圖像消噪和恢復(fù)

關(guān)于圖像消噪和恢復(fù)圖像的退化是指圖像在形成、傳輸和記錄過程中，由于成像系統(tǒng)、傳輸介質(zhì)和設(shè)備的不完善，使圖像的質(zhì)量變壞第2頁,共48頁，2024年2月25日，星期天圖像復(fù)原就是要盡可能恢復(fù)退化圖像的本來面目，它是沿圖像退化的逆過程進(jìn)行處理。第3頁,共48頁，2024年2月25日，星期天典型的圖像復(fù)原是根據(jù)圖像退化的先驗(yàn)知識(shí)建立一個(gè)退化模型，以此模型為基礎(chǔ)，采用各種逆退化處理方法進(jìn)行恢復(fù)，得到質(zhì)量改善的圖像。圖像復(fù)原過程如下：找退化原因→建立退化模型→反向推演→恢復(fù)圖像可見，圖像復(fù)原主要取決于對(duì)圖像退化過程的先驗(yàn)知識(shí)所掌握的精確程度，體現(xiàn)在建立的退化模型是否合適。第4頁,共48頁，2024年2月25日，星期天圖像復(fù)原和圖像增強(qiáng)的區(qū)別：圖像增強(qiáng)不考慮圖像是如何退化的，而是試圖采用各種技術(shù)來增強(qiáng)圖像的視覺效果。因此，圖像增強(qiáng)可以不顧增強(qiáng)后的圖像是否失真，只要看得舒服就行。圖像復(fù)原就完全不同，需知道圖像退化的機(jī)制和過程等先驗(yàn)知識(shí)，據(jù)此找出一種相應(yīng)的逆處理方法，從而得到復(fù)原的圖像。如果圖像已退化，應(yīng)先作復(fù)原處理，再作增強(qiáng)處理。二者的目的都是為了改善圖像的質(zhì)量。第5頁,共48頁，2024年2月25日，星期天

圖像退化指由場景得到的圖像沒能完全地反映場景的真實(shí)內(nèi)容，產(chǎn)生了失真等問題。在圖像采集過程中產(chǎn)生的退化常被稱為模糊(blurring)在圖像記錄過程中產(chǎn)生的退化常被稱為噪聲(noise)模糊用頻率分析的語言來說是高頻分量得到抑制或消除的過程噪聲是一個(gè)統(tǒng)計(jì)過程，所以噪聲對(duì)一個(gè)特定圖像的影響是不確定的。噪聲是最常見的退化因素之一，也是圖像恢復(fù)中重點(diǎn)研究的內(nèi)容。第6頁,共48頁，2024年2月25日，星期天圖像中的噪聲可定義為圖像中不希望有的部分，或圖像中不需要的部分。噪聲既可能有一定的隨機(jī)性，也可能比較規(guī)則或有規(guī)律。很多情況下將噪聲看成不確定的隨機(jī)現(xiàn)象，主要采用概率論和統(tǒng)計(jì)的方法來處理。圖像中的噪聲并不需要與信號(hào)對(duì)立，它可以與信號(hào)有密切的聯(lián)系。如果將信號(hào)除去，噪聲也可能變化。在很多情況下，噪聲的（隨機(jī)/規(guī)則）特性不很重要，重要的是它的強(qiáng)度，或者說人們只關(guān)心它的強(qiáng)度。

信噪比SNR(signal-to-noiseratio)信噪比是一個(gè)重要的放大器或通信系統(tǒng)的質(zhì)量指標(biāo)。在圖像壓縮中，信噪比用來作為表示壓縮－解壓縮的一個(gè)客觀保真度準(zhǔn)則。第7頁,共48頁，2024年2月25日，星期天幾種常見的噪聲

1.熱噪聲

與物體的絕對(duì)溫度有關(guān)，也稱Johnson噪聲。指導(dǎo)電載流子由于熱擾動(dòng)而產(chǎn)生的噪聲，它可以產(chǎn)生對(duì)不同波長有相同能量的頻譜，相同頻率間隔內(nèi)的能量相同，也稱為高斯噪聲或白噪聲。2.閃爍(flicker)噪聲由電流運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的一種噪聲，也有人稱為粉色噪聲，粉色噪聲在對(duì)數(shù)頻率間隔內(nèi)有相同的能量。一般具有反比于頻率的頻譜，也稱1/f噪聲。3.發(fā)射(shot)噪聲

