專題33四邊形壓軸綜合問(wèn)題-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國(guó)）含解析

備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國(guó)通用）專題33四邊形壓軸綜合問(wèn)題一、解答題1．（2022·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實(shí)踐，【問(wèn)題情境】：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥EP，EP與正方形的外角△DCG的平分線交于P點(diǎn)．試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(1)【思考嘗試】同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點(diǎn)F，連接EF可以解決這個(gè)問(wèn)題．請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，解答老師提出的問(wèn)題．(2)【實(shí)踐探究】希望小組受此問(wèn)題啟發(fā)，逆向思考這個(gè)題目，并提出新的問(wèn)題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題．(3)【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接DP．知道正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，可以求出△ADP周長(zhǎng)的最小值．當(dāng)AB=4時(shí)，請(qǐng)你求出△ADP周長(zhǎng)的最小值．2．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=3DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+3CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+3CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）平行四邊形ABCD，若P為BC中點(diǎn)，AP交BD于點(diǎn)E，連接CE．(1)若AE=CE，①證明ABCD為菱形；②若AB=5，AE=3，求BD的長(zhǎng)．(2)以A為圓心，AE為半徑，B為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點(diǎn)記為點(diǎn)F，且CE=2AE．若F在直線CE上，求4．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對(duì)象的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)有利于我們?cè)趫D形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們?cè)趯W(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會(huì)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣．如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點(diǎn)，連接EF、DF，H為DF的中點(diǎn)，連接GH．將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，線段DF、GH和CE的位置和長(zhǎng)度也隨之變化．當(dāng)△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)圖②中，AB=BC，此時(shí)點(diǎn)E落在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F落在線段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，AB=2，BC=3，則GHCE=(3)當(dāng)AB=m,BC=n時(shí)．GHCE=(4)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對(duì)角線AC，并沿對(duì)角線AC剪開，得△ABC（如圖④)．點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CMN沿MN翻折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在AB的延長(zhǎng)線上，若PM平分∠APN，則CM長(zhǎng)為．5．（2022·吉林長(zhǎng)春·中考真題）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形ABCD為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中AD=2AB．他先將A4紙沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，折痕為AF；再沿過(guò)點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)C落在EF上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為FG；然后連結(jié)AG，沿AG所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想【問(wèn)題解決】(1)小亮對(duì)上面△ADG≌△AFG的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過(guò)程：證明：四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折疊可知，∠BAF=12∠BAD=45°∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．【結(jié)論應(yīng)用】(2)∠DAG的度數(shù)為________度，F(xiàn)GAF(3)在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段AF上，且AP=12AB，點(diǎn)Q在線段AG上，連結(jié)FQ、PQ，如圖②，設(shè)AB=a，則FQ+PQ6．（2022·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=BD=13，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DB以每秒13個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PM．作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'P、A'M．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(1)點(diǎn)D到邊AB的距離為__________；(2)用含t的代數(shù)式表示線段DP的長(zhǎng)；(3)連結(jié)A'D，當(dāng)線段A'D最短時(shí)，求△DPA'的面積；(4)當(dāng)M、A'、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．7．（2022·山東臨沂·中考真題）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接AD，CD．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)在線段AC上任取一點(diǎn)Р（端點(diǎn)除外），連接PD．將線段PD繞點(diǎn)Р逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)Р在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由．(3)在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．8．（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）已知點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公共點(diǎn)A．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在AD上，F(xiàn)在AB上，求2CE2(2)將正方形AFEG繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α(0°<α<90°)，如圖2，求：CEDG(3)AB=82，AG=22AD，將正方形AFEG繞A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α(0°<α<360°)，當(dāng)C，G，9．（2022·廣西·中考真題）已知∠MON=α，點(diǎn)A，B分別在射線OM,ON上運(yùn)動(dòng)，AB=6．(1)如圖①，若α=90°，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A',B',D'，連接OD,OD'．判斷OD與OD'有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：(2)如圖②，若α=60°，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離：(3)如圖③，若α=45°，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積最大?請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出△AOB面積的最大值．10．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=25,BC=4，D，E，F(xiàn)分別為AC,AB,BC的中點(diǎn)，連接(1)如圖1，求證：DF=5(2)如圖2，將∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到∠PDQ，當(dāng)射線DP交AB于點(diǎn)G，射線DQ交BC于點(diǎn)N時(shí)，連接FE并延長(zhǎng)交射線DP于點(diǎn)M，判斷FN與EM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)DP⊥AB時(shí)，求DN的長(zhǎng)．11．