2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 二面角及平面與平面垂直的判定定理 學(xué)案

8.6.3平面與平面垂直第1課時(shí)二面角及平面與平面垂直的判定定理學(xué)習(xí)任務(wù)1．理解二面角及其平面角的概念，會(huì)作二面角的平面角，會(huì)求簡單的二面角的平面角．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．了解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理，會(huì)用定理證明垂直關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)如圖所示，筆記本電腦在打開的過程中，會(huì)給人以面面“夾角”變大的感覺．你認(rèn)為應(yīng)該怎樣刻畫面面“夾角”呢？知識(shí)點(diǎn)1二面角1．定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形．2．相關(guān)概念：(1)這條直線叫做二面角的棱，(2)兩個(gè)半平面叫做二面角的面．3．畫法：4．記法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.5．二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA?α，OB?β；(3)OA⊥l，OB⊥l，則二面角α-l-β的平面角是∠AOB．6．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°．1．二面角的平面角的大小，是否與角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)？[提示]無關(guān)．如圖，根據(jù)等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小與角的頂點(diǎn)的位置無關(guān)，只與二面角的大小有關(guān)．2．二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量，構(gòu)成二面角的平面角的三要素是什么？[提示]三要素是“棱上”“面內(nèi)”“垂直”．即二面角的平面角的頂點(diǎn)必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直．知識(shí)點(diǎn)2平面與平面垂直1．定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．2．畫法：3．記作：α⊥β．4．判定定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β. ()(2)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)兩條平行線，則α⊥β. ()(3)兩平面垂直時(shí)，其二面角是直二面角. ()[答案](1)×(2)×(3)√類型1二面角的計(jì)算問題【例1】如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A-PD-C的平面角的度數(shù)；(2)求二面角B-PA-D的平面角的大?。?3)求二面角B-PA-C的平面角的大?。甗解](1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C的平面角的度數(shù)為90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD為二面角B-PA-D的平面角．又由題意知∠BAD＝90°，∴二面角B-PA-D的平面角的度數(shù)為90°.(3)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角．又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C的平面角的度數(shù)為45°.求二面角的平面角的大小的步驟(1)作：作出平面角，一般在交線上找一特殊點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)向交線作垂線．(2)證：證明所作的角滿足定義，并指出二面角的平面角．(3)求：將作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小．(4)結(jié)論．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小．[解]由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角．由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.類型2平面與平面垂直的判定定義法判定平面與平面垂直【例2】如圖，在四面體ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.[解]因?yàn)椤鰽BD與△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE，則AE⊥BD，BD⊥CE，則∠AEC是二面角A-BD-C的平面角．在△ABD中，AB＝a,BE＝12BD所以AE＝AB2同理CE＝22a在△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a因?yàn)锳C2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，即∠AEC＝90°，所以二面角A-BD-C為直二面角，所以平面ABD⊥平面BCD.判定定理法判定平面與平面垂直【例3】(源自湘教版教材)如圖，已知△ABC中，AD是邊BC上的高，以AD為折痕折疊△ABC，使∠BDC為直角．求證：平面ABD⊥平面BDC，平面ADC⊥平面ABD.[證明]因?yàn)锳D⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC.因?yàn)锳D?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BDC.已知∠BDC為直角，所以BD⊥DC.又AD∩DC＝D，因此BD⊥平面ADC.因?yàn)锽D?平面ABD，所以平面ADC⊥平面ABD.證明面面垂直常用的方法(1)定義法：即說明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為線面垂直．(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，求證：平面BDE⊥平面ABCD.[證明]連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，連接OE.因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)，所以EO是△PAC的中位線，所以EO∥PC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因?yàn)镋O?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.1．自二面角棱l上任選一點(diǎn)O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有條件()A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β[答案]D2．對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥βC[∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.]3．若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是()A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．不確定C[若方向相同則相等，若方向相反則互補(bǔ)．故選C.]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．45°[根據(jù)正方體中的位置關(guān)系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根據(jù)二面角的平面角定義可知，∠ABA1即為二面角A-BC-A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.]