2024屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)高三下學(xué)期教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)2024屆高三下學(xué)期教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試卷一?選擇題1已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可得：或，則.故選：D.2.設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則，；令，則；.故選：C.3.已知平面向量滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知平面向量滿足，故，所以，所以，所以，則，，故，故選：B.4.青少年的身高一直是家長(zhǎng)和社會(huì)關(guān)注的重點(diǎn)，它不僅關(guān)乎個(gè)體成長(zhǎng)，也是社會(huì)健康素養(yǎng)發(fā)展水平的體現(xiàn).某市教育部門為了解本市高三學(xué)生的身高狀況，從本市全體高三學(xué)生中隨機(jī)抽查了1200人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)樣本的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，且身高在到之間的人數(shù)占樣本量的，則樣本中身高不低于的約有（）A.150人 B.300人 C.600人 D.900人〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以則，所以樣本中身高不低于的約有人.故選：A.5.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗令，得，則；故，，所以在共有4個(gè)零點(diǎn)，故選：C.6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知為雙曲線的右頂點(diǎn)，以為直徑的圓與的一條漸近線交于另一點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗由題意得，⊥，雙曲線的一條漸近線方程為，故，即，又，所以，由勾股定理得，即，解得，,故選：B.7.萊莫恩定理指出：過的三個(gè)頂點(diǎn)作它的外接圓的切線，分別和所在直線交于點(diǎn)，則三點(diǎn)在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的線.在平面直角坐標(biāo)系中，若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則該三角形的線的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗的外接圓設(shè)為，，解得，外接圓方程為，即，易知外接圓在處切線方程為，又，令得，，，在處切線方程為，又，令得，，則三角形的線的方程為，即故選：B.8.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗時(shí)，時(shí)，，故選：D.二?多選題9.已知復(fù)數(shù)，下列說法正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則或 D.若，則〖答案〗AC〖解析〗選項(xiàng)A，，則，故A正確；選項(xiàng)B，令，滿足條件，但，且均不為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，下面先證明命題“若，則，或”成立.證明：設(shè)，，若，則有，故有，即，兩式相乘變形得，，則有，或，或，①當(dāng)時(shí)，，即；②當(dāng)，且時(shí)，則，又因?yàn)椴煌瑫r(shí)為，所以，即；③當(dāng)，且時(shí)，則，同理可得，故；綜上所述，命題“若，則，或”成立.下面我們應(yīng)用剛證明的結(jié)論推證選項(xiàng)C，，，，或，即或，故C正確；選項(xiàng)D，令，則，但，不為，故D錯(cuò)誤.故選：.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.不等式無(wú)解 D.的最大值為〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A:不是的周期，故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B:關(guān)于對(duì)稱，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:有解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D:，若，則，若則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，原式取等，故D正確.故選:BD.11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（）A.當(dāng)時(shí)，平面B.任意，三棱錐的體積是定值C.存在，使得與平面所成的角為D.當(dāng)時(shí)，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為〖答案〗ACD〖解析〗如圖所示建系，，所以，從而，所以，又面，所以面，時(shí)，與重合，平面為平面，因?yàn)槊?，平面，A對(duì).不與平面平行，到面的距離不為定值，三棱錐的體積不為定值，B錯(cuò).設(shè)面的法向量為，則，令，解得，即可取，而，所以與平面所成角的正弦值為，又，所以，所以，又面，所以面，當(dāng)在時(shí)，與平面所成角的正弦值為，此時(shí)與平面所成角小于，當(dāng)在時(shí)，與平面所成角為，所以存在使與平面所成角為，C正確.，設(shè)平面的法向量為，不妨設(shè)，則.，則，平面法向量，顯然球心，到面的距離，外接球半徑，截面圓半徑平方為，所以，D對(duì).故選：ACD.三?填空題12.已知變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，對(duì)表中數(shù)據(jù)作分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，利用最小二乘法，計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為，據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)的值為__________.567893.54566.5〖答案〗7.4〖解析〗由已知得，即樣本點(diǎn)中心，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心，所以，解得.所以，當(dāng)時(shí)，.故〖答案〗為：.13.