學分析法是分析處理物理問題的根本方法，也是學生學習中的難點和薄

弱環(huán)節(jié)。

2.天體問題中，由于公式的形式比擬困難，計算中得到的中間公式特殊多，向心力的表

達式也比擬多，簡單導致混亂。所以要求在處理天體問題時，明確列式時根據(jù)的物理關系（一

般是牢牢抓住萬有引力供應向心力），技巧性地選擇適當?shù)墓?，才能正確、簡便地處理問

題。

3.萬有引力定律還有一個重要的應用就是估算天體的質量或平均密度。問題的核心在于:

（1）探討一天體繞待測天體的圓周運動。（2）二者之間的萬有引力供應向心力。

4.萬有引力定律是力學中一個獨立的根本定律，它也是牛頓運動定律應用的一個延長，

學習本局部內(nèi)容要具有豐富的空間想象建模實力以及學科間的綜合實力。

1、記住物體做勻速圓周運動的條件，能推斷物體是否做勻速圓周運動。

2、記住勻速圓周運動的V、3、7■、八a、向心力等運動學公式。

3、知道解勻速圓周運動題的一般步驟（及牛頓第二定律解題思中一樣）。

4、駕馭幾種情景中的圓周運動：

①重力場中豎直面內(nèi)圓周運動（留意臨界條件）。

②天體的勻速圓周運動。

③點電荷的電場中帶電粒子可以做勻速圓周運動。

④帶電粒子只受洛侖磁力作用下的圓周運動（留意有界磁場中的圓周運動的特點和解法）。

⑤復合場中的圓周運動。

第一模塊：曲線運動、運動的合成和分解

［夯實根底學問」

■考點一、曲線運動

1、定義：運動軌跡為曲線的運動。

2、物體做曲線運動的方向：

做曲線運動的物體，速度方向始終在軌跡的切線方向上，即某一點的瞬時速度的方向，

就是通過該點的曲線的切線方向。

3、曲線運動的性質

由于運動的速度方向總沿軌跡的切線方向，又由于曲線運動的軌跡是曲線，所以曲線運動

的速度方向時刻變更。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不斷變更，所以說：曲線運動

肯定是變速運動。

由于曲線運動速度肯定是變更的，至少其方向總是不斷變更的，所以，做曲線運動的物體

的加速度必不為零，所受到的合外力必不為零。

4、物體做曲線運動的條件

（1）物體做一般曲線運動的條件

物體所受合外力（加速度）的方向及物體的速度方向不在一條直線上。

（2）物體做平拋運動的條件

物體只受重力，初速度方向為程度方向。

可推廣為物體做類平拋運動的條件：物體受到的恒力方向及物體的初速度方向垂直。

（3）物體做圓周運動的條件

物體受到的合外力大小不變，方向始終垂直于物體的速度方向，且合外力方向始終在同一

個平面內(nèi)（即在物體圓周運動的軌道平面內(nèi)）

總之，做曲線運動的物體所受的合外力肯定指向曲線的凹側。

5、分類

⑴勻變速曲線運動：物體在恒力作用下所做的曲線運動，如平拋運動。

⑵非勻變速曲線運動：物體在變力（大小變、方向變或兩者均變）作用下所做的曲線運動，

如圓周運動。

■考點二、運動的合成及分解

1、運動的合成：從已知的分運動來求合運動，叫做運動的合成，包括位移、速度和加速

度的合成，由于它們都是矢量，所以遵循平行四邊形定則。運動合成重點是推斷合運動和分

運動，一般地，物體的實際運動就是合運動。

2、運動的分解：求一個已知運動的分運動，叫運動的分解，解題時應按實際“效果"分解，

或正交分解。

3、合運動及分運動的關系：

⑴運動的等效性（合運動和分運動是等效替代關系，不能并存）；

⑵等時性：合運動所需時間和對應的每個分運動時間相等

（3）獨立性：一個物體可以同時參及幾個不同的分運動，物體在任何一個方向的運動，都按

其本身的規(guī)律進展，不會因為其它方向的運動是否存在而受到影響。

⑷運動的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四邊形定則。）

4、運動的性質和軌跡

⑴物體運動的性質由加速度確定（加速度為零時物體靜止或做勻速運動；加速度恒定時物

體做勻變速運動：加速度變更時物體做變加速運動）。

⑵物體運動的軌跡（直線還是曲線）則由物體的速度和加速度的方向關系確定（速度及加

速度方向在同一條直線上時物體做直線運動；速度和加速度方向成角度時物體做曲線運動）。

常見的類型有：

（1）α=0:勻速直線運動或靜止。

（2）α恒定：性質為勻變速運動，分為：

①1/、α同向，勻加速直線運動；

②V、α反向，勻減速直線運動；

③V、。成角度，勻變速曲線運動（軌跡在v、α之間，和速度V的方向相切，方向漸漸向

α的方向接近，但不行能到達。）

（3）α變更：性質為變加速運動。如簡諧運動，加速度大小、方向都隨時間變更。

詳細如：

①兩個勻速直線運動的合運動肯定是勻速直線運動。

②一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運動仍舊是勻變速運動，當兩者共線時為

勻變速直線運動，不共線時為勻變速曲線運動。

③兩個勻變速直線運動的合運動肯定是勻變速運動，若合初速度方向及合加速度方向在同

一條直線上時，則是直線運動，若合初速度方向及合加速度方向不在一條直線上時，則是曲

線運動。

第二模塊：平拋運動

f夯實根底學問」

平拋運動

1、定義：平拋運動是指物體只在重力作用下，從程度初速度開場的運動。

2、條件：

a、只受重力；b、初速度及重力垂直.

