高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

2012屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)精華版目錄第一章-集合............................................................................................................2第二章-函數(shù)............................................................................................................9第三章數(shù)列........................................................................................................18第四章-三角函數(shù)..................................................................................................25第五章-平面向量..................................................................................................35第六章-不等式......................................................................................................45第七章-直線和圓的方程.......................................................................................49第八章-圓錐曲線方程..........................................................................................57第九章-立體幾何..................................................................................................64第十章-排列組合二項(xiàng)定理..................................................................................85第十一章-概率......................................................................................................93第十二章-概率與統(tǒng)計(jì)..........................................................................................96第十三章-極限..................................................................................................101第十四章導(dǎo)數(shù)................................................................................................106第十五章復(fù)數(shù)....................................................................................................1101第一章-集合考試內(nèi)容:集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集(邏輯聯(lián)結(jié)詞(四種命題(充分條件和必要條件(考試要求:(1)理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意義;了2解屬于、包含、相等關(guān)系的意義;掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合((2)理解邏輯聯(lián)結(jié)詞―或‖、―且‖、―非‖的含義理解四種命題及其相互關(guān)系;掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義(?01.集合與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)要點(diǎn)一、知識(shí)結(jié)構(gòu):本章知識(shí)主要分為集合、簡(jiǎn)單不等式的解法(集合化簡(jiǎn))、簡(jiǎn)易邏輯三部分:二、知識(shí)回顧:(一)集合1.基本概念:集合、元素;有限集、無(wú)限集;空集、全集;符號(hào)的使用.2.集合的表示法:列舉法、描述法、圖形表示法.集合元素的特征:確定性、互異性、無(wú)序性.集合的性質(zhì):?任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為;?空集是任何集合的子集，記為;?空集是任何非空集合的真子集;3如果，同時(shí)，那么A=B.如果，，那么[注]:?Z={整數(shù)}(?)Z={全體整數(shù)}(×)?已知集合S中A的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合A也是有限集.(×)(例:S=N;，則CsA={0})?空集的補(bǔ)集是全集.?若集合A=集合B，則，注:3.?{(x，y)|xy=0，x?R，y?R}坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.?{(x，y)|xy,0，x?R，y?二、四象限的點(diǎn)集.?{(x，y)|xy,0，x?R，y?R}一、三象限的點(diǎn)集.[注]:?對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.例:解的集合{(2，1)}.?點(diǎn)集與數(shù)集的交集是例:A={(x，y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}則4.?n個(gè)元素的子集有2n個(gè).?n個(gè)元素的真子集有2n,1個(gè).?n個(gè)元素的非空真子集有2n,2個(gè).5.??一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題逆命題.?一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題逆否命題.例:?若，則或應(yīng)是真命題.解:逆否:a=2且b=3，則a+b=5，成立，所以此命題為真.?且解:逆否:x+y=3x=1或y=2.4且故是且的既不是充分，又不是必要條件.?小范圍推出大范圍;大范圍推不出小范圍.3.例:若，或4.集合運(yùn)算:交、并、補(bǔ).交:且并:或補(bǔ):且5.主要性質(zhì)和運(yùn)算律(1)包含關(guān)系:(2)等價(jià)關(guān)系:(3)集合的運(yùn)算律:交換律:結(jié)合律分配律0-1律:等冪律:求補(bǔ)律:A?CUA=φA?反演律:CU(A?B)=(CUA)?(CUB)CU(A?B)=(CUA)?(CUB)6.有限集的元素個(gè)數(shù)定義:有限集A的元素的個(gè)數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(φ)=0.基本公式:5-card(A)(二)含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根軸法(零點(diǎn)分段法)?將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化―+‖;(為了統(tǒng)一方便)?求根，并在數(shù)軸上表示出來(lái);?由右上方穿線，經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)(為什么,);?若不等式(x的系數(shù)化―+‖后)是―>0‖,則找―線‖在x軸上方的區(qū)間;若不等式是―<0‖,則找―線‖在x軸下方的區(qū)間.x(自右向左正負(fù)相間)則不等式的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)確定.特例?一元一次不等式ax>b解的討論;?一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.62.分式不等式的解法(1)標(biāo)準(zhǔn)化:移項(xiàng)通分化為式，(2)(組)轉(zhuǎn)化為整式不等式f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或<0);?0(或?0)的形3.含絕對(duì)值不等式的解法(1)公式法:與型的不等式的解法.(2)定義法:用―零點(diǎn)分區(qū)間法‖分類討論.(3)幾何法:根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax2+bx+c=0(a?0)(1)根的―零分布‖:根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.7(2)根的―非零分布‖:作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.(三)簡(jiǎn)易邏輯1、命題的定義:可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題。2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題:―或‖、―且‖、―非‖這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞;不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡(jiǎn)單命題;由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞―或‖、―且‖、―非‖構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。構(gòu)成復(fù)合命題的形式:p或q(記作―p?q‖);p且q(記作―p?q‖);非p(記作―?q‖)。3、―或‖、―且‖、―非‖的真值判斷(1)―非p‖形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反;(2)―p且q‖形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假;(3)―p或q‖形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真(4、四種命題的形式:原命題:若P則q;逆命題:若q則p;否命題:若?P則?q;逆否命題:若?q則?p。(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題;(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題;(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題(5、四種命題之間的相互關(guān)系:8原命題若p則q互否否命題若?p則?q互逆逆命題若q則p互否逆否命題若?q則?p逆逆互一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系:(原命題逆否命題)?、原命題為真，它的逆命題不一定為真。?、原命題為真，它的否命題不一定為真。?