第14講 特殊的四邊形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第14講特殊的四邊形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.會識別矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性質(zhì)，會用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定解決問題．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性質(zhì)和判定，會用性質(zhì)和判定解決實際問題【知識導(dǎo)圖】【考點梳理】考點一、幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定四邊形性質(zhì)判定邊角對角線矩形對邊平行且相等四個角是直角相等且互相平分①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中心、軸對稱圖形菱形四條邊相等對角相等，鄰角互補垂直且互相平分，每一條對角線平分一組對角①有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形中心對稱圖形正方形四條邊相等四個角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對角線平分一組對角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對角線垂直的矩形是正方形3、有一個角是直角的菱形是正方形4、對角線相等的菱形是正方形中心、軸對稱等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；3、對角線相等的梯形是等腰梯形.軸對稱圖形考點二、中點四邊形相關(guān)問題中點四邊形的概念：把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．若中點四邊形為矩形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直；若中點四邊形為菱形，則原四邊形滿足條件對角線相等；若中點四邊形為正方形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直且相等．考點三、重心1.線段的中點是線段的重心；三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心；三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的2倍.平行四邊形對角線的交點是平行四邊形的重心?！镜湫屠}】題型一、特殊的平行四邊形的應(yīng)用例1.如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF、再以對角線AE為邊作笫三個正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的邊長記為a1，按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，…，an，則an=___________．【變式】長為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當n=3時，a的值為________．第一次操作第二次操作第一次操作第二次操作例2．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=6，BD=8，點P是AC延長線上的一個動點，過點P作PE⊥AD，垂足為E，作CD延長線的垂線，垂足為E，則|PE﹣PF|=．題型二、梯形的應(yīng)用例3．如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F．（1）若點F與B重合，求CE的長；（2）若點F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長；（3）設(shè)CE=x，BF=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出結(jié)果可）．【變式】如圖為菱形ABCD與正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD與GH相交于I點，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，則梯形HEDI的面積為（）.Ａ．Ｂ．Ｃ．10-Ｄ．10+題型三、特殊四邊形與其他知識結(jié)合的綜合運用例4.正方形ABCD邊長為2，點E在對角線AC上，連接DE，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°至DF的位置，連接AF，EF．（1）證明：AC⊥AF；（2）設(shè)AD2=AE×AC，求證：四邊形AEDF是正方形；（3）當E點運動到什么位置時，四邊形AEDF的周長有最小值，最小值是多少？例5．如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．

（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF；

（2）當點E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最?。┲担?.如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD．已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分別為4cm，3cm，設(shè)正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5．

（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當y=3時相應(yīng)x的值；

（2）記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2．試說明S1-S2是常數(shù)；

（3）當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長．【變式】如圖，E是矩形ABCD邊BC的中點，P是AD邊上一動點，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分別為F，H．

（1）當矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時，四邊形PHEF是矩形？請予以證明；

（2）在（1）中，動點P運動到什么位置時，矩形PHEF變?yōu)檎叫?？為什么?/p>

【中考過關(guān)真題練】一、單選題1．（2019·上海·中考真題）下列命題中，假命題是(

)A．矩形的對角線相等 B．矩形對角線交點到四個頂點的距離相等C．矩形的對角線互相平分 D．矩形對角線交點到四條邊的距離相等2．（2020·上海·統(tǒng)考中考真題）下列命題中，真命題是()A．對角線互相垂直的梯形是等腰梯形B．對角線互相垂直的平行四邊形是正方形C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形D．對角線平分一組對角的梯形是直角梯形3．（2018·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC4．（2017·上?！ぶ锌颊骖}）已知平行四邊形ABCD，AC、BD是它的兩條對角線，那么下列條件中，能判斷這個平行四邊形為矩形的是（