3、運動性質：盡管其速度大小和方向時刻在變更，但其運動的加速度卻恒為重力加速度g,

因此平拋運動是一個勻變速曲線運動。a=g

4、探討平拋運動的方法：通常，可以把平拋運動看作為兩個分運動的合動動：一個是程

度方向（垂直于恒力方向）的勻速直線運動，一個是豎直方向（沿著恒力方向）的勻加速直

線運動。程度方向和豎直方向的兩個分運動既具有獨立性，又具有等時性.

5、平拋運動的規(guī)律

①程度速度：Vx=VO.豎直速度：Vy=gf

合速度（實際速度）的大?。篤=Jvv2+匕2

物體的合速度U及X軸之間的夾角為：

②程度位移：X=%f,豎直位移y=gg/

合位移（實際位移）的大?。篠=JX2+.2

物體的總位移S及X軸之間的夾角為：

可見，平拋運動的速度方向及位移方向不一樣。

而且tana=2tan8而?！?0

軌跡方程：由X=%/和y=Lg/消去，得到：>=」JX2?？梢娖綊佭\動的軌跡為拋物

22v0^

線。

6、平拋運動的幾個結論

①落地時間由豎直方向分運動確定：

,,1.2因[2Λ^

由力=lgt得：Z=J—

2Vg

②程度飛行射程由高度和程度初速度共同確定：

③平拋物體隨意時刻瞬時速度V及平拋初速度出夾角0?的正切值為位移s及程度位移X

夾角9正切值的兩倍。

④平拋物體隨意時刻瞬時速度方向的反向延長線及初速度延長線的交點到拋出點的間隔

都等于程度位移的一半。

12

WtSgtX

證明：tana=一=-----=s=一

%S2

⑤平拋運動中，隨意一段時間內(nèi)速度的變更量Au=gAt,方向恒為豎直向下（及g同向）。

隨意一樣時間內(nèi)的△口都一樣（包括大小、方向），如右圖。

⑥以不同的初速度，從傾角為。的斜面上沿程度方向拋出的物體，再次落到斜面上時速度

及斜面的夾角α一樣，及初速度無關。（飛行的時間及速度有關，速度越大時間越長。）

如右圖：所以/=及tan。

g

所以tan（α+6）=2tan6,θ為定值故a也是定值及速度無關。

⑦速度n的方向始終及重力方向成一夾角，故其始終為曲線運動，隨著時間的增加，tan。

變大，θ↑,速度V及重力的方向越來越靠近，但恒久不能到達。

⑧從動力學的角度看：由于做平拋運動的物體只受到重力，因此物體在整個運動過程中機

械能守恒。

7、平拋運動的試驗探究

①如圖所示，用小錘打擊彈性金屬片，金屬片把A球沿程度方向拋出，同時8球松開，自由

下落，A、8兩球同時開場運動。視察到兩球同時落地，屢次變更小球距地面的高度和打擊力

度，重復試驗，視察到兩球落地，這說明了小球A在豎直方向上的運動為自由落體運動。

②如圖，將兩個質量相等的小鋼球從斜面的同一高度處由靜止同時釋放，滑道2及光滑程

度板吻接，則將視察到的現(xiàn)象是A、B兩個小球在程度面上相遇，變更釋放點的高度和上面滑

道對地的高度，重復試驗，4B兩球仍會在程度面上相遇，這說明平拋運動在程度方向上的

分運動是勻速直線運動。

8、類平拋運動

（1）有時物體的運動及平拋運動很相像，也是在某方向物體做勻速直線運動，另一垂直

方向做初速度為零的勻加速直線運動。對這種運動，像平拋又不是平拋，通常稱作類平拋運

動。

2、類平拋運動的受力特點：

物體所受合力為恒力，且及初速度的方向垂直。

3、類平拋運動的處理方法：

在初速度%方向做勻速直線運動，在合外力方向做初速度為零的勻加速直線運動，加速度

a=L處理時和平拋運動類似，但要分析清晰其加速度的大小和方向如何，分別運用兩個

m

分運動的直線規(guī)律來處理。

第三模塊：圓周運動

r夯實根底學問」

勻速圓周運動

1、定義：物體運動軌跡為圓稱物體做圓周運動。

2、分類：

⑴勻速圓周運動：

質點沿圓周運動，假如在隨意相等的時間里通過的圓弧長度相等，這種運動就叫做勻速圓

周運動。

物體在大小恒定而方向總跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲線運動。

留意：這里的合力可以是萬有引力一一衛(wèi)星的運動、庫侖力一一電子繞核旋轉、洛侖茲力

一一帶電粒子在勻強磁場中的偏轉、彈力一一繩拴著的物體在光滑程度面上繞繩的一端旋轉、

重力及彈力的合力一一錐擺、靜摩擦力一一程度轉盤上的物體等.

⑵變速圓周運動：假如物體受到約束，只能沿圓形軌道運動，而速率不斷變更一一如小球

被繩或桿約束著在豎直平面內(nèi)運動，是變速率圓周運動.合力的方向并不總跟速度方向垂直.