（2022·貴州貴陽(yáng)·中考真題）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在□ABCD中，AN為BC邊上的高，ADAN=m，點(diǎn)M在AD邊上，且BA=BM，點(diǎn)E是線段AM上任意一點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折得(1)問(wèn)題解決：如圖①，當(dāng)∠BAD=60°，將△ABE沿BE翻折后，使點(diǎn)F與點(diǎn)M重合，則AMAN(2)問(wèn)題探究：如圖②，當(dāng)∠BAD=45°，將△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度數(shù)，并求出此時(shí)(3)拓展延伸：當(dāng)∠BAD=30°，將△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE=MD，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出m的值．12．（2022·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M為CD邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD且DM=MN，連接DN,BM,CN，點(diǎn)P，Q分別為BM,CN的中點(diǎn)，連接PQ．(1)證明：CM=2PQ；(2)將圖1中的△DMN繞正方形ABCD的頂點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖2寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若AB=10,DM=25，在△DMN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)B，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段PQ13．（2022·福建·中考真題）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB的度數(shù)．14．（2022·湖南永州·中考真題）為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準(zhǔn)備在耕地A、B、C、D四個(gè)位置安裝四個(gè)自動(dòng)噴酒裝置（如圖1所示），A、B、C、D四點(diǎn)恰好在邊長(zhǎng)為50米的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，為了用水管將四個(gè)自動(dòng)噴灑裝置相互連通，爸媽設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)水管鋪設(shè)方案（各圖中實(shí)線為鋪設(shè)的水管）．方案一：如圖2所示，沿正方形ABCD的三邊鋪設(shè)水管；方案二：如圖3所示，沿正方形ABCD的兩條對(duì)角線鋪設(shè)水管．(1)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明上述兩方案中哪個(gè)方案鋪設(shè)水管的總長(zhǎng)度更短；(2)小明看了爸媽的方案后，根據(jù)“蜂集原理”重新設(shè)計(jì)了一個(gè)方案（如圖4所示），滿足∠AEB=∠CFD=120°，AE=BE=CF=DF，EF∥AD、請(qǐng)將小明的方案與爸媽的方案比較，判斷誰(shuí)的方案中鋪設(shè)水管的總長(zhǎng)度更短，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.415．（2022·江蘇常州·中考真題）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點(diǎn)．若△OAB≌△OCD，則點(diǎn)O叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．(1)正方形_______“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；(2)如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點(diǎn)O是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”．已知CD=42，OA=5，BC=12，連接AC，求AC(3)在四邊形EFGH中，EH//FG．若邊FG上的點(diǎn)O是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求OFOG16．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點(diǎn)M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接BE交MC于點(diǎn)F．(1)當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時(shí)，求證：AM＝CE；(2)若EFBF＝2，求AN(3)若MN∥BE，求ANND17．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，記△COD的面積為S1，△AOB的面積為S（1）問(wèn)題解決：如圖①，若AB//CD，求證：S（2）探索推廣：如圖②，若AB與CD不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在OA上取一點(diǎn)E，使OE=OC，過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD交OD于點(diǎn)F，點(diǎn)H為AB的中點(diǎn)，OH交EF于點(diǎn)G，且OG=2GH，若OEOA18．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連接BE,CE,OE，且BE=CE．(1)如圖1，求證：△BEO≌△CEO；(2)如圖2，設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)F，CE與BD相交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形（△AEF除外），使寫出的每個(gè)三角形的面積都與△AEF的面積相等．19．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD=nABn>1，點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A，D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側(cè)作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點(diǎn)H(1)【嘗試初探】在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)【深入探究】若n=2，隨著E點(diǎn)位置的變化，H點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)H是線段CD中點(diǎn)時(shí)，求tan∠ABE(3)【拓展延伸】連接BH，F(xiàn)H，當(dāng)△BFH是以FH為腰的等腰三角形時(shí)，求tan∠ABE的值（用含n20．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級(jí)下冊(cè)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過(guò)的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你回答：(1)【問(wèn)題一】如圖①，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，OA1交AB于點(diǎn)E，OC(2)【問(wèn)題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線m、n經(jīng)過(guò)正方形ABCD的對(duì)稱中心O，直線m分別與AD、BC交于點(diǎn)E、F，直線n分別與AB、CD交于點(diǎn)G、H，且m⊥n，若正方形ABCD邊長(zhǎng)為8，求四邊形OEAG的面積；(3)【問(wèn)題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點(diǎn)G在正方形ABCD的邊CD上，頂點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且BC=6，CE=2．在直線BE上是否存在點(diǎn)P，使△APF為直角三角形？若存在，求出BP的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．21．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是一條對(duì)角線，且AB=AC=5，BC=6，E，F(xiàn)是AD邊上兩點(diǎn)，點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，AE=DF，連接CE，CE的延長(zhǎng)線與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G．(1)如圖1，M是BC邊上一點(diǎn)，連接AM，MF，MF與CE相交于點(diǎn)N．①若AE=32，求②在滿足①的條件下，若EN=NC，求證：AM⊥BC；(2)如圖2，連接GF，H是GF上一點(diǎn)，連接EH．若∠EHG=∠EFG+∠CEF，且HF=2GH，求EF的長(zhǎng)．22．（2022·海南·中考真題）如圖1，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，點(diǎn)P在邊BC上，且不與點(diǎn)B、C重合，直線AP與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：△ABP≌△ECP；(2)將△APB沿直線AP折疊得到△APB'，點(diǎn)B'落在矩形ABCD的內(nèi)部，延長(zhǎng)PB'①證明FA=FP，并求出在（1）條件下AF的值；②連接B'C，求③如圖2，BB'交AE于點(diǎn)H，點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，當(dāng)∠EAB'=2∠AE23．（2022·黑龍江綏化·中考真題）我們可以通過(guò)面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題．