）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB二、填空題5．（2019·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD的中點.將△ABE沿直線BE翻折，點A落在點F處，聯(lián)結(jié)DF，那么∠EDF的正切值是________________.6．（2016·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，矩形中，，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°，點、分別落在點、處，如果點、、在同一條直線上，那么的值為__________．三、解答題7．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，CE的延長線交DA的延長線于點G，CF的延長線交BA的延長線于點H．（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB?AE，求證：AG=DF．8．（2019·上?！ぶ锌颊骖}）已知：如圖，、是的兩條弦，且，是延長線上一點，聯(lián)結(jié)并延長交于點，聯(lián)結(jié)并延長交于點．（1）求證：；（2）如果，求證：四邊形是菱形．9．（2018·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分別是點E、F．（1）求證：EF=AE﹣BE；（2）連接BF，如果=．求證：EF=EP．10．（2017·上?！ぶ锌颊骖}）已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對角線BD上一點，且EA=EC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．11．（2020·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．（1）求梯形ABCD的面積；（2）連接BD，求∠DBC的正切值．12．（2022·上海·統(tǒng)考中考真題）平行四邊形，若為中點，交于點，連接．(1)若，①證明為菱形；②若，，求的長．(2)以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑作圓，兩圓另一交點記為點，且．若在直線上，求的值．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一、單選題1．（2022·上海嘉定·統(tǒng)考二模）下列命題中，真命題的是（

）A．如果一個四邊形兩條對角線相等，那么這個四邊形是矩形B．如果一個四邊形兩條對角線互相垂直，那么這個四邊形是菱形C．如果一個四邊形兩條對角線平分所在的角，那么這個四邊形是菱形D．如果一個四邊形兩條對角線互相垂直平分，那么這個四邊形是矩形2．（2022·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬預(yù)測）下列命題中，假命題是（）A．對角線垂直的平行四邊形是菱形B．對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形C．對角線互相平分且平分一組內(nèi)角的四邊形是菱形D．對角線相等且垂直的四邊形是菱形3．（2022·上海虹口·統(tǒng)考二模）下列命題中，假命題是（

）A．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 B．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形 D．有一組對角相等的平行四邊形是菱形4．（2022·上海·上海市婁山中學(xué)?？级＃┮来芜B接等腰梯形各邊的中點得到的四邊形是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形5．（2022·上海長寧·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當時，四邊形是菱形B．當時，四邊形是菱形C．當時，四邊形是矩形D．當時，四邊形是正方形6．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）順次聯(lián)結(jié)直角梯形各邊中點所得到的四邊形可能是（

）A．菱形； B．矩形； C．梯形； D．正方形．7．（2021·上海嘉定·統(tǒng)考二模）下列命題：①等腰梯形的兩個底角相等；②兩個底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的對角線等；⑤對角線相等的梯形是等腰梯形，其中真命題的個數(shù)是（

）A．0 B．2 C．3 D．48．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）下列說法中，不正確的是（

）A．周長相等的兩個等邊三角形一定能夠重合 B．面積相等的兩個圓一定能夠重合C．面積相等的兩個正方形一定能夠重合 D．周長相等的兩個菱形一定能夠重合9．（2021·上海寶山·統(tǒng)考三模）下列命題中正確的是（

）A．對角線相等的梯形是等腰梯形B．有兩個角相等的梯形是等腰梯形C．一組對邊平行的四邊形一定是梯形D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形一定是等腰梯形10．（2021·上海青浦·統(tǒng)考二模）下列命題中，真命題是（