3、描繪勻速圓周運動的物理量

（1）軌道半徑（r）：對于一般曲線運動，可以理解為曲率半徑。

（2）線速度（v）：

①定義：質點沿圓周運動，質點通過的弧長S和所用時間t的比值，叫做勻速圓周運動的

線速度。

②定義式：V=—

t

③線速度是矢量：質點做勻速圓周運動某點線速度的方向就在圓周該點切線方向上，事實

上，線速度是速度在曲線運動中的另一稱謂，對于勻速圓周運動，線速度的大小等于平均速

率。

（3）角速度（。，又稱為圓頻率）：

①定義：質點沿圓周運動，質點和圓心的連線轉過的角度跟所用時間的比值叫做勻速圓周

運動的角速度。

②大?。孩?拳=爺”是f時間內(nèi)半徑轉過的圓心角）

③單位：弧度每秒（rad∕s）

④物理意義：描繪質點繞圓心轉動的快慢

（4）周期（7）：做勻速圓周運動的物體運動一周所用的時間叫做周期。

（5）頻率（/,或轉速”）：物體在單位時間內(nèi)完成的圓周運動的次數(shù)。

各物理量之間的關系：

留意：計算時，均采納國際單位制，角度的單位采納弧度制。

（6）圓周運動的向心加速度

①定義：做勻速圓周運動的物體所具有的指向圓心的加速度叫向心加速度。

2

2=（為廠=（2球N）

②大?。篴n=-=ωr（還有其它的表示形式，如：an-vω

③方向：其方向時刻變更且時刻指向圓心。

對于一般的非勻速圓周運動，公式仍舊適用，為物體的加速度的法向加速度重量，r為曲

率半徑；物體的另一加速度重量為切向加速度/，表征速度大小變更的快慢（對勻速圓周運

動而言，0r=0）

（7）圓周運動的向心力

勻速圓周運動的物體受到的合外力經(jīng)常稱為向心力，向心力的來源可以是任何性質的力，

常見的供應向心力的典型力有萬有引力、洛侖茲力等。對于一般的非勻速圓周運動，物體受

到的合力的法向分力工供應向心加速度（下式仍舊適用），切向分力工供應切向加速度。

2

向心力的大小為：工=，迎“=機上-=根0，（還有其它的表示形式，如:

Fn-mvω-4亍~Jr=/〃（2過1r）；向心力的方向時刻變更且時刻指向圓心。

事實上，向心力公式是牛頓第二定律在勻速圓周運動中的詳細表現(xiàn)形式。

五、離心運動

1、定義：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消逝或缺乏以供應圓周運動所需向心力

狀況下，就做遠離圓心的運動，這種運動叫離心運動。

2、本質：

①離心現(xiàn)象是物體慣性的表現(xiàn)。

②離心運動并非沿半徑方向飛出的運動，而是運動半徑越來越大的運動或沿切線方向飛出

的運動。

③離心運動并不是受到什么離心力，根本就沒有這個離心力。

3、條件：

當物體受到的合外力工=〃幻“時，物體做勻速圓周運動:

當物體受到的合外力F<nιall時，物體做離心運動

當物體受到的合外力工>〃以“時，物體做近心運動

事實上，這正是力對物體運動狀態(tài)變更的作用的表達，外力變更，物體的運動狀況也必定

變更以適應外力的變更。

4.兩類典型的曲線運動的分析方法比擬

（1）對于平拋運動這類"勻變速曲線運動"，我們的分析方法一般是"在固定的坐標系內(nèi)正

交分解其位移和速度"，運動規(guī)律可表示為

（2）對于勻速圓周運動這類"變變速曲線運動”，我們的分析方法一般是"在運動的坐標系

內(nèi)正交分解其力和加速度"，運動規(guī)律可表示為

『題型解析」

類型題:曲線運動的條件

【例題】（1991年上海高考題）如圖所示，物體在恒力F作用下沿曲線從A運動到B,這

時，突然使它所受力反向，大小不變，即由F變?yōu)橐籉。在此力的作用下，物體以后的運動

狀況，下列說法正確的是（A、B、D）

A.物體不行能沿曲線Ba運動

B.物體不行能沿直線Bb運動

C.物體不行能沿曲線BC運動

D.物體不行能沿原曲線由B返回A

【例題】質量為m的物體受到一組共點恒力作用而處于平衡狀態(tài)，當撤去某個恒力Fl時,

物體可能做（）

A.勻加速直線運動；B.勻減速直線運動；

C.勻變速曲線運動；D.變加速曲線運動。

★解析：當撤去Fl時，由平衡條件可知：物體此時所受合外力大小等于Fi,方向及Fl方

向相反。

若物體原來靜止，物體肯定做及Fl相反方向的勻加速直線運動。

若物體原來做勻速運動，若Fl及初速度方向在同一條直線上，則物體可能做勻加速直線運

動或勻減速直線運動，故A、B正確。

若Fl及初速度不在同始終線上，則物體做曲線運動，且其加速度為恒定值，故物體做勻變

速曲線運動，故C正確，D錯誤。

正確答案為：A、B、C?