、原命題為真，它的逆否命題一定為真。6、如果已知那么我們說(shuō)，p是q的充分條件，q是p的必要條件。若且則稱p是q的充要條件，記為p?q.7、反證法:從命題結(jié)論的反面出發(fā)(假設(shè))，引出(與已知、公理、定理…)矛盾，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。第二章-函數(shù)考試內(nèi)容:映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性(反函數(shù)(互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系(指數(shù)概念的擴(kuò)充(有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(指數(shù)函數(shù)(對(duì)數(shù)(對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(對(duì)數(shù)函數(shù)(函數(shù)的應(yīng)用(考試要求:(1)了解映射的概念，理解函數(shù)的概念((2)了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法((3)了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)9的反函數(shù)((4)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)((5)理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì);掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)((6)能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題(?02.函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu):二次函數(shù)二、知識(shí)回顧:(一)映射與函數(shù)1.映射與一一映射2.函數(shù)10函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).3.反函數(shù)反函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出，得到若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫做函數(shù)y反函數(shù)，記作(二)函數(shù)的性質(zhì)?函數(shù)的單調(diào)性定義:對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,?若當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2),則說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù);?若當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2),則說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說(shuō)函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).2.函數(shù)的奇偶性的(y),習(xí)慣上改寫成11正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個(gè)問(wèn)題:(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)或是定義域上的恒等式。2(奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形。反之亦真，因此，也可以利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。3.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間同增同減;偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間增減性相反.4(如果f(x)是偶函數(shù)，則，反之亦成立。若奇函數(shù)在時(shí)有意義，則。7.奇函數(shù)，偶函數(shù):?偶函數(shù):設(shè)(a,b)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則也是圖象上一點(diǎn).偶函數(shù)的判定:兩個(gè)條件同時(shí)滿足?定義域一定要關(guān)于y軸對(duì)稱，例如:在上不是偶函數(shù).?滿足，或，若時(shí)，f(x)?奇函數(shù):設(shè)(a,b)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則也是圖象上一點(diǎn).奇函數(shù)的判定:兩個(gè)條件同時(shí)滿足?定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如:在上不是奇函數(shù).12?滿足，或，若時(shí)，y軸對(duì)稱8.對(duì)稱變換:?f(x)f()x軸對(duì)稱?(x)?原點(diǎn)對(duì)稱()9.()222121222在進(jìn)行討論.10.外層函數(shù)的定義域是.解:f(x)的值域是f(f(x))的定義域B，f(x)的值域，故，而，故11.常用變換:?證:xyf(x)f(y).f(y)?證:?熟悉常用函數(shù)圖象:例:關(guān)于y軸對(duì)稱.|x|xyxy|x|13關(guān)于x軸對(duì)稱.2?熟悉分式圖象:例:定義域，值域值域前的系數(shù)之比(三)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)且的圖象和性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象和性質(zhì):對(duì)數(shù)運(yùn)算:14logalogbN換底公式:a推論:以上且15注?:當(dāng)時(shí)，?:當(dāng)時(shí)，取―+‖，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)且時(shí)，，而，故取―—‖.例如:中x,0而logax2中x?R).?與互為反函數(shù).當(dāng)時(shí)，的a值越大，越靠近x軸;當(dāng)時(shí)，則相反.(四)方法總結(jié)?.相同函數(shù)的判定方法:定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.16?對(duì)數(shù)運(yùn)算:logbNlogba換底公式:推論:l(以上且注?:當(dāng)時(shí)，?:當(dāng)時(shí)，取―+‖，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)且時(shí)，，而，故取―—‖.例如:中x,0而logax2中x?R).?與logax互為反函數(shù).當(dāng)時(shí)，的a值越大，越靠近x軸;當(dāng)時(shí)，則相反.?.函數(shù)表達(dá)式的求法:?定義法;?換元法;?待定系數(shù)法.?.反函數(shù)的求法:先解x,互換x、y，注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).?.函數(shù)的定義域的求法:布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)的定義域.常涉及到的依據(jù)為?分母不為0;?偶次根式中被17開方數(shù)不小于0;?對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1;?零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零;?實(shí)際問(wèn)題要考慮實(shí)際意義等.?.函數(shù)值域的求法:?配方法(二次或四次);?―判別式法‖;?反函數(shù)法;?換元法;?不等式法;?函數(shù)的單調(diào)性法.?.單調(diào)性的判定法:?設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間數(shù)列考試內(nèi)容:數(shù)列(等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式(等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式(等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式(等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式(考試要求:(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)((2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題(18(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題(?03.數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)191.?等差、等比數(shù)列:20?看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:?為常數(shù))??為常數(shù)).?看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法:?為常數(shù),且2?，?注?:i.數(shù)列.ii.iii.，是a、b、c成等比的雙非條件，即、b、c等比(ac,0)?為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.a、b、c等比數(shù)列的充要為且為注意:任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac,0，則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).?q為非零常數(shù)).?正數(shù)列{an}成等比的充要條件是數(shù)列成等比數(shù)列.?數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系:[注]:?可為零也可不為零?為等差數(shù)列充要條件(即常數(shù)列也是等差數(shù)列)?若d不為0，則是等差數(shù)列充分條件).?等差{an}前n項(xiàng)和可以為零也可不為零d2?為等差的充要條件?若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件;若d不為零，則21是等差數(shù)列的充分條件.?非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.(不是非零，即不可能有等比((數(shù)列)2.?等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍;?若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則S偶奇奇偶;S偶?若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則，且S奇偶，S奇代入n到得到所求項(xiàng)數(shù).常用公式:?1+2+3…+n=??;5，55，555，注]:熟悉常用通項(xiàng):9，99，999，4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題:?