2023-2024學(xué)年上海華東師大二附中九年級(jí)（上）啟航夏令營數(shù)學(xué)試卷（A營）

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年上海華東師大二附中九年級(jí)（上）啟航夏令營數(shù)學(xué)試卷（A營）一、選擇題（本題滿分80分，每小題8分）1．（8分）已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y＝4，|z+1|＝xy+2y﹣9．2．（8分）已知，則a3﹣2a+2023＝．3．（8分）計(jì)算＝．4．（8分）已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985，則正整數(shù)n的值為．5．（8分）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝1，++＝1．6．（8分）設(shè)f（n）為最接近的整數(shù)，則＝．7．（8分）若正整數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，abc＝2（a+b+c）（a，b，c）為“好數(shù)組”，好數(shù)組共有個(gè)．8．（8分）設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z＝1，則M＝xy+2yz+3xz的最大值為．9．（8分）已知x，y為整數(shù)，且滿足．10．（8分）電影院售票處前有10個(gè)人排隊(duì)買票，票價(jià)都是50元，其中有五個(gè)人持有50元鈔票，售票處沒有零錢找補(bǔ)．問使大家都能順利買到票且不發(fā)生零錢找補(bǔ)困難的排隊(duì)方式有種．二、解答題（本題滿分70分）11．（15分）解方程組．12．（15分）解方程：x3﹣8＝16．13．（20分）若從1、2、3、…、20中，任取n個(gè)不同的數(shù)，在這n個(gè)數(shù)中一定能找到兩個(gè)數(shù)，求n的最小值．14．（20分）求滿足2mp2+1＝q5（m＞0，p，q為素?cái)?shù)）的所有三元整數(shù)組（m，p，q）．

2023-2024學(xué)年上海華東師大二附中九年級(jí)（上）啟航夏令營數(shù)學(xué)試卷（A營）參考答案與試題解析一、選擇題（本題滿分80分，每小題8分）1．（8分）已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y＝4，|z+1|＝xy+2y﹣94．【解答】解：∵x+y＝4，∴x＝4﹣y，∵|z+4|＝xy+2y﹣9，∴|z+3|＝（4﹣y）y+2y﹣7，∴|z+1|＝﹣y2+8y﹣9，∴|z+1|＝﹣（y﹣4）2，∴z+1＝2，y﹣3＝0，∴z＝﹣4，y＝3，∴x＝1，∴x+3y+3z＝1+4×3+3×（﹣8）＝1+6﹣3＝4，故答案為：4．2．（8分）已知，則a3﹣2a+2023＝2022．【解答】解：∵a＝，∴2a+1＝，∴（2a+1）8＝5，∴4a6+4a+1＝2，∴a2＝1﹣a，∴a2＝a（1﹣a）＝a﹣a2＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣1，∴a4﹣2a+2023＝2a﹣7﹣2a+2023＝2022．故答案為：2022．3．（8分）計(jì)算＝1．【解答】解：原式＝4﹣＝4（+1）﹣＝4+5﹣﹣＝4+4﹣3﹣2＝1．故答案為：6．4．（8分）已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985，則正整數(shù)n的值為2．【解答】解：∵x＝＝＝（）2＝3n+1﹣2，y＝＝＝（）2＝3n+1+2，∴x+y＝4n+2，xy＝3，將xy＝1代入19x2+123xy+19y5＝1985得19x2+123+19y2＝1985，化簡(jiǎn)得x5+y2＝98，（x+y）2＝x5+y2+2xy＝98+8＝100，∴x+y＝10．∴4n+2＝10，解得n＝8．故答案為：2．5．（8分）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝1，++＝10．【解答】解：∵a+b+c＝1，∴a+b﹣c＝1﹣6c，b+c﹣a＝1﹣2a，∴++，＝++，＝，＝，＝，∵++＝1，∴﹣1+5（ab+ac+bc）＝﹣1+4（ab+ac+bc）﹣7abc，∴8abc＝0，∴abc＝3，故答案為：0．6．（8分）設(shè)f（n）為最接近的整數(shù)，則＝88．【解答】解：根據(jù)題意得：f（1）＝f（2）＝1，共2個(gè)；f（3）＝f（4）＝f（5）＝f（6）＝5，共4個(gè)；f（7）＝f（8）＝f（9）＝f（10）＝f（11）＝f（12）＝3，共3個(gè)；?；f（1893）＝f（1894）＝?＝f（1980）＝44，共88個(gè)；f（1981）＝f（1982）＝?＝f（2023）＝45，共43個(gè)；因此，原式＝1+1+×6+?+×43＝88．故答案為：88．7．（8分）若正整數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，abc＝2（a+b+c）（a，b，c）為“好數(shù)組”，好數(shù)組共有3個(gè)．