【例題】我國"嫦娥一號"探月衛(wèi)星經(jīng)過多數(shù)人的協(xié)作和努力，最終在2007年10月24日晚

6點05分放射升空。如圖所示，"嫦娥一號"探月衛(wèi)星在由地球飛向月球時，沿曲線從M點向

N點飛行的過程中，速度漸漸減小。在此過程中探月衛(wèi)星所受合力的方向可能的是（）

★解析：C衛(wèi)星運動的速度方向沿其軌跡的切線方向，由于速度漸漸減小，則合力方向及

速度方向間的夾角大于90,由軌跡的彎曲方向知，合力必指向其彎曲方向.故選C。

【例題】質點僅在恒力F的作用下，由。點運動到A點的軌跡如圖所示，在A點時速度的

方向及X軸平行，則恒力F的方向可能沿（）

A.X軸正方向

B.X軸負方向

C.y軸正方向

D.y軸負方向

★解析：D根據(jù)曲線運動軌跡特點可知：物體的軌跡總是向合外力一方凹陷，而且最終的

速度方向不及合外力方向平行，可知D正確。

【例題】一個物體以初速度Vo從A點開場在光滑的程度面上運動，一個程度力作用在物

體上，物體的運動軌跡如圖中的實線所示，B為軌跡上的一點，虛線是經(jīng)過A、B兩點并及軌

跡相切的直線。虛線和實線將程度面分成五個區(qū)域，則關于施力物體的位置，下列各種說法

中正確的是（）

A.假如這個力是引力，則施力物體肯定在④區(qū)域中

B.假如這個力是引力，則施力物體可能在③區(qū)域中

C.假如這個力是斥力，則施力物體肯定在②區(qū)域中

D。假如這個力是斥力，則施力物體可能在⑤區(qū)域中

★解析：物體做曲線運動，肯定受到及初速度V。方向不平行的力的作用，這個力及速度方

向垂直的重量起到向心力的作用，使物體運動軌跡向向心力的方向彎曲，且運動軌跡應在受

力方向和初速度方向所夾的角度范圍之內(nèi)，所以此施力物體肯定在軌跡兩切線的交集處。是

引力時施力物體在軌跡彎曲的內(nèi)側（互相吸引，使運動向軌跡內(nèi)側彎曲），是斥力時施力物體在

軌跡彎曲的外側（互相排擠，使物體運動向軌跡內(nèi)側彎曲）。

【答案】AC

【例題】如圖所示，質量為m的小球，用長為/的不行伸長的細線掛在。點，在。點正下

方,處有一光滑的釘子把小球拉到及釘子0'在同一程度高度的位置，擺線被釘子擋住且

2

張緊，現(xiàn)將小球由靜止釋放，當小球第一次通過最低點P時（）

A.小球的運動速度突然減小

B.小球的角速度突然減小

C.小球的向心加速度突然減小

D.懸線的拉力突然減小

★解析：在通過位置產(chǎn)前后瞬間，小球作圓周運動的半徑分別為/和,，并且小球在通過

2

P點瞬間受到的重力和拉力都在豎直方向上，小球的速度大小不變更。

答案：B、C、D

類型題:I如何推斷曲線運動的性質

曲線運動肯定是變速運動，但不肯定是勻變速運動?？梢愿鶕?jù)做曲線運動物體的受力狀況

（或加速度狀況）進展推斷，若受到恒力（其加速度不變），則為勻變速運動，若受到的不是

恒力（其加速度變更），則為非勻變速運動。

例如：平拋運動是勻變速運動，其加速度恒為g:而勻速圓周運動是非勻變速運動，其加

速度雖然大小不變，但方向是時刻變更的。

【例題】關于運動的性質，下列說法中正確的是（A）

A.曲線運動肯定是變速運動

B.曲線運動肯定是變加速運動

C.圓周運動肯定是勻變速運動

D,變力作用下的物體肯定做曲線運動

【例題】物體做曲線運動時，其加速度（）

A.肯定不等于零B.肯定不變

C.肯定變更D.可能不變

★解析：AD曲線運動肯定是變速運動，肯定有加速度，所以加速度肯定不為零，A正確；

曲線運動中平拋運動和類平拋運動（帶電粒子在電場中的偏轉）加速度是不變的，勻速圓周

運動和多數(shù)的曲線運動加速度是變更的。

【例題】一質點在某段時間內(nèi)做曲線運動，則在這段時間內(nèi)（）

A.速度肯定不斷地變更，加速度也肯定不斷地變更

B.速度肯定不斷地變更，加速度可以不變

C.速度可以不變，加速度肯定不斷地變更

D.速度可以不變，加速度也可以不變

★解析：B質點做曲線運動，則速度肯定發(fā)生變更，但加速度不肯定變更，如平拋運動,

所以，A、C、D錯誤，只有B項正確。

類型題:I運用運動的獨立性解題

【例題】如圖所示，一個劈形物體M各面均光滑，上面成程度，程度面上放一光滑小球m,

現(xiàn)使劈形物體從靜止開場釋放，則小球在遇到斜面前的運動軌跡是（斜面足夠長）（）

A.沿斜面對下的直線B.豎直向下的直線

C.無規(guī)則曲線D.拋物線

★解析：B小球只受豎直方向的重力和支持力，即合力始終沿豎直方向，故小球只能做

豎直向下的直線運動，所以B正確.