生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問(wèn)題.例如，第一年產(chǎn)量為a，年增長(zhǎng)率為r，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為其中第n年產(chǎn)量為，且過(guò)n年后總產(chǎn)量為:?銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問(wèn)題.例如:一年中每月初到銀行存a元，利息為r，每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的a元過(guò)n個(gè)月后便成為元.因此，第二年年初可存款:22?分期付款應(yīng)用題:a為分期付款方式貸款為a元;m為m個(gè)月將款全部付清;r為年利率.5.數(shù)列常見的幾種形式:?、q為二階常數(shù)用特證根方法求解.具體步驟:?寫出特征方程對(duì)應(yīng)，x對(duì)應(yīng)，并設(shè)二根x1,x2?nn若可設(shè)，若可設(shè);?由初始值a1,a2確定c1,c2.?、r為常數(shù)用?轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列;?逐項(xiàng)選代;?消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為的形式，再用特征根方法求an;?公式法)，c1,c2由a1,a2確定.?轉(zhuǎn)化等差，等比:?選代法:?用特征方程求解:()相減，?由選代法推導(dǎo)結(jié)果:，，()6.幾種常見的數(shù)列的思想方法:?等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，在時(shí)，有最大值.如何確定使Sn取最大值時(shí)的n值，有兩種方法:23一是求使，成立的n值;二是由利用二次函數(shù)的22性質(zhì)求n的值.?如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前n項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法:錯(cuò)位相減求和.例如:?兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差d1，d2的最小公倍數(shù).2.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法:(1)定義法:對(duì)于n?2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)2證都成立。在等差數(shù)列,an,中,有關(guān)Sn的最值問(wèn)題:(1)當(dāng)a1>0,d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得m取最大值.(2)當(dāng)a1<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。(三)、數(shù)列求和的常用方法1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項(xiàng)相消法:適用于其中{an}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，為常數(shù);部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。3.錯(cuò)位相減法:適用于其中{an}是等差數(shù)列，是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。244.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論2)1+3+5+...+(2n-1)=n21第四章-三角函數(shù)考試內(nèi)容:角的概念的推廣(弧度制(任意角的三角函數(shù)(單位圓中的三角函數(shù)線(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(兩角和與差的正弦、余弦、正切(二倍角的正弦、余弦、正切(正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)(周期函數(shù)(函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像(正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)(已知三角函數(shù)值求角(正弦定理(余弦定理(斜三角形解法(考試要求:(1)理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算((2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義;了解余切、正割、余割的定義;掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式;掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式;了解周期函25數(shù)與最小正周期的意義((3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式((4)能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明((5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用―五點(diǎn)法‖畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，理解A.ω、φ的物理意義((6)會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx\arc-cosx\arctanx表示((7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形((8)―同角三角函數(shù)基本關(guān)系式:sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1‖(?04.三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)1.?與,360?)終邊相同的角的集合(角與角的終邊重合):?終邊在x軸上的角的集合:?終邊在y軸上的角的集合:?終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合:?終邊在y=x軸上的角的集合:?終邊在軸上的角的集合:\COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域?若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系:?若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系:?若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系:?角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系:262.角度與弧度的互換關(guān)系:注意:正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.、弧度與角度互換公式:1rad,180??57.30?=57?18ˊ(1?,113、弧長(zhǎng)公式:扇形面積公式:s扇形224、三角函數(shù):設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任取(異于原點(diǎn)的)一點(diǎn)P(x,y)P與原點(diǎn)的距離為r，則;;;;;r.y5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào):(一全二正弦，三切四余弦)正弦、余割余弦、正割正切、余切6、三角函數(shù)線16.幾個(gè)重要結(jié)論:正弦線:MP;余弦線:OM;正切線:AT.7.三角函數(shù)的定義域:(3)若o<x<,則sinx<x<tanx2278、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:9、誘導(dǎo)公式:把的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為:―奇變偶不變，符號(hào)看象限‖三角函數(shù)的公式:(一)基本關(guān)系公式組公式組三公式組一sinx?cscx=1tanx=sinxcosxsinx公式組四公式組五公式組六(二)角與角之間的互換公式組一公式組二二282222222公式組三公式組四公式組五2tan222121212222cos22tan2in2212121212121210.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):29注意:?與sinx的單調(diào)性正好相反;與的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若在[a,b]上遞增(減)，則(增).?與的周期是?或的周期x2的周期為，如圖，翻折無(wú)效).?的對(duì)稱軸方程是，對(duì)稱中心;2的對(duì)稱軸方程是，對(duì)稱中心;的對(duì)稱中心230原點(diǎn)對(duì)稱?當(dāng);?與是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，則?函數(shù)在R上為增函數(shù).(×)[只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè)定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的].?定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.(奇偶性的兩個(gè)條件:一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(奇偶都要)，二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù):，奇函數(shù):奇偶性的單調(diào)性:奇同偶反.例如:是奇函數(shù)，是非奇3非偶.(定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)奇函數(shù)特有性質(zhì):若的定義域，則f(x)一定有的定義域，則無(wú)此性質(zhì))?不是周期函數(shù);為周期函數(shù)(是周期函數(shù)(如圖);為周期函數(shù)的周期為如圖)，并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如:y=|cos2x+1/2|圖象?