2015年上海市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)解析

2015年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、填汽施（本大題共有14題，滿分48分,）考生應(yīng)在答即

紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對4分，否

則一律得零分.

1.（4分）（2015?上海）設(shè)全集U=R.若集合A={1,2,3,

4},B={x|2WxW3},則AA?B=..

2.（4分）（2015?上海）若復(fù)數(shù)z滿足3z+=l+i,其中i是〉虛

數(shù)單位，則片.

（23cf

I。1cj

若線性方程組的增廣矩陣為解2015?上海）3.（4分）

（x=3

（1尸5.c=為，則C?----------------------

4.（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有樓長均為a,且其

體積為16,則a=.V3---------------------

5（4分）（2015?上海）拋物線y=2px（p>0）上的動點(diǎn)Q

到焦點(diǎn)的距離的最小值為I,則p=.

6.（4分）（2015?上海）若圓錐的側(cè)面積。過軸的截面面積

之比為2",則其母線與軸的夾角的大小

為._______________

……7.（4分）（2015?上海）方程log（9-5）=log（3-2）

口+2的解為----------------

8.（4分）（2015?上海）在報名的3名男老肺和6名女教師

中，選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教帥都有，則不同

的選取方式的種數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表

示）._____________

9.（2015?上海）已知點(diǎn)P和Q的橫坐標(biāo)相同,P的縱坐標(biāo)

是Q的縱坐標(biāo)的2倍,P和Q的航跡分別為雙曲線C和C.若

的漸近線方程為y=±x,則C的漸近線方程的馬

為._______________

2

2

：”10.（4分）（2015?上海）設(shè)f（X）為f（x）=2+,x￡[0,

.（X）+f（X）的最大值為2]的反函數(shù)，則y=f

2015

2mx上海）在（的展開式中，l+x+）（ll.4分）（2015?.（結(jié)

果用數(shù)值表示）項(xiàng)的系數(shù)為

上海）賭博有陷阱.某種貼博每局的規(guī)則?4分）（201512.（的

標(biāo)片中隨機(jī)摸取一張，5,4,是：貼客先在標(biāo)記有I,2,3：

隨后放回該卡片,將卡片上的數(shù)字作為其貼金（單位：元）

L4可隨機(jī)摸取兩張,將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的分

別表示賭《.若隨機(jī)變量4和倍作為其獎金（單位：元卜=

Eg-E，客在一局賭博中的賭金和獎金,則“

-------------（元）.

,=sinx.若存在x上海）已知函數(shù)f（x）4l3.（分）（2015?，|+|3

X）-f（xW6R,且|f（xVW,X…，X滿足OxVxV■心?，

￡N）12|=I2（m^?m（+|f）-（xf（x）|+…（x）-fx）-

1

*..的最小值為m則-------------2

BC為邊中，tanA=,D20⑸4.（?上海）在銳角三角形ABCA

DE±.2和4過D作的面枳分別為BD上的*,Z\A與4

ACD.?FDF于E,_LAC于,則=BDFDE

）每題有且只審題，滿分415分.二、選擇題（本大題共有

?個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案

5的小方格涂黑，選對得分，否則一律得零分.......

15.（5分）（2015?上海）設(shè)z,zee則“z、z中至少有一

腎“個數(shù)是虛數(shù)”是“Z-Z是虛數(shù)”的（）nA,充分非必

要條件B,必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分乂非必要條件

16.（5分）（2015?上海）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,I）,將通

7T

TOA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至OB,則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為

（）~2~~

11

2

D.C.A.B.

二17.（2015?上海）記方程①:x+ax+l=0r方程②：x+ax+2=0,

"方程③：x+ax+4=O,其中a,a,a是正實(shí)數(shù).當(dāng)a,a，2Mi.ua

成等比數(shù)列時，下列選項(xiàng)中，能推出方程③無實(shí)根的是式）

有實(shí)根，有有實(shí)根，無

C.方程①無實(shí)根，且②有實(shí)D.方程①無實(shí)根，且②無

實(shí)

根根

n

7+1

18.（5分）（2015?上海）設(shè)P（x,y）是直線2x?y=（n￡

N）…8%?1工（）與圓x+y=2在第,象限的交點(diǎn)，則極

限2

D.2C-1B..1A.-

三、名師解答題（本大題共有5題，滿分74分）名師解答下

列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步

驟.

