4.1 比例線(xiàn)段（4大題型）（分層練習(xí)）（解析版）

第4章相似三角形4.1比例線(xiàn)段（4大題型）分層練習(xí)考查題型一比例的性質(zhì)1．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知等式可得，再代入所求代數(shù)式計(jì)算可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是比例的性質(zhì)，能夠?qū)λo等式進(jìn)行正確變形是解決此題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)比的性質(zhì)化簡(jiǎn)，得，進(jìn)而得到．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了比例的性質(zhì)，正確掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，那么的值為．【答案】1【分析】利用比例的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵，∴設(shè)，，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在創(chuàng)建全國(guó)文明城市的過(guò)程中，某市要對(duì)新華南路的路面進(jìn)行維修改造若從的圖紙上量得該路的圖上距離為，則這條路的實(shí)際距離是．【答案】2【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得出這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為，再轉(zhuǎn)化單位即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線(xiàn)段，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）若，則___________；（2）若，則___________；（3）若，則___________．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）對(duì)化簡(jiǎn)得，再把代入，即可；（2）根據(jù)，得，把的值代入，即可；（3）對(duì)化簡(jiǎn)，得，把的值代入，即可【詳解】（1）∵，∴；故答案為：．（2）∵，∴，∴，故答案為：．（3）∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查比例性質(zhì)運(yùn)用中的基本計(jì)算，關(guān)鍵是掌握比例的基本性質(zhì)．考查題型二線(xiàn)段的比1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)機(jī)器零件的長(zhǎng)度是8毫米，畫(huà)在比例尺是的圖紙上的長(zhǎng)度是（

）A．8分米 B．8毫米 C．8厘米 D．8米【答案】C【分析】根據(jù)比例尺圖上距離：實(shí)際距離進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得：圖上距離：實(shí)際距離，∴圖上距離：8毫米，∴圖上距離為80毫米，即為8厘米，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例尺，熟知比例尺圖上距離：實(shí)際距離是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，以為斜邊作等腰直角三角形，再以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交線(xiàn)段于點(diǎn)，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知是等腰直角三角形，設(shè)，可用含的式子表示的長(zhǎng)，再根據(jù)以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，可知的長(zhǎng)，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，是等腰直角三角形，設(shè)，∴，∵以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交線(xiàn)段于點(diǎn)，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖求線(xiàn)段的比值，理解題意，找出線(xiàn)段之間的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·云南楚雄·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則．【答案】/0.5【分析】根據(jù)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)直接得出的值即可【詳解】解：∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，∴AB=2AD，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段的中點(diǎn)及線(xiàn)段的比，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握線(xiàn)段中點(diǎn)的定義．4．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知三條線(xiàn)段cm，m，b為a，c的比例中項(xiàng)，則cm．【答案】【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念求解即可，b為a，c的比例中項(xiàng)，則．【詳解】解：由題意可得，b為a，c的比例中項(xiàng)，則，∵cm，m∴則，解得，負(fù)值舍去，故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查了比例中項(xiàng)的概念，掌握比例中項(xiàng)的概念是解題的關(guān)鍵，注意求解時(shí)單位的換算．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知線(xiàn)段、、，且.（1）求的值；（2）若線(xiàn)段、、滿(mǎn)足，求、、的值.【答案】（1）；（2），，【分析】（1）設(shè)，則，，，代入即可化簡(jiǎn)；（2）根據(jù)得到，解出k即可求解.【詳解】解；（1）設(shè)則，，∴（2）∵∴解得∴，，【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知得出，，進(jìn)而得出k的值是解題關(guān)鍵．考查題型三成比例線(xiàn)段1．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，，，成比例線(xiàn)段，其中，，，則（

）A．8cm B．9.5cm C．4cm D．4.5cm【答案】A【分析】根據(jù)成比例線(xiàn)段列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了成比例線(xiàn)段，熟練掌握成比例線(xiàn)段的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖南永州·九年級(jí)?？计谀┫铝懈鹘M中的四條線(xiàn)段成比例的是（

