2013年高考理科數(shù)學(xué)江蘇卷試題與答案解析版-文檔

PAGE2013江蘇數(shù)學(xué)（文理合卷）第10頁(yè)2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江蘇卷)數(shù)學(xué)Ⅰ試題一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．1．(2013江蘇，1)函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_________．2．(2013江蘇，2)設(shè)z＝(2－i)2(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模為_(kāi)_________．3．(2013江蘇，3)雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的方程為_(kāi)_________．4．(2013江蘇，4)集合{－1,0,1}共有__________個(gè)子集．5．(2013江蘇，5)下圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的n的值是__________．6．(2013江蘇，6)抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(jī)(單位：環(huán))，結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績(jī)較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為_(kāi)_________．7．(2013江蘇，7)現(xiàn)有某類(lèi)病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為_(kāi)_________．8．(2013江蘇，8)如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2＝__________.9．(2013江蘇，9)拋物線(xiàn)y＝x2在x＝1處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部和邊界)．若點(diǎn)P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x＋2y的取值范圍是__________．10．(2013江蘇，10)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，，.若(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為_(kāi)_________．11．(2013江蘇，11)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_________．12．(2013江蘇，12)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0，b＞0)，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線(xiàn)為l，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B.設(shè)原點(diǎn)到直線(xiàn)BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2.若，則橢圓C的離心率為_(kāi)_________．13．(2013江蘇，13)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(a，a)，P是函數(shù)(x＞0)圖象上一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)P，A之間的最短距離為，則滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為_(kāi)_________．14．(2013江蘇，14)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，，a6＋a7＝3.則滿(mǎn)足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為_(kāi)_________．二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．(2013江蘇，15)(本小題滿(mǎn)分14分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝，求證：a⊥b；(2)設(shè)c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．16．(2013江蘇，16)(本小題滿(mǎn)分14分)如圖，在三棱錐S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過(guò)A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)．求證：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.

17．(2013江蘇，17)(本小題滿(mǎn)分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線(xiàn)l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.(1)若圓心C也在直線(xiàn)y＝x－1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.18．(2013江蘇，18)(本小題滿(mǎn)分16分)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線(xiàn)步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車(chē)到B，然后從B沿直線(xiàn)步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min，在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車(chē)到B，在B處停留1min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車(chē)勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min，山路AC長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的長(zhǎng)；(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車(chē)上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

19．(2013江蘇，19)(本小題滿(mǎn)分16分)設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列(d≠0)，Sn是其前n項(xiàng)和．記，n∈N*，其中c為實(shí)數(shù)．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；(2)若{bn}是等差數(shù)列，證明：c＝0.20．(2013江蘇，20)(本小題滿(mǎn)分16分)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a為實(shí)數(shù)．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范圍；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．21．(2013江蘇，21)A．[選修4－1：幾何證明選講](本小題滿(mǎn)分10分)如圖，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過(guò)圓心O，且BC＝2OC.B．[選修4－2：矩陣與變換](本小題滿(mǎn)分10分)已知矩陣A＝，B＝，求矩陣A－1B.C．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](本小題滿(mǎn)分10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．試求直線(xiàn)l和曲線(xiàn)C的普通方程，并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．D．[選修4－5：不等式選講](本小題滿(mǎn)分10分)已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．22．(2013江蘇，22)(本小題滿(mǎn)分10分)如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．(1)求異面直線(xiàn)A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．23．(2013江蘇，23)(本小題滿(mǎn)分10分)設(shè)數(shù)列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，，…，即當(dāng)(k∈N*)時(shí)，an＝(－1)k－1k.記Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．對(duì)于l∈N*，定義集合Pl＝{n|Sn是an的整數(shù)倍，n∈N*，且1≤n≤l}．(1)求集合P11中元素的個(gè)數(shù)；(2)求集合P2000中元素的個(gè)數(shù)．