19.（12分）（2015?上海）如圖,在長方體ABCD?ABCD

中，““AA=1,AB=AD=2,E、F分別是AB、BC的中點(diǎn),證

明A、C…F、E四點(diǎn)共面，并求直線CD與平面ACFE所

成的角的大小..?......

三地有直道相通，，C上海）如圖，A.B?20.（14分）（2015

千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時從千米，BC=4AB=5千米，AC=3f

小時，他們之間的距離為B地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過IA小

時，/5千米（單位：千米）I）.甲的路線是AB,速度為（地

后原地等B乙到達(dá)千米/小時.8乙的路線是ACB,速度為

地.時乙到達(dá)Ci=i待.設(shè)，）的值；if與）求（11（.......

（2）已知警員的對講機(jī)的藥效通話距離是3「米.當(dāng)tWl

WL時，求fU）的表達(dá)式，并判斷f（D在口，1J上的最大

c

，值是否超過3?說明理由.

u21.（14分）（2015?上海）已知橢圓x+2y=l,過原點(diǎn)的兩

條直線1和1分別于橢圓交『A、B和C、D,記得到的平行

：河邊形ABCD的面積為S.

（1）設(shè)A（x,y）?C（x,y）,用A、C的坐標(biāo)表示點(diǎn)C1到

■直線I的距離，并證明S=2|xy-xy|：iin；2的斜率之積為一,

求面積S的值.與2()設(shè)II”

22.(16分)(2015?上海)已知數(shù)列⑶與｛b｝滿足a-a=2…

(b-b).n￡N.…(1)若b=3n+5,且a=l,求數(shù)列｛a｝的

通項(xiàng)公式；(2)設(shè)|a)的第n項(xiàng)是最大項(xiàng)，即a2a(nE

N),求證：現(xiàn)…數(shù)列住|的第n項(xiàng)是最大項(xiàng)；…(3)設(shè)a=

X<0,b=X(nGN),求人的取值范圍，使得且￡

(-2,2).有最大值M與最小值m

23.(18分)(2015?上海)對于定義域?yàn)镽的函數(shù)g(x),

若存在正常數(shù)丁使得cosg(x)是以T為周期的函數(shù)，則

稱g(x)為余弦周期函數(shù)，旦稱T為其余弦周期.已知f(x)

是以T為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域?yàn)镽.設(shè)f(X)

單調(diào)遞增，f(0)=0,f(T)=4n.1

內(nèi)+5是以611為周期的余弦周期函數(shù)：3)騏證g(x)

⑵設(shè)aVb,證明對任意c￡[f(a),f(b)],存在x￡[a,

.b],使得f(x)=c：?(3)證明："u為方程cosf(x)=1在

[0,T]上得解，”的充,分條件是“u+T為方程cosf(x)=1

在區(qū)間[T,2T]上的解”，。并證明對任意x￡[0,TJ.都有f

(x+T)=f(x)+f(T).

2015年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

參考答案與試題解析

?、填空題（本大題共杓14題，滿分48分.）考生應(yīng)在答期

紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)自接填寫結(jié)果，每個空格填對4分，否

則一律得零分.

I.（4分）（2015?上海）設(shè)全集U=R.若集合A={1,2,3,

4},B={x|2WxW3},則AC?B={1,4}..：__________

知識歸納：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

名帥分析：本題考查集合的運(yùn)算，由于兩個集合已經(jīng)化簡，

故直接運(yùn)算得出答案即可.

名和講解：解：?.?全集U=R,集合A=[1,2,3,4},B={X|2

<x<3）,

:.（?B）=（x|x>3或xV2},u/.AFI<?B）={1.4},u故

答案為：（I，4}.

名師點(diǎn)評：本題考查集合的交、并、補(bǔ)的混合運(yùn)算，熟練掌

握集合的交并補(bǔ)的運(yùn)算規(guī)則是解本題的關(guān)鍵.本題考杳r推

理判斷的能力.

2.（4分）（2015?上海）若復(fù)數(shù)z滿足3z+=l+i,其中i是彳H5

z=虛數(shù)單位，則.-----

知識歸納：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算..普優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有

名師分析：設(shè)z=a+bi.R!l=a-bi（a?b^R）,利用復(fù)數(shù)的z運(yùn)

算法則、復(fù)數(shù)相等即可得出.