已知，，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗，，，，，即，所以，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.故〖答案〗為：14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和拋物線，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn).記線段的中點(diǎn)為，若線段的中點(diǎn)在上，則的值為__________；的值為__________.〖答案〗25〖解析〗令，，，線段的中點(diǎn)為聯(lián)立，消可得，則，,所以，即，所以線段的中點(diǎn)，由于線段的中點(diǎn)在拋物線上，則，解得或（舍去），即，由于拋物線中，，所以.故〖答案〗為：2；5.四?解答題15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）證明：；（2）若，求周長(zhǎng).（1）證明：因?yàn)榛颍ㄉ幔?（2）解：由，結(jié)合（1）知，則，得，，，由正弦定理得的周長(zhǎng)為.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)在棱上，且.（1）證明：平面；（2）當(dāng)二面角為時(shí)，求.（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，∵，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，故，故平面；（2）解：平面的一個(gè)法向量，，.17.我國(guó)無(wú)人機(jī)發(fā)展迅猛，在全球具有領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)，已經(jīng)成為“中國(guó)制造”一張靚麗的新名片，并廣泛用于森林消防?搶險(xiǎn)救災(zāi)?環(huán)境監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域.某森林消防支隊(duì)在一次消防演練中利用無(wú)人機(jī)進(jìn)行投彈滅火試驗(yàn)，消防員甲操控?zé)o人機(jī)對(duì)同一目標(biāo)起火點(diǎn)進(jìn)行了三次投彈試驗(yàn)，已知無(wú)人機(jī)每次投彈時(shí)擊中目標(biāo)的概率都為，每次投彈是否擊中目標(biāo)相互獨(dú)立.無(wú)人機(jī)擊中目標(biāo)一次起火點(diǎn)被撲滅的概率為，擊中目標(biāo)兩次起火點(diǎn)被撲滅的概率為，擊中目標(biāo)三次起火點(diǎn)必定被撲滅.（1）求起火點(diǎn)被無(wú)人機(jī)擊中次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）求起火點(diǎn)被無(wú)人機(jī)擊中且被撲滅的概率.解：（1）起火點(diǎn)被無(wú)人機(jī)擊中次數(shù)的所有可能取值為，.的分布列如下：0123.（2）擊中一次被撲滅的概率為擊中兩次被火撲滅的概率為擊中三次被火撲滅的概率為所求概率.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，過橢圓的上頂點(diǎn)作兩條動(dòng)直線分別與交于另外兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）若，求和的值.解：（1）由題意得，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，代入，得，由得，，解得，；（2）由（1）知橢圓方程為，聯(lián)立，得，解得或，即，則，即，同理可得，則，，由于，故，故，即三點(diǎn)共線，又，故，又，，故，解得，由于，故.19.已知函數(shù)，函數(shù).（1）若過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn).①求的值；②當(dāng)兩點(diǎn)不重合時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）若，使得不等式成立，求的最小值.解：（1）①，設(shè)，切點(diǎn).方程，即，聯(lián)立，由，可得或1；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)重合，舍去.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí).（2）令，，則，所以在上單調(diào)遞增，若對(duì)，均有成立，即恒成立，或，對(duì)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，若，即時(shí)，，若，即時(shí)，，均有.因?yàn)?，均有的否定為，使得不等式成立，所以由，使得不等式成立，可得，其中包含情況，而時(shí)，單調(diào)遞增，注意到在上遞減，在上遞增，成立，符合.綜上：的最小值為1.江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)2024屆高三下學(xué)期教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試卷一?選擇題1已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可得：或，則.故選：D.2.設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則，；令，則；.故選：C.3.已知平面向量滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知平面向量滿足，故，所以，所以，所以，則，，故，故選：B.4.青少年的身高一直是家長(zhǎng)和社會(huì)關(guān)注的重點(diǎn)，它不僅關(guān)乎個(gè)體成長(zhǎng)，也是社會(huì)健康素養(yǎng)發(fā)展水平的體現(xiàn).某市教育部門為了解本市高三學(xué)生的身高狀況，從本市全體高三學(xué)生中隨機(jī)抽查了1200人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)樣本的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，且身高在到之間的人數(shù)占樣本量的，則樣本中身高不低于的約有（）A.150人 B.300人 C.600人 D.900人〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以則，所以樣本中身高不低于的約有人.故選：A.5.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗令，得，則；故，，所以在共有4個(gè)零點(diǎn)，故選：C.6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知為雙曲線的右頂點(diǎn)，以為直徑的圓與的一條漸近線交于另一點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗由題意得，⊥，雙曲線的一條漸近線方程為，故，即，又，所以，由勾股定理得，即，解得，,故選：B.7.