）A．1cm，2cm，3cm，6cm B．4cm，5cm，6cm，10cmC．1cm，2cm，5cm，6cm D．3cm，4cm，5cm，6cm【答案】A【分析】四條線(xiàn)段成比例，根據(jù)線(xiàn)段的長(zhǎng)短關(guān)系，從小到大排列，判斷中間兩項(xiàng)的積是否等于兩邊兩項(xiàng)的積，相等即成比例．【詳解】解：A、，四條線(xiàn)段成比例，符合題意；B、，四條線(xiàn)段不成比例，不符合題意；C、，四條線(xiàn)段不成比例，不符合題意；D、，四條線(xiàn)段不成比例，不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查比例線(xiàn)段，理解成比例線(xiàn)段的概念，注意在線(xiàn)段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．3．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若線(xiàn)段、、、成比例，其中，，，則．【答案】4cm【分析】根據(jù)成比例線(xiàn)段的概念，得．再根據(jù)比例的基本性質(zhì)，求得的值．【詳解】解：∵四條線(xiàn)段成比例，，，，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線(xiàn)段的定義，注意根據(jù)已知條件寫(xiě)比例式的時(shí)候，一定要注意順序．然后根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行求解．4．（2023秋·甘肅白銀·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果線(xiàn)段a，b，c，d是成比例線(xiàn)段，且，那么為．【答案】24【分析】由題意可得出，代入數(shù)據(jù)，即可求出的值．【詳解】解：∵是成比例線(xiàn)段，，即，解得：，故答案為：24【點(diǎn)睛】本題考查比例線(xiàn)段的定義．注意各個(gè)字母的順序是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm．(1)求和；(2)線(xiàn)段，AB，，BC是成比例線(xiàn)段嗎？【答案】(1)，(2)線(xiàn)段，AB，，BC是成比例線(xiàn)段．【分析】（1）根據(jù)已知條件，代入和，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)和的值相等，即可判斷線(xiàn)段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例線(xiàn)段．【詳解】（1）∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．∴＝＝，＝＝（2）由（1）知＝＝，＝＝；∴＝，∴線(xiàn)段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例線(xiàn)段．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線(xiàn)段，知道成比例線(xiàn)段的條件是解題的關(guān)鍵．考查題型四黃金分割1．（2023秋·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C為線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，線(xiàn)段上一點(diǎn)將線(xiàn)段分成兩部分，兩部分中較短的線(xiàn)段與較長(zhǎng)線(xiàn)段的比值等于較長(zhǎng)的線(xiàn)段與整條線(xiàn)段的比值等于，這個(gè)點(diǎn)就叫做這條線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故選A【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割點(diǎn)．熟記定義，是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我們把頂角為的等腰三角形稱(chēng)為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為.如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)D，若，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得，再利用角平分線(xiàn)的定義可得，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得，進(jìn)而可得，然后利用等角對(duì)等邊可得，從而可得是“黃金三角形”，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，平分，，，，，是“黃金三角形”，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握黃金分割，以及等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某品牌汽車(chē)為了打造更加精美的外觀(guān)，特將汽車(chē)倒車(chē)鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車(chē)身黃金分割點(diǎn)的位置（如圖，即車(chē)尾到倒車(chē)鏡的距離與車(chē)長(zhǎng)之比為），若車(chē)頭與倒車(chē)鏡的水平距離為，則該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)為m．【答案】5【分析】設(shè)該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)為，利用黃金分割點(diǎn)的定義得到汽車(chē)倒車(chē)鏡到車(chē)尾的水平距離為，則根據(jù)題意列方程，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)為，∵汽車(chē)倒車(chē)鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車(chē)身黃金分割點(diǎn)的位置，∴汽車(chē)倒車(chē)鏡到車(chē)尾的水平距離為，∴，解得，即該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)為5米．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割：把線(xiàn)段分成兩條線(xiàn)段和，且使是和的比例中項(xiàng)（即），叫做把線(xiàn)段黃金分割，點(diǎn)C叫做線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)．4．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）黃金分割大量應(yīng)用于藝術(shù)、大自然中，樹(shù)葉的葉脈也蘊(yùn)含著黃金分割，如圖，為的黃金分割點(diǎn)（），如果的長(zhǎng)度為，則的長(zhǎng)度為．