名師解答：解：設(shè)z=a+bi,則二2-忻（a,b￡R），z

又3z+=l+i,z

?'?3（a+bi）+（a-bi）=l+i,

化為4a+2bi=l+i,

上工

4a=1,2b=1,42

b=.,解得a=

.............???z二/，故答案為：.屈于基復(fù)數(shù)相等,

名師點(diǎn)評：本題考查了◎數(shù)的運(yùn)算法則、礎(chǔ)區(qū).I01

（x=3

解若線性方程組的增廣用陣為?上海）（4分）（20153.i尸5

16.,則c-c=為.

普優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所TI二階行列式與逆矩陣.知識歸納：

,2i+3y=cj

根據(jù)增廣矩陣的定義得到名師分析：，是方程組［產(chǎn)。2

的解，解方程組即

可.

|2H3y?C|

［尸.

八=3

［尸5，是方程組的解，名帥解答：解：由題意知卜2.，

即5=16,c=21-則cIJ6.故答案為：根據(jù)條件建立方本

題主要考杳增廣矩陣的求解，名師點(diǎn)評I

程組關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

,且32015?上海）若正三三柱的所有行長均為?（4分）（4.a=

4具體積為16,則6

1

棱錐的結(jié)構(gòu)特征知識歸納：2,由此

求?a=16sin600）a名師分析:由題意可得（??a?x/5的值.得

a的a由題意可得,正棱柱的底面是變長等于解：名師解答:

I

2

1

a,?sin60°,正棱柱的高為?等邊三角形，面積為?a式一

a

.-.a=4a=16）sin60aa（A????<3.故答案為;4......

名師點(diǎn)評：本題主要考杏正棱柱的定義以及體積公式，屬于

基礎(chǔ)題.

5（4分）（2015?上海）拋物線y=2px（p>0）上的動點(diǎn)Q

到焦點(diǎn)的距離的最小值為1,則p=2.

知識辦納：拋物線的簡單性質(zhì)

名師分析：利用拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小，即可得出

結(jié)論.

:名師解答：解：因?yàn)閽佄锞€y=2px（p>0）上的動點(diǎn)Q到

焦點(diǎn)的距離的最小值為I,2

所以二1,

所以p=2.

故答窠為:2.

名師點(diǎn)評：本題考杳拋物線的方程與性質(zhì)，考直學(xué)生的計算

能力，比較基礎(chǔ).

6.（4分）（2015?上海）若圓錐的惻面積與過軸的截面面積

7T

T,則其母線與軸的夾角的大小為.之比為2又-----

知識以納；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）.

名師分析：設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,母線長為1.由

已知中圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為2n，可得

l=2h,進(jìn)而可得其:母線與軸的夾角的余弦值，進(jìn)而得到答案.

名牌解答：解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,母線長為

I,

則圓錐的側(cè)面枳為：nd,過軸的截面面積為：rh.

???圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為231.

r.l=2h,

設(shè)母線與軸的夾角為o,^2

n

=?cos0=貝fy=,0故

八

~3

故答案為：.其中根據(jù)已知求出本題考查的知識點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體,

名師點(diǎn)評：圓錐的母線與軸的夾角的余弦值，是名師解答的

關(guān)鍵.

u…）-2=log（3（?上海）方程k）g9-5）7.（4分）（2015”

2.+2的解為

對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),普優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有知識歸納：

解出并利用對數(shù)的運(yùn)熨性質(zhì)化為指數(shù)類型方程，名師分析：

驗(yàn)證即可..--.Jog/.）+2,=log（3-2）名師解答:解：V

log（9-5如…）］X（3-2（9-5）=log-，），-

5=4（32-z+27=0,-12?3化為（3）-9）（3-3）（3

因式分解為：，3???，，3=9=3.x=l或2解得不滿足條件，

舍去.經(jīng)過驗(yàn)證：x=l..\x=2.故答案為：2本題考查了

對數(shù)的運(yùn)算性偵及指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及名師點(diǎn)評：其方程的解

法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

名女教師名男老師和6?上海）在報名的348.《分》（2015人

參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同5中，選取.120

（結(jié)果用數(shù)值表示）的選取方式的種數(shù)為

排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.普優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有知識歸納：名老

師先在9名師分析：根據(jù)題意，運(yùn)用排除法名師分析，山組

合數(shù)公式可得其選法數(shù)目，參加義務(wù)獻(xiàn)血，中選取5人，再

排除其中只Tf女教師的情況；即可得答案.名女教6報名的

有3名男老師和根據(jù)題意，名師解答：解：名老師，師，

共9...........

s=l26種：9名老師中選取5人，參加義務(wù)獻(xiàn)血，有C在，=6

種情況：其中只有女教師的有C06=120種：則男、女教師都

有的選取方式的種數(shù)為126?120.故答案為：本題適宜用

排除法本題考查排列、組合的運(yùn)用，名師點(diǎn)評：

(何接法)，可以避免分類討論，簡化計算.