有11、三角函數(shù)圖象的作法:,)、幾何法:,)、描點(diǎn)法及其特例——五點(diǎn)作圖法(正、余弦曲線)，三點(diǎn)二線作圖法(正、余切曲線).31,)、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象(三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等(函數(shù)y,Asin(ωx，φ)的振幅|A|，周期，頻率，相位初相即當(dāng)x,0時(shí)的相位)((當(dāng)A,0，ω,0時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào))，由y,sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)|A|,1)或縮短(當(dāng)0,|A|,1)到原來(lái)的|A|倍，得到y(tǒng),Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換((用y/A替換y)由y,sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(0,|ω|,1)或縮短(|ω|,1)到原來(lái)的|1|倍，得到y(tǒng),sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換((用ωx替換x)由y,sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)φ,0)或向右(當(dāng)φ,0)平行移動(dòng),φ,個(gè)單位，得到y(tǒng),sin(x，φ)的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移((用x，φ替換x)由y,sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上(當(dāng)b,0)或向下(當(dāng)b,0)平行移動(dòng),b,個(gè)單位，得到y(tǒng),sinx，b的圖象叫做沿y軸方向的平移((用y+(-b)替換y)由y,sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y,Asin(ωx，φ)(A,0，ω,0)(x?R)的圖象，要特別注意:當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。4、反三角函數(shù):函數(shù)y,sinx，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y,arcsinx，它的定義域是,,1，1,，值域是,(函數(shù)y,cosx，(x?,0，π,)的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y,arccosx，32它的定義域是,,1，1,，值域是,0，π,(函數(shù)y,tanx，的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y,arctanx，它的定義域是(,?，，?)，值域是(函數(shù)y,ctgx，,x?(0，π),的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y,arcctgx，它的定義域是(,?，，?)，值域是(0，π)(II.競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)一、反三角函數(shù).1.反三角函數(shù):?反正弦函數(shù)是奇函數(shù)，故，一定要注明定義域，若，沒(méi)有x與y一一對(duì)應(yīng)，故無(wú)反函數(shù))注:，，?反余弦函數(shù)非奇非偶，但有，注:?，，?是偶函數(shù)，非奇非偶，而和為奇函數(shù).?反正切函數(shù):，定義域，值域函數(shù)，，，是奇22注:，?反余切函數(shù):，定義域，值域奇非偶.，，是非22注:?，?inx與互為奇函數(shù)，同理為奇而與非奇非偶但滿足?正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集:a的取值范圍解集a的取值范圍解集?的解集?的解集a,a,a,,?的解集:?的解集:二、三角恒等式.組一組二34組三三角函數(shù)不等式sinx,x,在上是減函數(shù)x若，則第五章-平面向量考試知識(shí)要點(diǎn)1.本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)352.向量的概念(1)向量的基本要素:大小和方向向量的表示:幾何表示法;字母表示:a;坐標(biāo)表示法a,,,，,j,(,，,(3)向量的長(zhǎng)度:即向量的大小，記作,a,(4)特殊的向量:零向量a,,a,,單位向量aO為單位向量,aO,,(5)相等的向量:大小相等，方向相同,1，,1),(,2，,(6)相反向量:a=--(7)平行向量(共線向量):方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a?b.平行向量也稱為共線向量3.向量的運(yùn)算4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a,λ1e1，(2)兩個(gè)向量平行的充要條件?,,x2y1,兩個(gè)向量垂直的充要條件?,，y1y2,37(4)線段的定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比為λ，即P1P,λPP2，則,11OP1，OP2(線段的定比分點(diǎn)的向量公式線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式當(dāng)λ,1時(shí)，得中點(diǎn)公式:,(OP1，OP2)或(5)平移公式設(shè)點(diǎn)P(x，y)按向量a,(,，,)平移后得到點(diǎn)P′(x′，y′)，則OP,OP+a或曲線y,f(x)按向量a,(,，,)平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為:y,,,f(x,,)(6)正、余弦定理正弦定理:余弦定理:a2,b2，c2,2bccosA，b2,c2，a2,2cacosB，c2,a2，b2,(7)三角形面積計(jì)算公式:設(shè)?ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長(zhǎng)為P，外接圓、381圖?S?=Pr?S?=abc/4R?S?=1/2sinC?ab=1/2ac?sinB=1/2cb?sinA?S?海倫公式]?S?=1/2(b+c-a)ra[如下圖]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb[注]:到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)，一個(gè)是圖3圖1中的I為S?ABC的內(nèi)心，S?=Pr圖2中的I為S?ABC的一個(gè)旁心，S?=1/2(b+c-a)ra附:三角形的五個(gè)―心‖;重心:三角形三條中線交點(diǎn).外心:三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心:三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心:三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).旁心:三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn).?已知?O是?ABC的內(nèi)切圓，若BC=a，AC=b，AB=c[注:s為?ABC的半周長(zhǎng),即2]則:?-a)39?-b)?FC=-c)綜合上述:由已知得，一個(gè)角的鄰邊的切線長(zhǎng)，等于半周長(zhǎng)減去對(duì)邊(如圖4).特例:已知在Rt?ABC，c為斜邊，則?在?ABC中，有下列等式成立證明:因?yàn)樗?，所以，結(jié)論～?在?ABC中，D是上任意一點(diǎn)，則證明:在?ABCD中，由余弦定理，有?在?中，由余弦定理有?，?代入?，化簡(jiǎn)可得，斯德瓦定理)BCA圖5?若AD是BC上的中線，2;DC?若AD是?A的平分線，，其中p為半周長(zhǎng);B?若AD是BC上的高，，其中p為半周長(zhǎng).??ABC的判定:?ABC為直角??A+?c2,?c2,?ABC為鈍角??A+?B,ABC為銳角??A+?B,附:證明:2ab，得在鈍角?ABC中，?平行四邊形對(duì)角線定理:對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和.空間向量1(空間向量的概念:40具有大小和方向的量叫做向量注:?空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量?向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量?空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示2(空間向量的運(yùn)算定義:與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下運(yùn)算律:?加法交換律:?加法結(jié)合律:?數(shù)乘分配律:3共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量(a平行于b記作a//b(當(dāng)我們說(shuō)向量a、b共線(或a//b)時(shí)，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線(4(共線向量定理及其推論:共線向量定理:空間任意兩個(gè)向量a、b(b?0)，a//b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a,λb.推論:如果l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式41(其中向量a叫做直線l的方向向量.5(向量與平面平行:已知平面和向量a，作，如果直線OA平行于或在??式叫做平面MAB的向量表達(dá)式7空間向量基本定理:如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使推論:設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,z，使8空間向量的夾角及其表示:已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)O，作，則叫做向量a與b的夾角，記作;且規(guī)定，顯然有;若，則稱a與b互相垂直，記作:29(向量的模:設(shè)，則有向線段OA的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作:|a|.(向量的數(shù)量積:(42已知向量和軸l，e是l上與l同方向的單位向量，作點(diǎn)A在l上的射影，作點(diǎn)B在l上的射影，則叫做向量AB在軸l上或在e上的正射影.可以證明的長(zhǎng)度(11(空間向量數(shù)量積的性質(zhì):(((12(空間向量數(shù)量積運(yùn)算律:(交換律分配律)(空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算一(知識(shí)回顧:(1)空間向量的坐標(biāo):空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸(對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo))，y軸是縱軸(對(duì)應(yīng)為縱軸)，z軸是豎軸(對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)).?令，則?用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化:?空間兩點(diǎn)的距離公式:(2)法向量:若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量a叫做平面的法向量.43(3)用向量的常用方法:?利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理:如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面?利用法向量求二面角的平面角定理:設(shè)n1,n2分別是二面角中平面則1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小的法向量，方向相同，則為補(bǔ)角，1,n2反方，則為其夾角).?