2023-2024學(xué)年遂寧市射洪中學(xué)高二數(shù)學(xué)（下）第一次月考試卷附答案解析

-2024學(xué)年遂寧市射洪中學(xué)高二數(shù)學(xué)（下）第一次月考試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）2024.04注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列結(jié)論不正確的是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．已知函數(shù)，則等于（

）A．1B．C． D．03．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

4．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．5．若函數(shù)在處有極小值，則（）A． B． C．或 D．6．已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，則滿足的x的取值范圍為A． B．C． D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．若存在唯一的正整數(shù)，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：共4小題，每小題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的有（

）A． B．C． D．10．已知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則（

）A．B．時(shí)，函數(shù)的圖象在處的切線方程為C．為定值D．時(shí)，函數(shù)在上的值域是11．已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．12．已知函數(shù)，，若直線與曲線和分別相交于點(diǎn)，，，，且，，則（

）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，，且，則.14．函數(shù)y＝f(x)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝，則不等式≤0的解集為.15．若函數(shù)在區(qū)間上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．已知函數(shù)，都有，則的取值范圍為.四、解答題：共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．利用導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)；(2)，.18．已知函數(shù).(1)求的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù)的圖象在處的切線方程.19．已知函數(shù)．(1)求證：當(dāng)時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處取得極值，求的值；(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.21．南京玄武湖號(hào)稱“金陵明珠”，是我國僅存的皇家園林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飄香，令人陶醉．夏天的一個(gè)傍晚，小胡和朋友游玄武湖，發(fā)現(xiàn)觀賞荷花只能在岸邊，無法深入其中，影響觀賞荷花的樂趣，于是他便有了一個(gè)愿景：若在玄武湖一個(gè)盛開荷花的一角（該處岸邊近似半圓形，如圖所示）設(shè)計(jì)一些棧道和一個(gè)觀景臺(tái)，觀景臺(tái)在半圓形的中軸線上（圖中與直徑垂直，與不重合），通過棧道把連接起來，使人行在其中，猶如置身花海之感．已知，棧道總長度為函數(shù)．(1)求；(2)若棧道的造價(jià)為每米5萬元，試確定觀景臺(tái)的位置，使實(shí)現(xiàn)該愿景的建造費(fèi)用最?。ㄓ^景臺(tái)的建造費(fèi)用忽略不計(jì)），并求出實(shí)現(xiàn)該愿景的建造費(fèi)用的最小值．22．已知函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過點(diǎn).(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.1．B【解析】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，正確.對(duì)于B選項(xiàng)，，不正確.對(duì)于C選項(xiàng)，，正確.對(duì)于D選項(xiàng)，，正確.故B選項(xiàng)結(jié)論不正確.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．B【分析】利用求導(dǎo)法則結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義求解即可.【詳解】由得，所以，所以故選：B3．C【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)性，選擇圖像即可.【詳解】由，得或，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由圖知，只有C選項(xiàng)的圖象符合.故選：C.4．B【分析】由已知函數(shù)的圖象，先判斷它的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)圖象斜率的變化，從而求解．【詳解】觀察函數(shù)的圖象知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，隨著逐漸增大，函數(shù)圖象由陡逐漸變緩，，，，而（即點(diǎn)B）處切線的傾斜角比（即點(diǎn)A）處的傾斜角小，且均為銳角，，又是割線AB的斜率，顯然，所以.故選：B5．A【分析】求得，由，求得或，分別求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)的定義，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處有極大值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，令，可得或；令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處有極小值，符合題意，綜上可得，.故選：A.6．D【分析】觀察圖像可得的圖像與原函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可得滿足的x的取值范圍.【詳解】解：觀察圖像可得，導(dǎo)函數(shù)的圖像過點(diǎn)（0，0），（，0），原函數(shù)的圖像過點(diǎn)（0，0），（2，0），觀察圖像可得滿足的x取值范圍為.，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖像的判定與應(yīng)用，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.7．D【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，利用導(dǎo)數(shù)可證不等式成立，故可判斷，故可得三者大小關(guān)系.【詳解】，設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，故即，所以，故，故選：D.8．D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在時(shí)有唯一的正整數(shù)解，研究（）單調(diào)性，進(jìn)而可得只需即可滿足題意.【詳解】由題意知，在時(shí)有唯一的正整數(shù)解.設(shè)（），則，又，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋砸獫M足在時(shí)有唯一的正整數(shù)解，則只需要，又，，所以.故選：D.9．ACD【分析】由常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可得答案.【詳解】選項(xiàng)A.