的縱坐標(biāo)的橫坐標(biāo)相同，P上海)已知點(diǎn)P和Q9,《2015?

若.和Q的軌跡分別為雙曲線CC是Q的縱坐標(biāo)的2倍，P

和,產(chǎn)土下*的漸近線方程為.C的漸近線方程為y=±x,

則CW2._____

雙曲線的簡單性質(zhì).普優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有知識歸納：

然，利用坐標(biāo)間的關(guān)系，=%y-3x名師分析：設(shè)C的方程為

(的漸近線方程.求出Q的物跡方程，即可求出w,=-3x

X名師解答：解：設(shè)C的方程為y-二入4y\,可得-3x

(x,2y),代入y-3x”J設(shè)Q(x,y),P尸瑤，.，

即的漸近線方程為4y-3x=O,尸土坐x.故答案為：名師點(diǎn)評:

本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力,比較

基礎(chǔ).

2

…10.(4分)(2015?上海)設(shè)f(X)為f(x)=2+,xe|0,

-.4.x)+f(x)的最大值為2］的反函數(shù)，則y=f(

反函數(shù).知識歸納：1

…上為增函數(shù)可得其2］xW|0,(由fx)=2+在名師分析：T2

在值域，得到產(chǎn)f(x上為增函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)上性求

得y=f(X)+f(X)的最大值.2

.名師解答：解：由f(x)=2+在xW［0,2］上為增函數(shù)，%2

口,得其值域?yàn)?/p>

J上為增函數(shù)」可得y=f(x)層,21|)在+f(X因此y=f

(x)］上為增函數(shù)，“/.y=f(x)+f(x)的最大值為f<2)

+f(2)=l+I+2=4.

故答案為：4.

名師點(diǎn)評：本題考查了互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象間的關(guān)系,

考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題.

1

^2015

N+X+)的展開式中,x(2015?上海)在(11.(4分)項(xiàng)的

系數(shù)為45(結(jié)果用數(shù)值表示).

知識歸納：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).普優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有

名牌分析：先把原式前兩項(xiàng)結(jié)合展開，名師分析可知僅有.展

，開后的第一項(xiàng)含有X項(xiàng)，然后寫出第一項(xiàng)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),

由X的指數(shù)為2求得「值?則答案可求.產(chǎn)15

C0（14?）,0?（―°

CIOsX''20152十+

x

=,

:x???僅在第?部分中出現(xiàn)項(xiàng)的系數(shù).，可得，再由，令r=2

TE=C；。/,.x項(xiàng)的系數(shù)為味M5

故答案為：45.

名師點(diǎn)評：本題考杏了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是對二項(xiàng)展

開式通項(xiàng)的記憶與運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.

12.（4分）（2015?上海）賭博有陷阱.某種貼博每局的規(guī)則

是：賭客先在標(biāo)記有1,2,3,4,5的?片中附機(jī)摸取一張，

將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，

再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的L4

倍作為其獎金（單位；元）.若隨機(jī)變量&和&分別表示賭

“客在一局賭博中的賭金和獎金，則E?-E€=0.2（元）.“

知識歸納：離散型隨機(jī)變病的期望與方差.普優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有

......計算出分別求出賭金的分布列和獎金的分布列，名

師分析：對應(yīng)的均值，即可得到結(jié)論.解：賭金的分布列

為名師解答:5412355555

1

P5

,1+2+3+4+5)=3所以EE=G獎金的分布列為5.64.21.4

2.8

5

]

胃

1321

TolO55

±2_31

===P=105105

)=2.8.2+X3+X4所以E4=1.4X(X1+X?2.8=02元.-

EC=3-E則SQ2故答案為：本題主要考查離散型隨機(jī)變

埴的分布列和期望名冊點(diǎn)評：

的計算，根據(jù)概率的公式分別進(jìn)行計算.是解決本題的關(guān)犍.

r.若存在xf(x)=sinxl3.(4分)(2015?上海)己知函數(shù)4+|fx))

-f(W6”，F(xiàn)l|f(xWx,…，X滿足OxVxV…Vx：iarN)?

m￡x)|=12(m^l2f)-(xf(x)|+―+|f<x>-w8.m

的最小值為則

正弦函數(shù)的圖象.普優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有知識歸納：

,i,X(由正弦函數(shù)的有界性可得，對任意名師分析：XJ

-x)fx)區(qū)(-…m),都有|f(x)-f(j=l?2r3Tli=l=2?