2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江蘇卷)數(shù)學(xué)Ⅰ試題一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．1．答案：π解析：函數(shù)的最小正周期.2．答案：5解析：|z|＝|(2－i)2|＝|4－4i＋i2|＝|3－4i|＝＝5.3．答案：解析：由題意可知所求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.4．答案：8解析：由于集合{－1,0,1}有3個(gè)元素，故其子集個(gè)數(shù)為23＝8.5．答案：3解析：第一次循環(huán)后：a←8，n←2；第二次循環(huán)后：a←26，n←3；由于26＞20，跳出循環(huán)，輸出n＝3.6．答案：2解析：由題中數(shù)據(jù)可得，.于是＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，由，可知乙運(yùn)動(dòng)員成績(jī)穩(wěn)定．故應(yīng)填2.7．答案：解析：由題意知m的可能取值為1,2,3，…，7；n的可能取值為1,2,3，…，9.由于是任取m，n：若m＝1時(shí)，n可取1,2,3，…，9，共9種情況；同理m取2,3，…，7時(shí)，n也各有9種情況，故m，n的取值情況共有7×9＝63種．若m，n都取奇數(shù)，則m的取值為1,3,5,7，n的取值為1,3,5,7,9，因此滿(mǎn)足條件的情形有4×5＝20種．故所求概率為.8．答案：1∶24解析：由題意可知點(diǎn)F到面ABC的距離與點(diǎn)A1到面ABC的距離之比為1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4.因此V1∶V2＝＝1∶24.9．答案：解析：由題意可知拋物線(xiàn)y＝x2在x＝1處的切線(xiàn)方程為y＝2x－1.該切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域如圖中陰影部分所示：當(dāng)直線(xiàn)x＋2y＝0平移到過(guò)點(diǎn)A時(shí)，x＋2y取得最大值.當(dāng)直線(xiàn)x＋2y＝0平移到過(guò)點(diǎn)B(0，－1)時(shí)，x＋2y取得最小值－2.因此所求的x＋2y的取值范圍為.10．答案：解析：由題意作圖如圖．∵在△ABC中，，∴λ1＝，λ2＝.故λ1＋λ2＝.11．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)解析：∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則f(x)＝∴原不等式等價(jià)于或由此可解得x＞5或－5＜x＜0.故應(yīng)填(－5,0)∪(5，＋∞)．12．答案：解析：設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意可設(shè)直線(xiàn)BF的方程為，即bx＋cy－bc＝0.于是可知，.∵，∴，即.∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝.∴.13．答案：－1，解析：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則|PA|2＝.令，則|PA|2＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2(t≥2)．結(jié)合題意可知(1)當(dāng)a≤2，t＝2時(shí)，|PA|2取得最小值．此時(shí)(2－a)2＋a2－2＝8，解得a＝－1，a＝3(舍去)．(2)當(dāng)a＞2，t＝a時(shí)，|PA|2取得最小值．此時(shí)a2－2＝8，解得a＝，a＝(舍去)．故滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為，－1.14．答案：12解析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3可得q＝2，于是an＝2n－6，則a1＋a2＋…＋an＝.∵，q＝2，∴a6＝1，a1a11＝a2a10＝…＝＝1.∴a1a2…a11＝1.當(dāng)n取12時(shí)，a1＋a2＋…＋a12＝27－＞a1a2…a11a12＝a12＝26成立；當(dāng)n取13時(shí)，a1＋a2＋…＋a13＝28－＜a1a2…a11a12a13＝a12a13＝26·27＝213.當(dāng)n＞13時(shí)，隨著n增大a1＋a2＋…＋an將恒小于a1a2…an.因此所求n的最大值為12.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．(1)證明：由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因?yàn)閍2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0.故a⊥b.(2)解：因?yàn)閍＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以由此得cosα＝cos(π－β)．由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝，而α＞β，所以，.16．證明：(1)因?yàn)锳S＝AB，AF⊥SB，垂足為F，所以F是SB的中點(diǎn)．又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)，所以EF∥AB.因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍿AB⊥平面SBC，且交線(xiàn)為SB，又AF平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因?yàn)锽C平面SBC，所以AF⊥BC.又因?yàn)锳B⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因?yàn)镾A平面SAB，所以BC⊥SA.17．解：(1)由題設(shè)，圓心C是直線(xiàn)y＝2x－4和y＝x－1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線(xiàn)的斜率必存在.設(shè)過(guò)A(0,3)的圓C的切線(xiàn)方程為y＝kx＋3，由題意，＝1，解得k＝0或，故所求切線(xiàn)方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因?yàn)閳A心在直線(xiàn)y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO，所以，化簡(jiǎn)得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|2－1|≤CD≤2＋1，即.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤.所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.18．解：(1)在△ABC中，因?yàn)閏osA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.從而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝.由正弦定理，得＝1040(m)．所以索道AB的長(zhǎng)為1040m.(2)假設(shè)乙出發(fā)tmin后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故當(dāng)(min)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．(3)由正弦定理，得BC＝＝500(m)．乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，還需走710m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為vm/min，由題意得，解得，所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3min，乙步行的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi)．