電流非均勻流動(dòng)，電子運(yùn)動(dòng)有隨機(jī)性的結(jié)果，在本該穩(wěn)定的直流分量里實(shí)際上還保留了一個(gè)交流分量。也是一種高斯分布的噪聲。第8頁,共48頁，2024年2月25日，星期天

4.有色(colored)噪聲：指具有非白色頻譜的寬帶噪聲。相對(duì)白噪聲來說，有色噪聲中低頻分量占了較大比重。白噪聲：指功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)均勻分布的噪聲，所有頻率具有相同能量的隨機(jī)噪聲。是指信號(hào)中包含從負(fù)無窮到正無窮之間的所有頻率分量，且各頻率分量在信號(hào)中的權(quán)值相同。白光包含各個(gè)頻率成分的光，白噪聲這個(gè)名稱是由此由此而來的。第9頁,共48頁，2024年2月25日，星期天高斯噪聲、均勻噪聲及脈沖（椒鹽）噪聲的概率密度函數(shù)P190第10頁,共48頁，2024年2月25日，星期天高斯白噪聲：如果一個(gè)噪聲，它的幅度分布服從高斯分布，而它的功率譜密度又是均勻分布的，則稱它為高斯白噪聲。熱噪聲和散粒噪聲是高斯白噪聲。所謂高斯白噪聲中的高斯是指概率分布是正態(tài)函數(shù)，而白噪聲是指它的二階矩不相關(guān)，一階矩為常數(shù)，是指先后信號(hào)在時(shí)間上的相關(guān)性。這是考查一個(gè)信號(hào)的兩個(gè)不同方面的問題。高斯白噪聲是指信號(hào)中包含從負(fù)無窮到正無窮之間的所有頻率分量，且各頻率分量在信號(hào)中的權(quán)值相同。白光包含各個(gè)頻率成分的光，白噪聲這個(gè)名稱是由此由此而來的。它在任意時(shí)刻的幅度是隨機(jī)的，但在整體上滿足高斯分布函數(shù)。時(shí)變信號(hào)的知識(shí)參考《信號(hào)與系統(tǒng)》，高斯白噪聲參考《通信原理》類書籍第11頁,共48頁，2024年2月25日，星期天5.1退化模型和對(duì)角化假定成像系統(tǒng)是線性位移不變系統(tǒng),則獲取的圖像g(x,y)表示為

g（x，y）=f（x，y）*h（x，y）f(x，y)表示理想的、沒有退化的圖像，g(x，y)是退化（所觀察到）的圖像。

第12頁,共48頁，2024年2月25日，星期天原始圖像f(x,y)經(jīng)過一個(gè)退化算子或退化系統(tǒng)H(x,y)的作用，再和噪聲n(x,y)進(jìn)行疊加，形成退化后的圖像g(x,y)。下圖表示退化過程的輸入和輸出的關(guān)系，其中H(x,y)概括了退化系統(tǒng)的物理過程，就是所要尋找的退化數(shù)學(xué)模型。圖像的退化模型g(x,y)=H［f(x,y)］+n(x,y)第13頁,共48頁，2024年2月25日，星期天數(shù)字圖像的圖像恢復(fù)問題可看作是：根據(jù)退化圖像g(x,y)和退化算子H(x,y)的形式，沿著反向過程去求解原始圖像f(x,y)，或者說是逆向地尋找原始圖像的最佳近似估計(jì)。圖像退化的過程可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫成如下的形式：

g(x,y)=H［f(x,y)］+n(x,y) 在這里，n(x,y)是一種統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的信息。在實(shí)際應(yīng)用中，往往假設(shè)噪聲是白噪聲，即它的頻譜密度為常數(shù)，并且與圖像不相關(guān)。第14頁,共48頁，2024年2月25日，星期天在圖像復(fù)原處理中，盡管非線性、時(shí)變和空間變化的系統(tǒng)模型更具有普遍性和準(zhǔn)確性，更與復(fù)雜的退化環(huán)境相接近，但它給實(shí)際處理工作帶來了巨大的困難，常常找不到解或者很難用計(jì)算機(jī)來處理。因此，在圖像復(fù)原處理中，往往用線性系統(tǒng)和空間不變系統(tǒng)模型來加以近似。這種近似的優(yōu)點(diǎn)使得線性系統(tǒng)中的許多理論可直接用于解決圖像復(fù)原問題，同時(shí)又不失可用性。第15頁,共48頁，2024年2月25日，星期天在線性和空間不變系統(tǒng)的情況下，退化算子H具有如下性質(zhì):(1)線性：設(shè)f1(x,y)和f2(x,y)為兩幅輸入圖像，k1和k2為常數(shù)，則由該性質(zhì)還可推出下面兩個(gè)結(jié)論：①相加性：當(dāng)k1=k2=1時(shí),式(11-5)變?yōu)棰谝恢滦裕喝绻鹒2(x,y)=0，則式（11-5）變?yōu)橥嘶到y(tǒng)H的4個(gè)性質(zhì)第16頁,共48頁，2024年2月25日，星期天(2)空間不變性:如果對(duì)任意f(x,y)以及a和b，有則對(duì)于線性空間不變系統(tǒng)，輸入圖像經(jīng)退化后的輸出為：H是一個(gè)輪換矩陣P192塊輪換矩陣：輪換矩陣的對(duì)角化H＝WDW－1本征矢量，本征值P194