(1)如圖一，在等腰△ABC中，AB=AC，BC邊上有一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G.利用面積證明：DE+DF=CG．(2)如圖二，將矩形ABCD沿著EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B落在B'處，點(diǎn)G為折痕EF上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N.若BC=8，BE=3，求GM+GN的長(zhǎng)．(3)如圖三，在四邊形ABCD中，E為線段BC上的一點(diǎn)，EA⊥AB，ED⊥CD，連接BD，且ABCD=AEDE，BC=51，CD=324．（2022·河南·中考真題）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過(guò)程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國(guó)通用）專題33四邊形壓軸綜合問(wèn)題一、解答題1．（2022·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實(shí)踐，【問(wèn)題情境】：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥EP，EP與正方形的外角△DCG的平分線交于P點(diǎn)．試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(1)【思考嘗試】同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點(diǎn)F，連接EF可以解決這個(gè)問(wèn)題．請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，解答老師提出的問(wèn)題．(2)【實(shí)踐探究】希望小組受此問(wèn)題啟發(fā)，逆向思考這個(gè)題目，并提出新的問(wèn)題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題．(3)【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接DP．知道正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，可以求出△ADP周長(zhǎng)的最小值．當(dāng)AB=4時(shí)，請(qǐng)你求出△ADP周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)答案見解析(2)45°，理由見解析(3)4+45【解析】【分析】（1）取AB的中點(diǎn)F，連接EF，利用同角的余角相等說(shuō)明∠PEC＝∠BAE，再根據(jù)ASA證明△AFE≌△ECP，得AE＝EP；（2）在AB上取AF＝EC，連接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，則△FAE≌△CEP（SAS），再說(shuō)明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；（3）作DG⊥CP，交BC的延長(zhǎng)線于G，交CP于O，連接AG，則△DCG是等腰直角三角形，可知點(diǎn)D與G關(guān)于CP對(duì)稱，則AP+DP的最小值為AG的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AG，進(jìn)而得出答案．(1)解：AE＝EP，理由如下：取AB的中點(diǎn)F，連接EF，∵F、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴AF＝BF＝BE＝CE，∴∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AFE＝∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠PEC＝∠BAE，∴△AFE≌△ECP（ASA），∴AE＝EP；(2)解：在AB上取AF＝EC，連接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，∵AF＝EC，AE＝EP，∴△FAE≌△CEP（SAS），∴∠ECP＝∠AFE，∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∴∠ECP＝135°，∴∠DCP＝45°；(3)解：作DG⊥CP，交BC的延長(zhǎng)線于G，交CP于O，連接AG，由（2）知，∠DCP＝45°，∴∠CDG＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∴點(diǎn)D與G關(guān)于CP對(duì)稱，∴AP+DP的最小值為AG的長(zhǎng)，∵AB＝4，∴BG＝8，由勾股定理得AG＝45∴△ADP周長(zhǎng)的最小值為AD+AG＝4+45【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=3DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)BD=63(2)①四邊形ABEF的面積為73【解析】【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO=33（2）過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，根據(jù)菱形的面積可求出MN=33，設(shè)BE=x，則EN=12x，從而得到EM=MN-EN=33-12x，再由BE=3DF，可得DF=33x，從而得到四邊形ABEF的面積s=S△ABD-S△DEF=312x-332+2734，①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，可得點(diǎn)E是△ABC重心，從而得到BE=CE=23BO=23×33=23，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O(1)解∶連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BO=AB?sin60°=6×32=∴BD=2BO=63(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=63菱形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=12∵S菱形∴MN=33設(shè)BE=x，則EN=12∴EM=MN-EN=33∵S菱形ABCD=AD?MN=6×33∴S△ABD=12S菱形ABCD=9∵BE=3DF，∴DF=BE3∴S△DEF=12DF?EM=12?記四邊形ABEF的面積為s，∴s=S△ABD-S△DEF=93-（-312∵點(diǎn)E在BD上，且不在端點(diǎn)，∴0<BE<BD，即0<x<63①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，∵OB⊥AC，∴點(diǎn)E是△ABC重心，∴BE=CE=23BO=2此時(shí)s=3122∴當(dāng)CE⊥AB時(shí)，四邊形ABEF的面積為73②作CH⊥AD于H，如圖，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而點(diǎn)E和F分別在BD和AD上，∴當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AH=DH=3，∴CH=33∵s=3∴當(dāng)x=33，即BE=33時(shí)，∵BE=3DF，∴DF=3，此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，∴當(dāng)四邊形ABEF面積取得最小值時(shí)，CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值，∴CE+3CF的值達(dá)到最小，其最小值為CO+3CH=3+3【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上海·中考真題）平行四邊形ABCD，若P為BC中點(diǎn)，AP交BD于點(diǎn)E，連接CE．(1)若AE=CE，①證明ABCD為菱形；②若AB=5，AE=3，求BD的長(zhǎng)．(2)以A為圓心，AE為半徑，B為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點(diǎn)記為點(diǎn)F，且CE=2AE．若F在直線CE上，求【答案】(1)①見解析；②6(2)10【解析】【分析】（1）①連接AC交BD于O，證△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，從而得∠COE=90°，則AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出結(jié)論；②先證點(diǎn)E是△ABC的重心，由重心性質(zhì)得BE=2OE，然后設(shè)OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,從而得9-x2=25-9x2，解得：x=2,即可得OB=3x=32，再由平行四邊形性質(zhì)即可得出BD長(zhǎng)；（2）由⊙A與⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，點(diǎn)E是△ABC的重心，又F在直線CE上，則CG是△ABC的中線，則AG=BG=12AB，根據(jù)重心性質(zhì)得GE=12CE＝22AE，CG=CE+GE=322AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(22AE)2=12AE2,則AG=22AE,所以AB=2AG=2AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=12AE2+（322AE）2(1)①證明：如圖，連接AC交BD于O，∵平行四邊形ABCD，∴OA=OC，∵AE=CE，OE=OE，∴△AOE≌△COE(SSS)，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠COE=180°，∴∠COE=90°，∴AC⊥BD，∵平行四邊形ABCD，∴四邊形ABCD是菱形；②∵OA=OC，∴OB是△ABC的中線，∵P為BC中點(diǎn)，∴AP是△ABC的中線，∴點(diǎn)E是△ABC的重心，∴BE=2OE，設(shè)OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,∴9-x2=25-9x2，解得：x=2,∴OB=3x=32，∵平行四邊形ABCD，∴BD=2OB=62；(2)解：如圖，∵⊙A與⊙B相交于E、F，∴AB⊥EF，由（1）②知點(diǎn)E是△ABC的重心，又F在直線CE上，∴CG是△ABC的中線，∴AG=BG=12AB，GE=12∵CE=2AE，∴GE=22AE，CG=CE+GE=32在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(22AE)2=12AE∴AG=22AE∴AB=2AG=2AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=12AE2+（322AE）2=5∴BC=5AE，∴ABBC【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，重心的性質(zhì)，勾股定理，相交兩圓的公共弦的性質(zhì)，本題屬圓與四邊形綜合題目，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬是考?？