3,???，2(x)要使m取得最小值，盡可能多讓x(,i值.)

取得最高點(diǎn)，然后作圖可得滿足條件的最小mm,,…2,3,

對任意x,x(i.j=l名師解答：Vy=sinx).?x)=2(x)

-f(()m,都有|f(x)-fx)取，m-2,3,(要

使m取得最小值，盡可能多讓xi=l-得最高點(diǎn)，fiO?)(x|<

(f(6VxW考慮OxVV…xW兀，|fx)-^1=12,)xf)-

?-)X(K+lfX^-n,按卜圖取值即可滿足條件.......

???m的最小值為8.

故答案為:8.

名珅點(diǎn)評：本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查名師分析

問題和解決問題的能力，考較數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，正確理解

對任意x,x(i,j=l,2,3,…，m),都有|f(x)-f(x)

M《f(x)-f(x)=2是名師解答該題的關(guān)鍵,是難題.一

2

2

14.（2015?上海）在銳角三角形ABC中,lanA=,D為邊BC

上的點(diǎn)，Z\ABD與4ACD的面枳分別為2和4.過D作DE

16

IA而

BTE,DF_LAC于F,則？=-.DFDE

275

知識歸納：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,普優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有T

名師分析：由題意畫出圖形，結(jié)合面積求出coW=,

際“而?節(jié)，然后代入數(shù)量積公式得答案.

名師解答：解；如圖，

||ABl-|DE|=2?/△ABD與4ACD的面積分別為2和4,???,

元|?畫=4，應(yīng)”同言需而同渦

可得???????????????

sinA*吟里

5cosA22

22,得A=1..聯(lián)立又sintanA=.A+cosS.cosA=

|lABl-|AC|SinA=6得由同?麻圖2-成〔?原［書.則

型/________一一曲

15515.=.\?=DEDFIDEI-1DF|cos<DE.DF>15

枚答案為：.名師點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算.?

考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了三角函數(shù)的化簡與

求值，是中檔題.

一、選擇題（本大題共有4題，滿分15分，）每題有II只有

?個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號匕將代表答案

的小方格涂盤，選對得5分，否則一律得零分.

15.（5分）（2015?上海）設(shè)z,zee,則“z、z中至少有一

.個數(shù)是虛數(shù)”是“Z?Z是虛數(shù)”的（）nA,充分非必

要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分乂非必要條件

知識歸納：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

名牌分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的有關(guān)

概念進(jìn)行判斷即可.

名師解答：解：設(shè)片l+i,Z=i,滿足Z、Z中至少有一個一

數(shù)是虛數(shù)，則z-z=l是實(shí)數(shù)，則z?z是虛數(shù)不成立，如若

z、Z都是實(shí)數(shù)，則z?z一定不是虛數(shù)，因此當(dāng)是虛

數(shù)時，

則z、z中至少有一個數(shù)是虛數(shù)，即必要性成立，』故2、Z

中至少一個數(shù)是虛數(shù)”是“Z-Z是虛數(shù)”的必要不加充分

條件，

故選:B.

名師點(diǎn)評；本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)

復(fù)數(shù)的有關(guān)概念進(jìn)行判斷是解決本眶的關(guān)鍵.

16.（5分）（2015?上海）己知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,I）,將會

萬逆時針旋轉(zhuǎn)至OB.則點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)OB的縱坐標(biāo)為OA

1311訴

（）TT~

汨

2

DC..A.B.

知識小納：任意角的三角函數(shù)的定義.著優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有

名師分析：根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出/xOA的三角函數(shù)

值，利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.

名師解答：解：???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4.I）,名出2=39

1

7

二設(shè)/xOA=。，則sinO==,八+仃）?cos0=,

將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至OB,T

i--------------71

則OB的傾斜角為0+,則|QB|=|OA|=,"+（響，赤=7-y

V3_.W3137T17T11

=7+）B的縱坐標(biāo)為y=|OP|sin（0則點(diǎn)下入〒下土工，

+X）=+6=sin0cos+cos0sin）=7（（.故選：D根據(jù)三角函

數(shù)本題主要考查三角函數(shù)值的計算，名師點(diǎn)評：

的定義以及兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵.