【答案】/【分析】根據(jù)黃金分割的定義可知：，由此求解即可；【詳解】解：∵為的黃金分割點(diǎn)，∴∴（）故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義；熟記黃金比是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）美是一種感覺(jué)，當(dāng)人體下半身長(zhǎng)與身高的比值越接近時(shí)，越給人一種美感．如圖，某女士身高，下半身長(zhǎng)與身高的比值是．(1)求該女士下半身長(zhǎng)；(2)為盡可能達(dá)到美的效果，求她應(yīng)穿的高跟鞋的高度．（結(jié)果精確到）【答案】(1)該女士下半身x為；(2)她應(yīng)穿的高跟鞋的高度為．【分析】（1）列式計(jì)算即可求解；（2）設(shè)需要穿的高跟鞋是，列方程求解即可．【詳解】（1）解：；答：該女士下半身x為；（2）解：設(shè)需要穿的高跟鞋是，則，解得：，答：她應(yīng)穿的高跟鞋的高度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割的應(yīng)用．明確黃金分割所涉及的線(xiàn)段的比是解題關(guān)鍵．1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下面四組線(xiàn)段中，不能成比例的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)成比例線(xiàn)段的定義，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算判斷即可．【詳解】解：，即，A成比例，故不符合要求；，即，B成比例，故不符合要求；，C不成比例，故符合要求；，即，D成比例，故不符合要求；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了成比例線(xiàn)段．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與正確運(yùn)算．2．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則下列各式中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，．代入選項(xiàng)計(jì)算結(jié)果，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)，，A．，正確，故A選項(xiàng)不符合題意；B．，原式錯(cuò)誤，故B選項(xiàng)符合題意；C．，正確，故C選項(xiàng)不符合題意；D．，正確，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用換元法進(jìn)行約分消元求值．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，且，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)黃金分割的定義得，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：點(diǎn)是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，且，，，，A、C、D選項(xiàng)不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割的定義：把一條線(xiàn)段分割為兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大的比值，這個(gè)比值為，近似值為，即為黃金分割．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若，則的值為（

）A． B．1 C．1.5 D．3【答案】A【分析】先用b、d、f分別表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．【詳解】解：由，，，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)定義．5．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將矩形紙片按照以下方法裁剪：剪去矩形邊長(zhǎng)的，邊長(zhǎng)的（稱(chēng)為第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（陰影部分）邊長(zhǎng)的，長(zhǎng)的（稱(chēng)為第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的圖形恰好是正方形，則原矩形的長(zhǎng)寬比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)原矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，則第一次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，以此類(lèi)推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案．【詳解】設(shè)原矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，則第一次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，第二次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，第三次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，第四次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，第五次裁剪所得剩下的圖形恰好是正方形，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟悉掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)C是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義解答，把一條線(xiàn)段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線(xiàn)段為全線(xiàn)段與較短線(xiàn)段的比例中項(xiàng)．【詳解】解：點(diǎn)C是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，，設(shè)，，，，，，（舍去），，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割點(diǎn)的定義，牢記比例關(guān)系和黃金分割比是關(guān)鍵．7．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若，則.【答案】3【分析】根據(jù)比例設(shè)，則，然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，設(shè)，則，，．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，掌握比的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)校聯(lián)考期末）在學(xué)習(xí)畫(huà)線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧交射線(xiàn)于點(diǎn)，連接，再以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧，前后所畫(huà)的兩弧分別與交于，兩點(diǎn)，最后，以為圓心，“■■”的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，點(diǎn)即為的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的“■■”指的是線(xiàn)段．

【答案】【分析】根據(jù)作圖可知，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得，，求出，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)作圖可知，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得，，，，以為圓心，“”的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，點(diǎn)即為的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，黃金分割，解的關(guān)鍵是求出．9．（2023·河北衡水·?？寄M預(yù)測(cè)）已知A，B兩地相距，甲、乙兩人分別從A，B兩地同時(shí)勻速出發(fā)．若相向而行，則經(jīng)過(guò)后兩人相遇；若同向而行，則經(jīng)過(guò)后甲追上乙（1）甲、乙兩人的速度，；（用含a，b的代數(shù)式表示）（2）若，則．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意可得，相向而行時(shí)，甲乙兩人的路程和等于A，B兩地距離，同向而行時(shí)，甲乙兩人路程差等于A，B兩地距離，列出方程組求解即可；（2）由（1）可得，整理可得，即可得出．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，整理得：，解得：，故答案為：，．（2）由（1）可得，∴，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)式，解二元一次方程組，比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出等量關(guān)系，掌握解二元一次方程組的方法和步驟．10．（2023秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)為上的黃金分割點(diǎn)（），，作如下操作：步驟1：以點(diǎn)為圓心，小于1為半徑作圓弧，分別與，交于點(diǎn)，；步驟2：作的中垂線(xiàn)；步驟3：以點(diǎn)為圓心，為半徑為圓弧交于點(diǎn)，連接．則線(xiàn)段，，圓弧圍成的幾何圖形面積為．【答案】【分析】根據(jù)為上的黃金分割點(diǎn)得到，根據(jù)得到的長(zhǎng)度，于是線(xiàn)段，，