碱}目．4．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對(duì)象的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)有利于我們?cè)趫D形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們?cè)趯W(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會(huì)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣．如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點(diǎn)，連接EF、DF，H為DF的中點(diǎn)，連接GH．將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，線段DF、GH和CE的位置和長(zhǎng)度也隨之變化．當(dāng)△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)圖②中，AB=BC，此時(shí)點(diǎn)E落在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F落在線段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，AB=2，BC=3，則GHCE=(3)當(dāng)AB=m,BC=n時(shí)．GHCE=(4)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對(duì)角線AC，并沿對(duì)角線AC剪開，得△ABC（如圖④)．點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CMN沿MN翻折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在AB的延長(zhǎng)線上，若PM平分∠APN，則CM長(zhǎng)為．【答案】(1)GH=1(2)GH(3)GH(4)3【解析】【分析】（1）先證明△ABF≌△CBE，得AF=CE，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH=12（2）連接AF，先證明△ABF∽△CBE，得到AF：CE的比值，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH=12（3）連接AF，先證明△ABF∽△CBE，用含m、n的代數(shù)式表達(dá)出AF：CE的比值，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH=12（4）過(guò)M作MH⊥AB于H，根據(jù)折疊性質(zhì)得∠C=∠MPN，根據(jù)角平分線證明出∠C=∠PMH，設(shè)CM=PM=x，HM=y，根據(jù)三角函數(shù)定義找到x、y之間的關(guān)系，再利用△AHM∽△ABC，得到HMBC(1)解：GH=1∵AB=BC，四邊形ABCD為矩形，∴四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=∠CBE=90°，∵E、F為BC，AB中點(diǎn)，∴BE=BF，∴△ABF≌△CBE，∴AF=CE，∵H為DF中點(diǎn)，G為AD中點(diǎn)，∴GH=12∴GH=1(2)解：GHCE連接AF，如圖所示，由題意知，BF=12AB=1，BE=12∴ABBC由矩形ABCD性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，∠ABC=∠CBE=90°，∴△ABF∽△CBE，∴AF：CE=2:3，∵G為AD中點(diǎn)，H為DF中點(diǎn)，∴GH=12∴GHCE故答案為：13(3)解：GHCE連接AF，如圖所示，由題意知，BF=12AB=m2，BE=1∴ABBC由矩形ABCD性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，∠ABC=∠CBE=90°，∴△ABF∽△CBE，∴AF：CE=m：n，∵G為AD中點(diǎn)，H為DF中點(diǎn)，∴GH=12∴GHCE故答案為：m2n(4)解：過(guò)M作MH⊥AB于H，如圖所示，由折疊知，CM=PM，∠C=∠MPN，∵PM平分∠APN，∴∠APM=∠MPN，∴∠C=∠APM，∵AB=2，BC=3，∴AC=22設(shè)CM=PM=x，HM=y，由sin∠C=sin∠APM即213=yx∵HM∥BC，∴△AHM∽△ABC，∴HMBC即y3=13∴13-x解得：x=313故答案為：313【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)、折疊性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)定義等知識(shí)點(diǎn)，找到相似三角形是解題關(guān)鍵．5．（2022·吉林長(zhǎng)春·中考真題）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形ABCD為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中AD=2AB．他先將A4紙沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，折痕為AF；再沿過(guò)點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)C落在EF上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為FG；然后連結(jié)AG，沿AG所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想【問(wèn)題解決】(1)小亮對(duì)上面△ADG≌△AFG的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過(guò)程：證明：四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折疊可知，∠BAF=12∠BAD=45°∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．【結(jié)論應(yīng)用】(2)∠DAG的度數(shù)為________度，F(xiàn)GAF(3)在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段AF上，且AP=12AB，點(diǎn)Q在線段AG上，連結(jié)FQ、PQ，如圖②，設(shè)AB=a，則FQ+PQ【答案】(1)見解析(2)22.5°，2(3)5【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD=AF，∠AFG=∠D=90°，由HL可證明結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠DAG=12∠DAF=22.5°;證明Δ（3）根據(jù)題意可知點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于AG對(duì)稱，連接PD，則PD為PQ+FQ的最小值，過(guò)點(diǎn)P作PR⊥AD，求出PR=AR=24a，求出(1)證明：四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折疊可知，∠BAF=12∠BAD=45°∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2由折疊得，∠CFG=∠GFH=45°，∴∠AFG=∠AFE+∠GFE=45°+45°=90°∴∠AFG=∠D=90°又AD=AF，AG=AG∴△ADG≌△AFG(2)由折疊得，∠BAF=∠EAF,又∠BAF+∠EAF=∴∠EAF=由△ADG≌△AFG得，∠DAG=∠FAG=∠AFG=∠ADG=又∠AFB=∴∠GFC=∴∠FGC=∴GC=FC.設(shè)AB=x,則BF=x,AF=∴FC=BC-BF=∴GF=∴GF(3)如圖，連接FD,∵DG=FG∴AG是FD的垂直平分線，即點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于AG軸對(duì)稱，連接PD交AG于點(diǎn)Q，則PQ+FQ的最小值為PD的長(zhǎng)；過(guò)點(diǎn)P作PR⊥AD交AD于點(diǎn)R，∵∠DAF=∠BAF=∴∠APR=∴AR=PR又A∴AR=PR=∴DR=AD-AR=在RtΔDPR∴DP=AR∴PQ+FQ的最小值為5【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=BD=13，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DB以每秒13個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PM．作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'P、A'M．