以，x+ax+2=0x+1=0x+a,方程②：?17.（2015上海）記方程

①：：巧，aa,a是正實(shí)數(shù).當(dāng)ax+4=0方程③：x+a,其中a,

刈“無實(shí)根的是③a成等比數(shù)列時，下列選項(xiàng)中,能推出方程

,）（

②無實(shí)方程①有實(shí)根，旦.有實(shí)根，旦A.方程①②有實(shí)

B根根

無實(shí)根，且②無實(shí)①方.有實(shí)無實(shí)根,且程C.方①②D程

根根......

知識歸納：根的存在性及根的個數(shù)判斷.普優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所行

24,a之間的關(guān)系求出名師分析：根據(jù)方程根與判別式△

?V8,結(jié)合a,a,a成等比數(shù)列求出方程③的判別式△的3

取值即可得到結(jié)論.

:名師解答：解：當(dāng)方程①有實(shí)根，且②無實(shí)根時，△二a”：

-420,A=a-8<（）,回24,a<8,即a-,a,a成等

2.42

a2與空空

比數(shù)列，g；.a二aa,?iai=?即a^i‘a(chǎn)］、4=（）

則a=n即方程③的判別式Z^a-16V0,此時方程③無實(shí)根,

”故選；B

名師點(diǎn)評：本題巨要考查方程根存在性與判別式△之間的關(guān)

系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和性質(zhì)判斷判別式△的取值關(guān)系是

解決本題的關(guān)鍵.

-y=（nGN）x（設(shè)Py）是宜線2x?，518.1分）（2015?上

海）2-8%-1+（與圓x+y=2）在第一象限的交點(diǎn)，則極

PH2

D.IBC.I.2-A.

知識出納：極限及其運(yùn)完.普優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有備

名師分析：當(dāng)n—+8時，直線2x-y=趨近于2x?y=l.

利用圓的1）,與回x+y=2在第?象限的交點(diǎn)無限靠近（1切

線的斜率、斜率計算公式即可得出.囁,-y=12x2x+—8

yJ

時，直線-y=趨近于n解：名師解答：當(dāng)XnT=可，在第一

象限的交點(diǎn)無限靠近（+y與圓x=21l,而）......

看作點(diǎn)P（x,y）與（L1）連線的斜率，其值會無限接7

近圓x+y=2在點(diǎn)（I,1）處的切線的斜率，兌斜率為-

.*.=-1.

故選：A.

名師點(diǎn)評：本題考查了極限思想、圓的切線的斜率、斜率十

算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔座.

三、名師解答題（本大題共有5期，滿分74分）名師解答下

列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步

驟.

19.（12分）（2015?上海）如圖，在長方體ABCD-ABCD

中，”“AA=1,AB=AD=2,E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，證

明A、C、，“F、E四點(diǎn)共面，并求直線CD與平面ACFE所

成的角的大小....

知識歸納：直線與平面所成的角.普優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有

名師分析：利用長方體的集合關(guān)系建立直角坐標(biāo)系.利用法

向量求出二面角.

名師解答：解：連接AC,因?yàn)镋,F分別是AB,BC的中

點(diǎn)，所以EF是△ABC的中位線，所以EF〃AC.由長方體

的性質(zhì)知AC〃AC,u所以EF〃AC,u所以A、C、F、E

四點(diǎn)共面.u以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD分別為xyz

軸，建立空間直角，坐標(biāo)系，易求得

Djc=(0.2,-1)

,不=(0，1.-1)-2.2.0)

的法向量為EFCA設(shè)平面不(X，y，z).........

n-A|Cj=0r2x+2y=0(x.y,z)-(-2,2.0)=0

.........n*A]E=0[y-1=0(x.y.t)(0.1.-1)=0

則,所以，即,

z=L得x=l,y=l,所以，n:(1.1.1)

IK.?。緗=罌絲1

|c.llD|Cr

I(1,1,1)-(0,2,-1)IV15

V3V515

，所以=15.所以直線CD與平面ACFE所成的角的大小

arcsinu,師點(diǎn)評：本題主要考杏利用空同直角坐標(biāo)系求出

二面角的方法，屬高考?？碱}型.

20.(14分)(2015?上海)如圖，A,B,C三地有直道相通,

AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時

從A地出發(fā)勻速前往B地，經(jīng)過I小時，他們之間的距離為

f⑴(單位：「米).甲的路線是AB,速度為5「米7小時，

乙的路線是ACB,速度為8千米川、時.乙到達(dá)B地后原地

等待.設(shè)t=t時乙到達(dá)C地.?(1)求［與f(I)的值：..