第17頁,共48頁，2024年2月25日，星期天點(diǎn)源的概念事實(shí)上，一幅圖像可以看成由無窮多極小的像素所組成，每一個(gè)像素都可以看作為一個(gè)點(diǎn)源成像，因此，一幅圖像也可以看成由無窮多點(diǎn)源形成的。在數(shù)學(xué)上，點(diǎn)源可以用狄拉克δ函數(shù)來表示。二維δ函數(shù)可定義為且滿足第18頁,共48頁，2024年2月25日，星期天它的一個(gè)重要特性就是采樣特性。即當(dāng)α=β=0時(shí)第19頁,共48頁，2024年2月25日，星期天一幅連續(xù)圖像f(x,y)可以看作是由一系列點(diǎn)源組成的。因此，f(x,y)可以通過點(diǎn)源函數(shù)的卷積來表示。即式中，δ函數(shù)為點(diǎn)源函數(shù)，表示空間上的點(diǎn)脈沖。在不考慮噪聲的一般情況下，連續(xù)圖像經(jīng)過退化系統(tǒng)H后的輸出為把式1代入式2得第20頁,共48頁，2024年2月25日，星期天線性位移不變系統(tǒng)的輸出等于系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)）的卷積。第21頁,共48頁，2024年2月25日，星期天式中，h(x-α,y-β)為該退化系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，或叫系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)。它表示系統(tǒng)對(duì)坐標(biāo)為(a,β)處的沖激函數(shù)δ(x-α,y-β)的響應(yīng)。也就是說，只要系統(tǒng)對(duì)沖激函數(shù)的響應(yīng)為已知，那么就可以清楚圖像退化是如何形成的。因?yàn)閷?duì)于任一輸入f(a,β)的響應(yīng)，都可以通過上式計(jì)算出來。此時(shí)，退化系統(tǒng)的輸出就是輸入圖像信號(hào)f(x,y)與點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)h(x,y)的卷積，即第22頁,共48頁，2024年2月25日，星期天采用線性位移不變系統(tǒng)模型的原由：1）由于許多種退化都可以用線性位移不變模型來近似，這樣線性系統(tǒng)中的許多數(shù)學(xué)工具如線性代數(shù)，能用于求解圖像復(fù)原問題，從而使運(yùn)算方法簡捷和快速。2）當(dāng)退化不太嚴(yán)重時(shí)，一般用線性位移不變系統(tǒng)模型來復(fù)原圖像，在很多應(yīng)用中有較好的復(fù)原結(jié)果，且計(jì)算大為簡化。3）盡管實(shí)際非線性和位移可變的情況能更加準(zhǔn)確而普遍地反映圖像復(fù)原問題的本質(zhì)，但在數(shù)學(xué)上求解困難。只有在要求很精確的情況下才用位移可變的模型去求解，其求解也常以位移不變的解法為基礎(chǔ)加以修改而成。第23頁,共48頁，2024年2月25日，星期天圖像退化除了受到成像系統(tǒng)本身的影響外，有時(shí)還要受到噪聲的影響。假設(shè)噪聲n(x,y)是加性噪聲，這時(shí)上式可寫成在頻域上，可以寫成其中，G(u,v)、F(u,v)、N(u,v)分別是退化圖像g(x,y)、原圖像f(x,y)、噪聲信號(hào)n(x,y)的傅立葉變換；H(u,v)是系統(tǒng)的點(diǎn)沖激響應(yīng)函數(shù)h(x,y)的傅立葉變換，稱為系統(tǒng)在頻率域上的傳遞函數(shù)。第24頁,共48頁，2024年2月25日，星期天可見，圖像復(fù)原實(shí)際上就是已知g(x,y)求f(x,y)的問題或已知G(u,v)求F(u,v)的問題，它們的不同之處在于一個(gè)是在空域，一個(gè)是在頻域。顯然，進(jìn)行圖像復(fù)原的關(guān)鍵問題是尋找降質(zhì)系統(tǒng)在空間域上的沖激響應(yīng)函數(shù)h(x,y)，或者降質(zhì)系統(tǒng)在頻率域上的傳遞函數(shù)H(u,v)。一般來說，傳遞函數(shù)比較容易求得。因此，在進(jìn)行圖像復(fù)原之前，一般應(yīng)設(shè)法求得完全的或近似的降質(zhì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，要想得到h(x,y),只需對(duì)H(u,v)求傅立葉逆變換即可。第25頁,共48頁，2024年2月25日，星期天5.3無約束復(fù)原無約束恢復(fù)方法僅將圖像看作一個(gè)數(shù)字矩陣，從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行恢復(fù)處理而不考慮恢復(fù)后圖像應(yīng)受到的物理約束。由簡單的通用圖像退化模型可得逆濾波法是指在對(duì)n沒有先驗(yàn)知識(shí)的情況下，可以依據(jù)這樣的最優(yōu)準(zhǔn)則，即尋找一個(gè)，使得在最小均方誤差的意義下最接近g，即要使n的?；蚍稊?shù)（norm）最小：第26頁,共48頁，2024年2月25日，星期天上式的極小值為如果我們在求最小值的過程中，不做任何約束，稱這種復(fù)原為無約束恢復(fù)。由極值條件可得出一個(gè)無約束恢復(fù)公式，解出為對(duì)上式作傅立葉變換，得第27頁,共48頁，2024年2月25日，星期天可見，如果知道g(x,y)和h(x,y)，也就知道了G(u,v)和H(u,v)。根據(jù)上式，即可得出F(u,v)，再經(jīng)過反傅立葉變換就能求出f(x,y)。逆濾波是最早應(yīng)用于數(shù)字圖像復(fù)原的一種方法。并用此方法處理過由漫游者、探索者等衛(wèi)星探索發(fā)射得到的圖像。第28頁,共48頁，2024年2月25日，星期天逆濾波恢復(fù)法