,所以選項(xiàng)A不正確.選項(xiàng)B.,所以選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C.,所以選項(xiàng)C不正確.選項(xiàng)D.,所以選項(xiàng)D不正確.故選：ACD10．ABC【分析】選項(xiàng)：由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0的方程有兩個(gè)根可得；選項(xiàng)：由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出方程即可；選項(xiàng)：由函數(shù)的極值點(diǎn)互為相反數(shù)代入計(jì)算可得；選項(xiàng)：由導(dǎo)數(shù)求出極值，再求出區(qū)間端點(diǎn)的值，即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的值域.【詳解】對(duì)于A，由題意，當(dāng)時(shí)，，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，得，解得，當(dāng)，解得或，上單調(diào)遞增，當(dāng)，解得，上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故正確；對(duì)于B，若，則，則，則，，所以函數(shù)在處的切線方程為，即，故正確；對(duì)于C，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由，得，則，所以為定值，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，則，則，令，解得或，所以當(dāng)時(shí)，，，，上的值域是，故錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)含參的問題，要注意對(duì)參數(shù)的討論；利用導(dǎo)數(shù)求切線方程問題要注意是“在”某處還是“過”某處；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值或值域問題，要注意舍去不在區(qū)間內(nèi)的極值.11．BD【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，對(duì)于AB選項(xiàng)，，即，可得，A錯(cuò)B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，，即，D對(duì)，C無法判斷.故選：BD.12．AD【分析】利用導(dǎo)數(shù)分別求出，的單調(diào)性，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合得出的范圍，根據(jù)和的單調(diào)性即可判定.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，，令，即，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，，令，即，所以在上為增函?shù)，在上為減函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，如圖：易知，且，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，在上為增函?shù)，所以，即，同理，即，所以，又，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；又，故D正確，C錯(cuò)誤；故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)得出，的單調(diào)性，借助和的單調(diào)性可得結(jié)果.13．【分析】對(duì)給定函數(shù)求導(dǎo)，再求出在3處的導(dǎo)數(shù)值即得.【詳解】由，求導(dǎo)得，則，由，求導(dǎo)得，所以.故答案為：14．##或【分析】不等式的解集即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，根據(jù)根據(jù)函數(shù)的圖像求出單調(diào)減區(qū)間，即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖像可知，函數(shù)在和上遞減，所以不等式≤0的解集為.故答案為：.15．【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上有解，分離參數(shù)后求函數(shù)最值即可得解.【詳解】，由題意在上有解，即在上有解，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取最大值，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：16．【分析】設(shè)，則已知變?yōu)?，?gòu)造函數(shù)，則在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則恒成立，分離參數(shù)，進(jìn)而可得出答案.【詳解】由，不妨設(shè)，則，所以，可變形化簡(jiǎn)為，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，而，所以，所以，所以的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，可按照以下原則進(jìn)行：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上恒成立；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減在區(qū)間上恒成立；（3）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)在區(qū)間上存在異號(hào)零點(diǎn)；（4）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，使得成立；（5）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，使得成立.17．(1)的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；(2)的遞減區(qū)間為，無遞增區(qū)間.【分析】（1）（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)定義域或區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1）由在定義域上恒成立，故的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；（2）由在上恒成立，故的遞減區(qū)間為，無遞增區(qū)間.18．(1)(2)【分析】（1）利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則直接計(jì)算即得；（2）求出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以；（2）因?yàn)?，所以函?shù)在處的切線方程為，即.19．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，確定圖象，可證明曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn).（2）將既存在極大值，又存在極小值，轉(zhuǎn)換為有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)問題，討論零點(diǎn)位置可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得：，令，得；令，得；則函數(shù)在上遞增，在上遞減，故，所以曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn).（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，設(shè)，令，解得，.因?yàn)榧却嬖跇O大值，又存在極小值，即在有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則，解得且，綜上所述：的取值范圍為.20．(1)(2)【分析】（1）利用極值點(diǎn)的意義得到，從而求得，再進(jìn)行驗(yàn)證即可得解；（2）分類討論的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)得到的性質(zhì)，從而得到且，解之即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，解得，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，符合題意，故.（2）由，其中，當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，最大值為，又，且當(dāng)時(shí)，，所以要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．(1)(2)答案見解析【分析】（1）在直角三角形中，由邊角關(guān)系分別表達(dá)，進(jìn)而求出，則可得棧道總長度；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值即可.【詳解】（1）由題意知，，，則，，所以.所以棧道總長度為（2）建造棧道的費(fèi)用為，則，令，得，又，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，此時(shí)，故觀景臺(tái)位于離岸邊半圓弧中點(diǎn)的距離為米時(shí)，建造費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為萬元.22．(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間(2)【分析】（1）首先得到，再求出導(dǎo)函數(shù)，即可得到切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性，得到在區(qū)間上恒成立，參變分離可得在區(qū)間上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)說明，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，則，又函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，又，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)恒成立，即恒成立，所以在，上單調(diào)遞增.即的單調(diào)