【例題】如圖所示，A、B為兩游泳運發(fā)動隔著水流湍急的河流站在兩岸邊，A在較下游的

位置，且A的游泳成果比B好，現(xiàn)讓兩人同時下水游泳，要求兩人盡快在河中相遇，試問應

采納下列哪種方法才能實現(xiàn)？（A）

A.A、B均向對方游（即沿虛線方向）而不考慮水流作用

B.B沿虛線向A游且A沿虛線偏向上游方向游

C.A沿虛線向B游且B沿虛線偏向上游方向游

D.都應沿虛線偏向下游方向，且B比A更偏向下游

★解析：游泳運發(fā)動在河里游泳時同時參及兩種運動，一是被水沖向下游，二是沿自己劃

行方向的劃行運動。游泳的方向是人相對于水的方向。選水為參考系，A、B兩運發(fā)動只有一

種運動，由于兩點之間直線最短，所以選A。

【例題】如圖為一空間探測器的示意圖，Pi>P2、P3、P4四個噴氣發(fā)動機，Pl、P3的連錢

及空間一固定坐標系的X軸平行，P2、P4的連線及y軸平行，每臺發(fā)動機開動時，都能向探測

器供應推力，但不會使探測器轉動.開場時，探測器以恒定的速率Vo向正X方向平動.要使

探測器改為向正X偏負y60。的方向以原來的速率VO平動，則可

A.先開動Pl適當時間，再開動P4適當時間

B.先開動P3適當時間，再開動P2適當時間

C.開動P4適當時間

D.先開動P3適當時間，再開動P4適當時間

★解析：選A.在運動的合成、分解中，真實運動為合運動，即"向正X偏y60。的方向以

原來的速率Vo平動"為合運動，X軸、y軸方向上的運動為分運動.據(jù)平行四邊形定則，由右

圖可得，Uχ<Vo,Vy<Vo,又因為“開場時，探測器以恒定的速率VO向正X方向平動"，所以在X

軸方向上探測器做的是沿正X方向的減速運動，其加速度沿負X方向.由牛頓第二定律，沿X

軸方向的合外力必沿負X方向，所以Pl發(fā)動機開動.在y抽方向上探測器做的是沿負y方向

的加速運動，加速度方向沿負y方向，由牛頓第二定律，沿y軸方向的合外力必沿負y方向，

所以P4發(fā)動機翻開.本題正確答案為A

【例題】一質點在Xoy平面內(nèi)從。點開場運動的軌跡如圖所示，則質點的速度（）

X

A.若X方向始終勻速，則y方向先加速后減速

B.若X方向始終勻速，則y方向先減速后加速

C.若y方向始終勻速，則X方向先減速后加速

D.若y方向始終勻速，則X方向先加速后減速

★解析：BD從軌跡圖可知，若X方向始終勻速，開場所受合力沿一y方向，后來沿+y方

向，如圖所示，可以看出應是先減速后加速，故A錯，B正確；若y方向勻速，則受力先沿+

X方向，后沿一X方向，如圖所示，故先加速后減速，所以C錯，D正確.

類型題:I推斷兩個直線運動的合運動的性質

方法一：根據(jù)加速度及初速度的方向關系推斷

先求出合運動的初速度和加速度（可以用作圖法求），再推斷?？梢园l(fā)覺，當上空=幺時,

%2a2

合運動為直線運動，否則為曲線運動.

方法二：通過兩個分位移的比例關系來推斷

作為一般性探討，我們可以設兩個分運動的規(guī)律分別為:

12

v?ot+^a?t

令：Z=包Ii=——2l一

SC12

2v20t+-a2t

根據(jù)數(shù)學學問可以推斷出，若k為一常數(shù)（即當迎=幺或匕o=%o=O或q=4,=O

v20?2一

時.），則說明物體沿直線運動；若我為時間t的函數(shù)（當迎≠幺時），則說明物體將做曲

V02a2

線運動。

如在平拋運動中，Vjfl=O,公=0,4y=g,所以％=旦，即％是時間/的函數(shù)，且隨時間的

2%

持續(xù)而變大，所以合運動的軌跡應是越來越陡的曲線。

【例題】關于運動的合成，下列說法中正確的是（C）

A.合運動的速度肯定比每一個分運動的速度大

B.兩個勻速直線運動的合運動不肯定是勻速直線運動

C.兩個勻變速直線運動的合運動不肯定是勻變速直線運動

D.合運動的兩個分運動的時間不肯定相等

【例題】關于互成角度的兩個初速不為零的勻變速直線運動的合運動，下述說法正確的是

A.肯定是直線運動

B.肯定是曲線運動

C.可能是直線運動，也可能是曲線運動

D.以上都不對

★解析：兩個互成角度的直線運動的合運動是直線運動還是曲線運動，確定于它們的合速

度和合加速度方向是否共線（如圖所示）。當α和V重合時，物體做直線運動，當。和V不重

合時，物體做曲線運動，由于題設數(shù)值不確定，以上兩種均有可能。答案選C

【例題】互成角度。（?！?,。聲180）的一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運

動（）

A.有可能是直線運動B.肯定是曲線運動

C.有可能是勻速運動D.肯定是勻變速運動

★解析：BD互成角度的一個勻速直線運動及一個勻變速直線運動合成后，加速度不變，

是勻變速，且合速度的方向及合加速度的方向不在一條直線上，故其做曲線運動，所以選B、

D,

類型題：BB謝施國

輪船渡河問題：

（1）處理方法：輪船渡河是典型的運動的合成及分解問題，小船在有肯定流速的水中過河

時，事實上參及了兩個方向的分運動，即隨水流的運動（水沖船的運動）和船相對水的運動

（即在靜水中的船的運動），船的實際運動是合運動。

V2

1.渡河時間最少：在河寬、船速肯定時，在一般狀況下，渡河時間t=—=—，

qU船SIn夕

明顯，當e=90°時，即船頭的指向及河岸垂直，渡河時間最小為4,合運動沿V的方向

V

進展。

2.位移最小

若U船＞U水

結論船頭偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移為河寬，偏離上游的角度為COSe="

。船

若％<丫水，則不管船的航向如何，總是被水沖向下游，怎樣才能使漂下的間隔最短呢?