對(duì)于線性移不變系統(tǒng)而言對(duì)上式兩邊進(jìn)行傅立葉變換得

H(u,v)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。從頻率域角度看，它使圖像退化，因而反映了成像系統(tǒng)的性能。

第29頁,共48頁，2024年2月25日，星期天通常在無噪聲的理想情況下，上式可簡化為則進(jìn)行反傅立葉變換可得到f(x,y)。以上就是逆濾波復(fù)原的基本原理。1/H(u,v)稱為逆濾波器。

第30頁,共48頁，2024年2月25日，星期天(1)對(duì)退化圖像g(x，y)作二維離散傅立葉變換，得到G(u,v)；(2)計(jì)算系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(x，y)的二維傅立葉變換，得到H(u,v);(3)逆濾波計(jì)算(4)計(jì)算的逆傅立葉變換，求得。

逆濾波復(fù)原過程可歸納如下:第31頁,共48頁，2024年2月25日，星期天若噪聲為零，則采用逆濾波恢復(fù)法能完全再現(xiàn)原圖像。若噪聲存在，而且H(u,v）很小或?yàn)榱銜r(shí)，則噪聲被放大。這意味著退化圖像中小噪聲的干擾在H(u,v)較小時(shí)，會(huì)對(duì)逆濾波恢復(fù)的圖像產(chǎn)生很大的影響，有可能使恢復(fù)的圖像和f(x,y)相差很大，甚至面目全非。當(dāng)u-v平面上的某引起點(diǎn)或區(qū)域H(u,v)很小或等于零，即出現(xiàn)了零點(diǎn)時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致不穩(wěn)定解。

但實(shí)際獲取的影像都有噪聲，因而只能求F(u,v)的估計(jì)值。再作傅立葉逆變換得第32頁,共48頁，2024年2月25日，星期天一種改進(jìn)方法是考慮到退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(u,v)帶寬比噪聲的帶寬要窄得多，其頻率特性具有低通性質(zhì)，取恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)M(u,v)為其中，ω0的選取原則是將H(u,v)為零的點(diǎn)除去。這種方法的缺點(diǎn)是復(fù)原后的圖像的振鈴效果較明顯。第33頁,共48頁，2024年2月25日，星期天消除勻速直線運(yùn)動(dòng)模糊：線性運(yùn)動(dòng)退化是由于目標(biāo)于成像系統(tǒng)間的相對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)形成的退化。改進(jìn)的方法：第34頁,共48頁，2024年2月25日，星期天維納濾波在一般情況下，圖像信號(hào)可近似地認(rèn)為是平穩(wěn)隨機(jī)過程，維納濾波將原始圖像f和對(duì)原始圖像的估計(jì)看作為隨機(jī)變量。假設(shè)Rf和Rn為f和n的自相關(guān)矩陣，其定義為式中，E{·}代表數(shù)學(xué)期望運(yùn)算。5.4有約束恢復(fù)第35頁,共48頁，2024年2月25日，星期天