證直線和平面平行定理:已知直線平面，，且CDE三點(diǎn)不共線，則a?的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交).44第六章-不等式考試知識(shí)要點(diǎn)1.不等式的基本概念(1)不等(等)號(hào)的定義:(2)不等式的分類:絕對(duì)不等式;條件不等式;矛盾不等式.(3)同向不等式與異向不等式.(4)同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)對(duì)稱性)傳遞性)加法單調(diào)性)同向不等式相加)45異向不等式相減)(乘法單調(diào)性)同向不等式相乘)異向不等式相除)倒數(shù)關(guān)系且平方法則且開方法則)3.幾個(gè)重要不等式(1)若則(2)若a、則或當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))(3)如果a,b都是正數(shù)，那么當(dāng)僅當(dāng).2a=b時(shí)取等號(hào))極值定理:若則:1如果P是定值,那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最小;?2如果S是定值,那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大.?利用極值定理求最值的必要條件:一正、二定、三相等.(4)若a、b、則當(dāng)僅當(dāng)3a=b=c時(shí)取等號(hào))ba(5)若則當(dāng)僅當(dāng)aba=b時(shí)取等號(hào))時(shí)，或(7)若a、則4.幾個(gè)著名不等式(1)平均不等式:如果a,b都是正數(shù)，那么2當(dāng)僅當(dāng)46a=b時(shí)取等號(hào))即:平方平均?算術(shù)平均?幾何平均?調(diào)和平均(a、b為正數(shù)):特別地，當(dāng)a=b時(shí)，時(shí)取等)冪平均不等式:a22nn)注:例如:常用不等式的放縮法:?(2)柯西不等式:若a1,a2,則(當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)取等號(hào)1b2b3bn(3)琴生不等式(特例)與凸函數(shù)、凹函數(shù)若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)有2或2.則稱f(x)為凸(或凹)函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法(1)整式不等式的解法(根軸法).步驟:正化，求根，標(biāo)軸，穿線(偶重根打結(jié))，定解.特例?一元一次不等式ax>b解的討論;?一元二次不等式ax2+bx+c>0(a?0)解的討論.(2)分式不等式的解法:先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則47(3)無(wú)理不等式:轉(zhuǎn)化為有理不等式求解定義域或(4).指數(shù)不等式:轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式g(x)(5)對(duì)數(shù)不等式:轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式(6)含絕對(duì)值不等式1應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值;?2應(yīng)用數(shù)形思想;?3應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化?不同時(shí)為0)或或注:常用不等式的解法舉例(x為正數(shù)):?221212234?類似于，?與1同號(hào)，故取等48第七章-直線和圓的方程考試知識(shí)要點(diǎn)一、直線方程.1.直線的傾斜角:一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與x軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是注:?當(dāng)或時(shí)，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.49?每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時(shí)，其傾斜角也對(duì)應(yīng)確定.2.直線方程的幾種形式:點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式、斜切式.特別地，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(a,0),(0,b)，即直線在x軸，y軸上的截距分別為時(shí)，直線方程是:3注:若是一直線的方程，則這條直線的方程是，但若3則不是這條線.3附:直線系:對(duì)于直線的斜截式方程，當(dāng)k,b均為確定的數(shù)值時(shí)，它表示一條確定的直線，如果k,b變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線也會(huì)變化.?當(dāng)b為定植，k變化時(shí)，它們表示過(guò)定點(diǎn)(0，b)的直線束.?當(dāng)k為定值，b變化時(shí)，它們表示一組平行直線.3.?兩條直線平行:?l1和l2是兩條不重合的直線.?在l1和l1?兩條直線平行的條件是:l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個(gè)―前提‖都會(huì)導(dǎo)致結(jié)論的錯(cuò)誤.(一般的結(jié)論是:對(duì)于兩條直線l1,l2，它們?cè)趛軸上的縱截距是b1,b2，則l1?，且或l1,l2的斜率均不存在，即是平行的必要不充分條件，且推論:如果兩條直線l1,l2的傾斜角為則l1??兩條直線垂直:兩條直線垂直的條件:?設(shè)兩條直線l1和l2的斜率分別為k1和k2，則有50這里的前提是l1,l2的斜率都存在.?，且l2的斜率不存在或，且l1的斜率不存在.(即是垂直的充要條件)4.直線的交角:?直線l1到l2的角(方向角);直線l1到l2的角，是指直線l1繞交點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與l2重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角，它的范圍是，當(dāng)時(shí)ta?兩條相交直線l1與l2的夾角:兩條相交直線l1與l2的夾角，是指由l1與l2相交所成的四個(gè)角中最小的正角，又稱為l1和l2所成的角，它的取值范圍是，當(dāng)，則有5.過(guò)兩直線的交點(diǎn)的直線系方程為參數(shù)，不包括在定比分點(diǎn)坐標(biāo)分式。若點(diǎn)P(x,y)分有向線段P其中12所成的比為即PP1P1(x1,y1),P2(x2,y2).則特例，中點(diǎn)坐標(biāo)公式;重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。3.直線的傾斜角,180?)、斜率514.過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率公式:當(dāng)即直線和x軸垂直)時(shí)，直線的傾斜角,，沒(méi)有斜率?兩條平行線間的距離公式:設(shè)兩條平行直線它們之間的距離為，注;直線系方程1.與直線:Ax+By+C=0平行的直線系方程是:Ax+By+m=0.(m?R,C?m).2.與直線:Ax+By+C=0垂直的直線系方程是:Bx-Ay+m=0.(m?R)3.過(guò)定點(diǎn)(x1,y1)的直線系方程是:A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)4.過(guò)直線l1、l2交點(diǎn)的直線系方程:(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ?R)注:該直線系不含l2.7.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和關(guān)于某直線對(duì)稱:?關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩條直線一定是平行直線，且這個(gè)點(diǎn)到兩直線的距離相等.?關(guān)于某直線對(duì)稱的兩條直線性質(zhì):若兩條直線平行，則對(duì)稱直線也平行，且兩直線到對(duì)稱直線距離相等.若兩條直線不平行，則對(duì)稱直線必過(guò)兩條直線的交點(diǎn)，且對(duì)稱直線為兩直線夾角的角平分線.?點(diǎn)關(guān)于某一條直線對(duì)稱，用中點(diǎn)表示兩對(duì)稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在對(duì)稱直線上(方程?)，過(guò)兩對(duì)稱點(diǎn)的直線方程與對(duì)稱直線方程垂直(方程?)??可解得所求對(duì)稱點(diǎn).，則有52注:?曲線、直線關(guān)于一直線對(duì)稱的解法:y換x，x換y.例:曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x–2對(duì)稱曲線方程是f(y+2,x–2)=0.?曲線C:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線方程是f(a–x,2b–y)=0.二、圓的方程.1.?曲線與方程:在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)建立了如下關(guān)系:?曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.?以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個(gè)方程叫做曲線方程;這條曲線叫做方程的曲線(圖形).?曲線和方程的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是曲線上任一點(diǎn)M(x,y)其坐標(biāo)與方程的一種關(guān)系，曲線上任一點(diǎn)(x,y)是方程的解;反過(guò)來(lái)，滿足方程的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).注:如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0,y)線C上的充要條件是f(x0,y0)=02.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:以點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是特例:圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程是:注:特殊圓的方程:?與軸相切的圓方程圓心(a,b)或?與y軸相切的圓方程?與軸y軸都相切的圓方程3.圓的一般方程:圓心(a,b)或圓心53當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心，半徑.當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)當(dāng)時(shí)，方程無(wú)圖形(稱虛圓).注:?圓的參數(shù)方程:為參數(shù)).?方程表示圓的充要條件是:且且?圓的直徑或方程:已知用向量可征).4.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系:給定點(diǎn)M(x0,y0)及圓?M在圓C設(shè)圓圓C:;直線l:;圓心C(a,b)到直線l的距離?時(shí)，l與C相切;相減為公切線方程.