如圖所示，

設船頭Vwi及河岸成e角。合速度V及河岸成ɑ角?？梢钥闯觯篴角越大，船漂下的間隔X

越短，那么，在什么條件下a角最大呢？以V木的矢尖為圓心，V冊為半徑畫圓，當V及圓相切

時?，a角最大，根據(jù)COSe=I效船頭及河岸的夾角應為

U水

θ=arcco?,船沿河漂下的最短間隔為：

丫水

此時渡河的最短位移：S=衛(wèi)_=史生

CoSeV船

【例題】河寬d=60m,水流速度vι=6m∕s,小船在靜水中的速度V2=3m∕s,問：

(1)要使它渡河的時間最短，則小船應如何渡河?最短時間是多少？

(2)要使它渡河的航程最短，則小船應如何渡河?最短的航程是多少？

★解析：⑴要使小船渡河時間最短，則小船船頭應垂直河岸渡河，渡河的最短時間

(2)渡河航程最短有兩種狀況：

①船速V2大于水流速度Vl時，即V2>V1時，合速度V及河岸垂直時，最短航程就是河寬；

②船速V2小于水流速度Vl時，即V2<Vi時，合速度V不行能及河岸垂直，只有當合速度V

方向越接近垂直河岸方向，航程越短?？捎蓭缀畏椒ㄇ蟮?，即以Vl的末端為圓心，以V2的長

度為半徑作圓，從Vl的始端作此圓的切線，該切線方向即為最短航程的方向，如圖所示。

設航程最短時，船頭應偏向上游河岸及河岸成θ角，則

最短行程，S=上一=2機=120/77

COSe6

2

小船的船頭及上游河岸成60。角時，渡河的最短航程為120m。

技巧點拔：對第一小問比擬簡單理解，但對第二小問卻不簡單理解，這里涉及到運用數(shù)學

學問解決物理問題，須要大家有較好的應用實力，這也是教學大綱中要求培育的五種實力之

【例題】在抗洪搶險中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設江岸是平直的，洪水沿江向下游流去,

水流速度為V1，摩托艇在靜水中的航速為V2,戰(zhàn)士救人的地點A離岸邊最近處O的間隔為d,

如戰(zhàn)士想在最短時間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點離。點的間隔為（C）

dυ

A.rL.B.O

他一/

dυxdυ2

C.------D.-------

★解析：摩托艇要想在最短時間內(nèi)到達對岸，其劃行方向要垂直于江岸，摩托艇實際的運

動是相對于水的劃行運動和隨水流的運動的合運動，垂直于江岸方向的運動速度為V2,到達

江岸所用時間t=E；沿江岸方向的運動速度是水速Vl在一樣的時間內(nèi)，被水沖下的間隔，

V2

即為登陸點間隔O點間隔s=y∕="a°答案：C

V2

【例題】某人橫渡一河流，船劃行速度和水流淌速度肯定，此人過河最短時間為了T"若

此船用最短的位移過河，則需時間為T2,若船速大于水速，則船速及水速之比為（）

(A)/2(B凈

加-T；?I

T.