(2)已知警員的對講機(jī)的有效通話距寓是3千米.當(dāng)iWi

WL時，求f(I)的表達(dá)式,并判斷f(D在［I,1］上的最大

.值是否超過3?說明理由.

AC3

知識辦納：余弦定理的應(yīng)用.普優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有三互

名師分析：(1)由題意可得1Hh,由余弦定理可得G(t)

7

22

=PC=,代值計算可得；VAC+AP-2AC-AP-COSA,8(2)當(dāng)

7

W時，由已知數(shù)據(jù)和余弦定理可得f(I),,=PQ=,當(dāng)VtWl

,~5--------沂3

時，f(t)=PB=5-5l,綜合可425t2-42H18-可得結(jié)

論.得當(dāng)＜忘1時，f(t)e［Q,...........

坨3

v乙8

315

=h,)由題意可得1=名師解答：解：(I>8T=千米，(AP=v=5

X設(shè)此時甲運(yùn)動到點(diǎn)P,則“，f(I)=PC=VAC24AP2-2AC-AP-COSA

產(chǎn)伊貨，喏)2?2X3X1x.千米:==5近時，乙在CBh

的Q點(diǎn)，設(shè)甲在P2)當(dāng)Wt點(diǎn),(.AQB=AC+CB-8t=7-

83PB=AB-AP=5-5tr

,\f(()=PQ=VQP-2+PB2-2QB-PB?COSB

=V(7-8t)2+(5-5t)2-2(7-8X)(5-5t)0.8

t-z---?

=,V25t2-42t+18fi

當(dāng)Vt《l時，乙在B點(diǎn)不動，設(shè)此時甲在點(diǎn)P,

425--42t+18?太1號

Af(t)=PB=AB-AP=5-5t5-5t,

W413

=(t)t)€[().,.當(dāng)VlWl時，f(故f(t)的

最大值超過了3千米.

名帥點(diǎn)評：本題考杳解二角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及余弦定理和

分段函數(shù)，屬中檔題.

Q.(14分)(2015?上海)已知橢圓x+2y=l,過原點(diǎn)的兩

條直線1和I分別「橢圓交FA、B和c、D,記得到的平行

"四邊形ABCD的面枳為S.

(1)設(shè)A(x,y)，C(x,y),用A、C的坐標(biāo)表示點(diǎn)C到

1

加直期的龍離，并證明S=2|xy-xy|：心工的斜率之枳為一,

求面積S的值.)設(shè)21與I(2,

知識歸納：立線與圓錐曲線的綜合問腮；點(diǎn)到直線的電離公

V】

式.打

y二X的方程為1（）依題息，直線1,利用點(diǎn)名帥分析：，到

直線間的距離公式可求得點(diǎn)C到直線1的距離........

|y*?打叼

............JU

d=,再利用|AB|=2|AO|=2,可證得Jxj+y/s=|AB|d=2|xy?xy|：

.：13i<2）方法?：設(shè)直畿i的斜率為k,則直線?的斜率為

■，）1

2al

可得直線1與I的方程，聯(lián)立方程組，可求得X、⑴，繼而

1121211121

可求得答案.、yx、力產(chǎn)逐2打。工=-,利、方法二：設(shè)直

線II的斜率分別為、，則初用A（X,y）、C（x,y）在橢圓

X+2y=l上，可求得面積nnS的

值.

名師解答：解：（1）依題意，直線1的方程為丫=乂，由點(diǎn),

到直線間的距離公式得：點(diǎn)C到直線I的距離V'

ViWd==.

，所以S=|AB|d=2|xy-xy|；因?yàn)閨AB|=2|AO|=2^而?盛

(2)方法一：設(shè)立線I的斜率為k,則直線1的斜率為?，”

"y=kx

.?*2i2y2=l設(shè)直線1的方程為丫=1＜乂，聯(lián)立方程組，消去y解得

I

7n2k?

.爽

kI2

±,x=Vl+2k2Ji+2k2根據(jù)對稱性,設(shè)x=,則y=,uVl+2k2

摩yty2y,

Vl+2k2同理可得x=,y=,所以S=2|xy-xy|=.V2皿3EE

21

y22=-＞方法二：設(shè)直線I、I的斜率分別為、，則“所以

xx=-2yy??n=4=-2xxyy,v^v2x12x22aiuxx(VA=lx)

在橢圓,xC)y,、(y+2y.h??n.....