19．證明：由題設(shè)，.(1)由c＝0，得.又因?yàn)閎1，b2，b4成等比數(shù)列，所以＝b1b4，即，化簡(jiǎn)得d2－2ad＝0.因?yàn)閐≠0，所以d＝2a.因此，對(duì)于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.從而對(duì)于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.(2)設(shè)數(shù)列{bn}的公差是d1，則bn＝b1＋(n－1)d1，即＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn的表達(dá)式，整理得，對(duì)于所有的n∈N*，有＝c(d1－b1)．令A(yù)＝，B＝b1－d1－a＋，D＝c(d1－b1)，則對(duì)于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)在(*)式中分別取n＝1,2,3,4，得A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，從而有由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，從而cd1＝0.即＝0，b1－d1－a＋＝0，cd1＝0.若d1＝0，則由＝0，得d＝0，與題設(shè)矛盾，所以d1≠0.又因?yàn)閏d1＝0，所以c＝0.20．解：(1)令f′(x)＝＜0，考慮到f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，故a＞0，進(jìn)而解得x＞a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)．同理，f(x)在(0，a－1)上是單調(diào)增函數(shù)．由于f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，故(1，＋∞)(a－1，＋∞)，從而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna．當(dāng)x＜lna時(shí)，g′(x)＜0；當(dāng)x＞lna時(shí)，g′(x)＞0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以lna＞1，即a＞e.綜上，有a∈(e，＋∞)．(2)當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)必為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，令g′(x)＝ex－a＞0，解得a＜ex，即x＞lna.因?yàn)間(x)在(－1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，類(lèi)似(1)有l(wèi)na≤－1，即0＜a≤e－1.結(jié)合上述兩種情況，有a≤e－1.①當(dāng)a＝0時(shí)，由f(1)＝0以及f′(x)＝＞0，得f(x)存在唯一的零點(diǎn)；②當(dāng)a＜0時(shí)，由于f(ea)＝a－aea＝a(1－ea)＜0，f(1)＝－a＞0，且函數(shù)f(x)在[ea,1]上的圖象不間斷，所以f(x)在(ea,1)上存在零點(diǎn)．另外，當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＝－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．③當(dāng)0＜a≤e－1時(shí)，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝a－1.當(dāng)0＜x＜a－1時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)x＞a－1時(shí)，f′(x)＜0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值點(diǎn)，且最大值為f(a－1)＝－lna－1.當(dāng)－lna－1＝0，即a＝e－1時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)x＝e.當(dāng)－lna－1＞0，即0＜a＜e－1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．實(shí)際上，對(duì)于0＜a＜e－1，由于f(e－1)＝－1－ae－1＜0，f(a－1)＞0，且函數(shù)f(x)在[e－1，a－1]上的圖象不間斷，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零點(diǎn)．另外，當(dāng)x∈(0，a－1)時(shí)，f′(x)＝－a＞0，故f(x)在(0，a－1)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)在(0，a－1)上只有一個(gè)零點(diǎn)．下面考慮f(x)在(a－1，＋∞)上的情況．先證f(ea－1)＝a(a－2－ea－1)＜0.為此，我們要證明：當(dāng)x＞e時(shí)，ex＞x2.設(shè)h(x)＝ex－x2，則h′(x)＝ex－2x，再設(shè)l(x)＝h′(x)＝ex－2x，則l′(x)＝ex－2.當(dāng)x＞1時(shí)，l′(x)＝ex－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．故當(dāng)x＞2時(shí)，h′(x)＝ex－2x＞h′(2)＝e2－4＞0，從而h(x)在(2，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而當(dāng)x＞e時(shí)，h(x)＝ex－x2＞h(e)＝ee－e2＞0.即當(dāng)x＞e時(shí)，ex＞x2.當(dāng)0＜a＜e－1，即a－1＞e時(shí)，f(ea－1)＝a－1－aea－1＝a(a－2－ea－1)＜0，又f(a－1)＞0，且函數(shù)f(x)在[a－1，ea－1]上的圖象不間斷，所以f(x)在(a－1，ea－1)上存在零點(diǎn)．又當(dāng)x＞a－1時(shí)，f′(x)＝－a＜0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)．綜合①，②，③，當(dāng)a≤0或a＝e－1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)0＜a＜e－1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．21．證明：連結(jié)OD.因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因?yàn)椤螦＝∠A，所以Rt△ADO∽R(shí)t△ACB.所以.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.B．[選修4－2：矩陣與變換]解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為，則＝，即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，，從而A的逆矩陣為A－1＝，所以A－1B＝＝.C．解：因?yàn)橹本€(xiàn)l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t))(t為參數(shù))，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直線(xiàn)l的普通方程為2x－y－2＝0.同理得到曲線(xiàn)C的普通方程為y2＝2x.聯(lián)立方程組解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)，.D．證明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因?yàn)閍≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．22．解：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．因?yàn)閏os〈，〉＝＝，所以異面直線(xiàn)A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)，因?yàn)椋?1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一個(gè)法向量．取平面AA1B的一個(gè)法向量為n2＝(0,1,0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ.由