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(1)點(diǎn)D到邊AB的距離為__________；(2)用含t的代數(shù)式表示線段DP的長(zhǎng)；(3)連結(jié)A'D，當(dāng)線段A'D最短時(shí)，求△DPA'的面積；(4)當(dāng)M、A'、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)3(2)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，DP=13-13t；當(dāng)1＜(3)3(4)23或【解析】【分析】（1）連接DM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；（2）分兩種情況討論：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長(zhǎng)為半徑的圓，可得到當(dāng)點(diǎn)D、A′、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段A'D最短，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，再證明△PDE∽△ADM，可得DE=3-3t,PE=2-2t，從而得到A'E=DE-A'D=2-3t（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)A'位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AD上；當(dāng)點(diǎn)A'（A″）位于CM的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在BD(1)解：如圖，連接DM，∵AB=4，AD=BD=13，點(diǎn)M為邊AB∴AM=BM=2，DM⊥AB，∴DM=A即點(diǎn)D到邊AB的距離為3；故答案為：3(2)解：根據(jù)題意得：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上，DP=13當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，PD=13綜上所述，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，DP=13-13t；當(dāng)1＜(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，∵作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)A'，∴A′M=AM=2，∴點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長(zhǎng)為半徑的圓，∴當(dāng)點(diǎn)D、A′、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段A'D最短，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，∴A'D=1，根據(jù)題意得：A'P=AP=13由（1）得：DM⊥AB，∵PE⊥DM，∴PE∥AB，∴△PDE∽△ADM，∴PDAD∴13-解得：DE=3-3t,PE=2-2t，∴A'在Rt△A'PE∴13t2=∴PE=6∴S△DP(4)解：如圖，當(dāng)點(diǎn)M、A'、C三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)A'位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，連接AA′，A′B，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A′作A′G⊥AB于點(diǎn)G，則AA′⊥PM，∵AB為直徑，∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，∴PM∥A′B，∴∠PMF=∠ABA′，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，在?ABCD中，AB∥DC，∵DM⊥AB，∴DM∥CN，∴四邊形CDMN為平行四邊形，∴CN=DM=3，MN=CD=4，∴CM=5，∴sin∠CMN=∵A'M=2，∴A'∴MG=8∴BG=BM-MG=2∴tan∠∴tan∠PMF=∴PFFM=3，即PF=3∵tan∠DAM=DMAM∴PF=3∴3FM=32AF，即AF∵AM=2，∴AF=4∴4313t如圖，當(dāng)點(diǎn)A'（A″）位于CM的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在BD上，PB=2過(guò)點(diǎn)A″作A″G'⊥AB于點(diǎn)G′，則∠AMA″=∠CMN，取AA″的中點(diǎn)H，則點(diǎn)M、P、H三點(diǎn)共線，過(guò)點(diǎn)H作HK⊥AB于點(diǎn)同理：A″∵HK⊥AB，A″∴HK∥A′′G′，∴△AHK～△AA∵點(diǎn)H是AA∴HKA∴HK=3∴MK=9∴tan∠PMT=∴PTMT=13，即∵tan∠PBT=DMBM∴BT=2∴MT=9∵M(jìn)T+BT=BM=2，∴BT=4∴411213綜上所述，t的值為23或20【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意得到點(diǎn)A'的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵，是中考的壓軸題．7．（2022·山東臨沂·中考真題）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接AD，CD．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)在線段AC上任取一點(diǎn)Р（端點(diǎn)除外），連接PD．將線段PD繞點(diǎn)Р逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)Р在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由．(3)在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)∠DPQ大小不變，理由見解析(3)CP=AQ，證明見解析【解析】【分析】（1）連接BD，由等邊三角形的性質(zhì)可得AC垂直平分BD，繼而得出AB=BC=CD=AD，便可證明；（2）連接PB，過(guò)點(diǎn)P作PE∥CB交AB于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F，可證明△APE是等邊三角形，由等腰三角形三線合一證明∠APF=∠EPF，（3）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AF=FE，QF=BF，即可證明．(1)連接BD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∵點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴AC垂直平分BD，∴DC=BC,AD=AB，∴AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形；(2)當(dāng)點(diǎn)Р在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小不發(fā)生變化，始終等于60°，理由如下：∵將線段PD繞點(diǎn)Р逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處，∴PQ=PD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，連接PB，過(guò)點(diǎn)P作PE∥CB交AB于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)則∠APE=∠ACB=60°,∠AEP=∠ABC=60°，∴∠APE=∠BAC=60°=∠AEP，∴△APE是等邊三角形，∴AP=EP=AE，∵PF⊥AB，∴∠APF=∠EPF，∵點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱，點(diǎn)P在線段AC上，∴PB=PD，∠DPA=∠BPA，∴PQ=PD，∵PF⊥AB，∴∠QPF=∠BPF，∴∠QPF-∠APF=∠BPF-∠EPF，即∠QPA=∠BPE，∴∠DPQ=∠DPA-∠QPA=∠BPA-∠BPE=∠APE=60°；(3)AQ=CP，證明如下：∵AC=AB，AP=AE，∴AC-AP=AB–AE，即CP=BE，∵AP=EP，PF⊥AB，∴AF=FE，∵PQ=PD，PF⊥AB，∴QF=BF，∴QF-AF=BF–EF，即AQ=BE，∴AQ=CP．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）已知點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公共點(diǎn)A．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在AD上，F(xiàn)在AB上，求2CE2(2)將正方形AFEG繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α(0°<α<90°)，如圖2，求：CEDG(3)AB=82，AG=22AD，將正方形AFEG繞A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α(0°<α<360°)，當(dāng)C，G，E【答案】(1)2(2)2(3)4【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得GE∥（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得AGAE=ADAC=（3）勾股定理求得CG，EC，進(jìn)而根據(jù)△GAD∽△EAC，由相似三角形的性質(zhì)即可求解．(1)∵正方形AFEG與正方形ABCD有公共點(diǎn)A，點(diǎn)G在AD上，F(xiàn)在AB上，∴GE∴∴∵四邊形AFEG是正方形∴AE=∴2CE2DG(2)如圖，連接AE，∵正方形AFEG繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α(0°<α<90°)，∴∠DAG=∠CAE∵∴△GAD∽△EAC∴CEDG(3)如圖，∵AB=82，AG=∴AD=AB=82,AG=22∵G,F,C三點(diǎn)共線，Rt△AGC中，GC=∴CE=GC-GE=83由（2）可知△GAD∽△EAC，∴CEDG∴DG=DA?CEAC=【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·廣西·中考真題）已知∠MON=α，點(diǎn)A，B分別在射線OM,ON上運(yùn)動(dòng)，AB=6．(1)如圖①，若α=90°，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A',B',D'，連接OD,OD'．判斷OD與OD'有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：(2)如圖②，若α=60°，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離：(3)如圖③，若α=45°，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積最大?請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出△AOB面積的最大值．