萊莫恩定理指出：過的三個(gè)頂點(diǎn)作它的外接圓的切線，分別和所在直線交于點(diǎn)，則三點(diǎn)在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的線.在平面直角坐標(biāo)系中，若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則該三角形的線的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗的外接圓設(shè)為，，解得，外接圓方程為，即，易知外接圓在處切線方程為，又，令得，，，在處切線方程為，又，令得，，則三角形的線的方程為，即故選：B.8.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗時(shí)，時(shí)，，故選：D.二?多選題9.已知復(fù)數(shù)，下列說法正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則或 D.若，則〖答案〗AC〖解析〗選項(xiàng)A，，則，故A正確；選項(xiàng)B，令，滿足條件，但，且均不為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，下面先證明命題“若，則，或”成立.證明：設(shè)，，若，則有，故有，即，兩式相乘變形得，，則有，或，或，①當(dāng)時(shí)，，即；②當(dāng)，且時(shí)，則，又因?yàn)椴煌瑫r(shí)為，所以，即；③當(dāng)，且時(shí)，則，同理可得，故；綜上所述，命題“若，則，或”成立.下面我們應(yīng)用剛證明的結(jié)論推證選項(xiàng)C，，，，或，即或，故C正確；選項(xiàng)D，令，則，但，不為，故D錯(cuò)誤.故選：.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.不等式無(wú)解 D.的最大值為〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A:不是的周期，故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B:關(guān)于對(duì)稱，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:有解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D:，若，則，若則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，原式取等，故D正確.故選:BD.11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（）A.當(dāng)時(shí)，平面B.任意，三棱錐的體積是定值C.存在，使得與平面所成的角為D.當(dāng)時(shí)，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為〖答案〗ACD〖解析〗如圖所示建系，，所以，從而，所以，又面，所以面，時(shí)，與重合，平面為平面，因?yàn)槊妫矫?，A對(duì).不與平面平行，到面的距離不為定值，三棱錐的體積不為定值，B錯(cuò).設(shè)面的法向量為，則，令，解得，即可取，而，所以與平面所成角的正弦值為，又，所以，所以，又面，所以面，當(dāng)在時(shí)，與平面所成角的正弦值為，此時(shí)與平面所成角小于，當(dāng)在時(shí)，與平面所成角為，所以存在使與平面所成角為，C正確.，設(shè)平面的法向量為，不妨設(shè)，則.，則，平面法向量，顯然球心，到面的距離，外接球半徑，截面圓半徑平方為，所以，D對(duì).故選：ACD.三?填空題12.已知變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，對(duì)表中數(shù)據(jù)作分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，利用最小二乘法，計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為，據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)的值為__________.567893.54566.5〖答案〗7.4〖解析〗由已知得，即樣本點(diǎn)中心，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心，所以，解得.所以，當(dāng)時(shí)，.故〖答案〗為：.13.已知，，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗，，，，，即，所以，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.故〖答案〗為：14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和拋物線，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn).記線段的中點(diǎn)為，若線段的中點(diǎn)在上，則的值為__________；的值為__________.〖答案〗25〖解析〗令，，，線段的中點(diǎn)為聯(lián)立，消可得，則，,所以，即，所以線段的中點(diǎn)，由于線段的中點(diǎn)在拋物線上，則，解得或（舍去），即，由于拋物線中，，所以.故〖答案〗為：2；5.四?解答題15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）證明：；（2）若，求周長(zhǎng).（1）證明：因?yàn)榛颍ㄉ幔?（2）解：由，結(jié)合（1）知，則，得，，，由正弦定理得的周長(zhǎng)為.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)在棱上，且.（1）證明：平面；（2）當(dāng)二面角為時(shí)，求.（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，∵，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，故，故平面；（2）解：平面的一個(gè)法向量，，.17.我國(guó)無(wú)人機(jī)發(fā)展迅猛，在全球具有領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)，已經(jīng)成為“中國(guó)制造”一張靚麗的新名片，并廣泛用于森林消防?搶險(xiǎn)救災(zāi)?環(huán)境監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域.某森林消防支隊(duì)在一次消防演練中利用無(wú)人機(jī)進(jìn)行投彈滅火試驗(yàn)，消防員甲操控?zé)o人機(jī)對(duì)同一目標(biāo)起火點(diǎn)進(jìn)行了三次投彈試驗(yàn)，已知無(wú)人機(jī)每次投彈時(shí)擊中