附:若兩圓相切，則?時(shí)，l與C相交;附:公共弦方程:設(shè)22有兩個(gè)交點(diǎn)，則其公共弦方程為54?時(shí)，l與C相離.相減為圓心O1O2的連線的中與線附:若兩圓相離，則方程.由代數(shù)特征判斷:方程組用代入法，得關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為，則:與C相切;與C相交;與C相離.注:若兩圓為同心圓則，相減，不表示直線.6.圓的切線方程:圓的斜率為k的切線方程是過(guò)圓上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為:?一般方程若點(diǎn)(x0,y0)在圓上，則(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特別地，過(guò)圓r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為?若點(diǎn)(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出k方程.7.求切點(diǎn)弦方程:方法是構(gòu)造圖，則切點(diǎn)弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖:ABCD四類共圓.已知的方程?又以ABCD為圓為方程為?55)2?，所以BC的方程即?代?，??相切即為所求.三、曲線和方程1.曲線與方程:在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:1)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解(純粹性);2)方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上(完備性)。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。2.求曲線方程的方法:.1)直接法:建系設(shè)點(diǎn)，列式表標(biāo),簡(jiǎn)化檢驗(yàn);2)參數(shù)法;3)定義法，4)待定系數(shù)法.56第八章-圓錐曲線方程考試知識(shí)要點(diǎn)一、橢圓方程.1.橢圓方程的第一定義:方程為橢圓,無(wú)軌跡,為端點(diǎn)的線段??橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:i.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上:x中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上:y2?一般方程:Ax方程為?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程:的參數(shù)(一象限應(yīng)是屬于??頂點(diǎn):或?軸:對(duì)稱軸:x軸，y軸;長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b.?焦點(diǎn):或?焦距:?準(zhǔn)線:57a2ca2或c.?離心率:?焦點(diǎn)半徑:ax2a2i.設(shè)P(x0,y0)為橢圓y2b2上的一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2由橢圓方程的第二定義可以推出.ii.設(shè)P(x0,y0)為橢圓x2b2y2a2PF上的一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2由橢圓方程的第二定義可以推出.pF1來(lái)為―左加右減‖.注意:橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo):得方程的軌跡為橢圓.?通徑:垂直于x軸且過(guò)焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo):?共離心率的橢圓系的方程:橢圓x2y2c22方程是大于，aabx2a22b2a2b2b2和(c,)aaa2a2歸結(jié)起cc的離心率是ac0的參數(shù)，的離心率也是我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.?若P是橢圓:x2a2y2b2上的點(diǎn).F1,F2為焦點(diǎn)，若，則的面積為b2ta(用余弦定理與可得).若是雙曲線，則面積為.二、雙曲線方程.1.雙曲線的第一定義:方程為雙曲線無(wú)軌跡的一個(gè)端點(diǎn)的一條射線??雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程:x2a2y2b2y2a2x2b2.一般方程:??i.焦點(diǎn)在x軸上:58頂點(diǎn):焦點(diǎn):或x2a2a2準(zhǔn)線方程cayby2b2ii.焦點(diǎn)在y軸上:頂點(diǎn):焦點(diǎn):近線方程:a2準(zhǔn)線方程:c.漸或，參數(shù)方程:或.?軸x,y為對(duì)稱軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c.?離心率?a準(zhǔn)線距2a2c(兩準(zhǔn)線的距離);通徑x2a22b2a.?參數(shù)關(guān)系?焦點(diǎn)半a徑公式:對(duì)于雙曲線方程為雙曲線的上下焦點(diǎn))―長(zhǎng)加短減‖原則:分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別構(gòu)成滿足MF1(與橢圓焦半徑不同，橢圓?等軸雙曲線:雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率2.?共軛雙曲線:以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已x2y2x2y2知雙曲線的共軛雙曲線與互為共軛雙曲線，它們具有共abab同的漸近線:x2a2y2b2x2a2的漸近線方程為2?共漸近線的雙曲線系方程:x22y22如果xxy雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為2aba例如:若雙曲線一條漸近線為且過(guò)，求雙曲線的方程,22解:令雙曲線的方程為:，代入得8242?直線與雙曲線的位置關(guān)系:區(qū)域?:無(wú)切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條;區(qū)域?:即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條;區(qū)域?:2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條;區(qū)域?:即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條;區(qū)域?:即過(guò)原點(diǎn)，無(wú)切線，無(wú)與漸近線平行的直線.小結(jié):過(guò)定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.(2)若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào)?若P在雙曲線x2，則常用結(jié)論1:P到焦點(diǎn)的距離為m=n，則P到兩準(zhǔn)線的距離比為m:n.PF1d2PF2e簡(jiǎn)證:=m.n常用結(jié)論2:從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.三、拋物線方程.603.設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì):2注:?頂點(diǎn)4a2a?則焦點(diǎn)半徑PFP2則焦點(diǎn)半徑為PFP2.?通徑為2p，這是過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中最短的.2pt2?或的參數(shù)方程為22(或2)(t為參數(shù)).四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義..4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓;當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線;當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線;61當(dāng)時(shí)，軌跡為圓，當(dāng)時(shí)).a5.圓錐曲線方程具有對(duì)稱性.例如:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)原點(diǎn)的一條直線與雙曲線的交點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.因?yàn)榫哂袑?duì)稱性，所以欲證AB=CD,即證AD與BC的中點(diǎn)重合即可.注:橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)621.橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的其他形式及相應(yīng)性質(zhì).2.等軸雙曲線3.共軛雙曲線5.方程y2=ax與x2=ay的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程.6.共漸近線的雙曲線系方程.63第九章-立體幾何考試內(nèi)容平面及其基本性質(zhì)(平面圖形直觀圖的畫法(平行直線(對(duì)應(yīng)邊分別平行的角(異面直線所成的角(異面直線的公垂線(異面直線的距離(直線和平面平行的判定與性質(zhì)(直線和平面垂直的判定與性質(zhì)(點(diǎn)到平面的距離(斜線在平面上的射影(直線和平面所成的角(三垂線定理及其逆定理(平行平面的判定與性質(zhì)(平行平面間的距離(二面角及其平面角(兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)(多面體(正多面體(棱柱(棱錐(球(考試要求(1)掌握平面的基本性質(zhì)，會(huì)用斜二測(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖;能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系((2)掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離((3)掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理;掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理;掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念掌握三垂線定理及其逆定理((4)掌握兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握二面角、二面角的平面角、兩個(gè)平行平面間的距離的概念，掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理((5)會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的問(wèn)題(64(6)了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念((7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖((8)了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫正棱錐的直觀圖((9)了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式(9(B)(直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體考試內(nèi)容:平面及其基本性質(zhì)(平面圖形直觀圖的畫法(平行直線(直線和平面平行的判定與性質(zhì)(直線和平面垂直的判定(三垂線定理及其逆定理(兩個(gè)平面的位置關(guān)系(空間向量及其加法、減法與數(shù)乘(空間向量的坐標(biāo)表示(空間向量的數(shù)量積(直線的方向向量(異面直線所成的角(異面直線的公垂線(異面直線的距離(直線和平面垂直的性質(zhì)(平面的法向量(點(diǎn)到平面的距離(直線和平面所成的角(向量在平面內(nèi)的射影(平行平面的判定和性質(zhì)(平行平面間的距離(二面角及其平面角(兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)(多面體(正多面體(棱柱(棱錐(球(考試要求:(1)掌握平面的基本性質(zhì)。