【答案】(1)OD=OD(2)3(3)當(dāng)OA=OB時(shí)，△AOB的面積最大；理由見解析，△AOB面積的最大值為9【解析】【分析】（1）根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”可得OD=12AB，OD′=12A′（2）作△AOB的外接圓I，連接CI并延長(zhǎng)，分別交⊙I于O′和D，當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到O′時(shí)，OC最大，求出CD和等邊三角形AO′B上的高O′D，進(jìn)而求得結(jié)果；（3）作等腰直角三角形AIB，以I為圓心，AI為半徑作⊙I，取AB的中點(diǎn)C，連接CI并延長(zhǎng)交⊙I于O，此時(shí)△AOB的面積最大，進(jìn)一步求得結(jié)果．（3）以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，連接OC交AB于點(diǎn)T，在OT上取點(diǎn)E，使OE=BE，連接BE，由（2）可知，當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最大，當(dāng)OA=OB時(shí)，此時(shí)OT最大，即△AOB的面積最大，由勾股定理等進(jìn)行求解即可．(1)解：OD=OD∵∠AOB=α=90°，AB中點(diǎn)為D，∴OD=1∵D'為A'∴OD∵AB=A∴OD=OD(2)解：如圖1，作△AOB的外接圓I，連接CI并延長(zhǎng)，分別交⊙I于O′和D，當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到O′時(shí)，OC最大，此時(shí)△AOB是等邊三角形，∴BO′=AB=6，OC最大=CO′=CD+DO′=12AB+32BO′=3+3(3)解：如圖2，作等腰直角三角形AIB，以I為圓心，AI為半徑作⊙I，∴AI=22AB=32，∠AOB=12∠則點(diǎn)O在⊙I上，取AB的中點(diǎn)C，連接CI并延長(zhǎng)交⊙I于O，此時(shí)△AOB的面積最大，∵OC=CI+OI=12AB+32=3+32∴S△AOB最大=12×6×(3+32)=9+92【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，確定圓的條件等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“定弦對(duì)定角”的模型．10．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=25,BC=4，D，E，F(xiàn)分別為AC,AB,BC的中點(diǎn)，連接(1)如圖1，求證：DF=5(2)如圖2，將∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到∠PDQ，當(dāng)射線DP交AB于點(diǎn)G，射線DQ交BC于點(diǎn)N時(shí)，連接FE并延長(zhǎng)交射線DP于點(diǎn)M，判斷FN與EM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)DP⊥AB時(shí)，求DN的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)FN=5(3)10【解析】【分析】（1）連接AF，可得AF⊥BC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DF=12AC=（2）證明△DNF∽△DME，根據(jù)（1）的結(jié)論即可得FN=5（3）連接AF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，證明△AGD∽△AHC，可得GD=12HC=455，勾股定理求得GE,AG，根據(jù)tan∠ADG=AGGD=34，(1)證明：如圖，連接AF，∵AB=AC=25,BC=4，D，E，F(xiàn)分別為∴DE=12BC=2∴DF=1∴DF=5(2)FN=5連接AF，如圖，∵AB=AC=25,BC=4，D，E，F(xiàn)分別為∴EF=1∴四邊形CDEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠C，∵DF=1∴∠DFC=∠C，∴∠DEF=∠DFC，∴180°-∠DEF=180°-∠DFC，∴∠DEM=∠DFN，∵將∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到∠PDQ，∴∠EDF=∠PDQ，∵∠FDN+∠NDE=∠EDM+∠NDE，∴∠FDN=∠EDM，∴△DNF∽△DME，∴NF∴FN=5(3)如圖，連接AF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，Rt△AFC中，F(xiàn)C=∴AF=A∵S∴HC=BC?AF∵DP⊥AB，∴△AGD∽△AHC，∴GD∴GD=1Rt△GEDGE=ERt△AGDAG=A∴tan∵EF∥∴∠EMG=∠ADG，∴tan∴MG=4∴MD=MG+GD=8∵△DNF∽△DME，∴DN∴DN=5【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正確，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．11．（2022·貴州貴陽(yáng)·中考真題）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在□ABCD中，AN為BC邊上的高，ADAN=m，點(diǎn)M在AD邊上，且BA=BM，點(diǎn)E是線段AM上任意一點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折得(1)問(wèn)題解決：如圖①，當(dāng)∠BAD=60°，將△ABE沿BE翻折后，使點(diǎn)F與點(diǎn)M重合，則AMAN(2)問(wèn)題探究：如圖②，當(dāng)∠BAD=45°，將△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度數(shù)，并求出此時(shí)(3)拓展延伸：當(dāng)∠BAD=30°，將△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE=MD，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出m的值．【答案】(1)2(2)∠ABE=22.5°,m=2(3)作圖見解析，3【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得AMAN（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得∠AEB=∠FEB=12180°+45°=112.5°，由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABE=180°-∠AEB-∠BAE=22.5°，根據(jù)點(diǎn)M在AD邊上，當(dāng)AD=AM時(shí)，（3）連接FM，設(shè)AN=a，則AB=2a，NB=3AN=3a，在Rt△FBM中，F(xiàn)B=AB=BM，延長(zhǎng)FE交NC于點(diǎn)G，在Rt△EFM中，(1)∵BA=BM，∠BAD=60°∴△ABM是等邊三角形，∴AB=AM=BM∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∴∠ABN=∠BAM=60°，∵AN為BC邊上的高，∴AM(2)∵∠BAD=45°，BA=BM，∴△AMB是等腰直角三角形，∴∠MBC=∠AMB=45°，∵EF∥∴∠FEM=∠AMB=45°，∴∠AEB=∠FEB=1∵AD∥∴∠BAE=∠ABN=45°，∴∠ABE=180°-∠AEB-∠BAE=22.5°，∵ADAN=m，△AMB是等腰直角三角形，AN∵點(diǎn)M在AD邊上，∴當(dāng)AD=AM時(shí)，m取得最小值，最小值為AMAN(3)如圖，連接FM，∵∠BAD=30°，則∠ABN=30°，設(shè)AN=a，則AB=2a，NB=3∵折疊，∴FB=AB=2a，∵EF⊥AD，∴∠AEB=∠FEB=1∵∠EAB=∠BAD=30°，∴∠ABE=180°-30°-135°=15°，∴∠ABF=30°，∵AB=BM,∠BAD=30°，∴∠ABM=120°，∵∠MBC=∠AMB=30°，∴∠FBM=120°-∠ABF=90°，在Rt△FBM中，F(xiàn)B=AB=BM∴FM=2延長(zhǎng)FE交NC于點(diǎn)G，如圖，∴EG⊥GB，∵∠EBG=∠ABE+∠ABN=15°+30°=45°，∴GB=EG=a，∵NB=3∴AE=EF=MD=3在Rt△EFM中，EM=FM∴AD=AE+EM+MD=2AE+EM=23∴m=AD【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M為CD邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD且DM=MN，連接DN,BM,CN，點(diǎn)P，Q分別為BM,CN的中點(diǎn)，連接PQ．(1)證明：CM=2PQ；(2)將圖1中的△DMN繞正方形ABCD的頂點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖2寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若AB=10,DM=25，在△DMN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)B，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段PQ【答案】(1)見解析(2)①成立，見解析；②PQ的長(zhǎng)為10或2【解析】【分析】（1），連接BD，取MN的中點(diǎn)E，連接EP,EQ，證明△EPQ是等腰直角三角形，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得證；（2）①如圖，連接BD，取MN的中點(diǎn)E，連接EP,EQ，證明△CDM∽△BDN，證明∠PEQ=45°，過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥EP于點(diǎn)K，證明EK=KP=22EQ②分情況討論，根據(jù)勾股定理即可求的MC的長(zhǎng)，根據(jù)①的結(jié)論即可求解．