(C)-L-(D)-

★解析：設船速為匕，水速為乙，河寬為d,則由題意可知：（=4①

當此人用最短位移過河時，即合速度V方向應垂直于河岸，如圖所示，則。=r-d一②

聯(lián)立①②式可得：ZL=JU「2,進一步得

T2V,

【例題】小河寬為d,河水中各點水流速度大小及各點到較近河岸邊的間隔成正比，

v/K=kx,Z=%,X是各點到近岸的間隔，小船船頭垂直河岸渡河，小船劃水速度為％,

d

則下列說法中正確的是（A）

A、小船渡河的軌跡為曲線

B、小船到達離河岸9處，船渡河的速度為、歷%

C、小船渡河時的軌跡為直線

D、小船到達離河岸3d∕4處，船的渡河速度為J歷％

類型題:I繩聯(lián)物體的速度分解問題

指物拉繩（桿）或繩（桿）拉物問題。由于高中探討的繩都是不行伸長的，桿都是不行伸

長和壓縮的，即繩或桿的長度不會變更，所以解題原則是：把物體的實際速度分解為垂直于

繩（桿）和平行于繩（桿）兩個重量，根據(jù)沿繩（桿）方向的分速度大小一樣求解。

合速度方向：物體實際運動方向

分速度方向：沿繩（桿）伸（縮）方向：使繩（桿）伸（縮）

垂直于繩（桿）方向：使繩（桿）轉動

速度投影定理：不行伸長的桿或繩，若各點速度不同，各點速度沿繩方向的投影一樣。

這類問題也叫做：斜拉船的問題一一有轉動分速度的問題

【例題】如圖所示，人用繩子通過定滑輪以不變的速度VO拉程度面上的物體A,當繩及程

度方向成e角時，求物體A的速度。

★解析：解法一（分解法）：本題的關鍵是正確地確定物體A的兩個分運動。物體A的運

動（即繩的末端的運動）可看作兩個分運動的合成：一是沿繩的方向被牽引，繩長縮短。繩

長縮短的速度即等于％二是隨著繩以定滑輪為圓心的搖擺，它不變更繩長，只變更角

度e的值。這樣就可以將VA按圖示方向進展分解。所以匕及匕事實上就是”的兩個分速度，

如圖所示，由此可得

解法二（微元法）：要求船在該位置的速率即為瞬時速率，需從該時刻起取一小段時間來

求它的平均速率，當這一小段時間趨于零時，該平均速率就為所求速率。

設船在。角位置經(jīng)At時間向左行駛間隔，滑輪右側的繩長縮短△!_,如圖2所示，當

繩及程度方向的角度變更很小時，AABC可近似看做是始終角三角形，因此有ΔL=Δxcos6,

兩邊同除以At得：-=-cosθ

?r?r

即收繩速率％=LCOSe,因此船的速率為：

總結："微元法"?？稍O想物體發(fā)生一個微小位移，分析由此而引起的牽連物體運動的位移

是怎樣的，得出位移分解的圖示，再從中找到對應的速度分解的圖示，進而求出牽連物體間

速度大小的關系。

解法三（能量轉化法）：由題意可知：人對繩子做功等于繩子對物體所做的功。人對繩子

的拉力為F,則對繩子做功的功率為《=∕?°;繩子對物體的拉力，由定滑輪的特點可知，拉

力大小也為F,則繩子對物體做功的功率為P,=/乙COS。，因為4=A所以L=——。

CoSe

評點：①在上述問題中，若不對物體A的運動仔細分析，就很簡單得出L=%cos6的

錯誤結果；②當物體A向左挪動，e將漸漸變大，”漸漸變大，雖然人做勻速運動，但物體

A卻在做變速運動。

總結：解題流程：①選取適宜的連結點（該點必需能明顯地表達出參及了某個分運動）；

②確定該點合速度方向（物體的實際速度為合速度）且速度方向始終不變；③確定該點合速

度的實際運動效果從而根據(jù)平行四邊形定則確定分速度方向；④作出速度分解的示意圖，找

尋速度關系。

【例題】如圖所示，在高為H的光滑平臺上有一物體.用繩子跨過定滑輪C,由地面上的

人以勻稱的速度V。向右拉動，不計人的高度，若人從地面上平臺的邊緣A處向右行走間隔S

到達B處，這時物體速度多大？物體程度挪動了多少間隔？

★解析：人的實際運動為合運動，將此合運動分解在沿繩方向和垂直于繩的方向。

［全解］設人運動到B點時,繩及地面的夾角為。。人的運動在繩的方向上的分運動的速度為：

V0COS^o物體的運動速度及沿繩方向的運動速度一樣，所以物體的運動速度為

物體挪動的間隔等于滑輪右端繩子伸長的長度，

答案：V=/IlIS=，d=yjs2+Ii2—h

y∣s2+h2

［小結］分清合運動是關鍵，合運動的重要特征是，合運動都是實際的運動，此題中，人向

前的運動是實際的運動，是合運動；該運動分解在沿繩的方向和垂直于繩的方向，這兩個運

動的物理意義是明確的，從滑輪所在的位置來看，沿繩的方向的運動是繩伸長的運動，垂直

于繩的方向的運動是繩繞滑輪的轉動，人同時參及了這兩個運動，其實際的運動（合運動）

即是程度方向的運動

【例題】如圖所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車m沿斜面上升.問：當滑

輪右側的繩及豎直方向成B角，且重物下滑的速率為V時，小車的速度為多少？

★解析：方法一：虛擬重物M在ZIt時間內(nèi)從4移過4/7到達。的運動，如圖（1）所示，

這個運動可設想為兩個分運動所合成，即先隨繩繞滑輪的中心軸。點做圓周運動到8,位移為

Asi,然后將繩拉過萬2到C

若仇很小趨近于0,那么Agf0,則4sι=0,又OA=OB,ZOBA=∣（180-Δ^）→90°.

亦即ZISl近似J_ZS2，故應有：?s2-?h-cos?

,?ΔSCoSe

因ms為。=——-2=--------=υcosθzl

?r?z

所以∕=v?cosι?

方法二：重物/W的速度V的方向是合運動的速度方向，這個V產(chǎn)生兩個效果：一是使繩的

這一端繞滑輪做順時針方向的圓周運動；二是使繩系著重物的一端沿繩拉力的方向以速率J

運動，如圖（2）所示，由圖可知，/=VCOSI?.

【例題】一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B,如圖所示，設汽車和重物的速度的大小分

別為以，小，則（BD）

A、VA=%B、VA>Vli

C、VA<vβD、重物B的速度漸漸增大

【例題】如圖所示，一輕桿兩端分別固定質量為mA和π?的兩個小球A和B（可視為質點）。

將其放在一個直角形光滑槽中，已知當輕桿及槽左壁成α角時，A球沿槽下滑的速度為VA,

求此時B球的速度VB?