會(huì)用斜二測(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖:能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形.能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系(65(2)掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理;理解直線和平面垂直的概念.掌握直線和平面垂直的判定定理;掌握三垂線定理及其逆定理((3)理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘((4)了解空間向量的基本定理;理解空間向量坐標(biāo)的概念.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算((5)掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì):掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式;掌握空間兩點(diǎn)間距離公式((6)理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面知識(shí)要點(diǎn)一、平面.1.經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面.注:兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).2.兩個(gè)平面可將平面分成部分.(?兩個(gè)平面平行，?兩個(gè)平面相交)3.過(guò)三條互相平行的直線可以確定.(?三條直線在一個(gè)平面內(nèi)66平行，?三條直線不在一個(gè)平面內(nèi)平行)[注]:三條直線可以確定三個(gè)平面，三條直線的公共點(diǎn)有個(gè).4.三個(gè)平面最多可把空間分成.(X、Y、Z三個(gè)方向)二、空間直線.1.空間直線位置分三種:相交、平行、異面.相交直線—共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線—共面沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線—不同在任一平面內(nèi)[注]:?兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.(×)(可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等)?直線在平面外，指的位置關(guān)系:平行或相交?若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).?兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).?在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.(×)(射影不一定只有直線，也可以是其他圖形)?在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線長(zhǎng)相等.(×)(并非是從平面外一點(diǎn)向這((個(gè)平面所引的垂線段和斜線段)?a,b是夾在兩平行平面間的線段，若，則a,b的位置關(guān)系為相交或平行或異面.2.異面直線判定定理:過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.(不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線)3.平行公理:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.4.等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，67那么這兩個(gè)角相等(如下圖).(二面角的取值范圍2方向相同方向不相同(直線與直線所成角(斜線與平面成角(直線與平面所成角(向量與向量所成角推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角(或直角)相等.5.兩異面直線的距離:公垂線的長(zhǎng)度.空間兩條直線垂直的情況:相交(共面)垂直和異面垂直.l1,l2是異面直線，則過(guò)l1,l2外一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且與l1,l2都平行平面有一個(gè)或沒(méi)有，但與l1,l2距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).(L1或L2在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫L1與L2平行的平面)三、直線與平面平行、直線與平面垂直.1.空間直線與平面位置分三種:相交、平行、在平面內(nèi).2.直線與平面平行判定定理:如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.(―線線平行，線面平行‖)68[注]:?直線a與平面內(nèi)一條直線平行，則a?平面外一條直線)?直線a與平面內(nèi)一條直線相交，則a與平面相交.(×)(平面外一條直線)?若直線a與平面平行，則內(nèi)必存在無(wú)數(shù)條直線與a平行.(?)(不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之)?兩條平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面.(×)(可能在此平面內(nèi))?平行于同一直線的兩個(gè)平面平行.(×)(兩個(gè)平面可能相交)?平行于同一個(gè)平面的兩直線平行.(×)(兩直線可能相交或者異面)?直線l與平面、所成角相等，則?、可能相交)3.直線和平面平行性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.(―線面平行，線線平行‖)4.PO若PA?，a?AO，得a?PO(三垂線定理)，得不出?PO.因?yàn)閍?PO，但PO不垂直O(jiān)A.三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.(―線線垂直，線面垂直‖)直線與平面垂直的判定定理二:如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.推論:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.[注]:?垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.(×)(可能相交，垂直于同一條直線的(((((((((69兩個(gè)平面平行)?垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行.(?)(一條直線垂直于平行的一個(gè)平面，必垂直于另一個(gè)平面)?垂直于同一平面的兩條直線平行.(?)5.?垂線段和斜線段長(zhǎng)定理:從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線((段中，?射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng);?相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng);?垂線段比任何一條斜線段短.[注]:垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn).[一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.(×)]?射影定理推論:如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上四、平面平行與平面垂直.1.空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系:相交、平行.2.平面平行判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.(―線面平行，面面平行‖)推論:垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行;平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.[注]:一平面間的任一直線平行于另一平面.3.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.(―面面平行，線線平行‖)4.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一:兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二:如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直70線的平面垂直于這個(gè)平面.(―線面垂直，面面垂直‖)注:如果兩個(gè)二面角的平面對(duì)應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒(méi)有什么關(guān)系.5.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它P們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.證明:如圖，找O作OA、OB分別垂直于l1,l2，因?yàn)閯t6.兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式:加，為鈍取減，綜上，都取加則必有θ1θ2圖2圖17.?最小角定理:為最小角，如圖θ?最小角定理的應(yīng)用(?PBN為最小角)簡(jiǎn)記為:成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒(méi)有.五、棱錐、棱柱.1.棱柱.??直棱柱側(cè)面積:為底面周長(zhǎng)，h是高)該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.?斜棱住側(cè)面積:是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，l是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng))該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.?{四棱柱平行六面體直平行六面體長(zhǎng)方體正四棱71柱正方體}.{直四棱柱平行六面體}={直平行六面體}.?