）A．一組對邊平行，且另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是等腰梯形C．一組對邊平行，且一組鄰邊互相垂直的四邊形是矩形D．一組對邊平行，且對角線平分一組對角的四邊形是菱形二、填空題11．（2021·上海崇明·統(tǒng)考二模）如果一個等腰梯形的周長為50厘米，一條腰長為12厘米，那么這個梯形的中位線長為_____厘米．12．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）菱形的兩條對角線長分別為5和12，那么這個菱形的面積為___________13．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若a=4，b=3，則大正方形的面積是______．14．（2022·上?！ざ＃┤鐖D，將長方形紙片ABCD沿MN折疊，使點A落在BC邊上點A′處，點D的對應(yīng)點為D′，連接A'D′交邊CD于點E，連接CD′，若AB＝9，AD＝6，A'點為BC的中點，則線段ED'的長為_____．15．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）在矩形內(nèi)作正方形（如圖所示），矩形的對角線交正方形的邊于點P．如果點F恰好是邊的黃金分割點，且，那么_________．16．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，點E在邊上，聯(lián)結(jié)，將矩形沿所在直線翻折，點D的對應(yīng)點為P，聯(lián)結(jié)．如果，那么的長度是____________．17．（2021·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，矩形DEFG的頂點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的長為_____．18．（2022·上海·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在Rt△ABC內(nèi)部作正方形D1E1F1G1，其中點D1，E1分別在AC，BC邊上，邊F1G1在BC上，它的面積記作S1；按同樣的方法在△CD1E1內(nèi)部作正方形D2E2F2G2，它的面積記作S2，S2=______，…，照此規(guī)律作下去，正方形DnEnFnGn的面積Sn=______．三、解答題19．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于點F，點D為BF上一點，且∠BAD＝∠CAE．(1)求證：AD＝AE；(2)設(shè)BF交AC于點G，若，判斷四邊形ADFE的形狀，并證明．20．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）已知：如圖，在矩形中，點E在邊的延長線上，，連接，分別交邊、對角線于點F、G，．(1)求證：；(2)求證：．21．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，此時點A落在點F處，線段EF交CD于點M．過點F作FG⊥BC，交BC的延長線于點G．(1)求證：BE=FG；(2)如果AB?DM=EC?AE，連接AM、DE，求證：AM垂直平分DE．22．（2022·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，已知在菱形ABCD中，E為邊AD的中點，CE與BD交于點G，過點G作GF⊥CD于點F，∠1＝∠2．(1)若DF＝3，求AD的長；(2)求證：BG＝GF＋CE．23．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知在梯形中，，對角線、交于，平分，點在底邊上，連結(jié)交對角線于，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連結(jié)，求證：．24．（2022·上海金山·校考一模）已知四邊形是正方形，點是邊的中點，點在邊上．聯(lián)結(jié)、、．(1)如圖1，如果，求證：；(2)如圖2，如果，求證：．25．（2022·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)?？级＃┮阎?如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點E，點M是CD中點，聯(lián)結(jié)EM并延長，交∠DCB的外角∠DCN的平分線于點F．(1)求證:ME=MF；(2)聯(lián)結(jié)DF，如果AB2=EB·BD，求證:四邊形DECF是正方形．26．（2021·上海寶山·統(tǒng)考三模）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=5，對角線BD平分∠ABC，（1）求邊BC的長；（2）過點A作AE⊥BD，垂足為點E，求的值．27．（2021·上海·統(tǒng)考一模）已知：如圖，在四邊形中，，、相交于點，（1）求證：；（2）如果，求證：．28．（2021·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，點E在下底BC上，∠AED＝∠B．（1）求證：CE?AD＝DE2；（2）求證：．【名校自招練】一．選擇題（共1小題）1．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）四邊形ABCD，對角線AC，BD相交于點O，以下能推出ABCD是菱形的是（）A．OA＝OB＝OC＝OD B．AC＝BD C．AB＝BC＝CD＝DA D．AB∥CD，AD∥BC二．填空題（共10小題）2．（2012?長寧區(qū)校級自主招生）如圖，兩個完全相同的等腰直角三角形，左圖中正方形的面積是2004平方厘米，那么右圖中正方形的面積是平方厘米．3．（2017?楊浦區(qū)校級自主招生）如圖，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，點D為斜邊AB上的一個動點，過D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則線段EF長度的最小值為．4．（2005?上海自主招生）如圖，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，AD＝BC，E是AD的中點，EB⊥BC，則梯形ABCD的面積是．5．（2002?閔行區(qū)校級自主招生）對角線長分別為6cm和8cm的菱形的邊長為cm．6．（2020?寶山區(qū)校級自主招生）直線l1∥l2∥l3∥l4，其中l(wèi)1，l2之間距離和l3，l4