★解析：A球以VA的速度沿斜槽滑下時.，可分解為：一個使桿壓縮的分運動，設其速度為

VAI;一個使桿繞B點轉動的分運動，設其速度為VA2。而B球沿斜槽上滑的運動為合運動，設

其速度為VB,可分解為：一個使桿伸長的分運動，設其速度為VBI,VBI=VA1;一個使桿搖擺的

分運動設其速度為VB2；

由圖可知：

Vβl=Vβsin?=VAI=VAcosa

類型題:I面接觸物體的速度問題

求互相接觸物體的速度關聯(lián)問題時，首先要明確兩接觸物體的速度，分析彈力的方向，然

后將兩物體的速度分別沿彈力的方向和垂直于彈力的方向進展分解，令兩物體沿彈力方向的

速度相等即可求出。

【例題】一個半徑為R的半圓柱體沿程度方向向右以速度VO勻速運動。在半圓柱體上擱置

一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運動，如圖所示。當桿及半圓柱體接觸點P及柱心的連線

及豎直方向的夾角為a求豎直桿運動的速度。

★解析：設豎直桿運動的速度為必，方向豎直向上，由于彈力方向沿OP方向，所以V。、

Vl在C）P方向的投影相等，即有匕Sine=KCos。，解得

Vi=Vootanθ

【例題】一根長為L的桿。端用錢鏈固定，另一端固定著一個小球4靠在一個質量

為高為h的物塊上，如圖所示，若物塊及地面摩擦不計，試求當物塊以速度V向右運動

時，小球A的線速度v“（此時桿及程度方向夾角為9）。

★解析：解題方法及技巧：選取物及棒接觸點B為連結點。（不干脆選A點，因為A點

及物塊速度的V的關系不明顯）。因為8點在物塊上，該點運動方向不變且及物塊運動方向一

樣，故8點的合速度（實際速度）也就是物塊速度v；8點又在棒上，參及沿棒向A點滑動的

速度均和繞。點轉動的線速度V2。因此，將這個合速度沿棒及垂直于棒的兩個方向分解，由

速度矢量分解圖得：V2=VSin%

設此時OB長度為a,則a=h∕sinθ0

令棒繞。點轉動角速度為3,則：

ω=V2∕a=vsin2θ∕ho

故A的線速度VA=ωL=vLsin2θ∕ho

類型題：解圖

1.常規(guī)題的解法

【例題】如圖所示，某滑板愛好者在離地h=1.8m高的平臺上滑行，程度分開A點后落在

程度地面的B點，其程度位移S∣=3m。著地時由于存在能量損失，著地后速度變?yōu)椤?m∕s,

并以此為初速沿程度地面滑行S2=8m后停頓，已知人及滑板的總質量m=60kg。求:

（1）人及滑板分開平臺時的程度初速度。

（2）人及滑板在程度地面滑行時受到的平均阻力大小。（空氣阻力無視不計，g取IOm/S?）

★解析：（1）人和滑板一起在空中做平拋運動，設初速為%,飛行時間為3

S3

解得v=-?='m/s=5m∕s

0Vlh∕f2×1.8

Vg?l?

（2）設滑板在程度地面滑行時受到的平均阻力為/,根據(jù)動能定理有-?2=0-

22

E,=下mv60×4xtT

解得/=k="cO-N=60N

25,2×8

本題主要考察的學問點是動能定理和平拋運動的規(guī)律?；姓吖矃⒓傲藘蓚€運動：在AfB

段做的是平拋運動；在B玲C段做的是勻減速運動.由動能定理可求出平均阻力，而根據(jù)平拋

運動的規(guī)律可求出人分開平臺時的速度

【例題】如圖所示，墻壁上落有兩只飛鏢，它們是從同一位置程度射出的，飛鏢A及豎直

墻壁成53。角，飛鏢B及豎直墻壁成37。角，兩者相距為d,假設飛鏢的運動是平拋運動，求

射出點離墻壁的程度間隔？（Sin37。=0.6,cos37t5=0.8）

★解析：設射出點離墻壁的程度間隔為S,A下降的高度hi，B下降的高度h2,根據(jù)平拋

運動規(guī)律可知：（根據(jù)反向沿長線是中點）

學問鏈接：本題的關鍵是理解箭頭指向的含義——箭頭指向代表這一時刻速度的方向，而

不是平拋物體的位移方向。理解兩個重要的推論：

推論1：做平拋（或類平拋）運動的物體在任一時刻任一位置處，設其末速度方向及程度方向

的夾角為。，位移及程度方向的夾角為α,則tanθ=2tanα

推論2：做平拋（或類平拋）運動的物體隨意時刻的瞬時速度的反向延長線肯定通過此時程度

位移的中點。

【例題】如圖所示，排球場總長為18m,設球網(wǎng)高度為2m,運發(fā)動站在網(wǎng)前3m處正對球

網(wǎng)跳起將球程度擊出。

（1）若擊球高度為2.5m,為使球既不觸網(wǎng)又不出界，求程度擊球的速度范圍；

⑵當擊球點的高度為何值時，無論程度擊球的速度多大，球不是觸網(wǎng)就是越界?

★解析：（1）排球被程度擊出后，做平拋運動

若正好壓在底線上，則球在空中的飛行時間：

由此得排球越界的臨界速度

若球恰好觸網(wǎng)，則球在網(wǎng)上方運動的時間：

由此得排球觸網(wǎng)的臨界擊球速度值

使排球既不觸網(wǎng)又不越界，程度擊球速度V的取值范圍為：3√10m∕5<v≤12√2w∕5o

（2）設擊球點的高度為h,當h較小時，擊球速度過大會出界，擊球速度過小又會觸網(wǎng)，臨

界狀況是球剛好擦網(wǎng)而過，落地時又恰好壓在底線上，如圖所示，則有：

即擊球高度不超過此值時，球不是出界就是觸網(wǎng)

【例題】拋體運動在各類體育運動工程中很常見，如乒乓球運動。現(xiàn)探討乒乓球發(fā)球問題，

設球臺長2L、網(wǎng)高力，乒乓球反彈前后程度分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且

不考慮乒乓球的旋轉和空氣阻力。（設重力加速度為g）

（1）若球在球臺邊緣。點正上方高度為/h處以速度Vl程度發(fā)出，落在球臺的PI點（如圖

實線所示），求Pi點距。點的間隔Xi。

（2）若球在O點正上方以速度"2程度發(fā)出，恰好在最高點時越過球網(wǎng)落在球臺的P2點（如

圖虛線所示），求V2的大小。

（3）若球在。點正上方程度發(fā)出后，球經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對方球臺