(1)如圖，連接BD，取MN的中點(diǎn)E，連接EP,EQ，∵M(jìn)N⊥CD且DM=MN，∴△DMN是等腰直角三角形，∴∠MDN=45°，∵四邊形ABCD是正方形，則∠MDB=45°，且D,N,B在邊CD的同側(cè)，∴D,N,B三點(diǎn)共線，設(shè)DC=1，DM=a，則MC=1-a，DN=2∵E,P分別為MN,MB的中點(diǎn)，∴EP=1∵E,Q分別為MN,NC的中點(diǎn)，∴EQ=12MC=過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥EP則△QFE是等腰直角三角形∴EF=∴QF垂直平分EP∴EQ=PQ，∵EQ=1∴MC=2PQ，(2)①如圖，連接BD，取MN的中點(diǎn)E，連接EP,EQ，∵∠CDB=∠MDN=45°，∠CDM+∠MDB=∠BDN+∠MDB，∴∠CDM=∠BDN，∵DM∴△CDM∽△BDN，∴MCNB=∵E,P分別為MN,MB的中點(diǎn)，∴EP=12NB∴∠PEM=∠BNM，∠PEN=180°-∠BNM=180°-∠BND-45°∵E,Q分別為MN,NC的中點(diǎn)，∴EQ=12MC∴∠NEQ=∠NMC，∠QEM=180°-∠EMC=180°-360°-90°-∠DMC∴EQ∴∠PEQ=180°-∠PEN-∠MEQ=180°-180°+∠BND-45°-∠DMC+90°=45°過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥EP于點(diǎn)K，則△EKQ是等腰直角三角形，∴EK=2∵EQEP∴EP=2∴EK=KP=2∴EQ=PQ，∵2EQ=CM，∴CM=2PQ；②如圖，當(dāng)B,M,N共線，M在DC的上方時(shí)，∴∠DMB=∠DMN=90°，∵DB=2Rt△DMB中，BM=∵DM=MN=25∴BN=BM-MN=45∵△CDM∽△BDN，∴MCBN∴MC=2∴PQ=1如圖，當(dāng)B,M,N共線，M在DC的左邊時(shí)，Rt△DBM中，BM=BN=BM+MN=85∴MC=2∴PQ=1綜上所述，PQ的長(zhǎng)為10或210【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（2022·福建·中考真題）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠ACE+∠EFC=180°，見解析(3)30°【解析】【分析】（1）先證明四邊形ABDC是平行四邊形，再根據(jù)AB＝AC得出結(jié)論；（2）先證出∠ACF=∠CEF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°，得到∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°，等量代換即可得到結(jié)論；（3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，證得△ABM≌△CDB，得到∠MBA=∠BDC，設(shè)∠BCD=∠BAD=α，∠BDC=β，則∠ADB=α+β，得到α+(1)∵△ABC≌∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB=∠DCB，∴∠ABC=∠DCB，∴AB∥∴四邊形ABDC是平行四邊形，又∵AB＝AC，∴四邊形ABDC是菱形；(2)結(jié)論：∠ACE+∠EFC=180°．證明：∵△ABC≌∴∠ABC=∠DEC，∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=∠DEC，∵∠ACB+∠ACF=∠DEC+∠CEF=180°，∴∠ACF=∠CEF，∵∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°，∴∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°，∴∠ACE+∠EFC=180°；(3)在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，∵AB＝CD，∠BAD=∠BCD，∴△ABM≌∴BM＝BD，∠MBA=∠BDC，∴∠ADB=∠BMD，∵∠BMD=∠BAD+∠MBA，∴∠ADB=∠BCD+∠BDC，設(shè)∠BCD=∠BAD=α，∠BDC=β，則∠ADB=α+β，∵CA＝CD，∴∠CAD=∠CDA=α+2β，∴∠BAC=∠CAD-∠BAD=2β，∴∠ACB=1∴∠ACD=90°-β∵∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°，

∴90°-β+α+2∴α+β=30°，即∠ADB＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等，靈活運(yùn)用知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想，做出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2022·湖南永州·中考真題）為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準(zhǔn)備在耕地A、B、C、D四個(gè)位置安裝四個(gè)自動(dòng)噴酒裝置（如圖1所示），A、B、C、D四點(diǎn)恰好在邊長(zhǎng)為50米的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，為了用水管將四個(gè)自動(dòng)噴灑裝置相互連通，爸媽設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)水管鋪設(shè)方案（各圖中實(shí)線為鋪設(shè)的水管）．方案一：如圖2所示，沿正方形ABCD的三邊鋪設(shè)水管；方案二：如圖3所示，沿正方形ABCD的兩條對(duì)角線鋪設(shè)水管．(1)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明上述兩方案中哪個(gè)方案鋪設(shè)水管的總長(zhǎng)度更短；(2)小明看了爸媽的方案后，根據(jù)“蜂集原理”重新設(shè)計(jì)了一個(gè)方案（如圖4所示），滿足∠AEB=∠CFD=120°，AE=BE=CF=DF，EF∥AD、請(qǐng)將小明的方案與爸媽的方案比較，判斷誰(shuí)的方案中鋪設(shè)水管的總長(zhǎng)度更短，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4【答案】(1)方案二(2)小明，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)方案鋪設(shè)管道路線求解即可；（2）證△AEG≌(1)解：方案一：50×3=150（米）方案二：2501002(2)如圖，作EG⊥AB，F(xiàn)H⊥CD，垂足分別為G和H．∵AE=BE=CF=DF∴EG⊥AB，F(xiàn)H⊥CD，∴△AEG∵∠AEB=∠CFD=120°，∴AG=BG=DH=CH=25（米），GE=FH=33AE=BE=CF=DF=總長(zhǎng)度：4AE+EF=4×50∵100∴50所以小明的方案總長(zhǎng)度最短．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明，根據(jù)題意，靈活應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．15．（2022·江蘇常州·中考真題）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點(diǎn)．若△OAB≌△OCD，則點(diǎn)O叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．(1)正方形_______“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；(2)如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點(diǎn)O是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”．已知CD=42，OA=5，BC=12，連接AC，求AC(3)在四邊形EFGH中，EH//FG．若邊FG上的點(diǎn)O是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求OFOG【答案】(1)不存在，理由見詳解(2)5(3)1【解析】【分析】（1）根據(jù)“等形點(diǎn)”的概念，采用反證法即可判斷；（2）過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BC于點(diǎn)M，根據(jù)“等形點(diǎn)”的性質(zhì)可得AB=CD=42，OA=OC=5，OB=7=OD，設(shè)MO=a，則BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，則在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC（3）根據(jù)“等形點(diǎn)”的性質(zhì)可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根據(jù)EH∥FG，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，進(jìn)而有OE=OH，可得OF=(1)不存在，理由如下：假設(shè)正方形ABCD存在“等形點(diǎn)”點(diǎn)O，即存在△OAB≌△OCD，∵在正方形ABCD中，點(diǎn)O在邊BC上，∴∠ABO=90°，∵△OAB≌△OCD，∴∠ABO=∠CDO=90°，∴CD⊥DO，∵CD⊥BC，∴DO∥∵O點(diǎn)在BC上，∴DO與BC交于點(diǎn)O，∴假設(shè)不成立，故正方形不存在“等形點(diǎn)”；(2)如圖，過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BC于點(diǎn)M，如圖，∵O點(diǎn)是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”，∴△OAB≌△OCD，∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∵CD=42，OA=5，BC∴AB=CD=42，OA=OC∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，∵AM⊥BC，∴∠AMO=90°=∠AMB，∴設(shè)MO=a，則BM=BO-MO=7-a，∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，AM∴AB2-B解得：a=207，即∴MC=MO+OC=207+5=∴在Rt△AMC中，AC=A即AC的長(zhǎng)為57(3)如圖，∵O點(diǎn)是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，∴△OEF≌△OGH，∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，∵EH∥∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，∴根據(jù)∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，∴OE=OH，∵OF=OH，OE=OG，∴OF=OG，∴OFOG【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識(shí)，充分利用全等三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．