棱柱具有的性質(zhì):?棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等;直棱柱的各個(gè)側(cè)面((((都是矩形;正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.(((((((((.?過(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注:?棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱.(×)(直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖)?(直棱柱定義)棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.?平行六面體:定理一:平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.((((((((((((([注]:四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).定理二:長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.推論一:長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為，則推論二:長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為，則[注]:?有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面體的兩個(gè)平行的平面可以為矩形)?各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱(72柱才行)?對(duì)角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長(zhǎng)方體.(×)(只能推出對(duì)角線相等，推不出底面為矩形)?棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直.(兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件)2.棱錐:棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.[注]:?一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.?一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐;所以V棱柱棱柱.??正棱錐定義:底面是正多邊形;頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.[注]:i.正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.(不是等邊三角形)ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正?側(cè)棱與底棱不一定相等iii.正棱錐定義的推論:若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形(即側(cè)棱相等);底面為正多邊形.?正棱錐的側(cè)面積:底面周長(zhǎng)為C，斜高為h’)2S底側(cè)面與底面成的二面角為?棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式:S側(cè)附:c以知c?l，，為二面角則?，?，?22???得S側(cè)底注:S為任意多邊形的面積(可分別多個(gè)三角形的方法).?棱錐具有的性質(zhì):73?正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等(它叫做正棱錐的斜高).?正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.?特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置:?棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.?棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.?棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.?棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.?三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.?三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.?每個(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑;?每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心I是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.[注]:i.各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，.(×)(各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等)BCii..簡(jiǎn)證:AB?CD，AC??AD.令EDFABO’C得，已知?jiǎng)tiii.空間四邊形OABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.iv.若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.簡(jiǎn)證:取AC中點(diǎn)O’，則平面易知EFGH為平行四邊形為長(zhǎng)方形.若對(duì)角線等，則為正方形.3.球:?球的截面是一個(gè)圓面.?球的表面積公式:?球的體積公式:?緯度、經(jīng)度:?緯度:地球上一點(diǎn)P的緯度是指經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).?經(jīng)度:地球上A,B兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是B點(diǎn)的經(jīng)度.附:?圓柱體積:為半徑，h為高)?圓錐體積:為半徑，h為高)?錐形體積:為底面積，h為高)751313RO4.?[當(dāng)時(shí)，不成立]?向量,,共面即它們所在直線共面.(×)[可能異面]?若?，則存在小任一實(shí)數(shù)，使與不成立]?若a為非零向量，則這里用到之積仍為向量](2)共線向量定理:對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b，a?b的充要條件是存在實(shí)數(shù)具有唯一性)，使(3)共面向量:若向量a使之平行于平面或a在內(nèi)，則a與的關(guān)系是平行，記作?(4)?共面向量定理:如果兩個(gè)向量a,b不共線，則向量與向量a,b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使?空間任一點(diǎn)、B、C，則是(((O(和不共線三點(diǎn)((((((A(((((PABC四點(diǎn)共面的充要條件.(簡(jiǎn)證:、A、B、C四點(diǎn)共面)注:??是證明四點(diǎn)共面的常用方法.2.空間向量基本定理:如果三個(gè)向量，那么對(duì)空間任一向量，((((a,b,c不共面(((76存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使推論:設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使這里隱含DB注:設(shè)四面體ABCD的三條棱，其3中Q是?BCD的重心，則向量用即證.3.(1)空間向量的坐標(biāo):空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸(對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo))，y軸是縱軸(對(duì)應(yīng)為縱軸)，z軸是豎軸(對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)).?令，則a1a2a3?2(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化:)2a1.?空間兩點(diǎn)的距離公式:(2)法向量:若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.(3)用向量的常用方法:?利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理:如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面?利用法向量求二面角的平面角定理:設(shè)n1,n2分別是二面角中平面則n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小的法向量，77方向相同，則為補(bǔ)角，n1,n2反方，則為其夾角).?證直線和平面平行定理:已知直線平面，，且CDE三點(diǎn)不共線，則a?的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交).II.競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)一、四面體.1.對(duì)照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質(zhì):?四面體的六條棱的垂直平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的外接球的球心;?四面體的四個(gè)面組成六個(gè)二面角的角平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的內(nèi)接球的球心;?四面體的四個(gè)面的重心與相對(duì)頂點(diǎn)的連接交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為3:1;?12個(gè)面角之和為720?，每個(gè)三面角中任兩個(gè)之和大于另一個(gè)面角，且三個(gè)面角之和為180?.2.直角四面體:有一個(gè)三面角的三個(gè)面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當(dāng)于平面幾何的直角三角形.(在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長(zhǎng)之和、表面積、外接球半徑、內(nèi)切球半徑及側(cè)面78上的高)，則有空間勾股定理:S2?ABC+S2?BCD+S2?ABD=S2?ACD.3.等腰四面體:對(duì)棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形.根據(jù)定義不難證明以長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條面對(duì)角線的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個(gè)等腰四面體拼補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體.B(在等腰四面體ABCD中，記BC=AD=a，AC=BD=b，，體積為V，外接球半徑為R，?三個(gè)公理及公理三的三個(gè)推論和它們的用途(?79斜二測(cè)畫法(?空