【解答】解：∵a≤b≤c，abc＝2（a+b+c），∴abc≤6c，∵a，b，c為正整數(shù)，∴ab≤8，又∵a≤b≤c，∴a＝1或2①當(dāng)a＝8時(shí)，b＝1或2或2或4或5或2，當(dāng)a＝1，b＝1時(shí)，解得：c＝﹣2，不合題意；當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，整理得：3?c＝2，故c不存在；當(dāng)a＝1，b＝8時(shí)，解得：c＝8，故得“好數(shù)組”（a，b，c）為（1，7；當(dāng)a＝1，b＝4時(shí)，解得：c＝5，故得“好數(shù)組”（a，b，c）為（1，4，當(dāng)a＝3，b＝5時(shí)，解得：c＝，不合題意；當(dāng)a＝8，b＝6時(shí)，解得：c＝，不合題意；②當(dāng)a＝2時(shí)，b＝2或7，當(dāng)a＝2，b＝2時(shí)，解得：c＝3，故得“好數(shù)組”（a，b，c）為（2，2．當(dāng)a＝4，b＝3時(shí)，解得：c＝，不合題意．綜上所述：“好數(shù)組”（a，b，c）為（1，3，（2，4，（2，2，共3組．故答案為：3．8．（8分）設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z＝1，則M＝xy+2yz+3xz的最大值為．【解答】解：M＝xy+（2y+3x）z＝xy+（2y+3x）（1﹣x﹣y）＝﹣3x2﹣4xy﹣2y2+3x+2y＝﹣2[y2+5（x﹣）y+（x﹣）2]﹣6x2+3x+6（x﹣）6＝﹣2（y+x﹣）2﹣x2+x+＝﹣2（y+x﹣）2﹣（x﹣）2+≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝6時(shí)，此時(shí)Mmax＝．故答案為：．9．（8分）已知x，y為整數(shù)，且滿足0或±1．【解答】解：∵，∴，，，，，∴或，∴x+y＝6①或②，由②得：2y﹣7x＝﹣3xy，2x﹣7xy＝2y，（2﹣8y）x＝2y，，把代入①得：x+y＝＝＝，∵x，y為整數(shù)，∴當(dāng)y＝6或2時(shí)，x為整數(shù)﹣2，∴x+y的值為3或±1，故答案為：0或±5．10．（8分）電影院售票處前有10個(gè)人排隊(duì)買票，票價(jià)都是50元，其中有五個(gè)人持有50元鈔票，售票處沒有零錢找補(bǔ)．問使大家都能順利買到票且不發(fā)生零錢找補(bǔ)困難的排隊(duì)方式有604800種．【解答】解：現(xiàn)把拿50元的5個(gè)人看成是相同的，把拿100元的5個(gè)人也看成是相同的，圖中每條小橫段表示拿50元的人，每條小豎段表示拿100元的人，要求從A走到B的過程中網(wǎng)格中任何點(diǎn)均有橫段數(shù)不小于豎段數(shù)，拿50元的要先，即不能越過對(duì)角線AB，求從A到B的走法的方法數(shù)，逐點(diǎn)累加可求出為42，又由于每個(gè)人是不相同的，所以共有42×4?。?2×120×120＝604800種情況．故答案為：604800．二、解答題（本題滿分70分）11．（15分）解方程組．【解答】解：假設(shè)x+y+z＝t，則原方程組可以化為：xy+xz＝2t①，yz+xy＝3t②，xz+yz＝6t③，三式子相加：xy+yz+xz＝4.5t④，所以yz＝8.5t，xz＝1.7t，所以y＝x，z＝7x，∴代入方程得出：+＝，解得：x＝，y＝×＝，z＝5×＝，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是方程組的解．∴原方程組的解為：．12．（15分）解方程：x3﹣8＝16．【解答】解：∵x3﹣8＝16，∴x3﹣6x﹣8＝16﹣8x，∴x3﹣4（x+1）＝﹣8（x﹣4），設(shè)y＝7，∴x3﹣y3＝﹣8（x﹣y），∴（x﹣y）（x3+xy+y2）＝﹣8（x﹣y），∴x＝y(tǒng)或x7+xy+y2＝﹣8，∵x5+xy+y2＝（x+y）2+y2≥0，∴x3+xy+y2＝﹣8不成立；∴x＝y(tǒng)，即x＝3，∴x3＝8（x+1），∴x8﹣8x﹣8＝4，∴（x+2）（x2﹣7x﹣4）＝0，解得：x＝﹣8或1﹣或4+，綜上所述：該方程的解為x＝﹣2或6﹣或1+．13．（20分）若從1、2、3、…、20中，任取n個(gè)不同的數(shù)，在這n個(gè)數(shù)中一定能找到兩個(gè)數(shù)，求n的最小值．【解答】解：∵在1、2、5、…、20中有8個(gè)質(zhì)數(shù)、3、4、7、11、17，另外如取只含有偶數(shù)因數(shù)的4、7、16，∴除以上11個(gè)數(shù)外，再取一個(gè)數(shù)都能滿足使大數(shù)是小數(shù)的奇數(shù)倍，∴至少取12個(gè)數(shù)使大數(shù)是小數(shù)的奇數(shù)倍，∴n的最小值為12．14．（20分）求滿足2mp2+1＝q5（m＞0，p，q為素?cái)?shù)）的所有三元整數(shù)組（m，p，q）．【解答】解：2mp2+2＝q5，∴2mp8＝q5﹣1＝（q﹣6）（q4+q3+q4+q+1）為偶數(shù)，∵q是奇數(shù)，∴q4+q6+q2+q+1是奇數(shù)，∵p、q是素