Rf和Rn均為實(shí)對(duì)稱矩陣，在大多數(shù)圖像中，鄰近的像素點(diǎn)是高度相關(guān)的，而距離較遠(yuǎn)的像素點(diǎn)的相關(guān)性卻較弱。通常，f和n的元素之間的相關(guān)不會(huì)延伸到20～30個(gè)像素的距離之外。因此，一般來說，自相關(guān)矩陣在主對(duì)角線附近有一個(gè)非零元素帶，而在右上角和左下角的區(qū)域內(nèi)將為零值。如果像素之間的相關(guān)是像素之間距離的函數(shù)，而不是它們位置的函數(shù)，可將Rf和Rn近似為分塊循環(huán)矩陣。因而，用循環(huán)矩陣的對(duì)角化，可寫成第36頁,共48頁，2024年2月25日，星期天W的第i,m個(gè)分塊為i,m=0,1,…,M-1其中，WN為一個(gè)N×N矩陣，其第k,n個(gè)位置的元素為k,n=0,1,…,N-1式中，A和B的元素分別為Rf和Rn中的自相關(guān)元素的傅立葉變換。這些自相關(guān)的傅立葉變換被分別定義為fe(x,y)和ne(x,y)的譜密度Sf(u,v)和Sn(u,v)。式中，W為一個(gè)MN×MN矩陣，包含M×M個(gè)N×N的塊。M、N的含義見二維離散模型部分。第37頁,共48頁，2024年2月25日，星期天定義QTQ=R-1fRn，代入式(11-33)，得進(jìn)一步可推導(dǎo)出式中，D*為D的共軛矩陣。再進(jìn)行矩陣變換：第38頁,共48頁，2024年2月25日，星期天假設(shè)M=N，則式中，u,v=0,1,2,…,N-1，|H(u,v)|2=H*(u,v)H(u,v)。第39頁,共48頁，2024年2月25日，星期天對(duì)式作如下分析：

(1)如果γ=1，稱之為維納濾波器。注意，當(dāng)γ=1時(shí)，并不是在約束條件下得到的最佳解，即并不一定滿足 若γ為變數(shù)，此式為參變維納濾波器。使用參變維納濾波法時(shí)，H(u,v)由點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)確定，而當(dāng)噪聲是白噪聲時(shí)，Sn(u,v)為常數(shù)，可通過計(jì)算一幅噪聲圖像的功率譜Sg(u,v)求解。由于Sg(u,v)=|H(u,v)|2Sf(u,v)+Sn(u,v)，所以Sf(u,v)可通過式求得。第40頁,共48頁，2024年2月25日，星期天

(2)當(dāng)無噪聲影響時(shí)，Sn(u,v)=0，稱之為理想的反向?yàn)V波器。逆濾波器可看成是維納濾波器的一種特殊情況。

(3)如果不知道噪聲的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，也就是Sf(u,v)和Sn(u,v)未知時(shí)，式(11-39)可以用下式近似：式中，K表示噪聲對(duì)信號(hào)的頻譜密度之比。第41頁,共48頁，2024年2月25日，星期天有約束最小平方恢復(fù)

約束最小平方復(fù)原是一種以平滑度為基礎(chǔ)的圖像復(fù)原方法。如前所述，在進(jìn)行圖像恢復(fù)計(jì)算時(shí)，由于退化算子矩陣H［·］的病態(tài)性質(zhì)，多數(shù)在零點(diǎn)附近數(shù)值起伏過大，使得復(fù)原后的圖像產(chǎn)生了多余的噪聲和邊緣。約束最小平方復(fù)原仍然是以最小二乘方濾波復(fù)原公式為基礎(chǔ)，通過選擇合理的Q，并優(yōu)化‖Qf‖2，從而去掉被恢復(fù)圖像的這種尖銳部分，即增加圖像的平滑性。第42頁,共48頁，2024年2月25日，星期天我們知道