16．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點(diǎn)M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接BE交MC于點(diǎn)F．(1)當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時(shí)，求證：AM＝CE；(2)若EFBF＝2，求AN(3)若MN∥BE，求ANND【答案】(1)見解析(2)27(3)2【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，即可證明結(jié)論；(2)利用△BMF∽△ECF，得BFEF=BMCE=12，從而求出BM的長(zhǎng)，再利用△ANM(3)首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，則tan∠CBF＝tan∠CMB，得CEBC=BC(1)證明：∵F為BE的中點(diǎn)，∴BF＝EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，∴CE＝12CD∵AB＝CD，∴BM=CE=1∴AM=BM，∴AM＝CE；(2)∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴BFEF∵CE＝3，∴BM＝32∴AM＝92∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴ANBM∴AN3∴AN=27∴DN＝AD﹣AN＝4﹣2716＝37∴ANDN(3)∵M(jìn)N∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，∴CEBC∴34∴BM=16∴AM=AB-BM=6-16由（2）同理得，ANBM∴AN16解得：AN＝89∴DN＝AD﹣AN＝4﹣89＝28∴ANND【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，求出BM的長(zhǎng)是解決（2）和（3）的關(guān)鍵．17．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，記△COD的面積為S1，△AOB的面積為S（1）問(wèn)題解決：如圖①，若AB//CD，求證：S（2）探索推廣：如圖②，若AB與CD不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在OA上取一點(diǎn)E，使OE=OC，過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD交OD于點(diǎn)F，點(diǎn)H為AB的中點(diǎn)，OH交EF于點(diǎn)G，且OG=2GH，若OEOA【答案】（1）見解析；（2）（1）中的結(jié)論成立，理由見解析：（3）25【解析】【分析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作AE⊥AC于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，求出DE=OD?sin（2）同（1）求解即可；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AM∥EF交OB于M，取BM中點(diǎn)N，連接HN，先證明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，證明△OEF∽△OAM，得到OFOM=OEOA=56，設(shè)OE=OC=5m，OF=OD=5n，則OA=6m，OM=6n【詳解】解：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作AE⊥AC于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，∴DE=OD?sin∴S△OCDS△AOB∵∠DOE=∠BOF，∴sin∠DOE=∴S1（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作AE⊥AC于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，∴DE=OD?sin∴S△OCDS△AOB∵∠DOE=∠BOF，∴sin∠DOE=∴S1（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AM∥EF交OB于M，取BM中點(diǎn)N，連接HN，∵EF∥∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，又∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD（AAS），∴OD=OF，∵EF∥∴△OEF∽△OAM，∴OFOM設(shè)OE=OC=5m，OF=OD=5n，則∵H是AB的中點(diǎn)，N是BM的中點(diǎn)，∴HN是△ABM的中位線，∴HN∥∴△OGF∽△OHN，∴OGOH∵OG=2GH，∴OG=2∴OGOH∴ON=32OF=∴OB=ON+BN=9n，由（2）可知S1【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連接BE,CE,OE，且BE=CE．(1)如圖1，求證：△BEO≌△CEO；(2)如圖2，設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)F，CE與BD相交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形（△AEF除外），使寫出的每個(gè)三角形的面積都與△AEF的面積相等．【答案】(1)見解析(2)△DEG、△DEH、△BFO、△CHO【解析】【分析】（1）利用SSS證明兩個(gè)三角形全等即可;（2）先證明Rt△ABE≌Rt△DCE得到AE=DE，則S△AOE=S△DOE，根據(jù)三線合一定理證明∴OE⊥AD，推出AB∥OE，得到S△AOE=SBOE，即可證明S△BFO=S△AEF由△BEO≌△CEO，得到∠OBF=∠OCH，S△BOE(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC與BD相等且互相平分，∴OB=OC，∵BE=CE，OE=OE，∴△BEO≌△CEO（SSS）；(2)解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，又∵BE=CE，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）∴AE=DE，∴S△AOE∵OA=OD，AE=DE，∴OE⊥AD，∴AB∥∴S△AOE∴S△AOE∴S△BFO∵△BEO≌△CEO，∴∠OBF=∠OCH，S△BOE又∵∠BOF=∠COH，OB=OC，∴△BOF≌△COH（ASA），∴S△BFO∴S△BOE∴S△OEF∴S△AOE∴S△DEH∵AC∥∴∠AFE=∠DGE，∠EAF=∠EDG，又∵AE=DE，∴△AEF≌△DEGAAS∴S△AEF綜上所述，△DEG、△DEH、△BFO、△CHO這4個(gè)三角形的面積與△AEF的面積相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定等等，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．19．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD=nABn>1，點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A，D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側(cè)作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點(diǎn)H(1)【嘗試初探】在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)【深入探究】若n=2，隨著E點(diǎn)位置的變化，H點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)H是線段CD中點(diǎn)時(shí)，求tan∠ABE(3)【拓展延伸】連接BH，F(xiàn)H，當(dāng)△BFH是以FH為腰的等腰三角形時(shí)，求tan∠ABE的值（用含n【答案】(1)見解析(2)2-22(3)n2或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求證；（2）根據(jù)題意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，設(shè)DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根據(jù)△ABE∽△DEH，可得x=2+2a（3）根據(jù)題意可得EG=nBE，然后分兩種情況：當(dāng)FH=BH時(shí)，當(dāng)FH=BF=nBE時(shí)，即可求解．(1)解：根據(jù)題意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠ABE，∴△ABE∽△DEH；(2)解：根據(jù)題意得：AB=2DH，AD=2AB，∴AD=4DH，設(shè)DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，∴DE=4x-a，∵△ABE∽△DEH，∴ABDE∴2x4x-a=ax，解得：∴AB=2+2a∴tan∠ABE=AEAB(3)解：∵矩形EBFG∽矩形ABCD，AD=nABn>1∴EG=nBE，如圖，當(dāng)FH=BH時(shí)，∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，∴Rt△BEH≌Rt△FGH，∴EH=GH=12∴EH=n∵△ABE∽△DEH，∴DEAB=EH∴AE=AD-DE=n∴tan∠ABE=如圖，當(dāng)FH=BF=nBE時(shí)，HG=F∴EH=EG-HG=n-∵△ABE∽△DEH，∴DEAB=EH∴AE=AD-DE=n∴tan∠ABE=綜上所述，tan∠ABE的值為n2或【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級(jí)下冊(cè)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過(guò)的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你回答：(1)【問(wèn)題一】如圖①，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，OA1交AB于點(diǎn)E，OC(2)【問(wèn)題二】受圖