??.（）（）=+4+2（+?2%2yjy??x，2yjx?2.2yJnx、2

=1?

2222]

xzxz

即-4xxyy+2+（）=1,2ti2JIUT2：|=,-xy=-xy>,

即|xy所以（xyiHuq所以S=2|xy-xy|=.如皿名師力:評：本

題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考杳方程思想、等價轉(zhuǎn)

化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題.

22.(16分)(2015?上海)已知數(shù)列⑶與⑸滿足a-a=2…/

(b-b),nWN.3(1)若b=3n+5,fta=l.求數(shù)列｛a｝的

通項(xiàng)公式：n?i-(2)設(shè)［u］的第n項(xiàng)是最大項(xiàng)，即a2a(n￡

N),求證：、…數(shù)列伸］的第n項(xiàng)是最大項(xiàng)；5(3)設(shè)a二

AVO,b=X(nEN),求入的取值范圍，使得|a1，，且w

(-2,2).有最大值M與最小值m

知識歸納：數(shù)列遞推式；數(shù)列的函數(shù)特性

名師分析：(1)把b=3n+5代入已知遞推式可得a-a=6.i

由此得到｛a｝是等差數(shù)列，則a可求："2)由a=(a-a)+

(a-a)+,,,+(a-a)+a?結(jié)5+2如aj,

求得2b,=2b+a-合遞推式累加得到a.u

(a、+2b「aj號g.2b「a/進(jìn)一步得到得答案;

，然后分-1VAV0,入=?)可得(3)由(21,Xan=2Xn-X

N

7再由E(-2,的最大值M和最小值m,V-1三種情況求

得出2)列式求得人的范圍.

名師解答:⑴解:Va-a=2(b-b),b=3n+5,....,.a

-a=2(b-b)=2(3n+8-3n-5)=6,「.｛a｝是等差數(shù)

列，首項(xiàng)為a=1,公差為6，/則a=l+(n-l)X6=6n-5；

“(2)Va=(a-a)+(a-a)+?,,+(a-a)+「-”=2(b

~b)+2(b-b)+…+2(b-b)+a口…......

=2b+a-2b....b?4(a^2bi-a?)

(a%+2b「aj號(、+2b「力)

.二，數(shù)列｛b｝的第n項(xiàng)是最大項(xiàng)：5(3)由(2)可得，

4=2入hX

①當(dāng)-IVXV0時，單調(diào)遞減，有最大值出工(入2)n—:

-2=2入2-xX,單調(diào)遞增，有最小值m=a=%-i=2入2n7-x

大”-1),2,2)ex,/.

入'(2'②當(dāng)'=T時，a=3,a=-I?g.?.M=3,

,奧?3年

m二-I?n

(-2,2),不滿足條件.

③當(dāng)入V-1時，當(dāng)n—+8時，a-*-+°°,無最大值：：(當(dāng)n

1

一+8時，a--8,無最小值.一/(-,0)時滿足條件.綜

上所述，Xe

名師點(diǎn)評：本題考杳了數(shù)列遞推式，考杳了等差關(guān)系的確定,

考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,

對(3)的求解運(yùn)用了極限思想方法.是中檔題.

23.(18分)(2015?上海)對于定義域?yàn)镽的函數(shù)g(x),

若存在正常數(shù)『使得cosg(x)是以T為周期的函數(shù)，則

稱g(x)為余弦周期函數(shù)，且稱T為其余弦周期.已知f(x)

是以T為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域?yàn)镽.沒f(x)

單調(diào)遞增，f(0)=0,f(T)=4n.3

=x+sin是以6n為周期的余弦周期函數(shù)：)驗(yàn)證ig(x)?2)

設(shè)a〈b,證明對任意c￡[f(a),f(b)]?存在<b],

使汨f(x)=c；.......

(3)證明:“u為方程cosf(x)=1在[0,T]上得解，”的充。

分條件是“u+T為方程cosf(x)=1在區(qū)間|T，2T]上的解”,

?并證明對任意x￡[0,T),都有f(x+T)=f(井+f(T).

知識歸納：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用.

名師分析：(1)根據(jù)余弦周期函數(shù)的定義，判斷cosg(x+6

兀)是否等于cosg(x)即可：

(2)根據(jù)f(x)的值域?yàn)镽,便可汨到存在x，使得f(x)

M=c,而根據(jù)f