回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．如何求二面角的平面角的大??？[提示]求二面角的平面角的大小的步驟2．如何證明兩個(gè)平面垂直？[提示]證明面面垂直主要有兩種方法：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理．課時(shí)分層作業(yè)(三十五)二面角及平面與平面垂直的判定定理一、選擇題1．直線l⊥平面α，l?平面β，則α與β的位置關(guān)系是()A．平行 B．可能重合C．相交且垂直 D．相交不垂直C[由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C.]2．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出下列說法，其中正確的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，m⊥β，則α⊥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥βB[A中，α，β可能平行也可能相交，所以A錯(cuò)誤；易知B正確；C中，若α∥β，仍然可以滿足m⊥n，m?α，n?β，所以C錯(cuò)誤；D中，α，β可能平行也可能相交，所以D錯(cuò)誤．故選B.]3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于()A．33B．22C．2C[如圖所示，連接AC交BD于O，連接A1O，∠A1OA為二面角A1-BD-A的平面角．設(shè)A1A＝a，則AO＝22a，所以tan∠A1OA＝a4．如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有()A．1對(duì) B．2對(duì)C．3對(duì) D．5對(duì)D[∵四邊形ABCD是矩形，∴DA⊥AB.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA.又AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB.又易證AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5對(duì)．]5．如圖所示，在三棱錐V-ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，下列結(jié)論不正確的是()A．平面VAC⊥平面ABCB．平面VAB⊥平面ABCC．平面VAC⊥平面VBCD．平面VAB⊥平面VBCC[由題設(shè)VA⊥AB，VA⊥AC，且AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，又VA?平面VAB，VA?平面VAC，∴平面VAC⊥平面ABC，平面VAB⊥平面ABC，則A，B正確；又易知VA⊥BC，BC⊥AB，且VA∩AB＝A，∴BC⊥平面VAB，又BC?平面VBC，從而平面VAB⊥平面VBC，故D正確，故選C.]二、填空題6．自空間一點(diǎn)分別向大小為70°的二面角的兩個(gè)半平面引垂線，則這兩條垂線所成的角的大小是________．70°[如圖，PB⊥α，PC⊥β，易知∠BAC＝70°，由四邊形PBAC的內(nèi)角和為360°，可知∠BPC＝110°.由空間中兩直線所成角的取值范圍可知，這兩條垂線所成的角的大小為70°.]7．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小等于________.90°[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，∴所求二面角的大小為90°.]8．如圖，檢查工件的相鄰兩個(gè)面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察尺邊是否和這個(gè)面密合就可以了，其原理是利用了________．面面垂直的判定定理[如圖所示，因?yàn)镺A⊥OB，OA⊥OC，OB?β，OC?β，且OB∩OC＝O，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA?α，根據(jù)面面垂直的判定定理，可得α⊥β.]三、解答題9．如圖所示，在四面體ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.[證明](1)法一：(利用定義證明)因?yàn)椤螧SA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等邊三角形，則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．取BC的中點(diǎn)D，如圖所示，連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角．在Rt△BSC中，因?yàn)镾B＝SC＝a，所以SD＝22a在Rt△ABD中，AD＝22a在△ADS中，因?yàn)镾D2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：(利用判定定理)因?yàn)镾A＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以點(diǎn)A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．因?yàn)椤鱏BC為等腰直角三角形，所以點(diǎn)A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點(diǎn)，所以AD⊥平面SBC.又因?yàn)锳D?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.10．已知三棱錐P-ABC中，△ABC為正三角形，PA>PB>PC，且P在底面ABC內(nèi)的射影在△ABC的內(nèi)部(不包括邊界)，二面角P-AB-C，二面角P-BC-A，二面角P-AC-B的大小分別為α，β，γ，則()A．α>β>γ B．γ>α>βC．α<γ<β D．α<β<γC[設(shè)P在底面ABC內(nèi)的射影為O，過O分別作AB，BC，CA垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)(圖略)，則α＝∠PDO，β＝∠PEO，γ＝∠PFO，從而tanα＝POOD，tanβ＝POOE，tanγ＝POOF，因?yàn)镻A>PB>PC，所以O(shè)A>OB>OC,OD>OF>OE，即tanα<tanγ<tanβ，即α<γ11．(多選)在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PAE⊥平面ABCD．平面PDE⊥平面ABCABC[如圖，由題意知BC∥DF，所以BC∥平面PDF.由正四面體的性質(zhì)知BC⊥PE，BC⊥AE，所以BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，平面PAE⊥平面ABC.]12．已知AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，D為下底面圓周上一點(diǎn)，且AD垂直于圓柱的底面，則必有()A．平面ABC⊥平面BCDB．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACDD．平面BCD⊥平面ABDB[因?yàn)锳B是圓柱上底面的一條直徑，所以AC⊥BC.又AD垂直于圓柱的底面，所以AD⊥BC.因?yàn)锳C∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD.又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.故選B.]13．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC等)[由題意得BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]14．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝3.(1)求證：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大小．[解](1)證明：如圖所示，連接BD，由四邊形ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．∵E是CD的中